Eksamensoppgaver etter tema

Økningen i salget er den deriverte \( f'(t)\text{.} \) Vi deriverer med kjerneregelen og finner når \( f'(t) \) er størst.

1. Deriver med kjerneregelen Vi skriver \( {f(t) = 700(1 + \textcolor{green}{u})^{-1}} \) med kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{20e^{-0{,}12t}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ f'(t) = g'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u}' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er den ytre funksjonen \( g \) og kjernen, der \( {\left(e^{-0{,}12t}\right)' = -0{,}12e^{-0{,}12t}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g(\textcolor{green}{u}) &= 700(1 + \textcolor{green}{u})^{-1} \\ g'(\textcolor{green}{u}) &= -700(1 + \textcolor{green}{u})^{-2} \\ \textcolor{green}{u}' &= -0{,}12 \cdot \textcolor{green}{u} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(t) &= -700 \cdot \left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^{-2} \cdot (-0{,}12\textcolor{green}{u}) \\ &= \dfrac{84\textcolor{green}{u}}{\left(1 + \textcolor{green}{u}\right)^2} \end{aligned} \]

2. Finn den største økningen Brøken \( {\dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2}} \) er aldri større enn \( \dfrac{1}{4}\text{,} \) og er lik \( \dfrac{1}{4} \) bare når \( {\textcolor{green}{u} = 1}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{green}{u}}{(1 + \textcolor{green}{u})^2} \le \dfrac{1}{4} \iff (1 - \textcolor{green}{u})^2 \ge 0 \]Den største økningen er derfor: \[ f'(t) = \dfrac{84 \cdot 1}{2^2} = 21 \]

3. Finn når økningen er størst Vi setter \( {\textcolor{green}{20e^{-0{,}12t}} = 1} \) og tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} e^{-0{,}12t} &= \dfrac{1}{20} \\ -0{,}12t &= -\ln 20 \\ t &= \dfrac{\ln 20}{0{,}12} \approx 24{,}96 \end{aligned} \]Etter omtrent 25 uker økte salget med 21 enheter per uke for hver uke.

1. Finn vendepunktet i CAS Salget øker raskest i vendepunktet, der \( {f''(t) = 0}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Vi løser med NLøs og setter løsningen inn i \( f'\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(t) := 700/(1 + 20*ℯ^(-0.12t)) NLøs(f''(t) = 0, t = 25) f'(24.9644)

Rad 2 gir \( {t \approx 24{,}96} \) uker, og rad 3 gir økningen \( 21 \) enheter per uke per uke.

\( f \) er enheter per uke, så integralet av \( f \) er det samlede salget. Vi finner en antiderivert med substitusjon og løser likningen der integralet er 2000.

1. Sett opp likningen Det samlede salget er integralet av salget per uke, som når strekningen er integralet av farten i videoen Eksamen 2018 August oppgave 2a. Etter \( \textcolor{blue}{x} \) uker er det samlede salget 2000 når: \[ \int_0^{\textcolor{blue}{x}} f(t)\,dt = 2000 \]

2. Finn en antiderivert Vi ganger teller og nevner med \( e^{0{,}12t}\text{:} \) \[ f(t) = \dfrac{700e^{0{,}12t}}{\textcolor{green}{e^{0{,}12t} + 20}} \]

Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{0{,}12t} + 20}} \) er \( {\textcolor{green}{u}' = 0{,}12e^{0{,}12t}}\text{,} \) så telleren er \( \dfrac{700}{0{,}12} \) ganger den deriverte av nevneren. Da bruker vi substitusjon, som i videoen Substitusjon, og at: \[ \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt = \ln \textcolor{green}{u} + c \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \int f(t)\,dt &= \dfrac{700}{0{,}12} \int \dfrac{\textcolor{green}{u}'}{\textcolor{green}{u}}\,dt \\ &= \dfrac{700}{0{,}12}\ln \textcolor{green}{u} + c \end{aligned} \]

3. Løs likningen I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 1 + 20 = 21}\text{.} \) Setter vi inn grensene, får vi: \[ \dfrac{700}{0{,}12}\left(\ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} - \ln 21\right) = 2000 \]

Vi ganger med \( \dfrac{0{,}12}{700} \) og løser for \( \textcolor{blue}{x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \ln \textcolor{green}{u(\textcolor{blue}{x})} &= \ln 21 + \dfrac{240}{700} \\ &\approx 3{,}3874 \\ e^{0{,}12\textcolor{blue}{x}} + 20 &\approx e^{3{,}3874} \approx 29{,}589 \\ e^{0{,}12\textcolor{blue}{x}} &\approx 9{,}589 \\ \textcolor{blue}{x} &\approx \dfrac{\ln 9{,}589}{0{,}12} \approx \textcolor{blue}{18{,}84} \end{aligned} \]Det samlede salget passerte 2000 enheter etter omtrent 18,8 uker, altså i uke 19.

