Eksamensoppgaver etter tema

Hvert frø spirer eller spirer ikke, med samme sannsynlighet, så antallet som spirer er binomisk fordelt. Vi regner ut forventningen og standardavviket og ser hvilken kurve som har den spredningen.

1. Regn ut forventning og standardavvik La \( X \) være antall frø som spirer. Med \( \textcolor{blue}{n} \) forsøk og sannsynligheten \( \textcolor{red}{p} \) i hvert forsøk er: \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \cdot (1 - \textcolor{red}{p})} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formlene, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{1000}} \) og \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}7}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} E(X) &= \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7} = 700 \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}7} \cdot 0{,}3} = \sqrt{210} \end{aligned} \]Siden \( {14^2 = 196} \) og \( {15^2 = 225}\text{,} \) er \( {14 < \sigma < 15}\text{.} \)

2. Sammenlign med figurene Begge kurvene har toppen i 700. Med så mange frø er \( X \) tilnærmet normalfordelt, og tabellen i vedlegget gir \( {P(Z \le -3) = 0{,}0013}\text{.} \) Nesten alt ligger derfor innenfor tre standardavvik fra forventningen: \[ 1 - 2 \cdot 0{,}0013 = 0{,}9974 \]

Siden \( {3\sigma < 3 \cdot 15 = 45}\text{,} \) er det mellom omtrent: \[ \begin{aligned} 700 - 45 &= 655 \\ 700 + 45 &= 745 \end{aligned} \]

Kurven i figur 2 har toppen i 700 og ligger innenfor dette området. Kurven i figur 1 ligger over aksen fra omtrent 100 til 1300 og er altfor bred, som i videoen Varians og Standardavvik. Den har dessuten mye areal over 1000, men det kan ikke spire flere enn 1000 frø.

Begge kurvene har toppen i forventningen 50. Vi ser hvor bred kurven skal være når standardavviket er 10.

1. Finn hvor nesten alt ligger Med \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{50}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{10}} \) ligger nesten alt, \( 99{,}7\,\%\text{,} \) innenfor tre standardavvik fra forventningen, som i a): \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\mu} - 3\textcolor{red}{\sigma} &= \textcolor{blue}{50} - 3 \cdot \textcolor{red}{10} = 20 \\ \textcolor{blue}{\mu} + 3\textcolor{red}{\sigma} &= \textcolor{blue}{50} + 3 \cdot \textcolor{red}{10} = 80 \end{aligned} \]

2. Sammenlign med figurene Kurven i figur 3 ligger over aksen fra omtrent 20 til 80. Kurven i figur 4 er bare halvparten så bred, fra omtrent 35 til 65. Den har standardavvik omtrent 5, og er for smal, som i videoen Varians og Standardavvik.

\( H_1 \) er det fagforeningen mistenker, at ledelsen velger menn. \( H_0 \) er at det ikke er noen forskjell fra et tilfeldig utvalg.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er alltid det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er det motsatte, at det ikke er noen forskjell, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro.

La \( p \) være sannsynligheten for at den som blir invitert, er en mann. Velges det tilfeldig, er \( {\textcolor{blue}{p = \dfrac{40}{100} = 0{,}4}}\text{.} \) Velger ledelsen bevisst menn, er \( {\textcolor{red}{p > 0{,}4}}\text{.} \) Testen er ensidig.

2. Forklar valget av fordeling La \( X \) være antall menn blant de 20 som blir invitert. En binomisk fordeling krever lik sannsynlighet og uavhengige forsøk, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Her trekkes 20 av bare 100 søkere, og ingen kan trekkes to ganger. Sannsynligheten endrer seg derfor merkbart for hver trekning. Er de 12 første som trekkes, menn, er det bare \( {\dfrac{28}{88} \approx 0{,}32} \) sannsynlig at neste er en mann. Den hypergeometriske fordelingen teller nettopp trekning uten tilbakelegging fra to grupper: \[ P(X = k) = \dfrac{\dbinom{40}{k} \cdot \dbinom{60}{20 - k}}{\dbinom{100}{20}} \]

Vi bruker hypotesene og den hypergeometriske fordelingen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner ut P-verdien: sannsynligheten for minst 12 menn hvis utvalget er tilfeldig. Er den under \( 5\,\%\text{,} \) forkaster vi \( H_0\text{.} \)

