Universitetseksamen etter tema

Det første integralet er en substitusjon. Det uegentlige integralet regner vi ut til \( R \) og lar så \( R \) vokse, og vinket viser hvilken \( a \) som fjerner \( \ln R\text{.} \)

1. Bruk substitusjon Vi setter nevneren lik \( \textcolor{red}{u} \) og deriverer, som i videoen Substitusjon: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x^2 + 1} \\ du &= 2x\,dx \\ x\,dx &= \dfrac{1}{2}\,du \end{aligned} \]

Grensene blir \( 2 \) og \( {R^2 + 1}\text{,} \) så vi får: \[ \begin{aligned} &\int_1^R \dfrac{x}{x^2 + 1}\,dx \\ &= \dfrac{1}{2} \int_2^{R^2 + 1} \dfrac{1}{\textcolor{red}{u}}\,du \\ &= \dfrac{1}{2}\ln(R^2 + 1) - \dfrac{1}{2}\ln 2 \end{aligned} \]

2. Regn ut integralet til R Et uegentlig integral er grensen av integralet opp til \( R\text{,} \) som i videoen Uegentlig integral Oppgave 1. Vi bruker resultatet over på første ledd: \[ \begin{aligned} &I(R) = \int_1^R \left( \dfrac{ax}{x^2 + 1} - \dfrac{1}{2x} \right) dx \\ &= \dfrac{a}{2}\ln(R^2 + 1) - \dfrac{a}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\ln R \end{aligned} \]

3. Skriv om med vinket Vinket har \( {\sqrt{R^2 + 1}} \) delt på \( R\text{,} \) så vi skriver om slik at akkurat det uttrykket står der. Logaritmereglene fra videoen Naturlige Logaritmer forteller oss at: \[ \begin{aligned} \ln\left(w^k\right) &= k\ln w \\ \ln\left(\dfrac{p}{q}\right) &= \ln p - \ln q \end{aligned} \]

Her er: \[ \begin{aligned} w &= R^2 + 1 & k &= \dfrac{1}{2} \\ p &= \sqrt{R^2 + 1} & q &= R \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{2}\ln(R^2 + 1) = \ln\sqrt{R^2 + 1} \\ &= \textcolor{blue}{\ln\left(\dfrac{\sqrt{R^2 + 1}}{R}\right)} + \textcolor{green}{\ln R} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og samler \( \textcolor{green}{\ln R}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} I(R) = \;& a\textcolor{blue}{\ln\left(\dfrac{\sqrt{R^2 + 1}}{R}\right)} \\ &+ \left(a - \dfrac{1}{2}\right)\textcolor{green}{\ln R} - \dfrac{a}{2}\ln 2 \end{aligned} \]

4. Bestem a og integralet Når \( R \) vokser, går \( \textcolor{blue}{\text{første ledd}} \) mot \( 0 \) etter vinket, mens \( \textcolor{green}{\ln R} \) vokser uten grense. Integralet konvergerer derfor bare når faktoren foran \( \textcolor{green}{\ln R} \) er null: \[ a - \dfrac{1}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad a = \dfrac{1}{2} \]

Med \( {a = \dfrac{1}{2}} \) står bare konstanten igjen: \[ \begin{aligned} \lim_{R \to \infty} I(R) &= \dfrac{1}{2} \cdot 0 + 0 - \dfrac{1}{4}\ln 2 \\ &= -\dfrac{1}{4}\ln 2 \end{aligned} \]

Likningen er separabel. Vi skiller \( S \) og \( t\text{,} \) integrerer med delbrøker, bestemmer konstantene og setter inn \( {S = 4000}\text{.} \)

1. Forklar likningen Endringsraten er \( \dfrac{dS}{dt}\text{.} \) Av 5000 innbyggere er \( \textcolor{red}{S} \) smittet, så \( {\textcolor{blue}{5000 - S}} \) er ikke smittet. Proporsjonal med produktet betyr at vi ganger produktet med konstanten \( a\text{:} \) \[ \dfrac{dS}{dt} = a \cdot \textcolor{red}{S} \cdot (\textcolor{blue}{5000 - S}) \]

