Universitetseksamen etter tema

Vi vet ikke at \( g \) er deriverbar, så vi kan ikke bruke produktregelen. Vi går derfor tilbake til definisjonen av den deriverte.

1. Skriv opp definisjonen Definisjonen av den deriverte forteller oss at: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{f(0 + h)} - \textcolor{blue}{f(0)}}{h} \]\( f \) er deriverbar i \( {x = 0} \) hvis denne grensen finnes. Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(0 + h)} &= \textcolor{red}{h\,g(h)} \\ \textcolor{blue}{f(0)} &= 0 \cdot g(0) = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

2. Regn ut grensen Plugger vi dette inn, og stryker \( h \) mot \( h \) siden \( h \ne 0\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(0) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{h\,g(h)} - \textcolor{blue}{0}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} g(h) \end{aligned} \]

At \( g \) er kontinuerlig i \( {x = 0} \) betyr at grensen er lik funksjonsverdien, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon: \[ \lim_{h \to 0} g(h) = g(0) = 2\pi \]

Grensen finnes, så \( f \) er deriverbar i \( {x = 0}\text{.} \)

Absoluttverdien gjør at \( f \) skifter uttrykk i \( {x = 0}\text{.} \) Vi sjekker kontinuitet med grensene fra hver side, og deriverbarhet med definisjonen av den deriverte.

1. Vis kontinuiteten For \( {x > 0} \) er \( {|x| = x}\text{,} \) og for \( {x < 0} \) er \( {|x| = -x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x > 0{:}\ \dfrac{x}{\sqrt{x}} &= \sqrt{x} \\ x < 0{:}\ \dfrac{x}{\sqrt{-x}} &= \dfrac{-(-x)}{\sqrt{-x}} = -\sqrt{-x} \end{aligned} \]

Vi skriver altså \( f \) slik, på hver side av \( 0\text{:} \) \[ f(x) = \begin{cases} \textcolor{red}{\sqrt{x}} & \text{for } x > 0 \\ \textcolor{blue}{-\sqrt{-x}} & \text{for } x < 0 \end{cases} \]

For å være kontinuerlig i \( {x = 0} \) må funksjonen nærme seg funksjonsverdien fra begge sider, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \]

Grensene fra hver side er: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \textcolor{red}{\sqrt{x}} &= 0 \\ \lim_{x \to 0^-} \left(\textcolor{blue}{-\sqrt{-x}}\right) &= 0 \end{aligned} \]

Begge er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0) \]Altså er \( f \) kontinuerlig i \( {x = 0}\text{.} \)

2. Vis at funksjonen ikke er deriverbar Definisjonen av den deriverte forteller oss at: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} \]Den står i videoen Definisjonen til den deriverte.

Her er: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f(0 + h) &= \dfrac{h}{\sqrt{|h|}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} &= \dfrac{h}{\sqrt{|h|}} \cdot \dfrac{1}{h} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{|h|}} \end{aligned} \]

Når \( h \) går mot \( 0\text{,} \) går nevneren mot \( 0 \) gjennom positive tall, så brøken vokser uten grense: \[ \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{|h|}} = \infty \]Grensen finnes ikke som et tall, så \( f \) er ikke deriverbar i \( {x = 0}\text{.} \)

Vi deriverer logaritmen med kjerneregelen og brøken med kvotientregelen. Buelengden gir så akkurat integralet av \( \dfrac{1}{\cos x}\text{,} \) og det har vi nettopp funnet.

1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen for \( \ln \) forteller oss at: \[ (\ln \textcolor{green}{g})' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{g}} \cdot \textcolor{green}{g'} \]Den står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{g} = \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}}}\text{,} \) som er positiv på intervallet.