1. Regn ut P-verdien I a) satte vi opp \( {H_0\text{: } p = 0{,}4} \) og \( {H_1\text{: } p > 0{,}4}\text{.} \) Med \( X \) som antall menn blant de 20 er: \[ P(X = k) = \dfrac{\dbinom{40}{k} \cdot \dbinom{60}{20 - k}}{\dbinom{100}{20}} \]

Vi regner ut leddene med nCr på kalkulatoren og runder av til fem desimaler: \[ \begin{aligned} P(X = 12) &\approx 0{,}02667 \\ P(X = 13) &\approx 0{,}00867 \\ P(X = 14) &\approx 0{,}00217 \\ P(X = 15) &\approx 0{,}00041 \\ P(X = 16) &\approx 0{,}00006 \end{aligned} \]Leddene for 17 til 20 er til sammen under \( 0{,}00001\text{.} \) P-verdien er: \[ P(X \ge 12) \approx \textcolor{red}{0{,}0380} \]

2. Konkluder P-verdien \( \textcolor{red}{0{,}0380} \) er mindre enn signifikansnivået \( \textcolor{blue}{0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster \( H_0\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Det er grunnlag for å si at ledelsen bevisst velger menn.

Merk – Binomisk fordeling gir et annet svar: Med binomisk fordeling, \( {n = 20} \) og \( {p = 0{,}4}\text{,} \) blir P-verdien omtrent \( 0{,}057\text{,} \) over \( 5\,\%\text{.} \) Den binomiske fordelingen gjelder trekning med tilbakelegging, og her trekkes 20 av bare 100 søkere uten. Det er derfor den hypergeometriske P-verdien som gjelder.

1. Regn ut P-verdien i CAS \( {P(X \ge 12)} \) er \( {1 - P(X \le 11)}\text{.} \) Vi bruker den kumulative hypergeometriske fordelingen med 100 søkere, 40 menn og 20 trukket. Det samme kan gjøres i sannsynlighetskalkulatoren, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingHypergeometrisk(100, 40, 20, 11, true)

P-verdien er \( \textcolor{red}{0{,}0380}\text{,} \) under \( \textcolor{blue}{0{,}05}\text{,} \) så vi forkaster \( H_0\text{.} \)

Vi gjør vekten \( X \) om til en standard normalfordelt \( Z\text{.} \) Tabellen i vedlegget gir hvilken \( z \) som hører til 5300 gram, og den gir oss \( \sigma\text{.} \)

1. Skriv om til «mindre eller lik» Tabellen gir \( {P(Z \le z)}\text{,} \) så vi bruker den motsatte hendelsen: \[ \begin{aligned} P(X \le 5300) &= 1 - P(X > 5300) \\ &= 1 - 0{,}115 = 0{,}885 \end{aligned} \]

2. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{4700}}\text{,} \) og \( \textcolor{red}{\sigma} \) er det vi leter etter. Plugger vi inn \( {x = 5300}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} & P\left(Z \le \dfrac{5300 - \textcolor{blue}{4700}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{600}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) = 0{,}885 \end{aligned} \]

3. Les av tabellen og løs I tabellen over standard normalfordeling står: \[ P(Z \le 1{,}20) = 0{,}8849 \approx 0{,}885 \]

Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{600}{\textcolor{red}{\sigma}} &\approx 1{,}20 \\ \textcolor{red}{\sigma} &\approx \dfrac{600}{1{,}20} = 500 \end{aligned} \]Standardavviket er altså omtrent 500 gram.

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: standardavviket 500 gram står i oppgaveteksten.

Vi standardiserer med \( {\sigma = 500} \) og slår opp i tabellen.

1. Standardiser og slå opp Vi standardiserer som i a), se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]

Med \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{4700}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{500}} \) får vi: \[ \begin{aligned} & P(X < 4500) \\ &= P\left(Z \le \dfrac{4500 - \textcolor{blue}{4700}}{\textcolor{red}{500}}\right) \\ &= P(Z \le -0{,}40) \end{aligned} \]For en normalfordeling er det ingen forskjell på \( {<} \) og \( {\le}\text{.} \) I tabellen står \( {P(Z \le -0{,}40) = 0{,}3446}\text{.} \)

Hver av de seks verdiene har sannsynlighet \( \dfrac{1}{6}\text{.} \) Forventningsverdien er summen av hver verdi ganget med sannsynligheten for den.