1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) løser vi likningen \( {\int_0^{x} f(t)\,dt = 2000} \) i CAS, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, her med NLøs og en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Integral(f(t), t, 0, x) = 2000, x = 19)

Rad 4 gir \( {\textcolor{blue}{x} \approx \textcolor{blue}{18{,}84}} \) uker.

Vi bruker den antideriverte fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner det første året som 52 uker. Integralet av \( f \) fra 0 til 52 er antallet enheter solgt det året, og prisen er inntekten delt på antallet.

1. Regn ut salget det første året I b) fant vi en antiderivert med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{e^{0{,}12t} + 20}}\text{:} \) \[ \int f(t)\,dt = \dfrac{700}{0{,}12}\ln \textcolor{green}{u} + c \]

I \( {t = 0} \) er \( {\textcolor{green}{u} = 21}\text{,} \) og i \( {t = 52} \) er \( {\textcolor{green}{u} = e^{6{,}24} + 20 \approx 532{,}86}\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} & \int_0^{52} f(t)\,dt \\ &= \dfrac{700}{0{,}12}\left(\ln 532{,}86 - \ln 21\right) \\ &= \dfrac{700}{0{,}12}\ln\left(\dfrac{532{,}86}{21}\right) \\ &\approx \textcolor{blue}{18\,863} \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {\ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)}\text{.} \)

2. Regn ut prisen Inntekten er pris ganger antall solgte enheter, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Prisen er da: \[ p = \dfrac{1\,000\,000}{\textcolor{blue}{18\,863}} \approx 53{,}01 \]Butikken har solgt produktet for omtrent 53 kr per enhet.

Kontroll: Med et år på \( {\dfrac{365}{7} \approx 52{,}14} \) uker blir salget omtrent \( 18\,960 \) og prisen omtrent \( 52{,}74 \) kr, også 53 kr avrundet til hele kroner.

1. Regn ut integralet i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut salget det første året med \( {\approx} \) og deler inntekten på det:

Skriv inn i GeoGebra: Integral(f(t), t, 0, 52) 1000000/18863.4454

Rad 5 gir \( \textcolor{blue}{18\,863} \) enheter det første året, og rad 6 gir prisen \( 53{,}01 \) kr.

Vi sjekker de fire kravene til en binomisk fordeling. Så setter vi inn i formelen for binomisk sannsynlighet.

1. Begrunn fordelingen For hver pasient er det to utfall: legemiddelet virker eller ikke. Antallet pasienter \( n \) er fast, sannsynligheten \( 0{,}75 \) er den samme for alle, og vi antar at pasientene er uavhengige av hverandre. Det er de fire kravene til en binomisk fordeling, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. \( X \) er derfor binomisk fordelt.

2. Regn ut sannsynligheten Med \( \textcolor{blue}{n} \) forsøk og sannsynligheten \( \textcolor{red}{p} \) i hvert forsøk er: \[ P(X = x) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{x} \cdot \textcolor{red}{p}^x \cdot (1 - \textcolor{red}{p})^{\textcolor{blue}{n} - x} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{12}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}75}} \) og \( {x = 9}\text{.} \) Med nCr på kalkulatoren er \( {\binom{12}{9} = 220}\text{,} \) og vi får: \[ \begin{aligned} P(X = 9) &= \binom{\textcolor{blue}{12}}{9} \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^9 \cdot 0{,}25^{3} \\ &= 220 \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^9 \cdot 0{,}25^{3} \\ &\approx 0{,}258 \end{aligned} \]

1. Regn ut sannsynligheten i CAS Med den samme begrunnelsen for fordelingen bruker vi den binomiske fordelingen med \( {n = 12} \) og \( {p = 0{,}75}\text{.} \) Det siste argumentet, false, gir \( {P(X = 9)} \) og ikke \( {P(X \le 9)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: FordelingBinomial(12, 0.75, 9, false)

\( {P(X = 9)} \) er omtrent \( 0{,}258\text{.} \)

Vi bruker den binomiske fordelingen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter opp hypotesene og regner ut hvor sannsynlig det er at B virker på minst 9 av 10 hvis B er like god som A. Er det ikke under \( 5\,\%\text{,} \) kan vi ikke si at B er bedre.

