Eksamensoppgaver etter tema

Vi finner \( a\text{,} \) \( b \) og \( c \) med andregradsregresjon på tabellen, og deriverer modellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du øve på å derivere en andregradsfunksjon når den er gitt, og på å tolke \( K'(x)\text{.} \)

1. Lag modellen med regresjon Vi legger punktene fra tabellen i en liste og bruker andregradsregresjon, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Regresjonen finner tallene som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Så lar vi GeoGebra derivere modellen:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(10, 400), (20, 850), (40, 2070), (50, 2890)} K(x) = RegPoly(l1, 2) D(x) = Derivert(K)

Med tallene avrundet til fire desimaler er \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}6167}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{25}}\text{,} \) og modellen er: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{0{,}6167}x^2 + \textcolor{red}{25}x + 93{,}3333 \]

2. Deriver modellen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler. Konstantleddet blir borte, og vi får: \[ \begin{aligned} K'(x) &\approx 2 \cdot \textcolor{blue}{0{,}6167}x + \textcolor{red}{25} \\ &\approx 1{,}233x + 25 \end{aligned} \]GeoGebra regner med tallene uten avrunding og viser \( {D(x) = 1{,}2333x + 25}\text{.} \) Avrundet til to desimaler er det \( {1{,}23x + 25}\text{.} \)

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( K'(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi deriverer \( I \) med regelen for \( \ln u \) og setter inn \( {x = 35} \) i begge de deriverte. De deriverte forteller hvor mye inntekten og kostnaden øker per ekstra enhet.

1. Deriver inntekten Regelen for \( \ln \) av en kjerne forteller oss at: \[ \left(\ln \textcolor{green}{u}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Her er \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{5x}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = \textcolor{green}{5}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I'(x) &= 3000 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{5x}} \cdot \textcolor{green}{5} \\ &= \dfrac{3000}{x} \end{aligned} \]

2. Sett inn 35 enheter I a) viste vi: \[ K'(x) = 1{,}23x + 25 \]

Vi setter inn \( {x = 35} \) i begge: \[ \begin{aligned} I'(35) &= \dfrac{3000}{35} \approx \textcolor{blue}{85{,}71} \\ K'(35) &= 1{,}23 \cdot 35 + 25 = \textcolor{red}{68{,}05} \end{aligned} \]

Merk – Avrunding: Med modellen fra a) uten avrunding blir \( {K'(35) \approx 68{,}17}\text{.} \) Forskjellen kommer bare av at oppgaven runder av til \( {1{,}23x + 25}\text{,} \) og begge regnemåtene er riktige.

3. Tolk svarene \( I \) og \( K \) er i kroner og \( x \) i enheter per uke, så de deriverte er i kroner per enhet, som i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Når bedriften produserer og selger 35 enheter i uka, gir én enhet til omtrent \( \textcolor{blue}{85{,}71} \) kr mer i inntekt og omtrent \( \textcolor{red}{68{,}05} \) kr mer i kostnad. Overskuddet øker altså hvis bedriften produserer og selger litt flere enn 35 enheter.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( I \) i CAS, regner ut \( I'(35) \) og setter inn i \( {K'(x) = 1{,}23x + 25} \) fra oppgaveteksten, med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: I(x) := 3000*ln(5x) I'(35) 1.23*35 + 25

Rad 2 gir \( {I'(35) \approx 85{,}71} \) kr per enhet, og rad 3 gir \( {K'(35) = 68{,}05} \) kr per enhet.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: uttrykket for \( K'(x) \) står i oppgaveteksten.

Vi integrerer \( {K'(x) = 1{,}23x + 25} \) ledd for ledd og setter inn grensene. Integralet av den deriverte er hvor mye \( K \) endrer seg mellom grensene.

