Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

76 oppgaver i S2 · viser 61–70

Oppgavene

S2 høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

Tabellen nedenfor viser den daglige etterspørselen etter en vare for ulike priser.
PrisEtterspørsel(kroner)1023720111304940225012 \begin{array}{r|r} \text{Pris} & \text{Etterspørsel} \\ \text{(kroner)} & \\ \hline 10 & 237 \\ 20 & 111 \\ 30 & 49 \\ 40 & 22 \\ 50 & 12 \end{array}

Oppgave 1a)

Lag en modell q q som kan brukes til å beskrive sammenhengen mellom prisen p p (i kroner) og den daglige etterspørselen. Vurder gyldighetsområdet til modellen.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Med konstantene avrundet til to og tre desimaler, og prisene i tabellen som gyldighetsområde:
q(p)≈494,98⋅0,927p‾‾10≤p≤50‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{q(p) \approx 494{,}98 \cdot 0{,}927^p}} \\ &\underline{\underline{10 \le p \le 50}} \end{aligned}
Etterspørselen blir ganget med omtrent det samme tallet for hver 10 kr, så vi finner en eksponentiell modell med regresjon. Gyldighetsområdet vurderer vi ut fra prisene i tabellen.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Regresjonen krever et digitalt verktøy. Uten PC kan du legge en eksponentiell modell gjennom to av punktene: med det første og det siste er \( {b^{40} = \dfrac{12}{237}}\text{,} \) så \( {b \approx 0{,}928} \) og \( {a = \dfrac{237}{b^{10}} \approx 500}\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Lag modellen med regresjon Vi deler hvert tall i tabellen på det forrige: \[ \begin{aligned} \dfrac{111}{237} &\approx 0{,}47 & \dfrac{49}{111} &\approx 0{,}44 \\ \dfrac{22}{49} &\approx 0{,}45 & \dfrac{12}{22} &\approx 0{,}55 \end{aligned} \]
Etterspørselen blir altså ganget med omtrent det samme tallet hver gang, og da passer en eksponentiell modell: \[ q(p) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^p \]
Vi lager en liste med punktene og bruker RegEksp, på samme måte som videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025 bruker RegLogist for en logistisk modell. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. GeoGebra bruker \( x \) for prisen \( p\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(10, 237), (20, 111), (30, 49), (40, 22), (50, 12)} q(x) = RegEksp(l1)
Med \( \textcolor{blue}{a} \) avrundet til to desimaler og \( \textcolor{red}{b} \) til tre er modellen: \[ q(p) \approx \textcolor{blue}{494{,}98} \cdot \textcolor{red}{0{,}927}^p \]Etterspørselen synker altså med omtrent \( 7{,}3\,\% \) for hver krone prisen øker.
2. Vurder gyldighetsområdet Tabellen har priser fra 10 kr til 50 kr, og der ligger modellen nær punktene. Utenfor vet vi lite, som når gyldighetsområdet vurderes i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Med gratis vare, \( {p = 0}\text{,} \) gir modellen omtrent 495, men tabellen sier ingenting om så lave priser. Modellen blir heller aldri 0, uansett hvor høy prisen er. Vi sier derfor at modellen gjelder for priser fra 10 kr til 50 kr.
Merk – Andre modeller: Andre modeller kan også være riktige når valget er begrunnet, for eksempel en eksponentiell modell gjennom det første og det siste punktet, \( {q \approx 500 \cdot 0{,}928^p}\text{.} \) En potensmodell \( {q = c \cdot p^r} \) passer dårligere: den gir omtrent 299 i stedet for 237 når prisen er 10 kr.

Oppgave 1b)

Hva bør prisen for varen være dersom bedriften skal selge 70 enheter per dag?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til én desimal bør prisen være:
p≈25,8 kr‾‾ \underline{\underline{p \approx 25{,}8\,\text{kr}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi løser likningen \( {q(p) = 70}\text{.} \) Den ukjente står i eksponenten, så vi tar \( \ln \) på begge sider.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ q(p) \approx 494{,}98 \cdot 0{,}927^p \]
Bedriften skal selge 70 enheter, så vi setter \( {q(p) = 70} \) og deler på \( 494{,}98\text{:} \) \[ \begin{aligned} 494{,}98 \cdot 0{,}927^p &= 70 \\ 0{,}927^p &= \dfrac{70}{494{,}98} \end{aligned} \]
2. Løs med ln Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen forteller oss at: \[ \ln\left(\textcolor{red}{b}^{\textcolor{green}{p}}\right) = \textcolor{green}{p} \cdot \ln \textcolor{red}{b} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.
Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{p} \cdot \ln \textcolor{red}{0{,}927} &= \ln\left(\dfrac{70}{494{,}98}\right) \\ \textcolor{green}{p} &= \dfrac{\ln\left(\dfrac{70}{494{,}98}\right)}{\ln \textcolor{red}{0{,}927}} \\ &\approx \dfrac{-1{,}9560}{-0{,}0758} \approx 25{,}8 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Finn skjæringspunktet Vi tegner linja \( {y = 70} \) og finner skjæringspunktet med modellen \( {q(p) \approx 494{,}98 \cdot 0{,}927^p} \) fra a) med Skjæring, som «skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: g: y = 70 A = Skjæring(q, g)
Skjæringspunktet er \( {A \approx (25{,}79;\ 70)}\text{,} \) så prisen bør være omtrent \( 25{,}8 \) kr.
For en annen vare viser det seg at
p=79−12,2ln⁡x p = 79 - 12{,}2\ln x
Her er x x den daglige etterspørselen når varen koster p p kroner.

