Universitetseksamen etter tema

Likningen er separabel. Vi skiller \( S \) og \( t\text{,} \) integrerer med delbrøker, bestemmer konstantene og setter inn \( {S = 4000}\text{.} \)

1. Forklar likningen Endringsraten er \( \dfrac{dS}{dt}\text{.} \) Av 5000 innbyggere er \( \textcolor{red}{S} \) smittet, så \( {\textcolor{blue}{5000 - S}} \) er ikke smittet. Proporsjonal med produktet betyr at vi ganger produktet med konstanten \( a\text{:} \) \[ \dfrac{dS}{dt} = a \cdot \textcolor{red}{S} \cdot (\textcolor{blue}{5000 - S}) \]

2. Separer og del opp brøken Vi samler \( S \) på én side og \( t \) på den andre, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \dfrac{1}{S(5000 - S)}\,dS = a\,dt \]

Vi deler brøken opp, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{S(5000 - S)} &= \dfrac{A}{S} + \dfrac{B}{5000 - S} \\ 1 &= A(5000 - S) + BS \end{aligned} \]

\( {S = 0} \) og \( {S = 5000} \) gir: \[ A = B = \dfrac{1}{5000} \]

3. Integrer begge sider Plugger vi delbrøkene inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{5000} \int \left( \dfrac{1}{S} + \dfrac{1}{5000 - S} \right) dS \\ &= \int a\,dt \end{aligned} \]

Siden \( {0 < S < 5000} \) trenger vi ikke absoluttverdi. Kjernen \( {5000 - S} \) har derivert \( {-1}\text{,} \) så: \[ \int \dfrac{1}{5000 - S}\,dS = -\ln(5000 - S) \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{5000} \bigl( \ln S - \ln(5000 - S) \bigr) \\ &= at + C \end{aligned} \]

Logaritmeregelen fra videoen Naturlige Logaritmer forteller oss at: \[ \ln p - \ln q = \ln\left(\dfrac{p}{q}\right) \]

Her er \( {p = S} \) og \( {q = 5000 - S}\text{.} \) Vi ganger med 5000, med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{5000a}} \) og \( {K = 5000C}\text{:} \) \[ \ln\left(\dfrac{S}{5000 - S}\right) = \textcolor{green}{k}t + K \]

4. Bestem konstantene \( {S(0) = 250} \) gir: \[ K = \ln\left(\dfrac{250}{4750}\right) = -\ln 19 \]

\( {S(7) = 1250} \) gir: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{1250}{3750}\right) &= 7\textcolor{green}{k} - \ln 19 \\ -\ln 3 &= 7\textcolor{green}{k} - \ln 19 \\ \textcolor{green}{k} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{7}\ln\dfrac{19}{3}} \end{aligned} \]

5. Finn tiden 80 % av 5000 er 4000. Plugger vi inn \( {S = 4000}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{4000}{1000}\right) &= \textcolor{green}{k}t - \ln 19 \\ \ln 4 + \ln 19 &= \textcolor{green}{k}t \\ t &= \dfrac{\ln 76}{\textcolor{green}{k}} = \dfrac{7\ln 76}{\ln\dfrac{19}{3}} \\ &\approx 16{,}4 \end{aligned} \]

\( g(4) \) er integralet fra \( 0 \) til \( 4\text{,} \) og det er arealet mellom grafen og \( {x\text{-aksen}} \) med fortegn. \( g'(4) \) får vi fra sammenhengen mellom integralet og den deriverte.

1. Regn ut g i fire Integralet er arealet over \( {x\text{-aksen}} \) minus arealet under, som i videoen Hva er integrasjon. Vi leser av grafen del for del: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\int_0^1 f(t)\,dt} &= -\dfrac{1 \cdot 2}{2} = \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{\int_1^2 f(t)\,dt} &= \dfrac{1 \cdot 2}{2} = \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{green}{\int_2^3 f(t)\,dt} &= 1 \cdot 2 = \textcolor{green}{2} \\ \textcolor{darkorange}{\int_3^4 f(t)\,dt} &= \dfrac{1 \cdot 2}{2} = \textcolor{darkorange}{1} \end{aligned} \]Den første biten er en trekant under aksen, så den teller negativt.

