Eksamensoppgaver etter tema

Diagonalen \( AC \) deler firkanten i trekantene \( ABC \) og \( ACD\text{.} \) I begge kjenner vi alle sidene, så vi finner en vinkel med cosinussetningen og arealet med arealsetningen.

1. Finn vinkel B med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at i trekant \( ABC \) står \( \textcolor{green}{AC} \) mot vinkel \( B\text{,} \) mellom \( \textcolor{blue}{AB} \) og \( \textcolor{red}{BC}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{AC}^2 &= \textcolor{blue}{AB}^2 + \textcolor{red}{BC}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{AB} \cdot \textcolor{red}{BC} \cdot \cos B \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{AB} &= \textcolor{blue}{8{,}0} & \textcolor{red}{BC} &= \textcolor{red}{10{,}0} \\ \textcolor{green}{AC} &= \textcolor{green}{16{,}4} \end{aligned} \]

Vi løser for \( \cos B\text{,} \) som i videoen Oppgave 12B + C (Cosinussetningen + Arealsetningen): \[ \begin{aligned} \cos B &= \dfrac{\textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{10}^2 - \textcolor{green}{16{,}4}^2}{2 \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{10}} \\ \cos B &= -0{,}656 \\ B &\approx 131{,}00^\circ \end{aligned} \]

2. Finn vinkel D på samme måte I trekant \( ACD \) står \( AC \) mot vinkel \( D\text{,} \) mellom \( {AD = 6{,}0} \) og \( {DC = 12{,}0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \cos D &= \dfrac{6^2 + 12^2 - 16{,}4^2}{2 \cdot 6 \cdot 12} \\ \cos D &\approx -0{,}6178 \\ D &\approx 128{,}15^\circ \end{aligned} \]

3. Legg sammen arealene Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( a \) og \( b \) og vinkelen \( \theta \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \theta \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.

Vinkel \( B \) ligger mellom sidene \( 8{,}0 \) og \( 10{,}0\text{,} \) og vinkel \( D \) mellom \( 6{,}0 \) og \( 12{,}0\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABC} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 131{,}00^\circ \\ T_{ABC} &\approx 30{,}19 \\ T_{ACD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 \cdot \sin 128{,}15^\circ \\ T_{ACD} &\approx 28{,}31 \end{aligned} \]

Til sammen: \[ T \approx 30{,}19 + 28{,}31 \approx 58{,}5 \]

1. Regn ut i CAS Vi løser cosinussetningen for vinklene med \( \texttt{arccosd}\text{,} \) som gir vinkelen i grader, og legger sammen arealene med arealsetningen:

Skriv inn i GeoGebra: B := arccosd((8^2 + 10^2 - 16.4^2)/(2*8*10)) D := arccosd((6^2 + 12^2 - 16.4^2)/(2*6*12)) 1/2*8*10*sin(B) + 1/2*6*12*sin(D)

CAS gir \( {B \approx 130{,}9955^\circ}\text{,} \) \( {D \approx 128{,}154^\circ} \) og arealet \( {\approx 58{,}4991}\text{,} \) altså omtrent \( 58{,}5\text{.} \)

Diagonalen \( BD \) deler firkanten i trekantene \( ABD \) og \( BCD\text{.} \) I begge kjenner vi én side og to vinkler, så vi finner en side til med sinussetningen og arealet med arealsetningen.

1. Finn de manglende vinklene Vinkelsummen i en trekant er \( 180^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} \angle ADB &= 180^\circ - 62{,}5^\circ - 45{,}5^\circ \\ \angle ADB &= 72{,}0^\circ \\ \angle BDC &= 180^\circ - 38{,}3^\circ - 85{,}5^\circ \\ \angle BDC &= 56{,}2^\circ \end{aligned} \]

2. Finn AD og BC med sinussetningen Sinussetningen forteller oss at en side delt på sinus til vinkelen den står mot, er det samme for alle sidene i en trekant: \[ \dfrac{\textcolor{red}{a}}{\sin \textcolor{red}{A}} = \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\sin \textcolor{blue}{B}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.