1. Finn en antiderivert I a) viste vi: \[ K'(x) = 1{,}23x + 25 \]

For potenser forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( \textcolor{blue}{1{,}23x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{0{,}615x^2}}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{25} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{red}{25x}}\text{.} \)

2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_{20}^{30} \left(1{,}23x + 25\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{0{,}615x^2} + \textcolor{red}{25x}\right]_{20}^{30} \\ &= (\textcolor{blue}{553{,}5} + \textcolor{red}{750}) - (\textcolor{blue}{246} + \textcolor{red}{500}) \\ &= 557{,}5 \end{aligned} \]

Merk – Avrunding: Med modellen fra a) uten avrunding blir \( {K(30) - K(20) \approx 558{,}33}\text{.} \) Forskjellen kommer bare av at oppgaven runder av til \( {1{,}23x + 25}\text{,} \) og begge regnemåtene er riktige.

3. Tolk svaret \( K \) er en antiderivert til \( K'\text{,} \) så integralet er \( {K(30) - K(20)}\text{:} \) hvor mye kostnaden øker fra 20 til 30 enheter. Når produksjonen øker fra 20 til 30 enheter per uke, øker kostnaden med omtrent \( 557{,}50 \) kr.

1. Regn ut integralet i CAS På samme CAS-ark som i b) integrerer vi \( {K'(x) = 1{,}23x + 25} \) fra oppgaveteksten, med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Integral(1.23x + 25, 20, 30)

Rad 4 gir \( 557{,}5\text{,} \) altså at kostnaden øker med omtrent \( 557{,}50 \) kr fra 20 til 30 enheter per uke.

Halvparten av 2 millioner er 1 million. Vi setter \( {B(t) = 1\,000\,000}\text{,} \) får potensen av \( e \) alene på én side og tar \( \ln \) på begge sider.

1. Sett opp likningen Halvparten av husstandene er \( 1\,000\,000\text{:} \) \[ \dfrac{1\,700\,000}{1 + 500e^{-0{,}07t}} = 1\,000\,000 \]

2. Løs likningen med ln Vi ganger med nevneren, deler på \( 1\,000\,000 \) og får potensen \( {\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}}} \) alene. Så tar vi \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} 1 + 500\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 1{,}7 \\ 500\textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 0{,}7 \\ \textcolor{green}{e^{-0{,}07t}} &= 0{,}0014 \\ \textcolor{green}{-0{,}07t} &= \ln 0{,}0014 \\ t &= \dfrac{\ln 0{,}0014}{-0{,}07} \approx 93{,}9 \end{aligned} \]

1. Løs likningen i CAS Vi definerer \( B \) i CAS og løser \( {B(t) = 1\,000\,000} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: B(t) := 1700000/(1 + 500*ℯ^(-0.07t)) Løs(B(t) = 1000000, t)

Rad 2 gir \( {t \approx 93{,}9} \) uker.

\( B \) er en brøk med en konstant i telleren. Vi deriverer med kvotientregelen, og nevneren med kjerneregelen. \( B'(t) \) er hvor mange nye husstander som får systemet per uke.

1. Deriver med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u}' \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v}'}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.

Med kjerneregelen er \( {\left(e^{-0{,}07t}\right)' = e^{-0{,}07t} \cdot (-0{,}07)}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{1\,700\,000} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{1 + 500e^{-0{,}07t}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-35e^{-0{,}07t}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ B'(t) = \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{1\,700\,000} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]

Det første leddet i telleren er 0. Setter vi inn \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} B'(t) &= \dfrac{-\textcolor{red}{1\,700\,000} \cdot (\textcolor{blue}{-35e^{-0{,}07t}})}{(\textcolor{blue}{1 + 500e^{-0{,}07t}})^2} \\ &= \dfrac{59\,500\,000\,e^{-0{,}07t}}{(1 + 500e^{-0{,}07t})^2} \end{aligned} \]

2. Sett inn 52 uker Med \( {t = 52} \) er eksponenten \( {-0{,}07 \cdot 52 = -3{,}64}\text{:} \) \[ \begin{aligned} B'(52) &= \dfrac{59\,500\,000\,e^{-3{,}64}}{(1 + 500e^{-3{,}64})^2} \\ &\approx 7828 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( B \) er antall husstander og \( t \) er uker, så \( B'(t) \) er husstander per uke, som i videoen Oppgave 1B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Ett år etter lanseringen får omtrent 7800 nye husstander systemet per uke.