1. Regn ut forventningsverdien Forventningsverdien til en stokastisk variabel er: \[ E(X) = \sum x \cdot P(X = x) \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Her er \( {x = 1, 2, \dots, 6}\text{,} \) og hver har \( {P(X = x) = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{6}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= 1 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{6}} + 2 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{6}} + \dots + 6 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{6}} \\ &= \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} \\ &= \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2} \end{aligned} \]

Summen av mange kast er tilnærmet normalfordelt. Vi finner hvor mange standardavvik 17 må være for at sannsynligheten skal bli \( 32\,\%\text{,} \) og løser for antall kast.

1. Finn fordelingen til summen La \( S \) være summen av \( \textcolor{green}{n} \) uavhengige kast, hvert med standardavvik \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{1{,}7}}\text{.} \) Siden kastene er uavhengige, er standardavviket til summen: \[ SD(S) = \sqrt{\textcolor{green}{n}} \cdot \textcolor{red}{\sigma} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet, der formelen for summen står på lysarket. Etter sentralgrenseteoremet er \( S \) dessuten tilnærmet normalfordelt.

2. Finn hvor mange standardavvik 17 er For en standard normalfordelt \( Z \) står \( {P(Z \le -1{,}00) = 0{,}1587} \) i tabellen. Normalfordelingen er symmetrisk, så sannsynligheten for å havne mer enn ett standardavvik unna forventningen, til den ene eller den andre siden, er: \[ \begin{aligned} P(|Z| > 1) &= 2 \cdot 0{,}1587 \\ &= 0{,}3174 \approx 32\,\% \end{aligned} \]

Vi standardiserer avstanden 17 på samme måte: \[ \begin{aligned} & P\left(|S - E(S)| > 17\right) \\ &\approx P\left(|Z| > \dfrac{17}{SD(S)}\right) \end{aligned} \]Sannsynligheten blir omtrent \( 32\,\% \) når \( {\dfrac{17}{SD(S)} = 1}\text{,} \) altså når \( {SD(S) = 17}\text{.} \)

3. Løs for antall kast Det gir oss: \[ \begin{aligned} \sqrt{\textcolor{green}{n}} \cdot \textcolor{red}{1{,}7} &= 17 \\ \sqrt{\textcolor{green}{n}} &= 10 \\ \textcolor{green}{n} &= 100 \end{aligned} \]

Vi sjekker de fire kravene til en binomisk fordeling. Så setter vi inn i formelen for binomisk sannsynlighet.

1. Begrunn fordelingen For hver pasient er det to utfall: legemiddelet virker eller ikke. Antallet pasienter \( n \) er fast, sannsynligheten \( 0{,}75 \) er den samme for alle, og vi antar at pasientene er uavhengige av hverandre. Det er de fire kravene til en binomisk fordeling, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. \( X \) er derfor binomisk fordelt.

2. Regn ut sannsynligheten Med \( \textcolor{blue}{n} \) forsøk og sannsynligheten \( \textcolor{red}{p} \) i hvert forsøk er: \[ P(X = x) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{x} \cdot \textcolor{red}{p}^x \cdot (1 - \textcolor{red}{p})^{\textcolor{blue}{n} - x} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{12}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}75}} \) og \( {x = 9}\text{.} \) Med nCr på kalkulatoren er \( {\binom{12}{9} = 220}\text{,} \) og vi får: \[ \begin{aligned} P(X = 9) &= \binom{\textcolor{blue}{12}}{9} \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^9 \cdot 0{,}25^{3} \\ &= 220 \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^9 \cdot 0{,}25^{3} \\ &\approx 0{,}258 \end{aligned} \]

1. Regn ut sannsynligheten i CAS Med den samme begrunnelsen for fordelingen bruker vi den binomiske fordelingen med \( {n = 12} \) og \( {p = 0{,}75}\text{.} \) Det siste argumentet, false, gir \( {P(X = 9)} \) og ikke \( {P(X \le 9)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: FordelingBinomial(12, 0.75, 9, false)

\( {P(X = 9)} \) er omtrent \( 0{,}258\text{.} \)

Vi bruker den binomiske fordelingen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter opp hypotesene og regner ut hvor sannsynlig det er at B virker på minst 9 av 10 hvis B er like god som A. Er det ikke under \( 5\,\%\text{,} \) kan vi ikke si at B er bedre.