1. Sett opp hypotesene \( H_1 \) er det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( H_0 \) er at det ikke er noen forskjell fra A, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro: \[ H_0\text{: } p = \textcolor{red}{0{,}75} \qquad H_1\text{: } p > \textcolor{red}{0{,}75} \]

2. Regn ut P-verdien Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet \( Y \) som B virker på, binomisk fordelt med \( {n = 10} \) og \( {p = 0{,}75}\text{,} \) som i a): \[ P(Y = y) = \binom{10}{y} \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^y \cdot 0{,}25^{10 - y} \]

P-verdien er sannsynligheten for et resultat som er minst like godt som 9 av 10. Med \( {\binom{10}{9} = 10} \) og \( {\binom{10}{10} = 1} \) får vi: \[ \begin{aligned} & P(Y \ge 9) \\ &= P(Y = 9) + P(Y = 10) \\ &= 10 \cdot 0{,}75^9 \cdot 0{,}25 \\ &\quad + 0{,}75^{10} \\ &\approx 0{,}1877 + 0{,}0563 \\ &= \textcolor{green}{0{,}2440} \end{aligned} \]

3. Konkluder P-verdien \( \textcolor{green}{0{,}2440} \) er større enn signifikansnivået \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Selv om B var like god som A, ville minst 9 av 10 skje i omtrent \( 24\,\% \) av tilfellene. Vi kan derfor ikke si at B virker med høyere sannsynlighet enn A.

1. Regn ut P-verdien i CAS Med de samme hypotesene er \( {P(Y \ge 9) = 1 - P(Y \le 8)}\text{.} \) Med true gir FordelingBinomial den kumulative sannsynligheten \( {P(Y \le 8)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(10, 0.75, 8, true)

P-verdien er \( \textcolor{green}{0{,}244}\text{,} \) større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)

Vi bruker hypotesene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi leter etter det minste antallet \( k \) som gir en P-verdi \( {P(Y \ge k)} \) under \( 5\,\%\text{.} \) Med 200 pasienter er \( Y \) tilnærmet normalfordelt, så vi kan bruke tabellen.

1. Finn forventning og standardavvik I b) satte vi opp hypotesene: \[ H_0\text{: } p = 0{,}75 \qquad H_1\text{: } p > 0{,}75 \]

Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet \( Y \) som B virker på, binomisk fordelt med \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{200}} \) og \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}75}}\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} E(Y) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \cdot (1 - \textcolor{red}{p})} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formlene, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(Y) &= \textcolor{blue}{200} \cdot \textcolor{red}{0{,}75} = 150 \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{200} \cdot \textcolor{red}{0{,}75} \cdot 0{,}25} \approx 6{,}124 \end{aligned} \]Med så mange pasienter er \( Y \) tilnærmet normalfordelt.

2. Finn grensen for å forkaste Vi forkaster \( H_0 \) når \( {P(Y \ge k) < 0{,}05}\text{,} \) altså når \( k \) ligger mer enn \( z \) standardavvik over \( 150\text{,} \) der \( {P(Z \le z) = 0{,}95}\text{.} \) I tabellen står \( {P(Z \le 1{,}64) = 0{,}9495} \) og \( {P(Z \le 1{,}65) = 0{,}9505}\text{,} \) så \( {z \approx 1{,}645}\text{.} \) Vi standardiserer som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ Z = \dfrac{Y - E(Y)}{\sigma} \]

Med \( {Y = k}\text{,} \) \( {E(Y) = 150} \) og \( {\sigma \approx 6{,}124} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{k - 150}{6{,}124} &> 1{,}645 \\ k &> 150 + 1{,}645 \cdot 6{,}124 \\ k &> 160{,}07 \end{aligned} \]Det minste heltallet er \( {k = 161}\text{.} \) B må altså virke på minst 161 av de 200 pasientene.

1. Regn ut P-verdiene i CAS Med de samme hypotesene regner vi ut P-verdien eksakt for \( {k = 160} \) og \( {k = 161}\text{:} \) \[ P(Y \ge k) = 1 - P(Y \le k - 1) \]

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(200, 0.75, 159, true) 1 - FordelingBinomial(200, 0.75, 160, true)

Med \( {k = 160} \) er P-verdien \( 0{,}0578\text{,} \) over \( 0{,}05\text{,} \) og med \( {k = 161} \) er den \( 0{,}0405\text{,} \) under. B må altså virke på minst 161 pasienter.

Lånebeløpet er lik nåverdien av alle terminbeløpene, og den summen er en geometrisk rekke. Vi summerer rekken og løser for terminbeløpet.

1. Sett opp nåverdien som en rekke Med terminbeløpet \( \textcolor{red}{T}\text{,} \) renten \( \textcolor{blue}{r} \) og \( \textcolor{green}{n} \) terminer er lånebeløpet summen av nåverdiene av terminbeløpene: \[ \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1 + \textcolor{blue}{r}} + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^2} + \ldots + \dfrac{\textcolor{red}{T}}{(1 + \textcolor{blue}{r})^{\textcolor{green}{n}}} \]Det er en geometrisk rekke.