2. Separer og del opp brøken Vi samler \( S \) på én side og \( t \) på den andre, som i videoen Seperable diff-ligninger: \[ \dfrac{1}{S(5000 - S)}\,dS = a\,dt \]

Vi deler brøken opp, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{S(5000 - S)} &= \dfrac{A}{S} + \dfrac{B}{5000 - S} \\ 1 &= A(5000 - S) + BS \end{aligned} \]

\( {S = 0} \) og \( {S = 5000} \) gir: \[ A = B = \dfrac{1}{5000} \]

3. Integrer begge sider Plugger vi delbrøkene inn, får vi: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{5000} \int \left( \dfrac{1}{S} + \dfrac{1}{5000 - S} \right) dS \\ &= \int a\,dt \end{aligned} \]

Siden \( {0 < S < 5000} \) trenger vi ikke absoluttverdi. Kjernen \( {5000 - S} \) har derivert \( {-1}\text{,} \) så: \[ \int \dfrac{1}{5000 - S}\,dS = -\ln(5000 - S) \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} &\dfrac{1}{5000} \bigl( \ln S - \ln(5000 - S) \bigr) \\ &= at + C \end{aligned} \]

Logaritmeregelen fra videoen Naturlige Logaritmer forteller oss at: \[ \ln p - \ln q = \ln\left(\dfrac{p}{q}\right) \]

Her er \( {p = S} \) og \( {q = 5000 - S}\text{.} \) Vi ganger med 5000, med \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{5000a}} \) og \( {K = 5000C}\text{:} \) \[ \ln\left(\dfrac{S}{5000 - S}\right) = \textcolor{green}{k}t + K \]

4. Bestem konstantene \( {S(0) = 250} \) gir: \[ K = \ln\left(\dfrac{250}{4750}\right) = -\ln 19 \]

\( {S(7) = 1250} \) gir: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{1250}{3750}\right) &= 7\textcolor{green}{k} - \ln 19 \\ -\ln 3 &= 7\textcolor{green}{k} - \ln 19 \\ \textcolor{green}{k} &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{7}\ln\dfrac{19}{3}} \end{aligned} \]

5. Finn tiden 80 % av 5000 er 4000. Plugger vi inn \( {S = 4000}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \ln\left(\dfrac{4000}{1000}\right) &= \textcolor{green}{k}t - \ln 19 \\ \ln 4 + \ln 19 &= \textcolor{green}{k}t \\ t &= \dfrac{\ln 76}{\textcolor{green}{k}} = \dfrac{7\ln 76}{\ln\dfrac{19}{3}} \\ &\approx 16{,}4 \end{aligned} \]

I (i) tar vi absoluttverdien av leddene og sammenligner med en p-rekke. I (ii) ser vi hva leddene går mot.

1. Undersøk den første rekken En rekke er absolutt konvergent når rekken av absoluttverdiene konvergerer. Absoluttverdien fjerner \( {(-1)^n}\text{,} \) og \( {\cos^2(n) \le 1}\text{,} \) så: \[ \left| (-1)^n \dfrac{\cos^2(n)}{n^{2022}} \right| = \textcolor{red}{\dfrac{\cos^2(n)}{n^{2022}}} \le \textcolor{blue}{\dfrac{1}{n^{2022}}} \]

P-rekker forteller oss at: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^p} \text{ konvergerer for } p > 1 \]

Her er \( {p = 2022 > 1}\text{,} \) så den \( \textcolor{blue}{\text{større rekken}} \) konvergerer. Sammenligningstesten forteller oss at: \[ \begin{aligned} &0 \le \textcolor{red}{a_n} \le \textcolor{blue}{b_n} \text{ og } \sum \textcolor{blue}{b_n} \text{ konvergerer} \\ &\Rightarrow \sum \textcolor{red}{a_n} \text{ konvergerer} \end{aligned} \]Dette gjør vi også i videoen Sammenligning & P-rekker Oppgave.