I trekant \( ABD \) står \( \textcolor{red}{AD} \) mot \( {\textcolor{red}{\angle ABD} = \textcolor{red}{45{,}5^\circ}}\text{,} \) og \( {\textcolor{blue}{AB} = \textcolor{blue}{8{,}0}} \) står mot \( {\textcolor{blue}{\angle ADB} = \textcolor{blue}{72{,}0^\circ}}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{AD} = \dfrac{\textcolor{blue}{8{,}0} \cdot \sin \textcolor{red}{45{,}5^\circ}}{\sin \textcolor{blue}{72{,}0^\circ}} \approx 5{,}9996 \]

I trekant \( BCD \) står \( BC \) mot \( {\angle BDC = 56{,}2^\circ}\text{,} \) og \( {DC = 12{,}0} \) står mot \( {\angle CBD = 85{,}5^\circ}\text{:} \) \[ BC = \dfrac{12{,}0 \cdot \sin 56{,}2^\circ}{\sin 85{,}5^\circ} \approx 10{,}0026 \]

3. Legg sammen arealene Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( a \) og \( b \) og vinkelen \( \theta \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \theta \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Vi deler firkanten i to trekanter og legger sammen, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Vinkel \( A \) ligger mellom \( AB \) og \( AD\text{,} \) og vinkel \( C \) mellom \( DC \) og \( BC\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 8{,}0 \cdot 5{,}9996 \cdot \sin 62{,}5^\circ \\ T_{ABD} &\approx 21{,}29 \\ T_{BCD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot 12{,}0 \cdot 10{,}0026 \cdot \sin 38{,}3^\circ \\ T_{BCD} &\approx 37{,}20 \end{aligned} \]

Til sammen: \[ T \approx 21{,}29 + 37{,}20 \approx 58{,}5 \]

Merk – Avrundede vinkler: Vinklene er gitt med én desimal, så trekantene passer ikke helt sammen: \( AD \) og \( BC \) blir ikke helt \( 6{,}0 \) og \( 10{,}0\text{,} \) og de to trekantene gir litt ulik lengde for diagonalen \( BD \) (\( 7{,}461 \) og \( 7{,}460 \)). Arealet blir likevel \( 58{,}5 \) med én desimal, det samme som gruppen til Isabel får.

1. Regn ut i CAS Vinkelsummen gir \( {\angle ADB = 72^\circ} \) og \( {\angle BDC = 56{,}2^\circ}\text{.} \) Vi regner ut \( AD \) og \( BC \) med sinussetningen og legger sammen arealene med arealsetningen, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: AD := 8*sin(45.5°)/sin(72°) BC := 12*sin(56.2°)/sin(85.5°) 1/2*8*AD*sin(62.5°) + 1/2*12*BC*sin(38.3°)

CAS gir \( {AD \approx 5{,}9996}\text{,} \) \( {BC \approx 10{,}0026} \) og arealet \( {\approx 58{,}4836}\text{,} \) altså omtrent \( 58{,}5\text{.} \)

Med katetene 8 m finner vi hypotenusene med Pytagoras. Da gir de 100 m gjerde lengden \( y\text{,} \) og arealet er rektangelet pluss de to trekantene.

1. Finn hypotenusen Trekantene er rettvinklede med begge katetene \( 8 \) m. Pytagoras' setning gir hypotenusen \( \textcolor{red}{h}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3B (Pytagoras): \[ \textcolor{red}{h} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{128} \approx \textcolor{red}{11{,}31} \]

2. Finn y fra gjerdet Gjerdet går langs grunnlinja \( {8 + y + 8}\text{,} \) toppen \( y\text{,} \) de to loddrette linjene \( {8 + 8} \) og de to hypotenusene \( 2\textcolor{red}{h}\text{,} \) til sammen 100 m: \[ \begin{aligned} 4 \cdot 8 + 2y + 2\textcolor{red}{h} &= 100 \\ 2y &= 68 - 2\textcolor{red}{h} \\ \textcolor{blue}{y} &\approx \textcolor{blue}{22{,}69} \end{aligned} \]