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut \( B'(52) \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: B'(52)

Rad 3 gir \( {B'(52) \approx 7828} \) husstander per uke.

En logistisk modell har formen \( {F(t) = \dfrac{C}{1 + ae^{-kt}}}\text{.} \) Hver antakelse gir oss én av konstantene \( C\text{,} \) \( a \) og \( k\text{.} \)

1. Finn grensen og startverdien En logistisk modell har formen: \[ F(t) = \dfrac{\textcolor{blue}{C}}{1 + \textcolor{red}{a}e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]Når \( t \) blir stor, går \( {e^{-\textcolor{green}{k}t}} \) mot 0, og \( F(t) \) går mot \( \textcolor{blue}{C}\text{.} \) De selger totalt til en million husstander, så \( {\textcolor{blue}{C} = \textcolor{blue}{1\,000\,000}}\text{.} \)

Ved lanseringen er \( {t = 0} \) og \( {e^0 = 1}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} F(0) = \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{a}} &= 4000 \\ 1 + \textcolor{red}{a} &= 250 \\ \textcolor{red}{a} &= \textcolor{red}{249} \end{aligned} \]

2. Bruk uken med flest nye kjøpere Antall nye husstander per uke er \( F'(t)\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I en logistisk modell er veksten størst når \( F \) har nådd halvparten av \( \textcolor{blue}{C}\text{:} \) \[ F'(t) \text{ er størst når } F(t) = \dfrac{\textcolor{blue}{C}}{2} \]

Flest kjøper i uke 65, så \( {F(65) = 500\,000}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{249}e^{-65\textcolor{green}{k}}} &= 500\,000 \\ 1 + \textcolor{red}{249}e^{-65\textcolor{green}{k}} &= 2 \\ e^{-65\textcolor{green}{k}} &= \dfrac{1}{249} \\ -65\textcolor{green}{k} &= \ln \dfrac{1}{249} \\ \textcolor{green}{k} &= \dfrac{\ln 249}{65} \approx \textcolor{green}{0{,}0849} \end{aligned} \]

Med \( k \) avrundet til fire desimaler blir modellen: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{blue}{1\,000\,000}}{1 + \textcolor{red}{249}e^{-\textcolor{green}{0{,}0849}t}} \]

1. Finn konstantene i CAS På samme CAS-ark som i a) og b) skriver vi modellen med \( {C = 1\,000\,000}\text{,} \) finner \( a \) fra \( {F(0) = 4000} \) og \( k \) fra \( {F(65) = 500\,000}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: F(t) := 1000000/(1 + a*ℯ^(-k*t)) Løs(F(0) = 4000, a) Løs(1000000/(1 + 249*ℯ^(-65k)) = 500000, k)

Rad 5 gir \( {a = 249}\text{,} \) og rad 6 gir \( {k \approx 0{,}0849}\text{.} \)

Vi finner kvotienten for \( {x = \dfrac{1}{e}}\text{,} \) og ser om rekken konvergerer før vi bruker sumformelen.

1. Finn kvotienten Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{red}{k = \ln x - 1}}\text{.} \) Med \( {x = \dfrac{1}{e}} \) er \( {\ln \dfrac{1}{e} = -1}\text{,} \) så: \[ \textcolor{red}{k} = -1 - 1 = \textcolor{red}{-2} \]

2. Sjekk om rekken konvergerer En uendelig geometrisk rekke konvergerer bare når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Med \( {\textcolor{red}{k = -2}} \) er rekken \( {1 - 2 + 4 - 8 + \dots}\text{,} \) og tallverdien til leddene blir større og større. Rekken divergerer, så den har ingen sum.

Sumformelen ville gitt \( {\dfrac{1}{1 - (-2)} = \dfrac{1}{3}}\text{,} \) men formelen gjelder ikke når rekken divergerer. Påstanden er derfor usann.