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{a_1\left(1 - k^n\right)}{1 - k} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Her er: \[ \begin{aligned} a_1 &= \dfrac{\textcolor{red}{T}}{1 + \textcolor{blue}{r}} & k &= \dfrac{1}{1 + \textcolor{blue}{r}} \end{aligned} \]

Nevneren i summeformelen blir: \[ 1 - k = 1 - \dfrac{1}{1 + \textcolor{blue}{r}} = \dfrac{\textcolor{blue}{r}}{1 + \textcolor{blue}{r}} \]

Plugger vi dette inn, forkortes \( {1 + \textcolor{blue}{r}} \) bort, og vi får: \[ \text{lån} = \textcolor{red}{T} \cdot \dfrac{1 - (1 + \textcolor{blue}{r})^{-\textcolor{green}{n}}}{\textcolor{blue}{r}} \]

3. Løs for terminbeløpet Her er lånet \( 2\,500\,000 \) kr, \( {\textcolor{blue}{r} = \textcolor{blue}{0{,}055}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{25}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{T} &= \dfrac{2\,500\,000 \cdot \textcolor{blue}{0{,}055}}{1 - \textcolor{blue}{1{,}055}^{-\textcolor{green}{25}}} \\ &\approx \textcolor{red}{186\,373{,}38} \end{aligned} \]

1. Regn ut terminbeløpet i CAS Med den samme formelen regner vi ut terminbeløpet med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 2500000*0.055/(1 - 1.055^(-25))

Terminbeløpet er omtrent \( \textcolor{red}{186\,373} \) kr.

Vi bruker terminbeløpet og formelen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Restgjelden etter 5 år er nåverdien av de 20 terminene som er igjen. Vi legger til 500 000 kr og finner terminbeløpet for den nye gjelden over 20 år.

1. Finn restgjelden etter 5 år I a) fant vi formelen \[ \text{lån} = T \cdot \dfrac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} \]og terminbeløpet \( {T \approx 186\,373{,}38} \) kr.

Etter 5 terminer er det \( {25 - 5 = 20} \) terminer igjen. Restgjelden er nåverdien av dem, en geometrisk rekke vi summerer som i videoen Sum geometriske rekker Eksempel: \[ \begin{aligned} R &= \textcolor{red}{186\,373{,}38} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{blue}{1{,}055}^{-\textcolor{green}{20}}}{\textcolor{blue}{0{,}055}} \\ &\approx 2\,227\,233{,}18 \end{aligned} \]

2. Finn de nye terminbeløpene Den nye gjelden er: \[ \begin{aligned} & 2\,227\,233{,}18 + 500\,000 \\ &= 2\,727\,233{,}18 \end{aligned} \]Den skal betales ned på de samme 20 årene: \[ \begin{aligned} T_{\text{ny}} &= \dfrac{2\,727\,233{,}18 \cdot \textcolor{blue}{0{,}055}}{1 - \textcolor{blue}{1{,}055}^{-\textcolor{green}{20}}} \\ &\approx 228\,213{,}05 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut restgjelden og så terminbeløpet for den nye gjelden, \( {2\,227\,233{,}18 + 500\,000}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 186373.38*(1 - 1.055^(-20))/0.055 2727233.18*0.055/(1 - 1.055^(-20))

Rad 2 gir restgjelden \( 2\,227\,233{,}18 \) kr, og rad 3 gir de nye terminbeløpene, omtrent \( 228\,213 \) kr.

Vi bruker den nye gjelden fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den nye gjelden er nåverdien av alle terminene på 200 000 kr. Vi løser likningen for antallet terminer ved å ta \( \ln \) på begge sider.

1. Sett opp likningen I b) fant vi den nye gjelden, \( 2\,727\,233{,}18 \) kr. Med \( \textcolor{green}{m} \) terminer på \( \textcolor{red}{200\,000} \) kr gir formelen fra a): \[ \begin{aligned} & 2\,727\,233{,}18 \\ &= \textcolor{red}{200\,000} \cdot \dfrac{1 - 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}}}{0{,}055} \end{aligned} \]

2. Løs med ln Vi ganger med \( 0{,}055 \) og deler på \( \textcolor{red}{200\,000}\text{.} \) På høyre side står da \( {1 - 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}}}\text{,} \) og på venstre: \[ \dfrac{2\,727\,233{,}18 \cdot 0{,}055}{\textcolor{red}{200\,000}} \approx 0{,}75 \]

Så tar vi \( \ln \) på begge sider, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, og bruker at: \[ \ln a^x = x \ln a \]

Det gir: \[ \begin{aligned} 1 - 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}} &\approx 0{,}75 \\ 1{,}055^{-\textcolor{green}{m}} &\approx 0{,}25 \\ -\textcolor{green}{m} \cdot \ln 1{,}055 &\approx \ln 0{,}25 \\ \textcolor{green}{m} &\approx \dfrac{\ln 0{,}25}{-\ln 1{,}055} \approx 25{,}89 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Det trengs 25 hele terminer på 200 000 kr og en mindre termin til slutt, altså 26 terminer etter utvidelsen. Sammen med de 5 årene før utvidelsen blir nedbetalingstiden: \[ 5 + 26 = 31 \text{ år} \]

1. Løs likningen i CAS På samme CAS-ark som i a) og b) løser vi likningen for \( \textcolor{green}{m} \) i CAS, som i videoen Oppgave 3C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, her med NLøs og en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(2727233.18 = 200000*(1 - 1.055^(-m))/0.055, m = 25)

Rad 4 gir \( {\textcolor{green}{m} \approx 25{,}89}\text{,} \) altså 26 terminer etter utvidelsen og \( {5 + 26 = 31} \) år i alt.

