Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

kvotientregelen

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

2 oppgaver i S2 om kvotientregelen

Oppgavene

S2 høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

5 poeng

En bedrift produserer og selger en vare. Kostnaden K(x) K(x) kroner ved å produsere x x enheter av varen per dag er gitt ved
K(x)=700⋅ex200,x∈⟨0,500] K(x) = 700 \cdot e^{\tfrac{x}{200}}, \qquad x \in \langle 0, 500]

Oppgave 2a)

Bestem K′(150). K'(150)\text{.} Gi en praktisk tolkning av svaret.
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Ved 150 enheter per dag øker kostnaden med omtrent 7,41 kr per ekstra enhet, avrundet til to desimaler:
K′(150)≈7,41‾‾ \underline{\underline{K'(150) \approx 7{,}41}}
Vi deriverer med kjerneregelen og setter inn \( {x = 150}\text{.} \) \( K'(x) \) sier hvor mye kostnaden øker per ekstra enhet.
Metode: Med kalkulator
1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.
Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{\dfrac{x}{200}}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u}' = \textcolor{green}{\dfrac{1}{200}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} K'(x) &= 700 \cdot e^{\textcolor{green}{\tfrac{x}{200}}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{1}{200}} \\ &= 3{,}5 \cdot e^{\tfrac{x}{200}} \end{aligned} \]
2. Regn ut og tolk \[ K'(150) = 3{,}5 \cdot e^{0{,}75} \approx 7{,}41 \]Når bedriften produserer 150 enheter per dag, øker kostnaden med omtrent 7,41 kr for hver ekstra enhet den produserer.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vi definerer \( K \) i CAS og regner ut \( K'(150) \) med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 700*ℯ^(x/200) K'(150)
Rad 2 gir \( {K'(150) \approx 7{,}41}\text{.} \)

Oppgave 2b)

Bestem produksjonsmengden som gir den laveste enhetskostnaden. Hva blir denne enhetskostnaden?
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Den laveste enhetskostnaden er 3,5e 3{,}5e kr, avrundet til hele øre:
x=200 enheter‾‾E(200)≈9,51 kr‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{x = 200 \text{ enheter}}} \\ &\underline{\underline{E(200) \approx 9{,}51\,\text{kr}}} \end{aligned}
Enhetskostnaden er kostnaden delt på antall enheter. Vi deriverer den med kvotientregelen og setter den deriverte lik null.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp enhetskostnaden Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} = \dfrac{700 \cdot e^{\tfrac{x}{200}}}{x} \]
2. Deriver med kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.
Her er, med \( u' \) fra kjerneregelen som i a): \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{700e^{\tfrac{x}{200}}} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn og faktoriserer ut \( 3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} E'(x) &= \dfrac{\textcolor{red}{3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}} \cdot \textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{700e^{\tfrac{x}{200}}} \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \\ &= \dfrac{3{,}5e^{\tfrac{x}{200}}(x - 200)}{x^2} \end{aligned} \]
3. Finn bunnpunktet Brøken er null når telleren er null, og \( 3{,}5e^{\tfrac{x}{200}} \) er aldri null: \[ \begin{aligned} E'(x) &= 0 \\ x - 200 &= 0 \\ x &= 200 \end{aligned} \]
\( e^{\tfrac{x}{200}} \) og \( x^2 \) er positive for \( {x > 0}\text{,} \) så \( E'(x) \) har samme fortegn som \( {x - 200}\text{.} \) Den er negativ for \( {x < 200} \) og positiv for \( {x > 200}\text{,} \) så enhetskostnaden synker fram til \( {x = 200} \) og stiger etterpå. Den laveste enhetskostnaden er: \[ E(200) = \dfrac{700 \cdot e^{1}}{200} = 3{,}5e \approx 9{,}51 \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs i CAS På samme CAS-ark som i a) definerer vi \( E\text{,} \) løser \( {E'(x) = 0} \) og regner ut \( E(200)\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: E(x) := K(x)/x Løs(E'(x) = 0, x) E(200)
Rad 4 gir \( {x = 200}\text{,} \) og rad 5 gir \( {E(200) \approx 9{,}51}\text{.} \) Fortegnet til \( E' \) skifter fra minus til pluss i \( {x = 200}\text{,} \) som i kalkulatorruten, så det er et bunnpunkt.
Bedriften selger alle varene den produserer. Inntekten I(x) I(x) kroner ved salg av x x enheter av varen per dag er gitt ved
I(x)=80x−0,10x2 I(x) = 80x - 0{,}10x^2