Vi ser på differansen \( {f(x) - g(x)}\text{.} \) Nullpunktene er skjæringspunktene, og arealet mellom grafene er integralet av den.

1. Finn skjæringspunktene Vi trekker \( g \) fra \( f\text{,} \) og \( {-x^2} \) forsvinner: \[ \begin{aligned} h(x) &= f(x) - g(x) \\ &= x^3 - (a + 1)x \\ &= x\left(x^2 - (a + 1)\right) \end{aligned} \]

Når \( {a > -1} \) er \( {a + 1 > 0}\text{,} \) og grafene skjærer hverandre i tre punkter: \[ x = 0 \quad \vee \quad x = \pm\sqrt{a + 1} \]Mellom dem avgrenser grafene to områder.

2. Regn ut de to arealene Integralet gir arealet under en graf, og arealet mellom grafene er integralet av differansen. Hvis du er usikker på det første, kan du se videoen Hva er integrasjon. Vi kaller \( {s = \sqrt{a + 1}}\text{,} \) så \( {s^2 = a + 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_0^{\textcolor{red}{s}} h(x)\,dx &= \left[\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{s^2 x^2}{2}\right]_0^{\textcolor{red}{s}} \\ &= \dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2} = -\dfrac{s^4}{4} \end{aligned} \]

På samme måte er: \[ \int_{\textcolor{blue}{-s}}^0 h(x)\,dx = 0 - \left(\dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2}\right) = \dfrac{s^4}{4} \]Det ene området har \( f \) over \( g\text{,} \) det andre \( g \) over \( f\text{,} \) og begge har arealet \( {\dfrac{s^4}{4} = \dfrac{(a + 1)^2}{4}}\text{.} \)

Det kunne vi også sett av at \( {h(-x) = -h(x)}\text{:} \) grafen til \( h \) er symmetrisk om origo. Påstanden er sann.

Vi setter \( {p = 30} \) inn i \( E(p)\text{.} \) Etterspørselen er hvor mange varer kundene vil kjøpe ved den prisen.

1. Sett inn prisen \[ \begin{aligned} E(\textcolor{blue}{30}) &= 300e^{-0{,}01 \cdot \textcolor{blue}{30}} \\ &= 300e^{-0{,}3} \approx 222{,}2 \end{aligned} \]

2. Tolk svaret Etterspørselen er antallet varer kundene vil kjøpe. Med prisen \( \textcolor{blue}{30} \) kr per vare vil de altså kjøpe omtrent 222 varer.

1. Regn ut i CAS Vi definerer \( E \) i CAS og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: E(p) := 300*ℯ^(-0.01p) E(30)

Rad 2 gir \( {E(30) \approx 222{,}2}\text{.} \)

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter. Antallet er etterspørselen, \( {x = E(p)}\text{,} \) så vi løser for prisen \( p \) og ganger med \( x\text{.} \)

1. Løs for prisen Bedriften selger \( \textcolor{red}{x} \) enheter når prisen er \( \textcolor{blue}{p}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{x} &= 300e^{-0{,}01\textcolor{blue}{p}} \\ \dfrac{\textcolor{red}{x}}{300} &= e^{-0{,}01\textcolor{blue}{p}} \\ \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{x}}{300}\right) &= -0{,}01\textcolor{blue}{p} \\ \textcolor{blue}{p} &= -100\ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{x}}{300}\right) \end{aligned} \]Vi tok \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.