Fra \( S_n \) til \( {S_{n+1}} \) legger vi til ett kubikktall til. For den eksplisitte formelen regner vi ut de første summene og ser etter et mønster.

1. Skriv opp sammenhengen \( {S_{n+1}} \) er summen av de \( {n + 1} \) første kubikktallene, altså \( S_n \) pluss det neste kubikktallet: \[ S_{n+1} = S_n + \textcolor{red}{(n + 1)^3} \quad\text{og}\quad S_1 = 1 \]

2. Regn ut de første summene Vi legger til ett kubikktall om gangen: \[ \begin{aligned} S_1 &= 1 = 1^2 \\ S_2 &= 1 + 8 = 9 = 3^2 \\ S_3 &= 9 + 27 = 36 = 6^2 \\ S_4 &= 36 + 64 = 100 = 10^2 \\ S_5 &= 100 + 125 = 225 = 15^2 \end{aligned} \]Alle summene er kvadrattall.

3. Finn mønsteret Tallene \( 1, 3, 6, 10, 15 \) er summene \( {1 + 2 + \dots + n}\text{,} \) og den summen er: \[ 1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene.

Summen av kubikktallene er kvadratet av den: \[ S_n = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \]For eksempel er \( {S_5 = \left(\dfrac{5 \cdot 6}{2}\right)^2 = 15^2 = 225}\text{.} \)

Formelen passer med den rekursive sammenhengen, for: \[ \begin{aligned} & \left(\dfrac{(n + 1)(n + 2)}{2}\right)^2 \\ &\quad - \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \\ &= \dfrac{(n + 1)^2}{4}\left((n + 2)^2 - n^2\right) \\ &= \dfrac{(n + 1)^2}{4} \cdot (4n + 4) \\ &= (n + 1)^3 \end{aligned} \]Formelen gir også \( {S_1 = 1}\text{,} \) så den gir de samme summene som sammenhengen for alle \( n\text{.} \)

Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a), \( {S_{n+1} = S_n + (n + 1)^3}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi starter med summen \( 0\text{,} \) og lar en løkke legge til ett kubikktall om gangen, \( 50 \) ganger.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter summen \( {S = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker som legger sammen, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene.

Løkka i linje 2 går for \( {n = 1, 2, \dots, 50}\text{,} \) og linje 3 er den rekursive sammenhengen: den legger \( \textcolor{red}{n^3} \) til summen.

2. Sjekk de første rundene Etter tre runder er \( {S = \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{8} + \textcolor{red}{27} = 36 = S_3}\text{.} \) Programmet skriver ut \( 1\,625\,625\text{.} \) Formelen fra a) gir det samme: \[ \left(\dfrac{50 \cdot 51}{2}\right)^2 = 1275^2 = 1\,625\,625 \]

Svein trekker uten tilbakelegging fra to grupper, så vi bruker den hypergeometriske fordelingen: utvalgene med 9 røde og 6 blå delt på alle utvalg av 15 baller.

1. Velg fordeling Ballene legges ikke tilbake, så sannsynligheten for rød endrer seg for hver trekning. Trekningene er derfor ikke uavhengige, og da holder ikke de fire kravene til en binomisk fordeling fra videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Med \( \textcolor{blue}{N} \) baller, der \( \textcolor{red}{R} \) er røde, og \( n \) trukket, er sannsynligheten for \( k \) røde: \[ P(X = k) = \dfrac{\dbinom{\textcolor{red}{R}}{k} \cdot \dbinom{\textcolor{blue}{N} - \textcolor{red}{R}}{n - k}}{\dbinom{\textcolor{blue}{N}}{n}} \]Telleren er antallet måter å velge \( k \) røde og \( {n - k} \) blå på, og nevneren er antallet måter å velge \( n \) av alle ballene på.

2. Regn ut sannsynligheten Her er \( {\textcolor{blue}{N} = \textcolor{blue}{30}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{R} = \textcolor{red}{15}}\text{,} \) \( {n = 15} \) og \( {k = 9}\text{.} \) Med nCr på kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} P(X = 9) &= \dfrac{\dbinom{\textcolor{red}{15}}{9} \cdot \dbinom{15}{6}}{\dbinom{\textcolor{blue}{30}}{15}} \\ &= \dfrac{5005 \cdot 5005}{155\,117\,520} \\ &\approx 0{,}1615 \end{aligned} \]

1. Regn ut sannsynligheten i CAS Med 30 baller, 15 røde og 15 trukket gir den hypergeometriske fordelingen \( {P(X = 9)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: FordelingHypergeometrisk(30, 15, 15, 9, false)

Sannsynligheten er omtrent \( 0{,}1615\text{.} \)

Vi bruker formelen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner ut sannsynligheten for 9 røde og 6 blå for flere mulige antall baller i kurven. Det mest sannsynlige antallet er det som gir størst sannsynlighet for det Svein fikk.