Slår vi dette sammen, får vi: \[ g(4) = \textcolor{red}{-1} + \textcolor{blue}{1} + \textcolor{green}{2} + \textcolor{darkorange}{1} = 3 \]

2. Regn ut den deriverte Analysens fundamentalteorem forteller oss at for en kontinuerlig \( f \) er: \[ \dfrac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x) \]Videoen Løs integralligningen viser dette underveis.

Grafen henger sammen, så \( f \) er kontinuerlig. Her er \( {a = 0}\text{,} \) så \( {g'(x) = f(x)}\text{.} \) Grafen krysser \( {x\text{-aksen}} \) i \( {x = 4}\text{,} \) så: \[ g'(4) = f(4) = 0 \]

Nevneren kan faktoriseres, så vi bruker delbrøksoppspalting. Det uegentlige integralet skriver vi deretter som en grense.

1. Faktoriser nevneren Vi trenger to tall som har produkt \( {-6} \) og sum \( 1\text{.} \) Det er \( {-2} \) og \( 3\text{,} \) så: \[ x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) \]

2. Del opp brøken Telleren har lavere grad enn nevneren, og faktorene er ulike. Vi skriver derfor brøken som en sum av to brøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{3x - 1}{(x - 2)(x + 3)} = \dfrac{\textcolor{red}{A}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{blue}{B}}{x + 3} \]

Ganger vi med nevneren på begge sider, får vi: \[ \begin{aligned} 3x - 1 &= \textcolor{red}{A}(x + 3) + \textcolor{blue}{B}(x - 2) \\ 3x - 1 &= (\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B})x + 3\textcolor{red}{A} - 2\textcolor{blue}{B} \end{aligned} \]

Leddene med \( x \) og konstantene må være like på hver side. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} &= 3 \\ 3\textcolor{red}{A} - 2\textcolor{blue}{B} &= -1 \end{aligned} \]

Setter vi \( {\textcolor{red}{A} = 3 - \textcolor{blue}{B}} \) inn i den andre likningen, får vi: \[ \begin{aligned} 3(3 - \textcolor{blue}{B}) - 2\textcolor{blue}{B} &= -1 \\ 9 - 5\textcolor{blue}{B} &= -1 \\ \textcolor{blue}{B} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{A} &= 3 - 2 = \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

3. Regn ut det ubestemte integralet Regelen for en brøk med \( x \) pluss et tall i nevneren forteller oss at: \[ \int \dfrac{k}{x + n}\,dx = k\ln|x + n| + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Plugger vi inn \( \textcolor{red}{A} \) og \( \textcolor{blue}{B}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\int \left(\dfrac{\textcolor{red}{1}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{x + 3}\right) dx \\ &= \textcolor{red}{\ln|x - 2|} + \textcolor{blue}{2\ln|x + 3|} + C \end{aligned} \]

4. Avgjør det uegentlige integralet Nevneren er ikke \( 0 \) for \( {x \ge 4}\text{,} \) så det eneste problemet er den øvre grensen. Vi skriver integralet som en grense: \[ \begin{aligned} &\int_4^{\infty} \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx \\ &= \lim_{b \to \infty} \int_4^b \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx \end{aligned} \]

For \( {x \ge 4} \) er begge parentesene positive. Setter vi inn grensene, får vi: \[ \begin{aligned} &\int_4^b \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx \\ &= \Big[\textcolor{red}{\ln(x - 2)} + \textcolor{blue}{2\ln(x + 3)}\Big]_4^b \\ &= \textcolor{red}{\ln(b - 2)} + \textcolor{blue}{2\ln(b + 3)} \\ &\quad - \ln 2 - 2\ln 7 \end{aligned} \]

Vi lar \( b \) vokse. Da vokser begge logaritmene uten grense, mens \( {-\ln 2 - 2\ln 7} \) er et fast tall: \[ \lim_{b \to \infty} \int_4^b \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx = \infty \]

Grensen finnes ikke som et tall, så det uegentlige integralet divergerer. Hvis du er usikker på uegentlige integraler, kan du se videoen Uegentlig integral Oppgave 1.