Det gir oss: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \textcolor{red}{\dfrac{\cos^2(n)}{n^{2022}}} \text{ konvergerer} \]Rekke (i) er altså absolutt konvergent.

2. Undersøk den andre rekken Vi lar \( n \) gå mot uendelig i telleren og nevneren hver for seg. Telleren går mot minus uendelig og nevneren mot uendelig. Vi deler derfor på høyeste potens, \( n^3\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \dfrac{5n^2 - 3n^3}{4n^3 + 1} &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{5}{n} - 3}{4 + \dfrac{1}{n^3}} \\ &= \textcolor{green}{-\dfrac{3}{4}} \end{aligned} \]

Divergenstesten fra videoen Oppgave 2ai forteller oss at: \[ \lim_{n \to \infty} a_n \ne 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ divergerer} \]

Her går leddene mot \( {\textcolor{green}{-\dfrac{3}{4}} \ne 0}\text{,} \) så rekke (ii) divergerer.

Vi finner \( f(0) \) og \( f'(0) \) og setter dem inn i formelen for taylorpolynomet. Ulikheten følger av fortegnet til restleddet.

1. Deriver funksjonen Vi skriver \( {f(x) = (1 + x)^{-r}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{green}{w}^{-r}\right)' = -r\textcolor{green}{w}^{-r-1} \cdot \textcolor{green}{w'} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{w} &= \textcolor{green}{1 + x} & \textcolor{green}{w'} &= \textcolor{green}{1} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= -r(\textcolor{green}{1 + x})^{-r-1} \cdot \textcolor{green}{1} \\ &= -r(1 + x)^{-r-1} \end{aligned} \]

2. Finn taylorpolynomet Taylorpolynomet av grad 1 om \( {x = 0} \) forteller oss at: \[ P_1(x) = \textcolor{red}{f(0)} + \textcolor{blue}{f'(0)} \cdot x \]Dette er formelen fra videoen Taylor & Mclauren polynomer DEL 2, med \( {a = 0}\text{.} \)

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(0)} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{f'(0)} &= \textcolor{blue}{-r} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ P_1(x) = \textcolor{red}{1} \textcolor{blue}{- r}x \]

3. Bruk restleddet Taylors teorem forteller oss at det for hver \( {x > 0} \) finnes en \( c \) mellom \( 0 \) og \( x \) slik at: \[ f(x) = P_1(x) + \dfrac{f''(c)}{2}x^2 \]Vi kjenner ikke \( c\text{,} \) men vi vet at den ligger mellom \( 0 \) og \( x\text{.} \)

Vi deriverer \( f'(x) \) på samme måte en gang til: \[ \begin{aligned} f''(x) &= -r(-r - 1)(1 + x)^{-r-2} \cdot 1 \\ &= r(r + 1)(1 + x)^{-r-2} \end{aligned} \]

Siden \( {r > 0} \) og \( {c > 0}\text{,} \) er alle faktorene positive: \[ f''(c) = r(r + 1)(1 + c)^{-r-2} > 0 \]

Også \( {x^2 > 0}\text{,} \) så restleddet er positivt: \[ \dfrac{f''(c)}{2}x^2 > 0 \]

Dermed vet vi at \( {f(x) > P_1(x)}\text{,} \) altså: \[ \dfrac{1}{(1 + x)^r} > 1 - rx \]

Vi vet ikke at \( g \) er deriverbar, så vi kan ikke bruke produktregelen. Vi går derfor tilbake til definisjonen av den deriverte.