Oppgave 1c)

Hva må prisen være dersom inntektene skal bli størst mulig?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Inntekten er størst når det selges omtrent 239 enheter per dag, og da er prisen:
p=12,2 kr‾‾ \underline{\underline{p = 12{,}2\,\text{kr}}}
Inntekten er pris ganger antall solgte enheter. Vi skriver den som en funksjon av \( x\text{,} \) deriverer og setter den deriverte lik null.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp inntekten Bedriften selger \( x \) enheter til prisen \( p\text{,} \) så inntekten er: \[ \begin{aligned} I(x) &= x \cdot p \\ &= x(79 - 12{,}2\ln x) \\ &= 79x - 12{,}2\,\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} \end{aligned} \]
2. Deriver med produktregelen Det siste leddet er et produkt. Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u}' \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Produktregelen.
\( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som er regelen for \( \ln u \) med \( {u = x} \) i videoen Derivasjonsregler/​Formler. Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} I'(x) &= 79 - 12{,}2\left(\textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}}\right) \\ &= 79 - 12{,}2\ln x - 12{,}2 \\ &= 66{,}8 - 12{,}2\ln x \end{aligned} \]
3. Sett den deriverte lik null \[ \begin{aligned} 66{,}8 - 12{,}2\ln x &= 0 \\ 12{,}2\ln x &= 66{,}8 \\ x &= e^{66{,}8/12{,}2} \approx 238{,}7 \end{aligned} \]\( I'(x) \) er positiv før dette punktet og negativ etter, fordi \( \ln x \) vokser. Inntekten er derfor størst her.
4. Finn prisen Vi trenger ikke regne ut \( x \) først, for prisen inneholder \( 12{,}2\ln x\text{,} \) som vi nettopp fant: \[ \begin{aligned} p &= 79 - 12{,}2\ln x \\ &= 79 - 66{,}8 = 12{,}2 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs i CAS Vi definerer prisen og inntekten, løser \( {I'(x) = 0} \) og setter løsningen inn i \( p\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: p(x) := 79 - 12.2 ln(x) I(x) := x p(x) Løs(I'(x) = 0, x) p(238.7483)
Rad 3 gir \( {x \approx 238{,}7}\text{,} \) og rad 4 gir prisen \( 12{,}2 \) kr.
Kostnadene K K (i kroner) ved produksjon og salg av x x enheter per dag er gitt ved
K(x)=0,021x2+10x+910 K(x) = 0{,}021x^2 + 10x + 910

Oppgave 1d)

Hvor mange enheter må produseres og selges per dag for at grenseinntektene skal bli lik grensekostnadene?
Gi en praktisk tolkning av svaret.
Vis løsning på oppgave 1d
Svar
Ved omtrent 80 enheter per dag gir én enhet til like mye i inntekt som i kostnad, og overskuddet er størst:
x≈80 enheter per dag‾‾ \underline{\underline{x \approx 80 \text{ enheter per dag}}}
Vi bruker grenseinntekten \( I'(x) \) fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Grenseinntekten er \( I'(x) \) og grensekostnaden er \( K'(x)\text{.} \) Vi setter dem like og løser likningen. Der er overskuddet størst.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen har både \( \ln x \) og \( x\text{,} \) så vi kan ikke få \( x \) alene med regnereglene i S2. Uten PC kan du prøve deg fram med kalkulatoren: med \( {x = 79} \) er \( {I'(x) - K'(x) \approx 0{,}17}\text{,} \) og med \( {x = 80} \) er den omtrent \( {-0{,}02}\text{,} \) så løsningen ligger mellom 79 og 80, nærmest 80.
Metode: Med GeoGebra
1. Sett opp likningen I c) fant vi \( \textcolor{blue}{\text{grenseinntekten}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{I'(x)} = \textcolor{blue}{66{,}8 - 12{,}2\ln x} \]
Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Vi deriverer \( K \) ledd for ledd og får \( \textcolor{red}{\text{grensekostnaden}}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{K'(x)} = \textcolor{red}{0{,}042x + 10} \]
Vi setter dem like: \[ \textcolor{blue}{66{,}8 - 12{,}2\ln x} = \textcolor{red}{0{,}042x + 10} \]
2. Løs i CAS På samme CAS-ark som i c) definerer vi \( K \) og løser likningen, som med Løs i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Her bruker vi NLøs med en startverdi, fordi likningen har både \( \ln x \) og \( x\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 0.021x^2 + 10x + 910 NLøs(I'(x) = K'(x), x = 80)
Rad 6 gir \( {x \approx 79{,}9}\text{,} \) altså omtrent 80 enheter per dag.
3. Tolk svaret Overskuddet er inntekt minus kostnad, så: \[ O'(x) = I'(x) - K'(x) \]
For færre enn 80 enheter er grenseinntekten større enn grensekostnaden, så én enhet til øker overskuddet. For flere enn 80 er det omvendt. Overskuddet er derfor størst ved omtrent 80 enheter per dag, og da er prisen omtrent \( {79 - 12{,}2\ln 80 \approx 25{,}5} \) kr.

S2 høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

Miriam har bestemt seg for å sette inn 20 000 kroner på en konto i begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet vil hun sette inn i begynnelsen av 2024, det andre beløpet i begynnelsen av 2025, og så videre. Anta at hun får en fast årlig rentesats på 3,5 prosent.