Vi setter rekken inn i brøken og integrerer ledd for ledd. Rekken vi får er alternerende, og da er feilen høyst så stor som det første leddet vi tar bort.

1. Skriv om brøken Vi setter inn rekken og deler på \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 - e^{-x} &= x - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} - \ldots \\ \dfrac{1 - e^{-x}}{x} &= 1 - \dfrac{x}{2!} + \dfrac{x^2}{3!} - \ldots \end{aligned} \]

Med summetegn er dette: \[ \dfrac{1 - e^{-x}}{x} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \dfrac{x^{n-1}}{n!} \]

2. Integrer ledd for ledd Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Oppgave 2c - Integral ved hjelp av potensrekke. For hvert ledd er: \[ \int_0^1 x^{n-1}\,dx = \dfrac{1}{n} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} I &= \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n \cdot n!} \\ &= 1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{18} - \dfrac{1}{96} + \dfrac{1}{600} - \ldots \end{aligned} \]

3. Bruk feilen i en alternerende rekke Vi kaller leddene uten fortegn \( {\textcolor{red}{a_n} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{n \cdot n!}}}\text{.} \) De blir mindre og mindre og går mot \( 0\text{,} \) som kriteriene i videoen Alternerende rekker med eksempler! krever.

Da forteller feilen i en alternerende rekke oss at når vi tar med \( N \) ledd og får summen \( S_N\text{,} \) er: \[ |I - S_N| \le \textcolor{red}{a_{N+1}} \]

Vi skriver kravet som en brøk, \( {0{,}002 = \dfrac{1}{500}}\text{.} \) Med fire ledd er det første leddet vi tar bort: \[ \textcolor{red}{a_5} = \dfrac{1}{600} < \dfrac{1}{500} \]Fire ledd er altså nok.

4. Sjekk at tre ledd ikke holder Feilen med tre ledd er resten av rekken. Etter \( {\textcolor{red}{a_4} - \textcolor{red}{a_5}} \) kommer leddene i par som er positive, så: \[ \begin{aligned} |I - S_3| &= \textcolor{red}{a_4} - \textcolor{red}{a_5} + \textcolor{red}{a_6} - \ldots \\ &\ge \textcolor{red}{a_4} - \textcolor{red}{a_5} \\ &= \dfrac{1}{96} - \dfrac{1}{600} = \dfrac{7}{800} > \dfrac{1}{500} \end{aligned} \]

5. Regn ut tilnærmingen Vi legger sammen de fire leddene: \[ L = 1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{18} - \dfrac{1}{96} = \dfrac{229}{288} \]

Vi deriverer logaritmen med kjerneregelen og brøken med kvotientregelen. Buelengden gir så akkurat integralet av \( \dfrac{1}{\cos x}\text{,} \) og det har vi nettopp funnet.

1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{g})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{g}} \cdot \textcolor{green}{g'} \]Den står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{g} = \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}}}\text{,} \) som er positiv på intervallet.

2. Deriver kjernen med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1 + \sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\cos x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-\sin x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{g'} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{\cos x}\textcolor{blue}{\cos x} - (\textcolor{red}{1 + \sin x})(\textcolor{blue}{-\sin x})}{\textcolor{blue}{\cos^2 x}} \\ &= \dfrac{\cos^2 x + \sin x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \dfrac{1 + \sin x}{\cos^2 x} \end{aligned} \]Her brukte vi \( {\sin^2 x + \cos^2 x = 1}\text{.} \)

3. Sett sammen Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{d}{dx}\left(\ln\left(\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}\right)\right) \\ &= \textcolor{green}{\dfrac{\cos x}{1 + \sin x}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos^2 x}} \\ &= \dfrac{1}{\cos x} \end{aligned} \]

4. Sett opp buelengden Buelengdeformelen forteller oss at: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + (\textcolor{darkorange}{f'(x)})^2}\,dx \]Den kommer vi frem til i videoen Buelengde formel.