3. Regn ut arealet Arealet er rektangelet \( {8 \cdot \textcolor{blue}{y}} \) pluss to trekanter, hver \( {\dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8}\text{.} \) Lengdene er i meter, så arealet blir i kvadratmeter: \[ \begin{aligned} A &\approx 8 \cdot \textcolor{blue}{22{,}69} + 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \\ A &\approx 181{,}5 + 64 = 245{,}5 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Vi regner ut hypotenusen \( h\text{,} \) lengden \( y \) fra gjerdet og arealet i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: h := sqrt(8^2 + 8^2) y := (100 - 4*8 - 2*h)/2 8*y + 2*1/2*8^2

CAS gir \( {h = 8\sqrt{2}}\text{,} \) \( {y = 34 - 8\sqrt{2}} \) og arealet \( {\approx 245{,}4903\,\text{m}^2}\text{.} \)

Vi regner ut arealet for flere lengder \( x \) av katetene, på samme måte som i a), og ser i en tabell hvor arealet er størst.

1. Finn y og arealet Med katetene \( x \) gir Pytagoras' setning hypotenusene \( {\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}\,x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3B (Pytagoras). Gjerdet gir da \( {4x + 2y + 2\sqrt{2}\,x = 100}\text{,} \) og: \[ \textcolor{blue}{y} = \dfrac{100 - 4x - 2\sqrt{2}\,x}{2} \]

Arealet er rektangelet \( {x \cdot \textcolor{blue}{y}} \) pluss to trekanter, \( {2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot x = x^2}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{A} = x \cdot \textcolor{blue}{y} + x^2 \]

2. Lag en tabell Vi regner ut \( \textcolor{blue}{y} \) og \( \textcolor{red}{A} \) for \( {x = 2, 4, \ldots, 12}\text{:} \) \[ \begin{array}{r|rr} x & \textcolor{blue}{y} & \textcolor{red}{A} \\ \hline 2 & 43{,}17 & 90{,}3 \\ 4 & 36{,}34 & 161{,}4 \\ 6 & 29{,}51 & 213{,}1 \\ 8 & 22{,}69 & 245{,}5 \\ 10 & 15{,}86 & 258{,}6 \\ 12 & 9{,}03 & 252{,}4 \end{array} \]I tabellen øker arealet fram til \( {x = 10} \) og synker etterpå, så det er størst når katetene er omtrent 10 m.

1. Lag punktene med Følge I Algebrafeltet er \( y \) navnet på andreaksen, så vi kaller lengden \( y \) for \( y_1\text{.} \) Med Følge lager vi punktene \( (x, A) \) for \( {x = 2, 4, \ldots, 12}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: y_1(x) = (100 - 4x - 2*sqrt(2)*x)/2 l1 = Følge((k, k*y_1(k) + k^2), k, 2, 12, 2)

Punktet for \( {x = 10} \) ligger høyest, med \( {A \approx 258{,}6}\text{,} \) så arealet er størst når katetene er omtrent 10 m.

Vi uttrykker \( y \) ved \( x \) fra de 100 m gjerde, og setter det inn i arealet, som er rektangelet pluss de to trekantene.

1. Uttrykk y ved x Hypotenusene er \( {\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}\,x}\text{.} \) Gjerdet langs alle linjestykkene er 100 m: \[ \begin{aligned} 4x + 2y + 2\sqrt{2}\,x &= 100 \\ \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{50 - 2x - \sqrt{2}\,x} \end{aligned} \]

2. Sett opp arealet Arealet er rektangelet \( {x \cdot \textcolor{blue}{y}} \) pluss to trekanter, hver \( {\dfrac{1}{2} \cdot x \cdot x}\text{,} \) slik arealet settes opp som et uttrykk i \( x \) i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A(x) &= x\left(\textcolor{blue}{50 - 2x - \sqrt{2}\,x}\right) + x^2 \\ A(x) &= 50x - 2x^2 - \sqrt{2}\,x^2 + x^2 \\ A(x) &= 50x - (1 + \sqrt{2})x^2 \end{aligned} \]Med \( {1 + \sqrt{2} \approx 2{,}414} \) er \( {A(x) \approx 50x - 2{,}414x^2}\text{.} \)

Kontroll: \( {A(8) \approx 245{,}5}\text{,} \) det samme som i a).