Oppgave 2a)

Vis at Miriam vil ha 565 594 kroner på kontoen like etter at hun har satt inn innskudd nummer 20.
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Avrundet til hele kroner:
S20≈565 594 kr‾‾ \underline{\underline{S_{20} \approx 565\,594\,\text{kr}}}
Hvert innskudd vokser med vekstfaktoren \( 1{,}035 \) for hvert år det står på kontoen. Saldoen er summen av de 20 innskuddene med renter, og den summen er en geometrisk rekke.
Metode: Med kalkulator
1. Skriv saldoen som en rekke Vekstfaktoren for \( 3{,}5\,\% \) er \( 1{,}035\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Innskudd nummer 20 er nettopp satt inn og har ingen renter. Innskudd nummer 19 har stått i 1 år, og det første innskuddet i 19 år: \[ \begin{aligned} S_{20} = \ &20\,000 + 20\,000 \cdot \textcolor{red}{1{,}035} \\ &+ \ldots + 20\,000 \cdot \textcolor{red}{1{,}035}^{19} \end{aligned} \]Hvert ledd er det forrige ganget med vekstfaktoren, så rekken er geometrisk.
2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^{\textcolor{green}{n}} - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.
Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a_1} &= \textcolor{blue}{20\,000} & \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{1{,}035} & \textcolor{green}{n} &= \textcolor{green}{20} \end{aligned} \]
Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} S_{20} &= \textcolor{blue}{20\,000} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{1{,}035}^{\textcolor{green}{20}} - 1}{\textcolor{red}{1{,}035} - 1} \\ &\approx 565\,593{,}64 \end{aligned} \]Avrundet til hele kroner er det \( 565\,594 \) kr.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut summen i CAS Innskudd nummer \( {20 - j} \) har stått i \( j \) år, så vi lar Sum legge sammen \( {20\,000 \cdot 1{,}035^j} \) for \( {j = 0} \) til \( 19\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: Sum(20000*1.035^j, j, 0, 19)
Summen er omtrent \( 565\,594 \) kr.
Hermod har også bestemt seg for å spare. Han vil sette inn et fast beløp i begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet setter han inn i begynnelsen av 2024. Han får også en fast årlig rentesats på 3,5 prosent. Hermod har regnet ut at han vil ha 692 852 kroner på kontoen like etter at innskudd nummer 20 er satt inn.

Oppgave 2b)

Bestem beløpet Hermod må sette inn hvert år for at dette skal stemme.
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Avrundet til hele kroner må Hermod sette inn:
x≈24 500 kr‾‾ \underline{\underline{x \approx 24\,500\,\text{kr}}}
Det er den samme rekken som i a), men med et ukjent innskudd \( x \) i stedet for \( 20\,000\text{.} \) Vi setter summen lik \( 692\,852 \) og løser for \( x\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp likningen Med innskuddet \( \textcolor{blue}{x} \) er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{x}}\text{,} \) og ellers er alt som i a). Summeformelen fra a), som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel, forteller oss at: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{k^n - 1}{k - 1} \]
Det gir: \[ \textcolor{blue}{x} \cdot \dfrac{1{,}035^{20} - 1}{1{,}035 - 1} = 692\,852 \]
2. Finn innskuddet Vi regner ut brøken og deler: \[ \begin{aligned} \dfrac{1{,}035^{20} - 1}{0{,}035} &\approx 28{,}2797 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{692\,852}{28{,}2797} \approx 24\,500 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) løser vi likningen for \( x \) med Løs og \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: Løs(x*Sum(1.035^j, j, 0, 19) = 692852, x)
Rad 2 gir \( {x \approx 24\,500} \) kr.
Miriam ønsker at det skal være 1 000 000 kroner på kontoen like etter at hun har satt inn innskudd nummer 20. For å få til dette, vil hun øke innskuddet med et fast beløp hvert år. Første innskudd skal være 20 000 kroner.

Oppgave 2c)

Hvor mye må hun øke innskuddet med hvert år?
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
Avrundet til hele øre må hun øke innskuddet med:
d≈1836,33 kr‾‾ \underline{\underline{d \approx 1836{,}33\,\text{kr}}}
Vi bruker summen \( 565\,593{,}64 \) kr fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi kaller økningen \( d\text{.} \) De \( 20\,000 \) kronene i hvert innskudd gir saldoen fra a), og hver økning er et nytt fast innskudd fra et år og ut, altså en ny geometrisk rekke.
Metode: Med kalkulator
1. Del opp innskuddene Innskudd nummer \( n \) er \( {20\,000 + (n - 1)\textcolor{red}{d}}\text{.} \) Fra a) vet vi at \( 20\,000 \) kr hvert år gir: \[ \textcolor{blue}{565\,593{,}64} \]
Den første økningen \( \textcolor{red}{d} \) kommer i innskudd 2 og er med i alle innskuddene etter det. Det er som å sette inn \( \textcolor{red}{d} \) hvert år i 19 år. Den andre økningen er med fra innskudd 3, altså i 18 år, og så videre, til den siste, som bare er med i innskudd 20.
2. Summer hver økning En økning som er med i \( m \) innskudd, gir en geometrisk rekke med \( {a_1 = \textcolor{red}{d}}\text{,} \) \( {k = 1{,}035} \) og \( m \) ledd. Summeformelen forteller oss at: \[ S_m = a_1 \cdot \dfrac{k^m - 1}{k - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.
For én økning gir det: \[ \textcolor{red}{d} \cdot \dfrac{1{,}035^m - 1}{0{,}035} \]
Vi legger sammen for \( {m = 19, 18, \ldots, 1}\text{,} \) og setter \( \textcolor{red}{d} \) og \( \dfrac{1}{0{,}035} \) utenfor: \[ \dfrac{\textcolor{red}{d}}{0{,}035}\left(1{,}035 + \ldots + 1{,}035^{19} - 19\right) \]
Summen i parentesen er en geometrisk rekke med \( {a_1 = 1{,}035}\text{,} \) \( {k = 1{,}035} \) og 19 ledd: \[ \begin{aligned} 1{,}035 \cdot \dfrac{1{,}035^{19} - 1}{0{,}035} &\approx 27{,}27968 \\ \dfrac{27{,}27968 - 19}{0{,}035} &\approx \textcolor{darkorange}{236{,}5623} \end{aligned} \]Økningene gir altså til sammen \( \textcolor{darkorange}{236{,}5623}\textcolor{red}{d}\text{.} \)
3. Finn økningen Saldoen skal være \( 1\,000\,000 \) kr: \[ \textcolor{blue}{565\,593{,}64} + \textcolor{darkorange}{236{,}5623}\textcolor{red}{d} = 1\,000\,000 \]
Vi trekker fra \( \textcolor{blue}{565\,593{,}64} \) og deler: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{236{,}5623}\textcolor{red}{d} &= 434\,406{,}36 \\ \textcolor{red}{d} &\approx 1836{,}33 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Innskudd nummer \( n \) er \( {20\,000 + (n - 1)d} \) og har stått i \( {20 - n} \) år. Vi summerer for \( {n = 1} \) til \( 20\text{,} \) og løser for \( d \) med Løs og \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: Løs(Sum((20000 + (n - 1)*d)*1.035^(20 - n), n, 1, 20) = 1000000, d)
Rad 3 gir \( {d \approx 1836{,}33} \) kr.