2. Gang pris med antall Inntekten er pris ganger antall, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Siden \( {-\ln\left(\dfrac{x}{300}\right) = \ln\left(\dfrac{300}{x}\right)}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} I(x) &= \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{red}{x} \\ &= 100\textcolor{red}{x}\ln\left(\dfrac{300}{\textcolor{red}{x}}\right) \end{aligned} \]Prisen er positiv, så \( {0 < x < 300}\text{.} \)

Etterspørselen blir ganget med omtrent det samme tallet for hver 10 kr, så vi finner en eksponentiell modell med regresjon. Gyldighetsområdet vurderer vi ut fra prisene i tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du legge en eksponentiell modell gjennom to av punktene: med det første og det siste er \( {b^{40} = \dfrac{12}{237}}\text{,} \) så \( {b \approx 0{,}928} \) og \( {a = \dfrac{237}{b^{10}} \approx 500}\text{.} \)

1. Lag modellen med regresjon Vi deler hvert tall i tabellen på det forrige: \[ \begin{aligned} \dfrac{111}{237} &\approx 0{,}47 & \dfrac{49}{111} &\approx 0{,}44 \\ \dfrac{22}{49} &\approx 0{,}45 & \dfrac{12}{22} &\approx 0{,}55 \end{aligned} \]

Etterspørselen blir altså ganget med omtrent det samme tallet hver gang, og da passer en eksponentiell modell: \[ q(p) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^p \]

Vi lager en liste med punktene og bruker RegEksp, på samme måte som videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 bruker RegLogist for en logistisk modell. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. GeoGebra bruker \( x \) for prisen \( p\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(10, 237), (20, 111), (30, 49), (40, 22), (50, 12)} q(x) = RegEksp(l1)

Med \( \textcolor{blue}{a} \) avrundet til to desimaler og \( \textcolor{red}{b} \) til tre er modellen: \[ q(p) \approx \textcolor{blue}{494{,}98} \cdot \textcolor{red}{0{,}927}^p \]Etterspørselen synker altså med omtrent \( 7{,}3\,\% \) for hver krone prisen øker.

2. Vurder gyldighetsområdet Tabellen har priser fra 10 kr til 50 kr, og der ligger modellen nær punktene. Utenfor vet vi lite, som når gyldighetsområdet vurderes i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Med gratis vare, \( {p = 0}\text{,} \) gir modellen omtrent 495, men tabellen sier ingenting om så lave priser. Modellen blir heller aldri 0, uansett hvor høy prisen er. Vi sier derfor at modellen gjelder for priser fra 10 kr til 50 kr.

Merk – Andre modeller: Andre modeller kan også være riktige når valget er begrunnet, for eksempel en eksponentiell modell gjennom det første og det siste punktet, \( {q \approx 500 \cdot 0{,}928^p}\text{.} \) En potensmodell \( {q = c \cdot p^r} \) passer dårligere: den gir omtrent 299 i stedet for 237 når prisen er 10 kr.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi løser likningen \( {q(p) = 70}\text{.} \) Den ukjente står i eksponenten, så vi tar \( \ln \) på begge sider.

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ q(p) \approx 494{,}98 \cdot 0{,}927^p \]

Bedriften skal selge 70 enheter, så vi setter \( {q(p) = 70} \) og deler på \( 494{,}98\text{:} \) \[ \begin{aligned} 494{,}98 \cdot 0{,}927^p &= 70 \\ 0{,}927^p &= \dfrac{70}{494{,}98} \end{aligned} \]

2. Løs med ln Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen forteller oss at: \[ \ln\left(\textcolor{red}{b}^{\textcolor{green}{p}}\right) = \textcolor{green}{p} \cdot \ln \textcolor{red}{b} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{p} \cdot \ln \textcolor{red}{0{,}927} &= \ln\left(\dfrac{70}{494{,}98}\right) \\ \textcolor{green}{p} &= \dfrac{\ln\left(\dfrac{70}{494{,}98}\right)}{\ln \textcolor{red}{0{,}927}} \\ &\approx \dfrac{-1{,}9560}{-0{,}0758} \approx 25{,}8 \end{aligned} \]

1. Finn skjæringspunktet Vi tegner linja \( {y = 70} \) og finner skjæringspunktet med modellen \( {q(p) \approx 494{,}98 \cdot 0{,}927^p} \) fra a) med Skjæring, som «skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g: y = 70 A = Skjæring(q, g)

Skjæringspunktet er \( {A \approx (25{,}79;\ 70)}\text{,} \) så prisen bør være omtrent \( 25{,}8 \) kr.

