Eksamensoppgaver etter tema

Overskuddet er inntekt minus kostnad. Det er en andregradsfunksjon som er 0 der grafene krysser, og den er størst midt mellom nullpunktene.

1. Finn nullpunktene til overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ O(x) = I(x) - K(x) \]

\( O \) er 0 der grafene til \( I \) og \( K \) krysser. For vare 1 er det i \( {x = \textcolor{blue}{60}} \) og \( {x = \textcolor{blue}{100}}\text{,} \) og for vare 2 i \( {x = \textcolor{green}{20}} \) og \( {x = \textcolor{green}{80}}\text{.} \) Mellom nullpunktene er \( {I > K}\text{,} \) så der går bedriften med overskudd.

2. Skriv overskuddet på faktorisert form En andregradsfunksjon med nullpunktene \( x_1 \) og \( x_2 \) kan skrives som: \[ O(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Vi kaller konstanten \( a_1 \) for vare 1 og \( a_2 \) for vare 2, og finner dem med \( {O(0) = -K(0)}\text{,} \) fordi \( {I(0) = 0}\text{.} \) Figuren gir \( {K_1(0) = 6000} \) og \( {K_2(0) = 1600}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O_1(0) &= a_1(-\textcolor{blue}{60})(-\textcolor{blue}{100}) = 6000a_1 \\ O_2(0) &= a_2(-\textcolor{green}{20})(-\textcolor{green}{80}) = 1600a_2 \end{aligned} \]Siden \( {6000a_1 = -6000} \) og \( {1600a_2 = -1600}\text{,} \) er \( {a_1 = a_2 = -1}\text{,} \) så \( {O_1(x) = -(x - 60)(x - 100)} \) og \( {O_2(x) = -(x - 20)(x - 80)}\text{.} \)

3. Finn det største overskuddet Grafen er en parabel som vender nedover, så toppunktet ligger midt mellom nullpunktene: \[ \begin{aligned} O_1(\textcolor{blue}{80}) &= -(80 - 60)(80 - 100) \\ &= -20 \cdot (-20) = 400 \\ O_2(\textcolor{green}{50}) &= -(50 - 20)(50 - 80) \\ &= -30 \cdot (-30) = 900 \end{aligned} \]Vare 2 gir altså størst overskudd, 900 kr.

Inntekten er pris ganger antall solgte enheter, så prisen er stigningstallet til inntektslinja.

1. Finn prisene Med prisen \( p \) per enhet er \( {I(x) = p \cdot x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, så \( {p = \dfrac{I(x)}{x}}\text{.} \) Vi bruker et punkt på hver linje der rutenettet er tydelig, \( (60, 12\,000) \) og \( (20, 2400)\text{:} \) \[ \begin{aligned} p_1 &= \dfrac{12\,000}{60} = \textcolor{blue}{200} \\ p_2 &= \dfrac{2400}{20} = \textcolor{green}{120} \end{aligned} \]Prisforskjellen er da: \[ \textcolor{blue}{200} - \textcolor{green}{120} = 80 \]

Enhetskostnaden er stigningstallet til linja fra origo til et punkt på grafen til \( K_2\text{.} \) Den er lavest når linja så vidt rører grafen, altså er en tangent.

1. Se enhetskostnaden som et stigningstall Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K_2(x)}{x} = \dfrac{K_2(x) - 0}{x - 0} \]Det er stigningstallet til linja fra origo \( (0, 0) \) til punktet \( (x, K_2(x)) \) på grafen.

2. Finn den lavest mulige Vi dreier linja fra origo ned mot grafen. Stigningstallet er minst når linja bare så vidt rører grafen, altså når den er tangent. Den stiplede linja \( {y = \textcolor{red}{100}x} \) går gjennom origo og er tangent i \( (\textcolor{blue}{40}, 4000)\text{.} \) Alle andre linjer fra origo til grafen er brattere.