S2 høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

En dekkprodusent påstår at bremselengden for en type vinterdekk under bestemte forhold er 83 meter.
La X X være bremselengden ved en tilfeldig måling under disse forholdene. Gå ut fra at X X er normalfordelt med μ=83 m {\mu = 83\,\text{m}} og σ=3,0 m. {\sigma = 3{,}0\,\text{m}}\text{.}

Oppgave 3a)

Bestem sannsynligheten for at bremselengden ved en tilfeldig valgt måling er lengre enn 87 meter.
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Avrundet til to desimaler:
P(X>87)≈0,09‾‾ \underline{\underline{P(X > 87) \approx 0{,}09}}
\( X \) er normalfordelt. Vi gjør 87 meter om til en \( z \)-verdi og slår opp i tabellen over standard normalfordeling. Tabellen gir \( {P(Z \le z)}\text{,} \) så vi trekker den fra 1.
Metode: Med kalkulator
1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.
Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{83}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{3}}\text{.} \) Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} & P(X > 87) \\ &= 1 - P\left(Z \le \dfrac{87 - \textcolor{blue}{83}}{\textcolor{red}{3}}\right) \\ &\approx 1 - P(Z \le 1{,}33) \end{aligned} \]
2. Slå opp i tabellen Tabellen over standard normalfordeling gir \( {P(Z \le 1{,}33) = 0{,}9082}\text{:} \) \[ P(X > 87) \approx 1 - 0{,}9082 = 0{,}0918 \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS FordelingNormal\( (\mu, \sigma, x) \) gir \( {P(X \le x)}\text{.} \) Vi trekker den fra 1 og bruker \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingNormal(83, 3, 87)
Rad 1 gir \( {P(X > 87) \approx 0{,}0912}\text{.} \) Kalkulatorruten gir \( 0{,}0918\text{,} \) fordi tabellen bruker \( {z = 1{,}33} \) i stedet for \( \dfrac{4}{3}\text{.} \)

Oppgave 3b)

Bestem k k slik at P(X<k)=0,9. {P(X < k) = 0{,}9}\text{.} Gi en praktisk tolkning av svaret.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
I 90 % av målingene er bremselengden kortere enn k, k\text{,} avrundet til én desimal:
k≈86,8 m‾‾ \underline{\underline{k \approx 86{,}8\,\text{m}}}
Nå kjenner vi sannsynligheten og leter etter grensen. Vi finner \( z \)-verdien som gir \( 0{,}9 \) i tabellen, og gjør den om til meter.
Metode: Med kalkulator
1. Finn verdien i tabellen Vi leter etter \( 0{,}9 \) inne i tabellen. Tabellen gir \( {P(Z \le 1{,}28) = 0{,}8997} \) og \( {P(Z \le 1{,}29) = 0{,}9015}\text{,} \) så \( {z \approx 1{,}28}\text{.} \)
2. Gjør om til meter Standardiseringen fra a), som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling, forteller oss at: \[ z = \dfrac{k - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}} \]
Løser vi for \( k\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} k &= \textcolor{blue}{\mu} + z \cdot \textcolor{red}{\sigma} \\ &\approx \textcolor{blue}{83} + 1{,}28 \cdot \textcolor{red}{3} \\ &= 86{,}84 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS InversNormalfordeling\( (\mu, \sigma, p) \) gir grensen \( k \) med \( {P(X \le k) = p}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: InversNormalfordeling(83, 3, 0.9)
Rad 2 gir \( {k \approx 86{,}84}\text{.} \)

Oppgave 3c)

Bestem sannsynligheten for at gjennomsnittet av 15 målinger er mindre enn 84 meter.
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Avrundet til to desimaler:
P(Xˉ<84)≈0,90‾‾ \underline{\underline{P(\bar{X} < 84) \approx 0{,}90}}
Gjennomsnittet av 15 målinger varierer mindre enn én måling. Det er normalfordelt med samme forventning, men standardavviket deles på \( \sqrt{15}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Finn fordelingen til gjennomsnittet Gjennomsnittet \( \bar{X} \) av \( \textcolor{green}{n} \) uavhengige målinger har forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik: \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet. Når hver måling er normalfordelt, er også \( \bar{X} \) normalfordelt.
Her er \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{3}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{15}}\text{:} \) \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{3}}{\sqrt{\textcolor{green}{15}}} \approx 0{,}7746 \]
2. Standardiser og slå opp Vi standardiserer med standardavviket til gjennomsnittet. Tabellen over standard normalfordeling gir \( {P(Z \le 1{,}29) = 0{,}9015}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(\bar{X} < 84) &= P\left(Z < \dfrac{84 - \textcolor{blue}{83}}{0{,}7746}\right) \\ &\approx P(Z < 1{,}29) \\ &\approx 0{,}9015 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vi bruker FordelingNormal med standardavviket \( \dfrac{3}{\sqrt{15}} \) for gjennomsnittet:
Skriv inn i GeoGebra: FordelingNormal(83, 3/sqrt(15), 84)
Rad 3 gir \( {P(\bar{X} < 84) \approx 0{,}9016}\text{.} \)
Noen mener at bremselengden er lengre enn 83 meter. De ville derfor gjennomføre en test under de samme bestemte forholdene, for å sjekke om det er hold i dekkprodusentens påstand.
Det ble gjennomført 15 målinger. Resultatet av målingene (i meter) er gitt i tabellen nedenfor.
86,486,486,985,582,388,382,985,986,281,977,780,584,083,084,8 \begin{array}{r|r|r} \text{86,4} & \text{86,4} & \text{86,9} \\ \hline 85{,}5 & 82{,}3 & 88{,}3 \\ 82{,}9 & 85{,}9 & 86{,}2 \\ 81{,}9 & 77{,}7 & 80{,}5 \\ 84{,}0 & 83{,}0 & 84{,}8 \end{array}