Kjerneregelen gir oss den deriverte av \( {f(x) = \ln(\cos x)}\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{f'(x)} = \dfrac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = \textcolor{darkorange}{-\tan x} \]

Under roten får vi: \[ \begin{aligned} 1 + \tan^2 x &= \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \dfrac{1}{\cos^2 x} \end{aligned} \]

På intervallet er \( {\cos x > 0}\text{,} \) så: \[ \sqrt{1 + \tan^2 x} = \dfrac{1}{\cos x} \]

5. Regn ut integralet Det vi viste først, gir oss den antideriverte: \[ \begin{aligned} L &= \int_0^{\pi/4} \dfrac{1}{\cos x}\,dx \\ &= \left[\ln \textcolor{green}{g(x)}\right]_0^{\pi/4} \end{aligned} \]

Her er \( {\textcolor{green}{g(x)} = \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}}}\text{.} \) Vi setter inn grensene, med \( {\sin \dfrac{\pi}{4} = \cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{g\left(\dfrac{\pi}{4}\right)} &= \dfrac{1 + \sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2} + 1 \\ \textcolor{green}{g(0)} &= \dfrac{1 + 0}{1} = 1 \end{aligned} \]

Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) står vi igjen med: \[ L = \ln(1 + \sqrt{2}) \]

Vi skriver opp formelen for arealet av en rotasjonsflate. Radien er avstanden fra grafen ned til aksen \( {y = -1}\text{,} \) så den blir \( {\cosh x + 1}\text{.} \)

1. Sett opp integralet Formelen for arealet av en rotasjonsflate forteller oss at: \[ S = \int_a^b 2\pi\, \textcolor{red}{r(x)} \sqrt{1 + (\textcolor{blue}{f'(x)})^2}\,dx \]Hver bitte liten bit av grafen lager en ring med radius \( \textcolor{red}{r(x)}\text{.} \) Rotuttrykket er den samme lille lengden som i videoen Buelengde formel.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{r(x)} &= \cosh x - (-1) = \textcolor{red}{\cosh x + 1} \\ \textcolor{blue}{f'(x)} &= \textcolor{blue}{\sinh x} \end{aligned} \]Den deriverte av \( \cosh x \) er \( \sinh x\text{,} \) og den deriverte av \( \sinh x \) er \( \cosh x\text{.} \)

Siden \( {\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1} \) og \( {\cosh x > 0}\text{,} \) blir roten: \[ \sqrt{1 + \textcolor{blue}{\sinh^2 x}} = \cosh x \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} S &= 2\pi \int_0^1 (\textcolor{red}{\cosh x + 1}) \cosh x\,dx \\ &= 2\pi \int_0^1 (\textcolor{green}{\cosh^2 x} + \textcolor{darkorange}{\cosh x})\,dx \end{aligned} \]

2. Integrer ledd for ledd \( \textcolor{green}{\cosh^2 x}\text{:} \) med identiteten fra tipset får vi: \[ \textcolor{green}{\cosh^2 x} = \dfrac{1}{2}(1 + \cosh 2x) \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\int_0^1 \textcolor{green}{\cosh^2 x}\,dx \\ &= \dfrac{1}{2} \int_0^1 (1 + \cosh 2x)\,dx \\ &= \dfrac{1}{2} \left[x + \dfrac{1}{2}\sinh 2x\right]_0^1 \\ &= \underline{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\sinh 2} \end{aligned} \]

\( \textcolor{darkorange}{\cosh x}\text{:} \) siden \( {\sinh 0 = 0}\text{,} \) får vi: \[ \int_0^1 \textcolor{darkorange}{\cosh x}\,dx = \Big[\sinh x\Big]_0^1 = \underline{\sinh 1} \]

3. Slå sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} S &= 2\pi \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\sinh 2 + \sinh 1\right) \\ &= \pi + \dfrac{\pi}{2}\sinh 2 + 2\pi\sinh 1 \end{aligned} \]