Eksamensoppgaver etter tema

Vi finner \( \sin 30^\circ\text{,} \) \( \cos 30^\circ \) og \( \sin 60^\circ \) som forhold mellom sidene i trekanten. Så regner vi ut hver side av formelen med \( {u = 30^\circ}\text{.} \)

1. Les av sinus og cosinus Definisjonene forteller oss at for en spiss vinkel \( v \) i en rettvinklet trekant er: \[ \begin{aligned} \sin v &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \\ \cos v &= \dfrac{\textcolor{green}{\text{hosliggende katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Hypotenusen er \( \textcolor{blue}{2}\text{.} \) Mot vinkelen \( 30^\circ \) står kateten \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) og inntil den står \( \textcolor{green}{\sqrt{3}}\text{,} \) som er den kateten som står mot \( 60^\circ\text{.} \) Vi leser av, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} \sin 30^\circ &= \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}} \\ \cos 30^\circ &= \dfrac{\textcolor{green}{\sqrt{3}}}{\textcolor{blue}{2}} \\ \sin 60^\circ &= \dfrac{\textcolor{green}{\sqrt{3}}}{\textcolor{blue}{2}} \end{aligned} \]

2. Regn ut begge sidene Med \( {u = 30^\circ} \) blir venstre side: \[ \begin{aligned} 2 \cdot \sin 30^\circ \cdot \cos 30^\circ &= 2 \cdot \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}} \cdot \dfrac{\textcolor{green}{\sqrt{3}}}{\textcolor{blue}{2}} \\ 2 \cdot \sin 30^\circ \cdot \cos 30^\circ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

Høyre side blir: \[ \sin(2 \cdot 30^\circ) = \sin 60^\circ = \dfrac{\textcolor{green}{\sqrt{3}}}{\textcolor{blue}{2}} \]Begge sidene er \( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{,} \) så formelen gjelder når \( {u = 30^\circ}\text{.} \)

I bunnpunktet er den deriverte \( 0\text{.} \) Vi ganger ut parentesene, deriverer og setter den deriverte lik \( 0\text{.} \)

1. Gang ut og deriver Vi ganger ut parentesene: \[ \begin{aligned} f(x) &= x^2 + 3x - x - 3 \\ f(x) &= \textcolor{red}{x^2} + \textcolor{blue}{2x} - 3 \end{aligned} \]

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd: \( \textcolor{red}{x^2} \) blir \( \textcolor{red}{2x}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{2x} \) blir \( \textcolor{blue}{2}\text{,} \) og konstanten \( {-3} \) blir \( 0\text{:} \) \[ f'(x) = \textcolor{red}{2x} + \textcolor{blue}{2} \]

2. Sett den deriverte lik null I bunnpunktet er den deriverte \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} 2x + 2 &= 0 \\ x &= \textcolor{green}{-1} \end{aligned} \]

3. Finn y-koordinaten Vi setter \( {x = \textcolor{green}{-1}} \) inn i \( f(x)\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(\textcolor{green}{-1}) &= (\textcolor{green}{-1} - 1)(\textcolor{green}{-1} + 3) \\ f(\textcolor{green}{-1}) &= (-2) \cdot 2 = -4 \end{aligned} \]Leddet \( x^2 \) har positivt fortegn, så grafen er en parabel som vender opp, og punktet er et bunnpunkt.

Kontroll: Bunnpunktet ligger midt mellom nullpunktene \( {x = 1} \) og \( {x = -3}\text{:} \) \( {\dfrac{1 + (-3)}{2} = -1}\text{.} \)

Vi faktoriserer \( f(x) \) med polynomdivisjon og abc-formelen. Så ser vi i et fortegnsskjema og en skisse hvor \( f(x) \) er negativ.

1. Prøv små heltall Dette er et tredjegradspolynom, så vi finner først ett nullpunkt ved å prøve små heltall, som i videoen Oppgave 2 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ f(1) = 1 + 7 + 4 - 12 = 0 \]

Nullpunktssetningen forteller oss at: \[ f(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{f(x)}{x - r} \text{ går opp} \]Med \( {r = 1} \) går divisjonen \( {f(x) : (x - 1)} \) opp, som i videoen Nullpunktssetningen.

2. Del med polynomdivisjon Vi deler \( f(x) \) på \( {(x - 1)} \) med polynomdivisjon, som i videoen Introduksjon til Polynomdivisjon. Det kan vi fordi både teller og nevner er polynomer og telleren har høyere grad (3) enn nevneren (1). Det borteste leddet i telleren og leddet med høyest grad i nevneren er markert: \[ (\textcolor{darkorange}{x^3} + 7x^2 + 4x - 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \]I hver iterasjon deler vi det borteste leddet på leddet med høyest grad i nevneren, ganger svaret med hele nevneren og trekker produktet fra. Vi fortsetter til linja nederst har lavere grad enn nevneren.