1. Skriv opp definisjonen Definisjonen av den deriverte forteller oss at: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{f(0 + h)} - \textcolor{blue}{f(0)}}{h} \]\( f \) er deriverbar i \( {x = 0} \) hvis denne grensen finnes. Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(0 + h)} &= \textcolor{red}{h\,g(h)} \\ \textcolor{blue}{f(0)} &= 0 \cdot g(0) = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

2. Regn ut grensen Plugger vi dette inn, og stryker \( h \) mot \( h \) siden \( h \ne 0\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f'(0) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{\textcolor{red}{h\,g(h)} - \textcolor{blue}{0}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} g(h) \end{aligned} \]

At \( g \) er kontinuerlig i \( {x = 0} \) betyr at grensen er lik funksjonsverdien, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon: \[ \lim_{h \to 0} g(h) = g(0) = 2\pi \]

Grensen finnes, så \( f \) er deriverbar i \( {x = 0}\text{.} \)

\( g(4) \) er integralet fra \( 0 \) til \( 4\text{,} \) og det er arealet mellom grafen og \( {x\text{-aksen}} \) med fortegn. \( g'(4) \) får vi fra sammenhengen mellom integralet og den deriverte.

1. Regn ut g i fire Integralet er arealet over \( {x\text{-aksen}} \) minus arealet under, som i videoen Hva er integrasjon. Vi leser av grafen del for del: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\int_0^1 f(t)\,dt} &= -\dfrac{1 \cdot 2}{2} = \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{\int_1^2 f(t)\,dt} &= \dfrac{1 \cdot 2}{2} = \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{green}{\int_2^3 f(t)\,dt} &= 1 \cdot 2 = \textcolor{green}{2} \\ \textcolor{darkorange}{\int_3^4 f(t)\,dt} &= \dfrac{1 \cdot 2}{2} = \textcolor{darkorange}{1} \end{aligned} \]Den første biten er en trekant under aksen, så den teller negativt.

Slår vi dette sammen, får vi: \[ g(4) = \textcolor{red}{-1} + \textcolor{blue}{1} + \textcolor{green}{2} + \textcolor{darkorange}{1} = 3 \]

2. Regn ut den deriverte Analysens fundamentalteorem forteller oss at for en kontinuerlig \( f \) er: \[ \dfrac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x) \]Videoen Løs integralligningen viser dette underveis.

Grafen henger sammen, så \( f \) er kontinuerlig. Her er \( {a = 0}\text{,} \) så \( {g'(x) = f(x)}\text{.} \) Grafen krysser \( {x\text{-aksen}} \) i \( {x = 4}\text{,} \) så: \[ g'(4) = f(4) = 0 \]

Eulers metode går fra ett punkt til det neste langs stigningstallet som differensiallikningen gir. Vi tar to skritt, fra \( {x = 0} \) til \( {x = 0{,}2}\text{.} \)

1. Skriv opp Eulers metode Eulers metode forteller oss at: \[ y_{n+1} = \textcolor{blue}{y_n} + \textcolor{green}{h} \cdot \textcolor{red}{f(x_n, y_n)} \]Du kan se metoden i videoen Eulers metode.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(x, y)} &= \textcolor{red}{1 + 2xy^2} \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{0{,}1} \\ x_0 &= 0 \\ \textcolor{blue}{y_0} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]

2. Ta det første skrittet Stigningstallet i punktet \( (0, 1) \) er: \[ \textcolor{red}{f(0, 1)} = 1 + 2 \cdot 0 \cdot 1^2 = \textcolor{red}{1} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ y_1 = \textcolor{blue}{1} + \textcolor{green}{0{,}1} \cdot \textcolor{red}{1} = \underline{1{,}1} \]

3. Ta det andre skrittet Nå står vi i \( {x_1 = 0{,}1} \) med \( {\textcolor{blue}{y_1} = \textcolor{blue}{1{,}1}}\text{.} \) Stigningstallet der er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(0{,}1;\ 1{,}1)} &= 1 + 2 \cdot 0{,}1 \cdot 1{,}1^2 \\ &= 1 + 0{,}2 \cdot 1{,}21 \\ &= \textcolor{red}{1{,}242} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ y_2 = \textcolor{blue}{1{,}1} + \textcolor{green}{0{,}1} \cdot \textcolor{red}{1{,}242} = \underline{1{,}2242} \]

Nevneren kan faktoriseres, så vi bruker delbrøksoppspalting. Det uegentlige integralet skriver vi deretter som en grense.