1. Sett opp hypotesene \( H_1 \) er det vi ønsker å finne grunnlag for, og \( H_0 \) er at det ikke er noen forskjell fra A, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro: \[ H_0\text{: } p = \textcolor{red}{0{,}75} \qquad H_1\text{: } p > \textcolor{red}{0{,}75} \]

2. Regn ut P-verdien Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet \( Y \) som B virker på, binomisk fordelt med \( {n = 10} \) og \( {p = 0{,}75}\text{,} \) som i a): \[ P(Y = y) = \binom{10}{y} \cdot \textcolor{red}{0{,}75}^y \cdot 0{,}25^{10 - y} \]

P-verdien er sannsynligheten for et resultat som er minst like godt som 9 av 10. Med \( {\binom{10}{9} = 10} \) og \( {\binom{10}{10} = 1} \) får vi: \[ \begin{aligned} & P(Y \ge 9) \\ &= P(Y = 9) + P(Y = 10) \\ &= 10 \cdot 0{,}75^9 \cdot 0{,}25 \\ &\quad + 0{,}75^{10} \\ &\approx 0{,}1877 + 0{,}0563 \\ &= \textcolor{green}{0{,}2440} \end{aligned} \]

3. Konkluder P-verdien \( \textcolor{green}{0{,}2440} \) er større enn signifikansnivået \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Selv om B var like god som A, ville minst 9 av 10 skje i omtrent \( 24\,\% \) av tilfellene. Vi kan derfor ikke si at B virker med høyere sannsynlighet enn A.

1. Regn ut P-verdien i CAS Med de samme hypotesene er \( {P(Y \ge 9) = 1 - P(Y \le 8)}\text{.} \) Med true gir FordelingBinomial den kumulative sannsynligheten \( {P(Y \le 8)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(10, 0.75, 8, true)

P-verdien er \( \textcolor{green}{0{,}244}\text{,} \) større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)

Vi bruker hypotesene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi leter etter det minste antallet \( k \) som gir en P-verdi \( {P(Y \ge k)} \) under \( 5\,\%\text{.} \) Med 200 pasienter er \( Y \) tilnærmet normalfordelt, så vi kan bruke tabellen.

1. Finn forventning og standardavvik I b) satte vi opp hypotesene: \[ H_0\text{: } p = 0{,}75 \qquad H_1\text{: } p > 0{,}75 \]

Hvis \( H_0 \) er sann, er antallet \( Y \) som B virker på, binomisk fordelt med \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{200}} \) og \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}75}}\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} E(Y) &= \textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{n} \cdot \textcolor{red}{p} \cdot (1 - \textcolor{red}{p})} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formlene, kan du se videoen Oblig oppgave 4 (Binomisk sannsynlighet).

Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} E(Y) &= \textcolor{blue}{200} \cdot \textcolor{red}{0{,}75} = 150 \\ \sigma &= \sqrt{\textcolor{blue}{200} \cdot \textcolor{red}{0{,}75} \cdot 0{,}25} \approx 6{,}124 \end{aligned} \]Med så mange pasienter er \( Y \) tilnærmet normalfordelt.

2. Finn grensen for å forkaste Vi forkaster \( H_0 \) når \( {P(Y \ge k) < 0{,}05}\text{,} \) altså når \( k \) ligger mer enn \( z \) standardavvik over \( 150\text{,} \) der \( {P(Z \le z) = 0{,}95}\text{.} \) I tabellen står \( {P(Z \le 1{,}64) = 0{,}9495} \) og \( {P(Z \le 1{,}65) = 0{,}9505}\text{,} \) så \( {z \approx 1{,}645}\text{.} \) Vi standardiserer som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling: \[ Z = \dfrac{Y - E(Y)}{\sigma} \]

Med \( {Y = k}\text{,} \) \( {E(Y) = 150} \) og \( {\sigma \approx 6{,}124} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{k - 150}{6{,}124} &> 1{,}645 \\ k &> 150 + 1{,}645 \cdot 6{,}124 \\ k &> 160{,}07 \end{aligned} \]Det minste heltallet er \( {k = 161}\text{.} \) B må altså virke på minst 161 av de 200 pasientene.