Første iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{x^3}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{x^3}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{red}{x^2} \\ \textcolor{red}{x^2} \cdot (x - 1) &= x^3 - x^2 \\ -(x^3 - x^2) &= \textcolor{red}{-x^3 + x^2} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd, det som står rett under hverandre: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 7x^2 + 4x - 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 7x^2 & {}+ 4x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & 8x^2 & {}+ 4x & {}- 12 \end{array} \end{array} \]\( x^3 \) strykes mot \( {-x^3}\text{,} \) \( {7x^2 + x^2 = 8x^2}\text{,} \) og vi trekker ned \( 4x \) og \( {-12}\text{.} \)

Andre iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{8x^2}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{8x^2}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{magenta}{8x} \\ \textcolor{magenta}{8x} \cdot (x - 1) &= 8x^2 - 8x \\ -(8x^2 - 8x) &= \textcolor{magenta}{-8x^2 + 8x} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 7x^2 + 4x - 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 8x} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 7x^2 & {}+ 4x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{8x^2}} & {}+ 4x & {}- 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-8x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 8x} & \\ \hline & & 12x & {}- 12 \end{array} \end{array} \]\( 8x^2 \) strykes mot \( {-8x^2}\text{,} \) \( {4x + 8x = 12x}\text{,} \) og vi trekker ned \( {-12}\text{.} \) Linja \( {12x - 12} \) har samme grad som nevneren, så vi fortsetter.

Tredje iterasjon: Vi deler det borteste leddet, \( \textcolor{darkorange}{12x}\text{,} \) på \( \textcolor{green}{x}\text{,} \) ganger svaret med hele nevneren og løser opp parentesen: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{darkorange}{12x}}{\textcolor{green}{x}} &= \textcolor{blue}{12} \\ \textcolor{blue}{12} \cdot (x - 1) &= 12x - 12 \\ -(12x - 12) &= \textcolor{blue}{-12x + 12} \end{aligned} \]Så legger vi sammen ledd for ledd: \[ \begin{array}{l} \begin{aligned} &(x^3 + 7x^2 + 4x - 12) : (\textcolor{green}{x} - 1) \\ &= \textcolor{red}{x^2} \textcolor{magenta}{{}+ 8x} \textcolor{blue}{{}+ 12} \end{aligned} \\ \\ \begin{array}{rrrr} \textcolor{darkorange}{\cancel{x^3}} & {}+ 7x^2 & {}+ 4x & {}- 12 \\ \textcolor{red}{\cancel{-x^3}} & \textcolor{red}{{}+ x^2} & & \\ \hline & \textcolor{darkorange}{\cancel{8x^2}} & {}+ 4x & {}- 12 \\ & \textcolor{magenta}{\cancel{-8x^2}} & \textcolor{magenta}{{}+ 8x} & \\ \hline & & \textcolor{darkorange}{\cancel{12x}} & {}- 12 \\ & & \textcolor{blue}{\cancel{-12x}} & \textcolor{blue}{{}+ 12} \\ \hline & & & 0 \end{array} \end{array} \]\( 12x \) strykes mot \( {-12x}\text{,} \) og \( {-12 + 12 = 0}\text{.} \) Det står 0 nederst, så divisjonen går opp. Da er nevneren ganget med svaret lik telleren: \[ \begin{aligned} &x^3 + 7x^2 + 4x - 12 \\ &= (x - 1)(x^2 + 8x + 12) \end{aligned} \]

3. Faktoriser andregradsuttrykket Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

For \( {x^2 + 8x + 12 = 0} \) er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{8}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{12}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-\textcolor{red}{8} \pm \sqrt{\textcolor{red}{8}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{12}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{-8 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{-8 \pm 4}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = -2} \) eller \( {x = -6}\text{.} \) Hvert nullpunkt \( r \) gir en faktor \( {x - r}\text{,} \) som i videoen Faktorisering med abc-formelen, så faktorene er \( {x + 2} \) og \( {x + 6}\text{:} \) \[ f(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 6) \]