1. Faktoriser nevneren Vi trenger to tall som har produkt \( {-6} \) og sum \( 1\text{.} \) Det er \( {-2} \) og \( 3\text{,} \) så: \[ x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) \]

2. Del opp brøken Telleren har lavere grad enn nevneren, og faktorene er ulike. Vi skriver derfor brøken som en sum av to brøker, som i videoen Delbrøksoppspalting: \[ \dfrac{3x - 1}{(x - 2)(x + 3)} = \dfrac{\textcolor{red}{A}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{blue}{B}}{x + 3} \]

Ganger vi med nevneren på begge sider, får vi: \[ \begin{aligned} 3x - 1 &= \textcolor{red}{A}(x + 3) + \textcolor{blue}{B}(x - 2) \\ 3x - 1 &= (\textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B})x + 3\textcolor{red}{A} - 2\textcolor{blue}{B} \end{aligned} \]

Leddene med \( x \) og konstantene må være like på hver side. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A} + \textcolor{blue}{B} &= 3 \\ 3\textcolor{red}{A} - 2\textcolor{blue}{B} &= -1 \end{aligned} \]

Setter vi \( {\textcolor{red}{A} = 3 - \textcolor{blue}{B}} \) inn i den andre likningen, får vi: \[ \begin{aligned} 3(3 - \textcolor{blue}{B}) - 2\textcolor{blue}{B} &= -1 \\ 9 - 5\textcolor{blue}{B} &= -1 \\ \textcolor{blue}{B} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{A} &= 3 - 2 = \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]

3. Regn ut det ubestemte integralet Regelen for en brøk med \( x \) pluss et tall i nevneren forteller oss at: \[ \int \dfrac{k}{x + n}\,dx = k\ln|x + n| + C \]Den står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Plugger vi inn \( \textcolor{red}{A} \) og \( \textcolor{blue}{B}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} &\int \left(\dfrac{\textcolor{red}{1}}{x - 2} + \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{x + 3}\right) dx \\ &= \textcolor{red}{\ln|x - 2|} + \textcolor{blue}{2\ln|x + 3|} + C \end{aligned} \]

4. Avgjør det uegentlige integralet Nevneren er ikke \( 0 \) for \( {x \ge 4}\text{,} \) så det eneste problemet er den øvre grensen. Vi skriver integralet som en grense: \[ \begin{aligned} &\int_4^{\infty} \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx \\ &= \lim_{b \to \infty} \int_4^b \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx \end{aligned} \]

For \( {x \ge 4} \) er begge parentesene positive. Setter vi inn grensene, får vi: \[ \begin{aligned} &\int_4^b \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx \\ &= \Big[\textcolor{red}{\ln(x - 2)} + \textcolor{blue}{2\ln(x + 3)}\Big]_4^b \\ &= \textcolor{red}{\ln(b - 2)} + \textcolor{blue}{2\ln(b + 3)} \\ &\quad - \ln 2 - 2\ln 7 \end{aligned} \]

Vi lar \( b \) vokse. Da vokser begge logaritmene uten grense, mens \( {-\ln 2 - 2\ln 7} \) er et fast tall: \[ \lim_{b \to \infty} \int_4^b \dfrac{3x - 1}{x^2 + x - 6}\,dx = \infty \]

Grensen finnes ikke som et tall, så det uegentlige integralet divergerer. Hvis du er usikker på uegentlige integraler, kan du se videoen Uegentlig integral Oppgave 1.

Vi setter rekken inn i brøken og integrerer ledd for ledd. Rekken vi får er alternerende, og da er feilen høyst så stor som det første leddet vi tar bort.

1. Skriv om brøken Vi setter inn rekken og deler på \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 - e^{-x} &= x - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} - \ldots \\ \dfrac{1 - e^{-x}}{x} &= 1 - \dfrac{x}{2!} + \dfrac{x^2}{3!} - \ldots \end{aligned} \]

Med summetegn er dette: \[ \dfrac{1 - e^{-x}}{x} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \dfrac{x^{n-1}}{n!} \]

2. Integrer ledd for ledd Vi integrerer ledd for ledd, som i videoen Oppgave 2c - Integral ved hjelp av potensrekke. For hvert ledd er: \[ \int_0^1 x^{n-1}\,dx = \dfrac{1}{n} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} I &= \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n \cdot n!} \\ &= 1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{18} - \dfrac{1}{96} + \dfrac{1}{600} - \ldots \end{aligned} \]

3. Bruk feilen i en alternerende rekke Vi kaller leddene uten fortegn \( {\textcolor{red}{a_n} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{n \cdot n!}}}\text{.} \) De blir mindre og mindre og går mot \( 0\text{,} \) som kriteriene i videoen Alternerende rekker med eksempler! krever.