Oppgave 2c)

Hvor mange enheter av varen må bedriften produsere og selge for å gå med overskudd?
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
Overskuddet er positivt for x x mellom omtrent 9,27 og 500, så i hele enheter per dag:
10≤x≤500‾‾ \underline{\underline{10 \le x \le 500}}
Overskuddet er inntekt minus kostnad. Vi finner hvor overskuddet er positivt, og det gjør vi med grafen og Nullpunkt i GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen \( {O(x) = 0} \) kan ikke løses for hånd. Uten PC kan du prøve deg fram med kalkulatoren: \( {O(9) \approx -20} \) og \( {O(10) \approx 54}\text{.} \) Grafen til \( O \) krummer nedover, fordi \( {O''(x) < 0}\text{,} \) og \( {O(500) \approx 6472}\text{,} \) så overskuddet er positivt hele veien opp til 500.
Metode: Med GeoGebra
1. Sett opp overskuddet Overskuddet er inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{K(x)} \\ &= \textcolor{blue}{80x - 0{,}10x^2} - \textcolor{red}{700e^{\tfrac{x}{200}}} \end{aligned} \]
2. Finn hvor overskuddet er positivt Vi tegner \( O \) for \( x \) fra 0 til 500 og finner nullpunktet med Nullpunkt:
Skriv inn i GeoGebra: O(x) = Funksjon(80x - 0.1x^2 - 700*ℯ^(x/200), 0, 500) N = Nullpunkt(O, 0, 100) P = (500, O(500))
Grafen krysser \( x \)-aksen i \( {N \approx (9{,}27;\ 0)} \) og ligger over \( x \)-aksen resten av veien til \( {P = (500;\ 6472)}\text{.} \) Overskuddet er altså positivt for \( {9{,}27 < x \le 500}\text{.} \) Bedriften produserer hele enheter, så det minste antallet er 10.

S2 vår 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

2 poeng

La K(x) K(x) være kostnadsfunksjonen til en bedrift som produserer x x enheter av en vare, og la E(x) E(x) være enhetskostnaden. La x0 x_0 være antallet enheter som gir den laveste enhetskostnaden. Vis at grensekostnaden er lik enhetskostnaden for x=x0. {x = x_0}\text{.}
Vis løsning på oppgave 5

Svar

K′(x0)=E(x0)‾‾ \underline{\underline{K'(x_0) = E(x_0)}}
Enhetskostnaden er en brøk, \( {E(x) = \dfrac{K(x)}{x}}\text{,} \) så vi deriverer den med kvotientregelen. Der enhetskostnaden er lavest, er \( {E'(x_0) = 0}\text{.} \)
1. Deriver enhetskostnaden Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} \]
Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kvotientregelen.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{K(x)} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{K'(x)} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ E'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{K'(x)} \cdot \textcolor{blue}{x} - \textcolor{red}{K(x)} \cdot \textcolor{blue}{1}}{\textcolor{blue}{x}^2} \]
2. Sett den deriverte lik null Den laveste enhetskostnaden er et bunnpunkt for \( E\text{,} \) så \( {E'(x_0) = 0}\text{.} \) En brøk er \( 0 \) når telleren er \( 0 \) og nevneren ikke er det, og her er nevneren \( {x_0^2 > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} K'(x_0) \cdot x_0 - K(x_0) &= 0 \\ K'(x_0) \cdot x_0 &= K(x_0) \\ K'(x_0) &= \dfrac{K(x_0)}{x_0} \\ K'(x_0) &= E(x_0) \end{aligned} \]Grensekostnaden er \( K'(x)\text{,} \) så i \( {x = x_0} \) er grensekostnaden lik enhetskostnaden.