Oppgave 3d)

Gjennomfør en hypotesetest med et signifikansnivå på 5 prosent til å avgjøre om det er hold i mistanken.
Vis løsning på oppgave 3d
Svar
P-verdien er omtrent 0,064>0,05, {0{,}064 > 0{,}05}\text{,} så vi forkaster ikke H0: H_0\text{:}
Ikke hold i mistanken‾‾ \underline{\underline{\text{Ikke hold i mistanken}}}
Vi bruker standardavviket til gjennomsnittet fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Mistanken er at bremselengden er lengre enn 83 meter. Vi regner ut gjennomsnittet av målingene og finner hvor sannsynlig et så høyt gjennomsnitt er hvis produsenten har rett.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er det vi vil finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at alt er som produsenten påstår, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Med \( \mu \) som forventet bremselengde i meter: \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } \mu = 83} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } \mu > 83} \]Testen er ensidig, fordi mistanken bare er at bremselengden er lengre.
2. Regn ut gjennomsnittet Summen av de 15 målingene er \( 1262{,}7\text{,} \) så: \[ \bar{x} = \dfrac{1262{,}7}{15} = 84{,}18 \]
3. Regn ut testobservatoren Standardavviket \( {\sigma = 3} \) er kjent, så vi bruker en z-test, som i videoen Valg av Test - Estimering og Hypotesetesting. Testobservatoren er: \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{\mu_0}}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \]
Her er \( {\textcolor{blue}{\mu_0} = \textcolor{blue}{83}} \) fra \( H_0\text{,} \) og i c) fant vi \( {\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{3}{\sqrt{15}} \approx 0{,}7746}\text{:} \) \[ z = \dfrac{84{,}18 - \textcolor{blue}{83}}{0{,}7746} \approx 1{,}52 \]
4. Finn P-verdien og konkluder P-verdien er sannsynligheten for et gjennomsnitt minst så høyt hvis \( H_0 \) er sann. Tabellen gir \( {P(Z \le 1{,}52) = 0{,}9357}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(Z \ge 1{,}52) &= 1 - 0{,}9357 \\ &= 0{,}0643 \end{aligned} \]P-verdien er større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( \textcolor{blue}{H_0}\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Målingene gir ikke grunnlag for å si at bremselengden er lengre enn 83 meter.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Hypotesene og testobservatoren er de samme som i kalkulatorruten. Vi legger målingene i tre lister, én per rad i tabellen, regner ut gjennomsnittet og finner P-verdien:
Skriv inn i GeoGebra: r1 := {86.4, 85.5, 82.9, 81.9, 84.0} r2 := {86.4, 82.3, 85.9, 77.7, 83.0} r3 := {86.9, 88.3, 86.2, 80.5, 84.8} (Sum(r1) + Sum(r2) + Sum(r3))/15 1 - FordelingNormal(83, 3/sqrt(15), 84.18)
Rad 7 gir \( {\bar{x} = 84{,}18}\text{,} \) og rad 8 gir P-verdien \( 0{,}0638\text{.} \) Den er større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)

S2 høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

Hver figur nedenfor består av kuler plassert på pentagoner. Antall kuler på hver av ytterkantene øker med én sammenlignet med antall kuler på ytterkanten i figuren før. La Pn P_n være antall kuler i figur n. n\text{.}
De fem første figurtallene er 1, 1\text{,} 6, 6\text{,} 16, 16\text{,} 31 31 og 51. 51\text{.}

Oppgave 4a)

Beskriv en rekursiv sammenheng mellom Pn P_n og Pn−1. {P_{n-1}}\text{.}
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
P1=1,Pn=Pn−1+5(n−1)‾‾ \underline{\underline{P_1 = 1\text{,} \quad P_n = P_{n-1} + 5(n - 1)}}
Vi ser på differansen mellom to figurtall som kommer etter hverandre. Den er antall kuler i den nye ytterste femkanten.
Metode: For hånd
1. Se på differansene Vi trekker hvert figurtall fra det neste: \[ \begin{aligned} 6 - 1 &= 5 = 5 \cdot \textcolor{red}{1} \\ 16 - 6 &= 10 = 5 \cdot \textcolor{red}{2} \\ 31 - 16 &= 15 = 5 \cdot \textcolor{red}{3} \\ 51 - 31 &= 20 = 5 \cdot \textcolor{red}{4} \end{aligned} \]
2. Forklar med figuren I figur \( n \) har den ytterste femkanten \( n \) kuler på hver kant. Fem kanter gir \( 5n\text{,} \) men de fem hjørnekulene telles to ganger, så det kommer \( {5n - 5 = 5(\textcolor{red}{n - 1})} \) nye kuler. Sammenhengen er derfor: \[ P_n = P_{n-1} + 5(\textcolor{red}{n - 1}) \]
For eksempel er \( {P_3 = P_2 + 5 \cdot 2 = 16}\text{.} \)

Oppgave 4b)