Da forteller feilen i en alternerende rekke oss at når vi tar med \( N \) ledd og får summen \( S_N\text{,} \) er: \[ |I - S_N| \le \textcolor{red}{a_{N+1}} \]

Vi skriver kravet som en brøk, \( {0{,}002 = \dfrac{1}{500}}\text{.} \) Med fire ledd er det første leddet vi tar bort: \[ \textcolor{red}{a_5} = \dfrac{1}{600} < \dfrac{1}{500} \]Fire ledd er altså nok.

4. Sjekk at tre ledd ikke holder Feilen med tre ledd er resten av rekken. Etter \( {\textcolor{red}{a_4} - \textcolor{red}{a_5}} \) kommer leddene i par som er positive, så: \[ \begin{aligned} |I - S_3| &= \textcolor{red}{a_4} - \textcolor{red}{a_5} + \textcolor{red}{a_6} - \ldots \\ &\ge \textcolor{red}{a_4} - \textcolor{red}{a_5} \\ &= \dfrac{1}{96} - \dfrac{1}{600} = \dfrac{7}{800} > \dfrac{1}{500} \end{aligned} \]

5. Regn ut tilnærmingen Vi legger sammen de fire leddene: \[ L = 1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{18} - \dfrac{1}{96} = \dfrac{229}{288} \]

Absoluttverdien gjør at \( f \) skifter uttrykk i \( {x = 0}\text{.} \) Vi sjekker kontinuitet med grensene fra hver side, og deriverbarhet med definisjonen av den deriverte.

1. Vis kontinuiteten For \( {x > 0} \) er \( {|x| = x}\text{,} \) og for \( {x < 0} \) er \( {|x| = -x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x > 0{:}\ \dfrac{x}{\sqrt{x}} &= \sqrt{x} \\ x < 0{:}\ \dfrac{x}{\sqrt{-x}} &= \dfrac{-(-x)}{\sqrt{-x}} = -\sqrt{-x} \end{aligned} \]

Vi skriver altså \( f \) slik, på hver side av \( 0\text{:} \) \[ f(x) = \begin{cases} \textcolor{red}{\sqrt{x}} & \text{for } x > 0 \\ \textcolor{blue}{-\sqrt{-x}} & \text{for } x < 0 \end{cases} \]

For å være kontinuerlig i \( {x = 0} \) må funksjonen nærme seg funksjonsverdien fra begge sider, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \]

Grensene fra hver side er: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \textcolor{red}{\sqrt{x}} &= 0 \\ \lim_{x \to 0^-} \left(\textcolor{blue}{-\sqrt{-x}}\right) &= 0 \end{aligned} \]

Begge er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0) \]Altså er \( f \) kontinuerlig i \( {x = 0}\text{.} \)

2. Vis at funksjonen ikke er deriverbar Definisjonen av den deriverte forteller oss at: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} \]Den står i videoen Definisjonen til den deriverte.

Her er: \[ \begin{aligned} f(0) &= 0 \\ f(0 + h) &= \dfrac{h}{\sqrt{|h|}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} &= \dfrac{h}{\sqrt{|h|}} \cdot \dfrac{1}{h} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{|h|}} \end{aligned} \]

Når \( h \) går mot \( 0\text{,} \) går nevneren mot \( 0 \) gjennom positive tall, så brøken vokser uten grense: \[ \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{|h|}} = \infty \]Grensen finnes ikke som et tall, så \( f \) er ikke deriverbar i \( {x = 0}\text{.} \)