Universitetseksamen etter tema

Likningen er separabel. Vi skiller \( S \) og \( t\text{,} \) integrerer med delbrøker, bestemmer konstantene og setter inn \( {S = 4000}\text{.} \)

1. Forklar likningen Endringsraten er \( \dfrac{dS}{dt}\text{.} \) Av 5000 innbyggere er \( \textcolor{red}{S} \) smittet, så \( {\textcolor{blue}{5000 - S}} \) er ikke smittet. Proporsjonal med produktet betyr at vi ganger produktet med konstanten \( a\text{:} \) \[ \dfrac{dS}{dt} = a \cdot \textcolor{red}{S} \cdot (\textcolor{blue}{5000 - S}) \]

2. Separer og del opp brøken Vi samler \( S \) på én side og \( t \) på den andre, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \dfrac{1}{S(5000 - S)}\,dS = a\,dt \]

Vi deler brøken opp, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{S(5000 - S)} &= \dfrac{A}{S} + \dfrac{B}{5000 - S} \\ 1 &= A(5000 - S) + BS \end{aligned} \]

\( {S = 0} \) og \( {S = 5000} \) gir: \[ A = B = \dfrac{1}{5000} \]

3. Integrer begge sider Plugger vi delbrøkene inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{5000} \int \left( \dfrac{1}{S} + \dfrac{1}{5000 - S} \right) dS \\ &= \int a\,dt \end{aligned} \]

Siden \( {0 < S < 5000} \) trenger vi ikke absoluttverdi. Kjernen \( {5000 - S} \) har derivert \( {-1}\text{,} \) så: \[ \int \dfrac{1}{5000 - S}\,dS = -\ln(5000 - S) \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{5000} \bigl( \ln S - \ln(5000 - S) \bigr) \\ &= at + C \end{aligned} \]

Logaritmeregelen fra videoen Naturlige Logaritmer forteller oss at: \[ \ln p - \ln q = \ln\left(\dfrac{p}{q}\right) \]

Her er \( {p = S} \) og \( {q = 5000 - S}\text{.} \) Vi ganger med 5000, med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{5000a}} \) og \( {K = 5000C}\text{:} \) \[ \ln\left(\dfrac{S}{5000 - S}\right) = \textcolor{green}{k}t + K \]

4. Bestem konstantene \( {S(0) = 250} \) gir: \[ K = \ln\left(\dfrac{250}{4750}\right) = -\ln 19 \]

\( {S(7) = 1250} \) gir: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{1250}{3750}\right) &= 7\textcolor{green}{k} - \ln 19 \\ -\ln 3 &= 7\textcolor{green}{k} - \ln 19 \\ \textcolor{green}{k} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{7}\ln\dfrac{19}{3}} \end{aligned} \]

5. Finn tiden 80 % av 5000 er 4000. Plugger vi inn \( {S = 4000}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{4000}{1000}\right) &= \textcolor{green}{k}t - \ln 19 \\ \ln 4 + \ln 19 &= \textcolor{green}{k}t \\ t &= \dfrac{\ln 76}{\textcolor{green}{k}} = \dfrac{7\ln 76}{\ln\dfrac{19}{3}} \\ &\approx 16{,}4 \end{aligned} \]

Eulers metode går fra ett punkt til det neste langs stigningstallet som differensiallikningen gir. Vi tar to skritt, fra \( {x = 0} \) til \( {x = 0{,}2}\text{.} \)

1. Skriv opp Eulers metode Eulers metode forteller oss at: \[ y_{n+1} = \textcolor{blue}{y_n} + \textcolor{green}{h} \cdot \textcolor{red}{f(x_n, y_n)} \]Du kan se metoden i videoen Eulers metode.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(x, y)} &= \textcolor{red}{1 + 2xy^2} \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{0{,}1} \\ x_0 &= 0 \\ \textcolor{blue}{y_0} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

2. Ta det første skrittet Stigningstallet i punktet \( (0, 1) \) er: \[ \textcolor{red}{f(0, 1)} = 1 + 2 \cdot 0 \cdot 1^2 = \textcolor{red}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ y_1 = \textcolor{blue}{1} + \textcolor{green}{0{,}1} \cdot \textcolor{red}{1} = \underline{1{,}1} \]

3. Ta det andre skrittet Nå står vi i \( {x_1 = 0{,}1} \) med \( {\textcolor{blue}{y_1} = \textcolor{blue}{1{,}1}}\text{.} \) Stigningstallet der er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(0{,}1;\ 1{,}1)} &= 1 + 2 \cdot 0{,}1 \cdot 1{,}1^2 \\ &= 1 + 0{,}2 \cdot 1{,}21 \\ &= \textcolor{red}{1{,}242} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ y_2 = \textcolor{blue}{1{,}1} + \textcolor{green}{0{,}1} \cdot \textcolor{red}{1{,}242} = \underline{1{,}2242} \]