1. Regn ut P-verdiene i CAS Med de samme hypotesene regner vi ut P-verdien eksakt for \( {k = 160} \) og \( {k = 161}\text{:} \) \[ P(Y \ge k) = 1 - P(Y \le k - 1) \]

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(200, 0.75, 159, true) 1 - FordelingBinomial(200, 0.75, 160, true)

Med \( {k = 160} \) er P-verdien \( 0{,}0578\text{,} \) over \( 0{,}05\text{,} \) og med \( {k = 161} \) er den \( 0{,}0405\text{,} \) under. B må altså virke på minst 161 pasienter.

Svein trekker uten tilbakelegging fra to grupper, så vi bruker den hypergeometriske fordelingen: utvalgene med 9 røde og 6 blå delt på alle utvalg av 15 baller.

1. Velg fordeling Ballene legges ikke tilbake, så sannsynligheten for rød endrer seg for hver trekning. Trekningene er derfor ikke uavhengige, og da holder ikke de fire kravene til en binomisk fordeling fra videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

Med \( \textcolor{blue}{N} \) baller, der \( \textcolor{red}{R} \) er røde, og \( n \) trukket, er sannsynligheten for \( k \) røde: \[ P(X = k) = \dfrac{\dbinom{\textcolor{red}{R}}{k} \cdot \dbinom{\textcolor{blue}{N} - \textcolor{red}{R}}{n - k}}{\dbinom{\textcolor{blue}{N}}{n}} \]Telleren er antallet måter å velge \( k \) røde og \( {n - k} \) blå på, og nevneren er antallet måter å velge \( n \) av alle ballene på.

2. Regn ut sannsynligheten Her er \( {\textcolor{blue}{N} = \textcolor{blue}{30}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{R} = \textcolor{red}{15}}\text{,} \) \( {n = 15} \) og \( {k = 9}\text{.} \) Med nCr på kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} P(X = 9) &= \dfrac{\dbinom{\textcolor{red}{15}}{9} \cdot \dbinom{15}{6}}{\dbinom{\textcolor{blue}{30}}{15}} \\ &= \dfrac{5005 \cdot 5005}{155\,117\,520} \\ &\approx 0{,}1615 \end{aligned} \]

1. Regn ut sannsynligheten i CAS Med 30 baller, 15 røde og 15 trukket gir den hypergeometriske fordelingen \( {P(X = 9)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: FordelingHypergeometrisk(30, 15, 15, 9, false)

Sannsynligheten er omtrent \( 0{,}1615\text{.} \)

Vi bruker formelen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi regner ut sannsynligheten for 9 røde og 6 blå for flere mulige antall baller i kurven. Det mest sannsynlige antallet er det som gir størst sannsynlighet for det Svein fikk.

1. Regn ut for flere antall baller Med \( \textcolor{blue}{N} \) baller er halvparten røde, \( {\textcolor{red}{R} = \dfrac{\textcolor{blue}{N}}{2}}\text{,} \) så formelen fra a) gir: \[ P(\textcolor{blue}{N}) = \dfrac{\dbinom{\textcolor{red}{N/2}}{9} \cdot \dbinom{\textcolor{red}{N/2}}{6}}{\dbinom{\textcolor{blue}{N}}{15}} \]\( \textcolor{blue}{N} \) er et partall, og minst 18, fordi det må være minst 9 røde.

Med nCr på kalkulatoren får vi, med seks desimaler: \[ \begin{aligned} P(30) &\approx 0{,}161491 \\ P(32) &\approx 0{,}161937 \\ P(34) &\approx 0{,}162104 \\ P(36) &\approx 0{,}162104 \\ P(38) &\approx 0{,}162003 \\ P(40) &\approx 0{,}161841 \end{aligned} \]Sannsynligheten øker fram til 34, er like stor for 34 og 36, og synker etterpå. Regner vi ut flere verdier, ser vi at den fortsetter å synke for større \( \textcolor{blue}{N}\text{.} \)

2. Sammenlign de to største Når vi øker \( \textcolor{red}{R} \) fra 17 til 18 og \( \textcolor{blue}{N} \) fra 34 til 36, blir binomialkoeffisientene ganget med: \[ \begin{aligned} \dfrac{\dbinom{18}{9}}{\dbinom{17}{9}} &= \dfrac{18}{9} \\ \dfrac{\dbinom{18}{6}}{\dbinom{17}{6}} &= \dfrac{18}{12} \\ \dfrac{\dbinom{36}{15}}{\dbinom{34}{15}} &= \dfrac{36 \cdot 35}{21 \cdot 20} \end{aligned} \]Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{P(36)}{P(34)} &= \dfrac{18}{9} \cdot \dfrac{18}{12} \cdot \dfrac{21 \cdot 20}{36 \cdot 35} \\ &= 2 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = 1 \end{aligned} \]Med 34 og 36 baller er det altså nøyaktig like sannsynlig å trekke 9 røde og 6 blå.