4. Sett opp et fortegnsskjema Fortegnet til produktet finner vi ved å gange fortegnene til faktorene, som i videoen Oppgave 1 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025: :::fortegnsskjema {"points": [-6, -2, 1], "rows": [{"label": "x + 6", "expr": "x + 6"}, {"label": "x + 2", "expr": "x + 2"}, {"label": "x - 1", "expr": "x - 1"}, {"label": "f(x)", "expr": "(x - 1)(x + 2)(x + 6)"}]} En strek viser hvor en faktor er \( 0\text{.} \)

\( f(x) \) er negativ til venstre for \( {-6} \) og mellom \( {-2} \) og \( 1\text{.} \) Ulikheten har \( {<}\text{,} \) så nullpunktene er ikke med: \[ x < -6 \quad \text{eller} \quad -2 < x < 1 \]

5. Lag en skisse Grafen skjærer \( x \)-aksen i nullpunktene og \( y \)-aksen i \( {f(0) = -12}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4B - Del 1 - 1T Eksamen Vår 2025. Leddet \( x^3 \) gjør at grafen kommer nedenfra til venstre og går opp til høyre. Løsningen er der grafen ligger under \( x \)-aksen, markert med rødt:

Vi skriver arealet av det store kvadratet på to måter: som side ganger side, og som summen av de tre delene. De to uttrykkene er like for alle \( s \) og \( t\text{.} \)

1. Skriv arealet på to måter Det store kvadratet har siden \( {s + t}\text{,} \) så arealet er: \[ (s + t)^2 \]

Delene er det lille kvadratet \( {\textcolor{red}{s \cdot s}}\text{,} \) det blå rektangelet \( {\textcolor{blue}{s \cdot t}} \) og det grønne rektangelet \( {\textcolor{green}{t \cdot (s + t)}}\text{.} \) Til sammen er arealet: \[ \textcolor{red}{s^2} + \textcolor{blue}{st} + \textcolor{green}{t(s + t)} \]

2. Sett uttrykkene lik hverandre Begge uttrykkene er arealet av det samme kvadratet, så de er like for alle \( s \) og \( t\text{:} \) \[ (s + t)^2 = \textcolor{red}{s^2} + \textcolor{blue}{st} + \textcolor{green}{t(s + t)} \]

Ganger vi ut parentesen, får vi: \[ \begin{aligned} (s + t)^2 &= \textcolor{red}{s^2} + \textcolor{blue}{st} + \textcolor{green}{st + t^2} \\ (s + t)^2 &= s^2 + 2st + t^2 \end{aligned} \]Dette er første kvadratsetning, som i videoen Kvadratsetningene.

Andre svar er også riktige, for eksempel identiteten før parentesen er ganget ut.

Stjernen er 12 like trekanter. Vi finner arealet av én trekant med arealsetningen og ganger med 12.

1. Bruk arealsetningen på én trekant Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{\theta} \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{\theta} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

Trekantene er likesidede, så alle vinklene er \( 60^\circ\text{.} \) Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} &= \textcolor{blue}{4} & \textcolor{red}{b} &= \textcolor{red}{4} & \textcolor{green}{\theta} &= \textcolor{green}{60^\circ} \end{aligned} \]

Den eksakte verdien er \( {\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn i arealsetningen, får vi: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{4} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \]

2. Gang med antall trekanter Stjernen er 12 slike trekanter: \[ 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \]Det er det samme som Maria fikk.

Kontroll: Med kalkulator er \( {12 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin 60^\circ \approx 83{,}14} \) og \( {48\sqrt{3} \approx 83{,}14}\text{.} \)

En brøk med \( {x - 2} \) i nevneren gir den vertikale asymptoten, og et tall \( 4 \) lagt til gir den horisontale. Så bestemmer vi telleren fra nullpunktet.

1. Lag de to asymptotene Vi starter med \[ f(x) = \textcolor{blue}{4} + \dfrac{\textcolor{red}{c}}{x - 2} \]der \( \textcolor{red}{c} \) er et tall vi bestemmer etterpå.

En brøk har en vertikal asymptote der nevneren er \( 0 \) og telleren ikke er det, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Nevneren \( {x - 2} \) er \( 0 \) når \( {x = 2}\text{.} \)

Når \( x \) blir veldig stor, positiv eller negativ, går \( {\dfrac{\textcolor{red}{c}}{x - 2}} \) mot \( 0\text{.} \) Da nærmer \( f(x) \) seg \( \textcolor{blue}{4}\text{,} \) så \( {y = \textcolor{blue}{4}} \) er en horisontal asymptote.