1. Regn ut for flere antall baller Med \( \textcolor{blue}{N} \) baller er halvparten røde, \( {\textcolor{red}{R} = \dfrac{\textcolor{blue}{N}}{2}}\text{,} \) så formelen fra a) gir: \[ P(\textcolor{blue}{N}) = \dfrac{\dbinom{\textcolor{red}{N/2}}{9} \cdot \dbinom{\textcolor{red}{N/2}}{6}}{\dbinom{\textcolor{blue}{N}}{15}} \]\( \textcolor{blue}{N} \) er et partall, og minst 18, fordi det må være minst 9 røde.

Med nCr på kalkulatoren får vi, med seks desimaler: \[ \begin{aligned} P(30) &\approx 0{,}161491 \\ P(32) &\approx 0{,}161937 \\ P(34) &\approx 0{,}162104 \\ P(36) &\approx 0{,}162104 \\ P(38) &\approx 0{,}162003 \\ P(40) &\approx 0{,}161841 \end{aligned} \]Sannsynligheten øker fram til 34, er like stor for 34 og 36, og synker etterpå. Regner vi ut flere verdier, ser vi at den fortsetter å synke for større \( \textcolor{blue}{N}\text{.} \)

2. Sammenlign de to største Når vi øker \( \textcolor{red}{R} \) fra 17 til 18 og \( \textcolor{blue}{N} \) fra 34 til 36, blir binomialkoeffisientene ganget med: \[ \begin{aligned} \dfrac{\dbinom{18}{9}}{\dbinom{17}{9}} &= \dfrac{18}{9} \\ \dfrac{\dbinom{18}{6}}{\dbinom{17}{6}} &= \dfrac{18}{12} \\ \dfrac{\dbinom{36}{15}}{\dbinom{34}{15}} &= \dfrac{36 \cdot 35}{21 \cdot 20} \end{aligned} \]Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{P(36)}{P(34)} &= \dfrac{18}{9} \cdot \dfrac{18}{12} \cdot \dfrac{21 \cdot 20}{36 \cdot 35} \\ &= 2 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = 1 \end{aligned} \]Med 34 og 36 baller er det altså nøyaktig like sannsynlig å trekke 9 røde og 6 blå.

1. Lag en følge i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut sannsynligheten for \( {\textcolor{blue}{N} = 2m} \) baller, med \( m \) røde, for \( {m = 15} \) til \( 20\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Følge(FordelingHypergeometrisk(2m, m, 15, 9, false), m, 15, 20)

Listen gir sannsynlighetene for \( {\textcolor{blue}{N} = 30, 32, \dots, 40}\text{.} \) Med fire desimaler er den størst, \( 0{,}1621\text{,} \) for \( {\textcolor{blue}{N} = 34} \) og \( {\textcolor{blue}{N} = 36}\text{.} \)

Vi finner kvotienten fra summen av den uendelige rekka. Så legger vi sammen de fire første leddene.

1. Finn kvotienten Når \( {-1 < k < 1}\text{,} \) konvergerer en uendelig geometrisk rekke, og summen er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Plugger vi inn \( {S = 8} \) og \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{4}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{1 - \textcolor{red}{k}} &= 8 \\ 1 - \textcolor{red}{k} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

2. Legg sammen de fire første leddene Hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} S_4 &= 4 + 2 + 1 + \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{15}{2} \end{aligned} \]

Vi skriver alle tre leddene med \( a_1 \) og differansen \( d\text{,} \) og ser at summen er tre ganger \( a_4\text{.} \)

1. Skriv leddene med differansen Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Da er \( {\textcolor{blue}{a_4 = a_1 + 3\textcolor{red}{d}}} \) og \( {a_7 = a_1 + 6\textcolor{red}{d}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} a_1 + a_4 + a_7 &= 3a_1 + 9\textcolor{red}{d} \\ &= 3(\textcolor{blue}{a_1 + 3\textcolor{red}{d}}) = 3\textcolor{blue}{a_4} \end{aligned} \]

Dermed er: \[ \begin{aligned} 3\textcolor{blue}{a_4} &= 114 \\ \textcolor{blue}{a_4} &= 38 \end{aligned} \]

Enhetskostnaden er kostnaden delt på antall enheter. Vi finner \( K(40) \) fra linja som går gjennom \( A\text{.} \)