Lag et program som regner ut P100 P_{100} ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a).
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a), \( {P_n = P_{n-1} + 5(n - 1)}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi starter med \( {P_1 = 1}\text{,} \) og lar en løkke legge til de nye kulene for \( {n = 2, 3, \dots, 100}\text{.} \)
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.
Metode: Med Python
1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter \( {P = 1}\text{,} \) som er \( P_1\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene.
Løkka i linje 2 går for \( {n = 2, 3, \dots, 100}\text{,} \) og linje 3 er den rekursive sammenhengen: den legger til \( {\textcolor{red}{5(n - 1)}}\text{.} \)
2. Sjekk de første rundene Etter to runder er \( {P = 1 + \textcolor{red}{5} + \textcolor{red}{10} = 16 = P_3}\text{.} \) Programmet skriver ut \( 24\,751\text{.} \)

S2 høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

Høyden X X til en tilfeldig valgt jente på 24 måneder er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi E(X)=87 cm {\text{E}(X) = 87\,\text{cm}} og standardavvik SD(X)=3,3 cm. {\text{SD}(X) = 3{,}3\,\text{cm}}\text{.}
Høyden Y Y til en tilfeldig valgt gutt på 24 måneder er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi E(Y)=88 cm {\text{E}(Y) = 88\,\text{cm}} og standardavvik SD(Y)=3,1 cm. {\text{SD}(Y) = 3{,}1\,\text{cm}}\text{.}
Lag et program som du kan bruke til å anslå sannsynligheten for at høyden til et tilfeldig valgt barn på 24 måneder er mindre enn 84 cm. Gå ut ifra at det er like mange jenter som gutter i populasjonen.
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Vi lar programmet velge et tilfeldig barn mange ganger: først om det er en jente eller en gutt, så høyden fra riktig normalfordeling. Andelen barn under 84 cm er et anslag for sannsynligheten.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv på å skrive og lese slike programmer på papir, og på å regne ut sannsynligheten med tabellen, som i kontrollen nedenfor.
Metode: Med Python
1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Vi gjentar forsøket i en løkke og teller, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. \( \texttt{random()} \) gir et tilfeldig tall mellom 0 og 1, og \( \texttt{normal} \) en tilfeldig verdi fra en normalfordeling, der det første tallet er forventningen og det andre standardavviket.
2. Les programmet linje for linje Løkka i linje 6 går \( {N = 100\,000} \) ganger. Linje 7 gir en jente med sannsynlighet \( \dfrac{1}{2}\text{,} \) og da trekker linje 8 høyden fra normalfordelingen med forventning \( \textcolor{red}{87} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{3{,}3}\text{.} \) Ellers er det en gutt, og linje 10 trekker høyden med forventning \( \textcolor{blue}{88} \) og standardavvik \( \textcolor{blue}{3{,}1}\text{.} \)
Linje 11 sjekker om høyden er under 84 cm, og da teller linje 12 én til. Linje 14 skriver ut andelen av barna som var under 84 cm. Simuleringen gir litt ulike tall hver gang, men med så mange barn blir svaret nesten alltid \( 0{,}14 \) avrundet til to desimaler.
Kontroll: Med tabellen over standard normalfordeling er sannsynligheten for en jente og for en gutt under 84 cm: \[ \begin{aligned} P(X < 84) &= P(Z < -0{,}91) \\ &= 0{,}1814 \\ P(Y < 84) &= P(Z < -1{,}29) \\ &= 0{,}0985 \end{aligned} \]Halvparten er jenter, så sannsynligheten er gjennomsnittet av de to, \( {0{,}13995 \approx 0{,}140}\text{,} \) som simuleringen.

S2 vår 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

Regn ut integralet
∫01(ex+3x2)dx \int_0^1 \left(e^x + 3x^2\right) dx
Vis løsning på oppgave 1

Svar

∫01(ex+3x2)dx=e‾‾ \underline{\underline{\int_0^1 \left(e^x + 3x^2\right) dx = e}}
Vi ser at integralet består av to ledd. Vi finner derfor en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene til slutt.
1. Finn en antiderivert ledd for ledd \( \textcolor{blue}{e^x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{e^x}}\text{,} \) fordi \( {(e^x)' = e^x}\text{.} \)
For \( 3x^2 \) bruker vi potensregelen for integraler, som gjelder for \( {n \neq -1}\text{:} \) \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler, som regner ut nettopp \( \int_0^1 3x^2\,dx\text{.} \)
Her er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) så \( \textcolor{red}{3x^2} \) integrert blir: \[ 3 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{2} + 1}x^{\textcolor{green}{2} + 1} = \underline{\textcolor{red}{x^3}} \]
2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]
Plugger vi inn antiderivertene og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_0^1 \left(e^x + 3x^2\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{e^x} + \textcolor{red}{x^3}\right]_0^1 \\ &= \left(\textcolor{blue}{e} + \textcolor{red}{1}\right) - \left(\textcolor{blue}{1} + \textcolor{red}{0}\right) \\ &= e \end{aligned} \]Da vi satte inn \( {x = 0}\text{,} \) brukte vi at \( {e^0 = 1}\text{.} \)

S2 vår 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

Figuren nedenfor viser grafen til kostnadsfunksjonen og grafen til inntektsfunksjonen ved produksjon og salg av en vare.