1. Lag en følge i CAS På samme CAS-ark som i a) regner vi ut sannsynligheten for \( {\textcolor{blue}{N} = 2m} \) baller, med \( m \) røde, for \( {m = 15} \) til \( 20\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Følge(FordelingHypergeometrisk(2m, m, 15, 9, false), m, 15, 20)

Listen gir sannsynlighetene for \( {\textcolor{blue}{N} = 30, 32, \dots, 40}\text{.} \) Med fire desimaler er den størst, \( 0{,}1621\text{,} \) for \( {\textcolor{blue}{N} = 34} \) og \( {\textcolor{blue}{N} = 36}\text{.} \)

Vi finner først sannsynligheten for en kule på 10 kg, fordi sannsynlighetene til sammen er 1. Så bruker vi formlene for forventning og varians.

1. Finn den siste sannsynligheten Sannsynlighetene for alle verdiene summerer seg til 1, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans): \[ P(X = 10) = 1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \]

2. Regn ut forventningen Forventningen er summen av hver verdi ganget med sannsynligheten sin: \[ E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i) \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

Plugger vi inn verdiene, får vi: \[ \begin{aligned} E(X) &= 4 \cdot \dfrac{1}{4} + 5 \cdot \dfrac{1}{2} + 10 \cdot \dfrac{1}{4} \\ &= 1 + \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{2} = 6 \end{aligned} \]

3. Regn ut variansen Variansen kan vi regne ut med: \[ \text{Var}(X) = \textcolor{blue}{E(X^2)} - \textcolor{red}{E(X)}^2 \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans).

\( \textcolor{blue}{E(X^2)} \) finner vi som forventningen, men med kvadratene av verdiene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{E(X^2)} &= \sum x_i^2 \cdot P(X = x_i) \\ &= 16 \cdot \dfrac{1}{4} + 25 \cdot \dfrac{1}{2} + 100 \cdot \dfrac{1}{4} \\ &= 4 + \dfrac{25}{2} + 25 = \textcolor{blue}{\dfrac{83}{2}} \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{red}{E(X)} = \textcolor{red}{6}} \) får vi: \[ \begin{aligned} \text{Var}(X) &= \textcolor{blue}{\dfrac{83}{2}} - \textcolor{red}{6}^2 \\ &= \dfrac{83}{2} - 36 = \dfrac{11}{2} \end{aligned} \]

Vi går gjennom alle måtene å trekke to kuler på. Kulen legges tilbake, så trekningene er uavhengige, og vi ganger sannsynlighetene.

1. Finn de mulige summene Hver kule veier 4, 5 eller 10 kg, med sannsynlighetene \( \dfrac{1}{4}\text{,} \) \( \dfrac{1}{2} \) og \( \dfrac{1}{4} \) fra a). Summen av to kuler kan bli \( 8\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 10\text{,} \) \( 14\text{,} \) \( 15 \) og \( 20\text{.} \)

2. Gang sannsynlighetene Kulen legges tilbake, så trekningene er uavhengige: den første påvirker ikke den andre, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Da er sannsynligheten for to bestemte kuler produktet: \[ \begin{aligned} & P(X_1 = a \text{ og } X_2 = b) \\ &= P(X_1 = a) \cdot P(X_2 = b) \end{aligned} \]

Når de to kulene er ulike, kan de komme i to rekkefølger, så vi ganger med \( \textcolor{blue}{2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(Y = 8) &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16} \\ P(Y = 9) &= \textcolor{blue}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \\ P(Y = 10) &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \\ P(Y = 14) &= \textcolor{blue}{2} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8} \\ P(Y = 15) &= \textcolor{blue}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} \\ P(Y = 20) &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16} \end{aligned} \]Summen \( 10 \) får vi bare med to kuler på 5 kg.