2. Deriver kjernen med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1 + \sin x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\cos x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\cos x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-\sin x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{g'} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{\cos x}\textcolor{blue}{\cos x} - (\textcolor{red}{1 + \sin x})(\textcolor{blue}{-\sin x})}{\textcolor{blue}{\cos^2 x}} \\ &= \dfrac{\cos^2 x + \sin x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \dfrac{1 + \sin x}{\cos^2 x} \end{aligned} \]Her brukte vi \( {\sin^2 x + \cos^2 x = 1}\text{.} \)

3. Sett sammen Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{d}{dx}\left(\ln\left(\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}\right)\right) \\ &= \textcolor{green}{\dfrac{\cos x}{1 + \sin x}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos^2 x}} \\ &= \dfrac{1}{\cos x} \end{aligned} \]

4. Sett opp buelengden Buelengdeformelen forteller oss at: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + (\textcolor{darkorange}{f'(x)})^2}\,dx \]Den kommer vi frem til i videoen Buelengde formel.

Kjerneregelen gir oss den deriverte av \( {f(x) = \ln(\cos x)}\text{:} \) \[ \textcolor{darkorange}{f'(x)} = \dfrac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = \textcolor{darkorange}{-\tan x} \]

Under roten får vi: \[ \begin{aligned} 1 + \tan^2 x &= \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \dfrac{1}{\cos^2 x} \end{aligned} \]

På intervallet er \( {\cos x > 0}\text{,} \) så: \[ \sqrt{1 + \tan^2 x} = \dfrac{1}{\cos x} \]

5. Regn ut integralet Det vi viste først, gir oss den antideriverte: \[ \begin{aligned} L &= \int_0^{\pi/4} \dfrac{1}{\cos x}\,dx \\ &= \left[\ln \textcolor{green}{g(x)}\right]_0^{\pi/4} \end{aligned} \]

Her er \( {\textcolor{green}{g(x)} = \textcolor{green}{\dfrac{1 + \sin x}{\cos x}}}\text{.} \) Vi setter inn grensene, med \( {\sin \dfrac{\pi}{4} = \cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{g\left(\dfrac{\pi}{4}\right)} &= \dfrac{1 + \sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2} + 1 \\ \textcolor{green}{g(0)} &= \dfrac{1 + 0}{1} = 1 \end{aligned} \]

Siden \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) står vi igjen med: \[ L = \ln(1 + \sqrt{2}) \]

Vi kaller avstanden langs stranda for \( x \) og skriver tiden som en funksjon av \( x\text{.} \) Så deriverer vi og sammenligner bunnen med endepunktene.

1. Sett opp tiden Vi lar \( x \) være avstanden fra punktet nærmest holmen til stedet båten treffer stranda, med \( {0 \le x \le 3}\text{.} \)

Pytagoras gir oss strekningen \( \textcolor{red}{s} \) vi ror, og resten, \( \textcolor{blue}{g}\text{,} \) går vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{s}^2 &= 2^2 + x^2 \\ \textcolor{red}{s} &= \textcolor{red}{\sqrt{4 + x^2}} \\ \textcolor{blue}{g} &= \textcolor{blue}{3 - x} \end{aligned} \]

Tiden er strekning delt på fart, så tiden i timer er: \[ T(x) = \dfrac{\textcolor{red}{\sqrt{4 + x^2}}}{3} + \dfrac{\textcolor{blue}{3 - x}}{5} \]

2. Deriver tiden Kjerneregelen forteller oss at: \[ (\sqrt{\textcolor{green}{u}})' = \dfrac{1}{2\sqrt{\textcolor{green}{u}}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Du kan se regelen i videoen Kjerneregelen.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{4 + x^2}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{2x}}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} T'(x) &= \dfrac{\textcolor{green}{2x}}{3 \cdot 2\sqrt{\textcolor{green}{4 + x^2}}} - \dfrac{1}{5} \\ &= \dfrac{x}{3\sqrt{4 + x^2}} - \dfrac{1}{5} \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null Vi setter \( {T'(x) = 0} \) og ganger opp nevnerne: \[ 5x = 3\sqrt{4 + x^2} \]