Vi bruker modellen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Arealet er størst i toppunktet til \( A\text{,} \) der den deriverte er \( 0\text{.} \)

1. Deriver modellen I c) fant vi modellen \[ A(x) = \textcolor{red}{50x} \textcolor{blue}{{}- (1 + \sqrt{2})x^2} \]

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Ledd for ledd blir \( \textcolor{red}{50x} \) derivert \( \textcolor{red}{50}\text{,} \) og \( {\textcolor{blue}{-(1 + \sqrt{2})x^2}} \) blir \( {\textcolor{blue}{-2(1 + \sqrt{2})x}}\text{:} \) \[ A'(x) = \textcolor{red}{50} \textcolor{blue}{{}- 2(1 + \sqrt{2})x} \]

2. Sett den deriverte lik null I toppunktet er \( {A'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 50 - 2(1 + \sqrt{2})x &= 0 \\ x &= \dfrac{25}{1 + \sqrt{2}} \\ x &\approx 10{,}36 \end{aligned} \]Tallet foran \( x^2 \) i \( A(x) \) er negativt, så grafen er en parabel som vender ned, og dette er et toppunkt. Da er arealet \( {A(10{,}36) \approx 258{,}9\,\text{m}^2}\text{.} \)

1. Finn toppunktet på grafen Vi tegner modellen og finner toppunktet med Ekstremalpunkt, slik toppunktet finnes med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 50x - (1 + sqrt(2))x^2 T = Ekstremalpunkt(A)

Toppunktet er \( {T \approx (10{,}3553,\ 258{,}8835)}\text{.} \) Arealet er størst, omtrent \( 258{,}9\,\text{m}^2\text{,} \) når katetene er omtrent \( 10{,}36 \) m.

Vi bruker uttrykket for \( y \) fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Modellen gjelder for de verdiene av \( x \) der figuren finnes. Da må både katetene \( x \) og lengden \( y \) være større enn \( 0\text{.} \)

1. Krev at y er positiv I c) fant vi at gjerdet gir \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{50 - 2x - \sqrt{2}\,x} \\ \textcolor{blue}{y} &= \textcolor{blue}{50 - (2 + \sqrt{2})x} \end{aligned} \]

Lengden \( \textcolor{blue}{y} \) må være større enn \( 0\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{50 - (2 + \sqrt{2})x} > 0 \]

Vi flytter leddet med \( x \) over og deler på det positive tallet \( {2 + \sqrt{2}}\text{,} \) så tegnet snus ikke, som i videoen Introduksjon til Ulikheter: \[ \begin{aligned} (2 + \sqrt{2})x &< 50 \\ x &< \textcolor{red}{\dfrac{50}{2 + \sqrt{2}}} \approx \textcolor{red}{14{,}64} \end{aligned} \]

2. Krev at x er positiv Katetene må også være større enn \( 0\text{.} \) For \( {x = 0} \) er det ingen trekanter, og i den øvre grensen er \( {\textcolor{blue}{y} = 0} \) og ikke noe rektangel, så endepunktene er ikke med: \[ 0 < x < \textcolor{red}{\dfrac{50}{2 + \sqrt{2}}} \]

1. Løs ulikheten i CAS Vi løser \( {y > 0} \) i CAS med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(50 - (2 + sqrt(2))*x > 0, x)

CAS gir \( {x < 14{,}6447}\text{.} \) Katetene må også være større enn \( 0\text{,} \) så modellen gjelder for \( {0 < x < 14{,}6}\text{.} \)

Samme farge betyr to røde, to blå eller to gule. Vi tar kulene én om gangen, regner ut hvert tilfelle for seg og legger sammen.

1. Regn ut hvert tilfelle Det er \( {4 + 3 + 2 = 9} \) kuler i kassen. Den første kula legges ikke tilbake, så til den andre er det 8 kuler igjen, og én mindre av fargen han tok.