Vi skriver \( {K_2(x) = ax^2 + bx + c} \) og bruker at stigningstallet til en tangent er den deriverte. De to tangentene gir oss tre opplysninger, nok til å finne \( a\text{,} \) \( b \) og \( c\text{.} \)

1. Les av konstantleddet Tangenten \( {y = 20x + 1600} \) rører grafen i \( (0, K_2(0))\text{,} \) så \( {K_2(0) = 1600}\text{.} \) Det gir \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{1600}}\text{.} \)

2. Bruk stigningstallene til tangentene Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler. Vi deriverer: \[ K_2'(x) = 2\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b} \]

Stigningstallet til tangenten i \( {x = 0} \) er 20, og i \( {x = 40} \) er det 100: \[ \begin{aligned} K_2'(0) &= \textcolor{red}{b} = 20 \\ K_2'(40) &= 80\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{20} = 100 \\ 80\textcolor{blue}{a} &= 80 \\ \textcolor{blue}{a} &= 1 \end{aligned} \]Så \( {K_2(x) = x^2 + 20x + 1600}\text{.} \)

3. Finn inntektsfunksjonen \( I_2 \) går gjennom origo, og den krysser \( K_2 \) i \( {x = 20}\text{.} \) Der er \( {I_2(20) = K_2(20)}\text{:} \) \[ K_2(20) = 400 + 400 + 1600 = 2400 \]Stigningstallet til \( I_2 \) er derfor \( {\dfrac{2400}{20} = 120}\text{.} \)

Kontroll: Punktet \( (40, 4000) \) er tangeringspunktet på figuren, og modellen gir det samme: \[ \begin{aligned} K_2(40) &= 1600 + 800 + 1600 \\ &= 4000 \end{aligned} \]

Enhetskostnaden er kostnaden delt på antall enheter. Vi finner \( K(40) \) fra linja som går gjennom \( A\text{.} \)

1. Finn kostnaden ved 40 enheter På figuren ligger \( A \) på grafen til \( K \) med \( {x = 40}\text{.} \) Både den grønne linja \( f \) og den røde linja \( h \) går gjennom \( A\text{,} \) og de gir samme verdi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{f(40)} &= 31 \cdot 40 + 2030 = 3270 \\ \textcolor{red}{h(40)} &= 81{,}75 \cdot 40 = 3270 \end{aligned} \]Kostnaden ved 40 enheter er altså \( {K(40) = 3270}\text{.} \)

2. Del på antall enheter Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} \]

Plugger vi inn \( {x = 40}\text{,} \) får vi: \[ E(40) = \dfrac{K(40)}{40} = \dfrac{3270}{40} = \textcolor{red}{81{,}75} \]Det er stigningstallet til den røde linja \( h\text{,} \) som går fra origo til \( A\text{.} \)

Grensekostnaden er den deriverte \( K'(40)\text{.} \) Den er stigningstallet til tangenten i \( A\text{,} \) og den tangenten er \( f\text{.} \)

1. Finn tangenten Grensekostnaden er den deriverte av kostnaden: \[ \text{grensekostnad} = K'(x) \]

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten der. I videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023 betyr \( {K'(500) = 200} \) at én enhet til koster omtrent 200 kr mer.

Den røde linja \( h \) går også gjennom \( A\text{,} \) men den krysser grafen der og er ikke en tangent. Det er den grønne linja \( f \) som tangerer grafen til \( K \) i \( {A = (40, 3270)}\text{.} \)

2. Les av stigningstallet \( {f(x) = \textcolor{green}{31}x + 2030} \) har stigningstallet \( \textcolor{green}{31}\text{,} \) så: \[ K'(40) = f'(40) = \textcolor{green}{31} \]Når bedriften produserer 40 enheter, koster én enhet til omtrent 31 kr.

Enhetskostnaden er stigningstallet til linja fra origo til et punkt på grafen til \( K\text{.} \) Den er minst når linja så vidt rører grafen, altså er en tangent.

1. Se enhetskostnaden som et stigningstall Enhetskostnaden kan skrives: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} = \dfrac{K(x) - 0}{x - 0} \]Det er stigningstallet til linja fra origo \( (0, 0) \) til punktet \( (x, K(x)) \) på grafen. I a) var det den røde linja \( h \) til \( A\text{.} \)

2. Finn den slakeste linja fra origo Vi dreier linja fra origo ned mot grafen. Stigningstallet er minst når linja bare så vidt rører grafen, altså når den er tangent. Den blå linja \( {g(x) = \textcolor{blue}{60}x} \) går gjennom origo og tangerer grafen i \( {B = (100, 6000)}\text{.} \) Alle andre linjer fra origo til grafen er brattere.

Den minste enhetskostnaden er da: \[ E(100) = \dfrac{K(100)}{100} = \dfrac{6000}{100} = \textcolor{blue}{60} \]

I \( B \) er grensekostnaden lik enhetskostnaden, fordi tangenten \( g \) går gjennom origo: \[ K'(100) = g'(100) = \textcolor{blue}{60} = E(100) \]