Opphøyer vi begge sider i andre, får vi: \[ \begin{aligned} 25x^2 &= 9(4 + x^2) \\ 16x^2 &= 36 \\ x^2 &= \dfrac{9}{4} \end{aligned} \]

Siden \( {x \ge 0}\text{,} \) får vi \( {x = \dfrac{3}{2}}\text{.} \) Den passer i likningen over, for begge sider blir \( \dfrac{15}{2}\text{.} \)

4. Sammenlign med endepunktene \( T \) er kontinuerlig på \( [0, 3]\text{,} \) så det globale minimumet ligger der \( {T' = 0} \) eller i et endepunkt. Du kan se forskjellen på globalt og lokalt i videoen Hva er et kritisk punkt.

Vi regner ut alle tre: \[ \begin{aligned} T(0) &= \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{19}{15} \\ T\left(\dfrac{3}{2}\right) &= \dfrac{5/2}{3} + \dfrac{3/2}{5} = \dfrac{17}{15} \\ T(3) &= \dfrac{\sqrt{13}}{3} = \dfrac{5\sqrt{13}}{15} \end{aligned} \]

Vi sammenligner \( T(3) \) med \( \dfrac{17}{15}\text{:} \) \[ 5\sqrt{13} = \sqrt{325} > \sqrt{289} = 17 \]Altså er \( {T\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{17}{15}} \) minst.

5. Finn avstanden fra hytta Avstanden fra hytta er \( {3 - x}\text{:} \) \[ 3 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2} \]

Tiden i minutter er: \[ \dfrac{17}{15} \cdot 60 = 68 \]

Vi deriverer, faktoriserer \( f'(x) \) og leser av fortegnet. Symmetrien ser vi når vi skriver \( f \) som et kvadrat.

1. Deriver funksjonen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n x^{n-1} \]Den står i videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} f'(x) &= 4x^3 + 6x^2 - 6x - 4 \\ &= 2(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) \end{aligned} \]

Vi prøver \( {x = 1} \) i parentesen: \[ 2 + 3 - 3 - 2 = 0 \]Altså er \( {(x - 1)} \) en faktor.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( {2x^3 + 3x^2 - 3x - 2} \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{2x^3} + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{2x^2} \\ \textcolor{red}{2x^2} \cdot (x - 1) &= 2x^3 - 2x^2 \\ -(2x^3 - 2x^2) &= \textcolor{red}{-2x^3 + 2x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 3x & {}- 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 2x^2} & & \\ \hline & 5x^2 & {}- 3x & {}- 2 \end{array} \end{array} \]\( 2x^3 \) strykes mot \( {-2x^3}\text{,} \) \( {3x^2 + 2x^2 = 5x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-3x} \) og \( {-2}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{5x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{5x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{5x} \\ \textcolor{magenta}{5x} \cdot (x - 1) &= 5x^2 - 5x \\ -(5x^2 - 5x) &= \textcolor{magenta}{-5x^2 + 5x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 5x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 3x & {}- 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x^2}} & {}- 3x & {}- 2 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 5x} & \\ \hline & & 2x & {}- 2 \end{array} \end{array} \]\( 5x^2 \) strykes mot \( {-5x^2}\text{,} \) \( {-3x + 5x = 2x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-2}\text{.} \) Linja \( {2x - 2} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{2x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{2x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{blue}{2} \cdot (x - 1) &= 2x - 2 \\ -(2x - 2) &= \textcolor{blue}{-2x + 2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(2x^3 + 3x^2 - 3x - 2) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{2x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 5x} \textcolor{blue}{{}+ 2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{2x^3}} & {}+ 3x^2 & {}- 3x & {}- 2 \\ \textcolor{red}{\cancel{-2x^3}} & \textcolor{red}{{}+ 2x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{5x^2}} & {}- 3x & {}- 2 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-5x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 5x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{2x}} & {}- 2 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-2x}} & \textcolor{blue}{{}+ 2} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 2x \) strykes mot \( {-2x}\text{,} \) og \( {-2 + 2 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp.

Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &2x^3 + 3x^2 - 3x - 2 \\ &= (x - 1)(2x^2 + 5x + 2) \end{aligned} \]

3. Faktoriser videre abc-formelen forteller oss at: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Du kan se den i videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

For \( {2x^2 + 5x + 2} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{5} \\ \textcolor{green}{c} &= \textcolor{green}{2} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{5} \pm \sqrt{\textcolor{red}{5}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{green}{2}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{2}} = \dfrac{-5 \pm 3}{4} \]

Det gir \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) og \( {x = -2}\text{.} \) Så faktoriserer vi, som i videoen Faktorisering med abc-formelen: \[ \begin{aligned} 2x^2 + 5x + 2 &= 2(x + 2)\left(x + \dfrac{1}{2}\right) \\ &= (x + 2)(2x + 1) \end{aligned} \]

Altså er: \[ f'(x) = 2(\textcolor{darkorange}{x + 2})(\textcolor{magenta}{2x + 1})(\textcolor{green}{x - 1}) \]

4. Finn hvor funksjonen vokser og avtar Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Ulikheter med Fortegnsskjema: :::fortegnsskjema {"points": [-2, -0.5, 1], "labels": ["-2", "-\\dfrac{1}{2}", "1"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{x + 2}", "expr": "x + 2"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2x + 1}", "expr": "2x + 1"}, {"label": "\\textcolor{green}{x - 1}", "expr": "x - 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2(x + 2)(2x + 1)(x - 1)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \) Der \( f'(x) \) er positiv, vokser \( f\text{,} \) og der den er negativ, avtar \( f\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{vokser: } &\left[-2, -\dfrac{1}{2}\right] \text{ og } [1, \infty) \\ \text{avtar: } &(-\infty, -2] \text{ og } \left[-\dfrac{1}{2}, 1\right] \end{aligned} \]

5. Finn største og minste verdi Når \( x \) vokser i begge retninger, vinner \( x^4 \) over de andre leddene: \[ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty \]Så \( f \) har ingen største verdi.

Fra fortegnet ser vi at den minste verdien må ligge i \( {x = -2} \) eller \( {x = 1}\text{,} \) som i videoen Hva er et kritisk punkt: \[ \begin{aligned} f(-2) &= 16 - 16 - 12 + 8 + 4 = 0 \\ f(1) &= 1 + 2 - 3 - 4 + 4 = 0 \end{aligned} \]Den minste verdien er altså \( 0\text{.} \)

6. Vis symmetrien Grafen er symmetrisk om \( {x = -\dfrac{1}{2}} \) når punktene like langt til hver side har samme verdi, for alle \( t\text{:} \) \[ f\left(-\dfrac{1}{2} + t\right) = f\left(-\dfrac{1}{2} - t\right) \]

Siden \( f \) har minimum \( 0 \) i både \( {x = -2} \) og \( {x = 1}\text{,} \) er begge dobbeltrøtter. Vi prøver derfor kvadratet av \( {(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &(x^2 + x - 2)^2 \\ &= x^4 + 2x^3 + x^2 - 4x^2 - 4x + 4 \\ &= x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4 \end{aligned} \]

Vi fullfører kvadratet inne i parentesen: \[ f(x) = \left(\left(\textcolor{red}{x + \dfrac{1}{2}}\right)^2 - \dfrac{9}{4}\right)^2 \]

Med \( {x = -\dfrac{1}{2} + t} \) er \( {\textcolor{red}{x + \dfrac{1}{2}} = \textcolor{red}{t}}\text{,} \) og med \( {x = -\dfrac{1}{2} - t} \) er det \( {\textcolor{red}{-t}}\text{.} \) Begge gir samme kvadrat: \[ f\left(-\dfrac{1}{2} \pm t\right) = \left(\textcolor{red}{t}^2 - \dfrac{9}{4}\right)^2 \]