Vi ganger sannsynligheten for den første kula med sannsynligheten for den andre når den første er tatt, som med terningene i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B \mid A) \]

To røde: \[ \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{8} = \textcolor{red}{\underline{\dfrac{12}{72}}} \]

To blå: \[ \dfrac{3}{9} \cdot \dfrac{2}{8} = \textcolor{blue}{\underline{\dfrac{6}{72}}} \]

To gule: \[ \dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{1}{8} = \textcolor{darkorange}{\underline{\dfrac{2}{72}}} \]

2. Legg sammen De tre tilfellene kan ikke skje samtidig. Slår vi dem sammen, får vi: \[ \textcolor{red}{\dfrac{12}{72}} + \textcolor{blue}{\dfrac{6}{72}} + \textcolor{darkorange}{\dfrac{2}{72}} = \dfrac{20}{72} = \dfrac{5}{18} \]

Nøyaktig én gul kan skje på to måter: den gule først og så en annen farge, eller en annen farge først og så den gule. Vi regner ut begge rekkefølgene og legger sammen.

1. Regn ut begge rekkefølgene Av de 9 kulene er \( \textcolor{darkorange}{2} \) gule og \( \textcolor{green}{7} \) ikke gule. Den første kula legges ikke tilbake, så til den andre er det 8 kuler igjen.

Vi ganger sannsynligheten for den første kula med sannsynligheten for den andre når den første er tatt, som med terningene i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(A \text{ og } B) = P(A) \cdot P(B \mid A) \]

Gul først, så en annen farge: \[ \textcolor{darkorange}{\dfrac{2}{9}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{7}{8}} = \underline{\dfrac{14}{72}} \]

En annen farge først, så gul: \[ \textcolor{green}{\dfrac{7}{9}} \cdot \textcolor{darkorange}{\dfrac{2}{8}} = \underline{\dfrac{14}{72}} \]

2. Legg sammen De to rekkefølgene kan ikke skje samtidig. Slår vi dem sammen, får vi: \[ \dfrac{14}{72} + \dfrac{14}{72} = \dfrac{28}{72} = \dfrac{7}{18} \]

Et antrekk har ett plagg fra hver av de fem gruppene, og alle valgene kan kombineres med hverandre. Vi ganger derfor antallene sammen.

1. Gang sammen antallene Hvert av de 10 hodeplaggene kan kombineres med hver av de 20 skjortene, og hver av disse kombinasjonene med hver av de 15 jakkene, og så videre. Dette kalles multiplikasjonsprinsippet: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{10 \cdot 20} \cdot \textcolor{red}{15 \cdot 15} \cdot 5 \\ &= \textcolor{blue}{200} \cdot \textcolor{red}{225} \cdot 5 = 225\,000 \end{aligned} \]

Med 3 sko kan Tore få med seg høyst ett par. Det er enklest å regne ut det motsatte, at alle tre skoene er fra ulike par, og trekke det fra 1.

1. Bruk den motsatte hendelsen Enten får Tore med seg et skopar, eller så er alle tre skoene fra ulike par. Sannsynlighetene blir til sammen 1, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(\text{et skopar}) = 1 - \textcolor{blue}{P(\text{ulike par})} \]

2. Ta skoene én om gangen Det er \( {5 \cdot 2 = 10} \) sko. Vi tar dem én om gangen og ganger sannsynlighetene, som med terningene i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.

Den første skoen kan være hvilken som helst. Den andre må være fra et annet par, så 8 av de 9 som er igjen, passer. Den tredje må være fra et tredje par, så 6 av de 8 som er igjen, passer: \[ \textcolor{blue}{P(\text{ulike par})} = \dfrac{10}{10} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{6}{8} = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(\text{et skopar}) = 1 - \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{1}{3} \]

Vi bruker de \( 225\,000 \) antrekkene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Antall antrekk er produktet av antallene i de fem gruppene. Et nytt plagg gir flest nye antrekk i gruppen med færrest plagg, så vi kjøper alltid inn der det er færrest.

1. Se hva ett nytt plagg gir Kjøper bedriften ett plagg til i en gruppe med \( \textcolor{blue}{n} \) plagg, blir antall antrekk ganget med: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{n} + 1}{\textcolor{blue}{n}} = 1 + \dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}} \]Faktoren er størst når \( \textcolor{blue}{n} \) er minst. Det lønner seg derfor å kjøpe skopar, der det er 5, til det er like mange skopar som hodeplagg, 10.