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter. Vi skriver den som en funksjon av \( x\text{,} \) deriverer og setter den deriverte lik null.

1. Sett opp inntekten Bedriften selger \( x \) enheter til prisen \( p\text{,} \) så inntekten er: \[ \begin{aligned} I(x) &= x \cdot p \\ &= x(79 - 12{,}2\ln x) \\ &= 79x - 12{,}2\,\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} \end{aligned} \]

2. Deriver med produktregelen Det siste leddet er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u}' \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.

\( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som er regelen for \( \ln u \) med \( {u = x} \) i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I'(x) &= 79 - 12{,}2\left(\textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}}\right) \\ &= 79 - 12{,}2\ln x - 12{,}2 \\ &= 66{,}8 - 12{,}2\ln x \end{aligned} \]

3. Sett den deriverte lik null \[ \begin{aligned} 66{,}8 - 12{,}2\ln x &= 0 \\ 12{,}2\ln x &= 66{,}8 \\ x &= e^{66{,}8/12{,}2} \approx 238{,}7 \end{aligned} \]\( I'(x) \) er positiv før dette punktet og negativ etter, fordi \( \ln x \) vokser. Inntekten er derfor størst her.

4. Finn prisen Vi trenger ikke regne ut \( x \) først, for prisen inneholder \( 12{,}2\ln x\text{,} \) som vi nettopp fant: \[ \begin{aligned} p &= 79 - 12{,}2\ln x \\ &= 79 - 66{,}8 = 12{,}2 \end{aligned} \]

1. Løs i CAS Vi definerer prisen og inntekten, løser \( {I'(x) = 0} \) og setter løsningen inn i \( p\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: p(x) := 79 - 12.2 ln(x) I(x) := x p(x) Løs(I'(x) = 0, x) p(238.7483)

Rad 3 gir \( {x \approx 238{,}7}\text{,} \) og rad 4 gir prisen \( 12{,}2 \) kr.

Vi bruker grenseinntekten \( I'(x) \) fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Grenseinntekten er \( I'(x) \) og grensekostnaden er \( K'(x)\text{.} \) Vi setter dem like og løser likningen. Der er overskuddet størst.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen har både \( \ln x \) og \( x\text{,} \) så vi kan ikke få \( x \) alene med regnereglene i S2. Uten PC kan du prøve deg fram med kalkulatoren: med \( {x = 79} \) er \( {I'(x) - K'(x) \approx 0{,}17}\text{,} \) og med \( {x = 80} \) er den omtrent \( {-0{,}02}\text{,} \) så løsningen ligger mellom 79 og 80, nærmest 80.

1. Sett opp likningen I c) fant vi \( \textcolor{blue}{\text{grenseinntekten}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{I'(x)} = \textcolor{blue}{66{,}8 - 12{,}2\ln x} \]

Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer \( K \) ledd for ledd og får \( \textcolor{red}{\text{grensekostnaden}}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{K'(x)} = \textcolor{red}{0{,}042x + 10} \]

Vi setter dem like: \[ \textcolor{blue}{66{,}8 - 12{,}2\ln x} = \textcolor{red}{0{,}042x + 10} \]

2. Løs i CAS På samme CAS-ark som i c) definerer vi \( K \) og løser likningen, som med Løs i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Her bruker vi NLøs med en startverdi, fordi likningen har både \( \ln x \) og \( x\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 0.021x^2 + 10x + 910 NLøs(I'(x) = K'(x), x = 80)

Rad 6 gir \( {x \approx 79{,}9}\text{,} \) altså omtrent 80 enheter per dag.

3. Tolk svaret Overskuddet er inntekt minus kostnad, så: \[ O'(x) = I'(x) - K'(x) \]

For færre enn 80 enheter er grenseinntekten større enn grensekostnaden, så én enhet til øker overskuddet. For flere enn 80 er det omvendt. Overskuddet er derfor størst ved omtrent 80 enheter per dag, og da er prisen omtrent \( {79 - 12{,}2\ln 80 \approx 25{,}5} \) kr.