1. Finn kostnaden ved 40 enheter På figuren ligger \( A \) på grafen til \( K \) med \( {x = 40}\text{.} \) Både den grønne linja \( f \) og den røde linja \( h \) går gjennom \( A\text{,} \) og de gir samme verdi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{f(40)} &= 31 \cdot 40 + 2030 = 3270 \\ \textcolor{red}{h(40)} &= 81{,}75 \cdot 40 = 3270 \end{aligned} \]Kostnaden ved 40 enheter er altså \( {K(40) = 3270}\text{.} \)

2. Del på antall enheter Enhetskostnaden er kostnaden per enhet: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} \]

Plugger vi inn \( {x = 40}\text{,} \) får vi: \[ E(40) = \dfrac{K(40)}{40} = \dfrac{3270}{40} = \textcolor{red}{81{,}75} \]Det er stigningstallet til den røde linja \( h\text{,} \) som går fra origo til \( A\text{.} \)

Grensekostnaden er den deriverte \( K'(40)\text{.} \) Den er stigningstallet til tangenten i \( A\text{,} \) og den tangenten er \( f\text{.} \)

1. Finn tangenten Grensekostnaden er den deriverte av kostnaden: \[ \text{grensekostnad} = K'(x) \]

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten der. I videoen Oppgave 5 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023 betyr \( {K'(500) = 200} \) at én enhet til koster omtrent 200 kr mer.

Den røde linja \( h \) går også gjennom \( A\text{,} \) men den krysser grafen der og er ikke en tangent. Det er den grønne linja \( f \) som tangerer grafen til \( K \) i \( {A = (40, 3270)}\text{.} \)

2. Les av stigningstallet \( {f(x) = \textcolor{green}{31}x + 2030} \) har stigningstallet \( \textcolor{green}{31}\text{,} \) så: \[ K'(40) = f'(40) = \textcolor{green}{31} \]Når bedriften produserer 40 enheter, koster én enhet til omtrent 31 kr.

Enhetskostnaden er stigningstallet til linja fra origo til et punkt på grafen til \( K\text{.} \) Den er minst når linja så vidt rører grafen, altså er en tangent.

1. Se enhetskostnaden som et stigningstall Enhetskostnaden kan skrives: \[ E(x) = \dfrac{K(x)}{x} = \dfrac{K(x) - 0}{x - 0} \]Det er stigningstallet til linja fra origo \( (0, 0) \) til punktet \( (x, K(x)) \) på grafen. I a) var det den røde linja \( h \) til \( A\text{.} \)

2. Finn den slakeste linja fra origo Vi dreier linja fra origo ned mot grafen. Stigningstallet er minst når linja bare så vidt rører grafen, altså når den er tangent. Den blå linja \( {g(x) = \textcolor{blue}{60}x} \) går gjennom origo og tangerer grafen i \( {B = (100, 6000)}\text{.} \) Alle andre linjer fra origo til grafen er brattere.

Den minste enhetskostnaden er da: \[ E(100) = \dfrac{K(100)}{100} = \dfrac{6000}{100} = \textcolor{blue}{60} \]

I \( B \) er grensekostnaden lik enhetskostnaden, fordi tangenten \( g \) går gjennom origo: \[ K'(100) = g'(100) = \textcolor{blue}{60} = E(100) \]

Vi ser hva som legges til \( S \) i hver runde av løkka. Det er arealet av et smalt rektangel.

1. Les programmet Linje 1 til 4 deler intervallet \( {[-2, 2]} \) i \( {N = 1000} \) like deler med bredde \( {dx = \dfrac{2 - (-2)}{1000} = 0{,}004}\text{.} \) Linje 6 og 7 definerer \( {f(x) = x^2 - 1}\text{.} \)

I løkka i linje 10 til 12 er \( x_i \) venstre ende av del nummer \( i\text{,} \) og linje 12 legger til \( {\textcolor{red}{|f(x_i)|} \cdot \textcolor{blue}{dx}}\text{.} \) Det er arealet av et rektangel med bredde \( \textcolor{blue}{dx} \) og høyde \( \textcolor{red}{|f(x_i)|}\text{.} \)

Summen blir: \[ S = \sum_{i=0}^{999} \textcolor{red}{|f(x_i)|} \cdot \textcolor{blue}{dx} \]

2. Se hva summen blir Summen av rektanglene er en venstre Riemannsum, som i videoen Riemann sum. Med \( 1000 \) smale rektangler er den svært nær integralet: \[ S \approx \int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx \]Absoluttverdien gjør at områdene under \( x \)-aksen også telles positivt.