2. Bestem c fra nullpunktet En brøk er \( 0 \) bare når telleren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Nullpunktet \( {x = -3} \) betyr at \( {f(-3) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{4} + \dfrac{\textcolor{red}{c}}{-3 - 2} &= 0 \\ \dfrac{\textcolor{red}{c}}{5} &= 4 \\ \textcolor{red}{c} &= \textcolor{red}{20} \end{aligned} \]

3. Skriv funksjonen som én brøk Det gir oss: \[ \begin{aligned} f(x) &= \textcolor{blue}{4} + \dfrac{\textcolor{red}{20}}{x - 2} \\ f(x) &= \dfrac{4(x - 2) + 20}{x - 2} = \dfrac{4x + 12}{x - 2} \end{aligned} \]Telleren \( {4x + 12} \) er \( 0 \) bare når \( {x = -3}\text{,} \) og i \( {x = 2} \) er telleren \( 20\text{,} \) ikke \( 0\text{.} \)

Andre svar er også riktige, for eksempel \( {f(x) = \dfrac{4(x + 3)^2}{(x - 2)^2}}\text{.} \)

Opplysningene gir fire likninger: to for punktene på grafen og to for den deriverte, som er \( 0 \) i toppunktet og \( 4 \) i \( {x = 3}\text{.} \) Vi løser likningssettet.

1. Sett opp fire likninger Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd, og konstanten \( d \) blir \( 0\text{:} \) \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]

Grafen går gjennom \( (2, 6) \) og toppunktet \( {(-2, 8)}\text{,} \) der den deriverte er \( 0\text{.} \) Stigningstallet til tangenten i \( {x = 3} \) er \( f'(3)\text{,} \) som i videoen Tangentlinje. Det gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{f(2)} &= \textcolor{blue}{6} & \textcolor{red}{f(-2)} &= \textcolor{red}{8} \\ \textcolor{red}{f'(-2)} &= \textcolor{red}{0} & \textcolor{green}{f'(3)} &= \textcolor{green}{4} \end{aligned} \]

Plugger vi inn i \( f(x) \) og \( f'(x)\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{8a + 4b + 2c + d} &= \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{red}{-8a + 4b - 2c + d} &= \textcolor{red}{8} \\ \textcolor{red}{12a - 4b + c} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{green}{27a + 6b + c} &= \textcolor{green}{4} \end{aligned} \]

2. Fjern d og c Vi trekker den andre likningen fra den første, så \( d \) forsvinner, og den tredje fra den fjerde, så \( c \) forsvinner: \[ \begin{aligned} 16a + 4c &= -2 \\ 15a + 10b &= 4 \end{aligned} \]

Den tredje likningen gir \( {c = 4b - 12a}\text{.} \) Setter vi det inn i \( {16a + 4c = -2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 16a + 4(4b - 12a) &= -2 \\ -32a + 16b &= -2 \\ b &= 2a - \dfrac{1}{8} \end{aligned} \]

3. Løs for a og b Vi setter \( {b = 2a - \dfrac{1}{8}} \) inn i \( {15a + 10b = 4}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} 15a + 10\left(2a - \dfrac{1}{8}\right) &= 4 \\ 35a &= 5{,}25 \\ a &= 0{,}15 \end{aligned} \]Det gir \( {b = 2 \cdot 0{,}15 - 0{,}125 = 0{,}175}\text{.} \)

4. Finn c og d Vi setter \( a \) og \( b \) inn i \( {c = 4b - 12a} \) og i den første likningen: \[ \begin{aligned} c &= 4 \cdot 0{,}175 - 12 \cdot 0{,}15 = -1{,}1 \\ d &= 6 - 8a - 4b - 2c \\ d &= 6 - 1{,}2 - 0{,}7 + 2{,}2 = 6{,}3 \end{aligned} \]

Kontroll: \( {f'(x) = 0{,}45x^2 + 0{,}35x - 1{,}1} \) gir \( {f'(-3) = 1{,}9 > 0} \) og \( {f'(0) = -1{,}1 < 0}\text{,} \) så grafen går fra å stige til å synke i \( {x = -2}\text{:} \) et toppunkt.

1. Løs likningssettet i CAS Vi definerer \( f \) i CAS og løser de fire likningene for \( a\text{,} \) \( b\text{,} \) \( c \) og \( d \) med Løs:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := a*x^3 + b*x^2 + c*x + d Løs({f(2) = 6, f(-2) = 8, f'(-2) = 0, f'(3) = 4}, {a, b, c, d})

CAS gir \( {a = \dfrac{3}{20} = 0{,}15}\text{,} \) \( {b = \dfrac{7}{40} = 0{,}175}\text{,} \) \( {c = -\dfrac{11}{10} = -1{,}1} \) og \( {d = \dfrac{63}{10} = 6{,}3}\text{.} \)