Oppgave 2a)

Forklar hvordan du ut fra den grafiske framstillingen kan bestemme en tilnærmet verdi for grensekostnaden når det blir produsert 40 enheter. Omtrent hvor stor er denne grensekostnaden?
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Grensekostnaden er stigningstallet til tangenten i x=40, {x = 40}\text{,} avlest fra figuren:
K′(40)≈77 kr per enhet‾‾ \underline{\underline{K'(40) \approx 77\,\text{kr per enhet}}}
Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen, altså stigningstallet til tangenten. Vi tegner tangenten i \( {x = 40} \) og leser av stigningstallet.
1. Tegn tangenten Vi kaller kostnadsfunksjonen \( K\text{.} \) Grensekostnaden ved 40 enheter er \( K'(40)\text{,} \) stigningstallet til tangenten til grafen i \( {x = 40}\text{.} \) Den forteller omtrent hvor mye én enhet til koster, som i videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.
Grafen går gjennom \( (40, 3000)\text{.} \) Der legger vi en linjal inntil grafen, slik at den bare så vidt rører den, og tegner den grønne tangenten:
2. Les av stigningstallet Stigningstallet til en linje gjennom \( (x_1, y_1) \) og \( (x_2, y_2) \) er: \[ a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Den grønne tangenten går gjennom \( (40, 3000) \) og omtrent gjennom \( (100, 7600)\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} K'(40) &\approx \dfrac{7600 - 3000}{100 - 40} \\ &= \dfrac{4600}{60} \approx \textcolor{green}{77} \end{aligned} \]Når det produseres 40 enheter, koster én enhet til altså omtrent 77 kr. Tangenten er tegnet for hånd, så en avlesning litt over eller under er like god.

Oppgave 2b)

Forklar hvordan du, ved å se på stigningstallet i ulike punkt på grafene, kan avgjøre hvor mange enheter som må produseres for at overskuddet skal bli størst mulig.
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Overskuddet er størst der tangenten til kostnadsgrafen er parallell med inntektslinja, avlest fra figuren:
Omtrent 57 eller 58 enheter‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 57 \text{ eller } 58 \text{ enheter}}}
Overskuddet er avstanden fra kostnadsgrafen opp til inntektsgrafen. Vi sammenligner stigningstallene til de to grafene og ser hvor avstanden slutter å øke.
1. Sammenlign stigningstallene Med inntektsfunksjonen \( I \) og kostnadsfunksjonen \( K \) er overskuddet inntekt minus kostnad, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ O(x) = \textcolor{blue}{I(x)} - \textcolor{red}{K(x)} \]
Vi deriverer: \[ O'(x) = \textcolor{blue}{I'(x)} - \textcolor{red}{K'(x)} \]
Inntektsgrafen er en rett linje gjennom \( (0, 0) \) og \( (100, 10\,000)\text{,} \) så stigningstallet er det samme overalt: \[ \textcolor{blue}{I'(x)} = \dfrac{10\,000}{100} = \textcolor{blue}{100} \]
Kostnadsgrafen krummer oppover, så stigningstallet \( \textcolor{red}{K'(x)} \) øker. Der det er mindre enn \( \textcolor{blue}{100}\text{,} \) øker overskuddet, og der det er større, minker overskuddet: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{K'(x)} < \textcolor{blue}{100}&\text{:} \quad O'(x) > 0 \\ \textcolor{red}{K'(x)} > \textcolor{blue}{100}&\text{:} \quad O'(x) < 0 \end{aligned} \]Overskuddet er derfor størst der \( {O'(x) = 0}\text{,} \) som for ekstremalpunktet i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Det er der \( {\textcolor{red}{K'(x)} = \textcolor{blue}{100}}\text{,} \) altså der tangenten til kostnadsgrafen er parallell med inntektslinja.
2. Finn punktet på figuren Vi skyver en linjal parallelt med inntektslinja ned til den så vidt rører kostnadsgrafen. Den grønne linja rører grafen omtrent i \( {x = 57{,}5}\text{:} \)
Der er den prikkede avstanden opp til inntektslinja størst. Bedriften må altså produsere og selge omtrent 57 eller 58 enheter. Linja er tegnet for hånd, så en avlesning litt over eller under er like god.

S2 vår 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

En sannsynlighetsfordeling er gitt ved tabellen nedenfor.
xP(X=x)0k10,32k−0,230,1 \begin{array}{r|r} x & P(X = x) \\ \hline 0 & k \\ 1 & 0{,}3 \\ 2 & k - 0{,}2 \\ 3 & 0{,}1 \end{array}

Oppgave 3a)

Vis at P(X>1)=0,3. {P(X > 1) = 0{,}3}\text{.}
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Med k=0,4 {k = 0{,}4} er P(X=2)=0,2, {P(X = 2) = 0{,}2}\text{,} så:
P(X>1)=0,2+0,1=0,3‾‾ \underline{\underline{P(X > 1) = 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3}}
Summen av alle sannsynlighetene i en fordeling er 1. Det gir oss \( k\text{,} \) og så legger vi sammen sannsynlighetene for \( {X = 2} \) og \( {X = 3}\text{.} \)
1. Finn den ukjente sannsynligheten Sannsynlighetene for alle verdiene \( X \) kan ha, blir til sammen 1, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans): \[ \begin{aligned} & P(X = 0) + P(X = 1) \\ &+ P(X = 2) + P(X = 3) = 1 \end{aligned} \]
Plugger vi inn tallene fra tabellen, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{k} + 0{,}3 + (\textcolor{blue}{k} - 0{,}2) + 0{,}1 &= 1 \\ 2\textcolor{blue}{k} + 0{,}2 &= 1 \\ \textcolor{blue}{k} &= \textcolor{blue}{0{,}4} \end{aligned} \]
2. Legg sammen sannsynlighetene \( {X > 1} \) betyr at \( X \) er 2 eller 3: \[ \begin{aligned} & P(X > 1) \\ &= P(X = 2) + P(X = 3) \\ &= (\textcolor{blue}{0{,}4} - 0{,}2) + 0{,}1 \\ &= 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3 \end{aligned} \]

Oppgave 3b)