Vi regner ut \( {\displaystyle\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( {x^2 - 1} \) skifter fortegn i \( {x = -1} \) og \( {x = 1}\text{.} \) Grafen er symmetrisk om \( y \)-aksen, så vi regner ut arealet fra \( 0 \) til \( 2 \) og ganger med \( 2\text{.} \)

1. Del opp intervallet \( {x^2 - 1 < 0} \) for \( {0 < x < 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 1 > 0} \) for \( {1 < x < 2}\text{.} \) Der grafen er under aksen, integrerer vi \( {1 - x^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx \\ &= 2\textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} \\ &\quad + 2\textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} \end{aligned} \]

2. Regn ut de to integralene Vi integrerer ledd for ledd med potensregelen, som gjelder for \( {n \neq -1}\text{,} \) se videoen Basic integrasjonsregler/​formler: \[ \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} &= \left[x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} \\ \textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} &= \left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_1^2 \end{aligned} \]

Det siste er: \[ \left(\dfrac{8}{3} - 2\right) - \left(\dfrac{1}{3} - 1\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}} \]

Slår vi dette sammen, får vi: \[ 2\left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} + \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}}\right) = 2 \cdot 2 = 4 \]

Vi finner først sannsynligheten for en kule på 10 kg, fordi sannsynlighetene til sammen er 1. Så bruker vi formlene for forventning og varians.

1. Finn den siste sannsynligheten Sannsynlighetene for alle verdiene summerer seg til 1, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans): \[ P(X = 10) = 1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \]

2. Regn ut forventningen Forventningen er summen av hver verdi ganget med sannsynligheten sin: \[ E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i) \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= 4 \cdot \dfrac{1}{4} + 5 \cdot \dfrac{1}{2} + 10 \cdot \dfrac{1}{4} \\ &= 1 + \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{2} = 6 \end{aligned} \]

3. Regn ut variansen Variansen kan vi regne ut med: \[ \text{Var}(X) = \textcolor{blue}{E(X^2)} - \textcolor{red}{E(X)}^2 \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

\( \textcolor{blue}{E(X^2)} \) finner vi som forventningen, men med kvadratene av verdiene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{E(X^2)} &= \sum x_i^2 \cdot P(X = x_i) \\ &= 16 \cdot \dfrac{1}{4} + 25 \cdot \dfrac{1}{2} + 100 \cdot \dfrac{1}{4} \\ &= 4 + \dfrac{25}{2} + 25 = \textcolor{blue}{\dfrac{83}{2}} \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{red}{E(X)} = \textcolor{red}{6}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \text{Var}(X) &= \textcolor{blue}{\dfrac{83}{2}} - \textcolor{red}{6}^2 \\ &= \dfrac{83}{2} - 36 = \dfrac{11}{2} \end{aligned} \]

Vi går gjennom alle måtene å trekke to kuler på. Kulen legges tilbake, så trekningene er uavhengige, og vi ganger sannsynlighetene.

1. Finn de mulige summene Hver kule veier 4, 5 eller 10 kg, med sannsynlighetene \( \dfrac{1}{4}\text{,} \) \( \dfrac{1}{2} \) og \( \dfrac{1}{4} \) fra a). Summen av to kuler kan bli \( 8\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 10\text{,} \) \( 14\text{,} \) \( 15 \) og \( 20\text{.} \)

2. Gang sannsynlighetene Kulen legges tilbake, så trekningene er uavhengige: den første påvirker ikke den andre, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Da er sannsynligheten for to bestemte kuler produktet: \[ \begin{aligned} & P(X_1 = a \text{ og } X_2 = b) \\ &= P(X_1 = a) \cdot P(X_2 = b) \end{aligned} \]

Når de to kulene er ulike, kan de komme i to rekkefølger, så vi ganger med \( \textcolor{blue}{2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(Y = 8) &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16} \\ P(Y = 9) &= \textcolor{blue}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \\ P(Y = 10) &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \\ P(Y = 14) &= \textcolor{blue}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8} \\ P(Y = 15) &= \textcolor{blue}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \\ P(Y = 20) &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16} \end{aligned} \]Summen \( 10 \) får vi bare med to kuler på 5 kg.

Kontroll: Sannsynlighetene summerer seg til 1: \( {\dfrac{1 + 4 + 4 + 2 + 4 + 1}{16} = 1}\text{.} \)

Vi bruker sannsynlighetsfordelingen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( {Y > 10} \) betyr at summen er 14, 15 eller 20. Vi legger sammen sannsynlighetene for disse verdiene.

1. Legg sammen sannsynlighetene I b) fant vi: \[ \begin{aligned} P(Y = 14) &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{8}} \\ P(Y = 15) &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} \\ P(Y = 20) &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{16}} \end{aligned} \]

Summen 10 er ikke med, fordi ulikheten er streng. Sannsynlighetene for ulike verdier legger vi sammen, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans), der alle til sammen blir 1. Med 16 som fellesnevner får vi: \[ \begin{aligned} P(Y > 10) &= \textcolor{red}{\dfrac{2}{16}} + \textcolor{blue}{\dfrac{4}{16}} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{16}} \\ &= \dfrac{7}{16} \end{aligned} \]