2. Kjøp der det er færrest I a) fant vi \( 225\,000 \) antrekk. Fem nye skopar, fra 5 til 10, dobler antallet. Så gir ett nytt hodeplagg og ett nytt skopar en faktor \( \dfrac{11}{10} \) hver: \[ \begin{aligned} 225\,000 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{10}{5}} &= 450\,000 \\ 450\,000 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{11}{10}} &= 495\,000 \\ 495\,000 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{11}{10}} &= 544\,500 \end{aligned} \]Med 6 nye er \( 495\,000 \) det meste bedriften kan få, og det er for lite. Med 7 nye, 6 skopar og 1 hodeplagg, blir det \( 544\,500 \) antrekk, som er flere enn \( 542\,000\text{.} \) Bare skopar holder ikke: 7 nye skopar gir \( {225\,000 \cdot \dfrac{12}{5} = 540\,000}\text{.} \)

Gjennomsnittlig vekstfart er stigningstallet til linja mellom grafens punkter i endene av intervallet. Vi regner den ut og sammenligner med 5.

1. Regn ut den gjennomsnittlige vekstfarten Gjennomsnittlig vekstfart fra \( {x = 1} \) til \( {x = 4} \) er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{blue}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{x_2 - x_1} \]

Med \( {x_1 = 1} \) og \( {x_2 = 4} \) regner vi ut \( {\textcolor{red}{y_1 = f(1)}} \) og \( {\textcolor{blue}{y_2 = f(4)}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(1)} &= 1^2 + 2 = \textcolor{red}{3} \\ \textcolor{blue}{f(4)} &= 4^2 + 2 = \textcolor{blue}{18} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{blue}{18} - \textcolor{red}{3}}{4 - 1} = \dfrac{15}{3} = 5 \]Den gjennomsnittlige vekstfarten er 5, så påstanden er sann.

Påstanden skal gjelde for alle funksjoner, så ett moteksempel er nok til å vise at den er usann. Grenseverdiene sier bare hva som skjer langt ute til venstre og til høyre.

1. Let etter et moteksempel Finner vi to funksjoner som har de samme grenseverdiene, men som ikke er like, er påstanden usann. Det kalles et moteksempel, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

Vi velger: \[ \textcolor{blue}{f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}} \qquad \textcolor{red}{g(x) = 0} \]

2. Sjekk grenseverdiene Når \( x \to \infty \) eller \( {x \to -\infty}\text{,} \) vokser nevneren \( {x^2 + 1} \) uten grense, så brøken går mot \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \textcolor{blue}{f(x)} &= 0 = \lim_{x \to \infty} \textcolor{red}{g(x)} \\ \lim_{x \to -\infty} \textcolor{blue}{f(x)} &= 0 = \lim_{x \to -\infty} \textcolor{red}{g(x)} \end{aligned} \]

Begge kravene i påstanden er oppfylt, men funksjonene er ikke like: \[ \textcolor{blue}{f(0)} = \dfrac{1}{0 + 1} = 1 \neq 0 = \textcolor{red}{g(0)} \]Påstanden er derfor usann. Andre moteksempler er også riktige, for eksempel \( {f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}} \) og \( {g(x) = 2}\text{.} \)

Påstanden sier «alltid», så den skal gjelde for alle \( a \in \mathbb{R}\text{.} \) Finner vi én verdi av \( a \) der likningen også har andre løsninger, er påstanden usann.

1. Let etter et moteksempel Vi prøver \( {\textcolor{green}{a = 1}}\text{.} \) En potens er et produkt der grunntallet er faktor like mange ganger som eksponenten sier, som i videoen Hva er en Potens, så for eksempel er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{1}^{\textcolor{blue}{2}} &= 1 \cdot 1 = 1 \\ \textcolor{green}{1}^{\textcolor{red}{3}} &= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \end{aligned} \]Da er \( {\textcolor{green}{1}^{\textcolor{blue}{2}} = \textcolor{green}{1}^{\textcolor{red}{3}}}\text{,} \) så \( {x = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {y = \textcolor{red}{3}} \) er en løsning av likningen, selv om \( {2 \neq 3}\text{.} \) Dette er et moteksempel, og påstanden er usann.

Påstanden gjelder når \( {a > 0} \) og \( {a \neq 1}\text{,} \) fordi \( a^x \) da enten vokser hele tiden eller avtar hele tiden, og tar hver verdi bare én gang.