Kontroll: Sannsynlighetene summerer seg til 1: \( {\dfrac{1 + 4 + 4 + 2 + 4 + 1}{16} = 1}\text{.} \)

Vi bruker sannsynlighetsfordelingen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( {Y > 10} \) betyr at summen er 14, 15 eller 20. Vi legger sammen sannsynlighetene for disse verdiene.

1. Legg sammen sannsynlighetene I b) fant vi: \[ \begin{aligned} P(Y = 14) &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{8}} \\ P(Y = 15) &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} \\ P(Y = 20) &= \textcolor{green}{\dfrac{1}{16}} \end{aligned} \]

Summen 10 er ikke med, fordi ulikheten er streng. Sannsynlighetene for ulike verdier legger vi sammen, som i videoen Oblig Oppgave 1 (Diskret sans), der alle til sammen blir 1. Med 16 som fellesnevner får vi: \[ \begin{aligned} P(Y > 10) &= \textcolor{red}{\dfrac{2}{16}} + \textcolor{blue}{\dfrac{4}{16}} + \textcolor{green}{\dfrac{1}{16}} \\ &= \dfrac{7}{16} \end{aligned} \]

\( X \) er normalfordelt. Vi gjør 87 meter om til en \( z \)-verdi og slår opp i tabellen over standard normalfordeling. Tabellen gir \( {P(Z \le z)}\text{,} \) så vi trekker den fra 1.

1. Standardiser For en normalfordelt \( X \) med forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{\sigma} \) er: \[ P(X \le x) = P\left(Z \le \dfrac{x - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}}\right) \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling.

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu} = \textcolor{blue}{83}} \) og \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{3}}\text{.} \) Plugger vi inn, får vi: \[ \begin{aligned} & P(X > 87) \\ &= 1 - P\left(Z \le \dfrac{87 - \textcolor{blue}{83}}{\textcolor{red}{3}}\right) \\ &\approx 1 - P(Z \le 1{,}33) \end{aligned} \]

2. Slå opp i tabellen Tabellen over standard normalfordeling gir \( {P(Z \le 1{,}33) = 0{,}9082}\text{:} \) \[ P(X > 87) \approx 1 - 0{,}9082 = 0{,}0918 \]

1. Regn ut i CAS FordelingNormal\( (\mu, \sigma, x) \) gir \( {P(X \le x)}\text{.} \) Vi trekker den fra 1 og bruker \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingNormal(83, 3, 87)

Rad 1 gir \( {P(X > 87) \approx 0{,}0912}\text{.} \) Kalkulatorruten gir \( 0{,}0918\text{,} \) fordi tabellen bruker \( {z = 1{,}33} \) i stedet for \( \dfrac{4}{3}\text{.} \)

Nå kjenner vi sannsynligheten og leter etter grensen. Vi finner \( z \)-verdien som gir \( 0{,}9 \) i tabellen, og gjør den om til meter.

1. Finn verdien i tabellen Vi leter etter \( 0{,}9 \) inne i tabellen. Tabellen gir \( {P(Z \le 1{,}28) = 0{,}8997} \) og \( {P(Z \le 1{,}29) = 0{,}9015}\text{,} \) så \( {z \approx 1{,}28}\text{.} \)

2. Gjør om til meter Standardiseringen fra a), som i videoen Oblig Oppgave 7 Normalfordeling, forteller oss at: \[ z = \dfrac{k - \textcolor{blue}{\mu}}{\textcolor{red}{\sigma}} \]

Løser vi for \( k\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} k &= \textcolor{blue}{\mu} + z \cdot \textcolor{red}{\sigma} \\ &\approx \textcolor{blue}{83} + 1{,}28 \cdot \textcolor{red}{3} \\ &= 86{,}84 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS InversNormalfordeling\( (\mu, \sigma, p) \) gir grensen \( k \) med \( {P(X \le k) = p}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: InversNormalfordeling(83, 3, 0.9)

Rad 2 gir \( {k \approx 86{,}84}\text{.} \)

Gjennomsnittet av 15 målinger varierer mindre enn én måling. Det er normalfordelt med samme forventning, men standardavviket deles på \( \sqrt{15}\text{.} \)

1. Finn fordelingen til gjennomsnittet Gjennomsnittet \( \bar{X} \) av \( \textcolor{green}{n} \) uavhengige målinger har forventning \( \textcolor{blue}{\mu} \) og standardavvik: \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{\sigma}}{\sqrt{\textcolor{green}{n}}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oblig oppgave 8 Sentralgrenseteoremet. Når hver måling er normalfordelt, er også \( \bar{X} \) normalfordelt.