Bestem E(X) E(X) og Var(X). \text{Var}(X)\text{.}
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
E(X)=1‾‾Var(X)=1‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{E(X) = 1}} \\ &\underline{\underline{\text{Var}(X) = 1}} \end{aligned}
Vi bruker \( {k = 0{,}4} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Forventningen er summen av hver verdi ganget med sannsynligheten sin. Variansen finner vi med forventningen til \( X^2\text{.} \)
1. Regn ut forventningen I a) fant vi \( {k = 0{,}4}\text{,} \) så sannsynlighetene for \( {X = 0, 1, 2, 3} \) er \( 0{,}4\text{,} \) \( 0{,}3\text{,} \) \( 0{,}2 \) og \( 0{,}1\text{.} \) Forventningen er: \[ E(X) = \sum x \cdot P(X = x) \]Hvis du er usikker på denne, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).
Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= 0 \cdot 0{,}4 + 1 \cdot 0{,}3 \\ &\quad + 2 \cdot 0{,}2 + 3 \cdot 0{,}1 \\ &= 0 + 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}3 \\ &= \textcolor{red}{1} \end{aligned} \]
2. Regn ut variansen Variansen er forventningen til \( X^2 \) minus kvadratet av forventningen, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans): \[ \text{Var}(X) = \textcolor{green}{E(X^2)} - \textcolor{red}{E(X)}^2 \]
Vi finner \( \textcolor{green}{E(X^2)} \) på samme måte som \( E(X)\text{,} \) med \( x^2 \) i stedet for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} E(X^2) &= 0^2 \cdot 0{,}4 + 1^2 \cdot 0{,}3 \\ &\quad + 2^2 \cdot 0{,}2 + 3^2 \cdot 0{,}1 \\ &= 0 + 0{,}3 + 0{,}8 + 0{,}9 \\ &= \textcolor{green}{2} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \text{Var}(X) = \textcolor{green}{2} - \textcolor{red}{1}^2 = 1 \]

S2 vår 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

En elev har skrevet følgende kode:

Oppgave 4a)

Forklar hva eleven ønsker å regne ut.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Eleven ønsker å regne ut summen av de 10 10 første leddene i den aritmetiske rekken med a1=3 {a_1 = 3} og d=4: {d = 4}\text{:}
3+7+11+⋯+39=210‾‾ \underline{\underline{3 + 7 + 11 + \dots + 39 = 210}}
Vi følger løkka noen runder og ser hva som legges til \( S \) hver gang.
1. Følg løkka Linje 7 til 9 er en løkke som går \( {N = 10} \) ganger. I hver runde legger linje 8 tallet \( a \) til summen \( S\text{,} \) og linje 9 øker \( a \) med \( {d = 4}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene.
Etter tre runder er: \[ S = \textcolor{blue}{3} + 7 + 11 \]
2. Kjenn igjen rekken Leddene øker med \( \textcolor{red}{4} \) hver gang, så dette er en aritmetisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {\textcolor{red}{d = 4}}\text{.} \) Programmet legger sammen de \( 10 \) første leddene, og det siste er \( {3 + 9 \cdot 4 = 39}\text{.} \)
Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]
Plugger vi inn \( {n = 10}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {a_{10} = 39}\text{,} \) får vi: \[ S_{10} = \dfrac{10 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 39)}{2} = 210 \]

Oppgave 4b)

Hva blir resultatet når programmet kjøres, dersom N settes til 100 i linje 4?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Programmet skriver ut summen av de 100 100 første leddene:
S100=20 100‾‾ \underline{\underline{S_{100} = 20\,100}}
Fra a) legger programmet sammen de \( N \) første leddene i den aritmetiske rekken med \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {\textcolor{red}{d = 4}}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi finner det siste leddet, \( a_{100}\text{,} \) og bruker sumformelen for aritmetiske rekker.
1. Finn det siste leddet Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.
Med \( {n = 100} \) får vi: \[ a_{100} = \textcolor{blue}{3} + 99 \cdot \textcolor{red}{4} = 399 \]
2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.
Plugger vi inn \( {n = 100}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {a_{100} = 399}\text{,} \) får vi: \[ S_{100} = \dfrac{100 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 399)}{2} = 20\,100 \]

S2 vår 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

Knut må hver dag ta en tablett som inneholder 7 mg av et virkestoff. I kroppen brytes 10 prosent av dette virkestoffet ned hvert døgn. Knut har lest at det kan være skadelig å ha mer enn 100 mg av virkestoffet i kroppen. Legen beroliger Knut med at dette ikke vil skje med den dosen Knut tar.
Avgjør om det legen sier, stemmer.
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Mengden i kroppen nærmer seg 70 mg, men kommer aldri over, så legen har rett:
71−0,9=70 mg<100 mg‾‾ \underline{\underline{\dfrac{7}{1 - 0{,}9} = 70\,\text{mg} < 100\,\text{mg}}}
Det som er igjen av hver tablett, blir ganget med 0,9 for hvert døgn. Mengden rett etter en tablett er derfor en geometrisk rekke, og vi finner hvor stor summen kan bli.
1. Sett opp mengden som en rekke Når 10 prosent brytes ned, er 90 prosent igjen, så vekstfaktoren per døgn er \( \textcolor{red}{0{,}9}\text{.} \) Rett etter tablett nummer \( n \) er den nye tabletten \( \textcolor{blue}{7} \) mg, det som er igjen av tabletten fra døgnet før, er \( {\textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9}} \) mg, og så videre: \[ \begin{aligned} S_n = \ &\textcolor{blue}{7} + \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9} + \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9}^2 \\ &+ \ldots + \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{red}{0{,}9}^{n - 1} \end{aligned} \]Dette er en geometrisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{7}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}9}}\text{.} \)
2. Regn ut den uendelige summen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.
Siden \( {-1 < 0{,}9 < 1}\text{,} \) konvergerer rekken. Plugger vi inn, får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{7}}{1 - \textcolor{red}{0{,}9}} = \dfrac{7}{0{,}1} = 70 \]
3. Sammenlign med grensen Alle leddene er positive, så hver delsum \( S_n \) er mindre enn den uendelige summen: \[ S_n < S = 70 < 100 \]Rett etter en tablett er det altså alltid mindre enn 70 mg i kroppen, og mellom tablettene er det enda mindre. Legen har derfor rett.