Her er \( {\textcolor{red}{\sigma} = \textcolor{red}{3}} \) og \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{15}}\text{:} \) \[ \sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\textcolor{red}{3}}{\sqrt{\textcolor{green}{15}}} \approx 0{,}7746 \]

2. Standardiser og slå opp Vi standardiserer med standardavviket til gjennomsnittet. Tabellen over standard normalfordeling gir \( {P(Z \le 1{,}29) = 0{,}9015}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(\bar{X} < 84) &= P\left(Z < \dfrac{84 - \textcolor{blue}{83}}{0{,}7746}\right) \\ &\approx P(Z < 1{,}29) \\ &\approx 0{,}9015 \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS Vi bruker FordelingNormal med standardavviket \( \dfrac{3}{\sqrt{15}} \) for gjennomsnittet:

Skriv inn i GeoGebra: FordelingNormal(83, 3/sqrt(15), 84)

Rad 3 gir \( {P(\bar{X} < 84) \approx 0{,}9016}\text{.} \)

Vi bruker standardavviket til gjennomsnittet fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Mistanken er at bremselengden er lengre enn 83 meter. Vi regner ut gjennomsnittet av målingene og finner hvor sannsynlig et så høyt gjennomsnitt er hvis produsenten har rett.

1. Sett opp hypotesene \( \textcolor{red}{H_1} \) er det vi vil finne grunnlag for, og \( \textcolor{blue}{H_0} \) er at alt er som produsenten påstår, som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Med \( \mu \) som forventet bremselengde i meter: \[ \textcolor{blue}{H_0\text{: } \mu = 83} \qquad \textcolor{red}{H_1\text{: } \mu > 83} \]Testen er ensidig, fordi mistanken bare er at bremselengden er lengre.

2. Regn ut gjennomsnittet Summen av de 15 målingene er \( 1262{,}7\text{,} \) så: \[ \bar{x} = \dfrac{1262{,}7}{15} = 84{,}18 \]

3. Regn ut testobservatoren Standardavviket \( {\sigma = 3} \) er kjent, så vi bruker en z-test, som i videoen Valg av Test - Estimering og Hypotesetesting. Testobservatoren er: \[ z = \dfrac{\bar{x} - \textcolor{blue}{\mu_0}}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \]

Her er \( {\textcolor{blue}{\mu_0} = \textcolor{blue}{83}} \) fra \( H_0\text{,} \) og i c) fant vi \( {\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{3}{\sqrt{15}} \approx 0{,}7746}\text{:} \) \[ z = \dfrac{84{,}18 - \textcolor{blue}{83}}{0{,}7746} \approx 1{,}52 \]

4. Finn P-verdien og konkluder P-verdien er sannsynligheten for et gjennomsnitt minst så høyt hvis \( H_0 \) er sann. Tabellen gir \( {P(Z \le 1{,}52) = 0{,}9357}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P(Z \ge 1{,}52) &= 1 - 0{,}9357 \\ &= 0{,}0643 \end{aligned} \]P-verdien er større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( \textcolor{blue}{H_0}\text{,} \) som i videoen Valg av Hypotese og Konklusjon - Intro. Målingene gir ikke grunnlag for å si at bremselengden er lengre enn 83 meter.

1. Regn ut i CAS Hypotesene og testobservatoren er de samme som i kalkulatorruten. Vi legger målingene i tre lister, én per rad i tabellen, regner ut gjennomsnittet og finner P-verdien:

Skriv inn i GeoGebra: r1 := {86.4, 85.5, 82.9, 81.9, 84.0} r2 := {86.4, 82.3, 85.9, 77.7, 83.0} r3 := {86.9, 88.3, 86.2, 80.5, 84.8} (Sum(r1) + Sum(r2) + Sum(r3))/15 1 - FordelingNormal(83, 3/sqrt(15), 84.18)

Rad 7 gir \( {\bar{x} = 84{,}18}\text{,} \) og rad 8 gir P-verdien \( 0{,}0638\text{.} \) Den er større enn \( 0{,}05\text{,} \) så vi forkaster ikke \( H_0\text{.} \)