Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

programmering

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

14 oppgaver i S2 om programmering · viser 11–14

Oppgavene

S2 høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

Hver figur nedenfor består av kuler plassert på pentagoner. Antall kuler på hver av ytterkantene øker med én sammenlignet med antall kuler på ytterkanten i figuren før. La Pn P_n være antall kuler i figur n. n\text{.}
De fem første figurtallene er 1, 1\text{,} 6, 6\text{,} 16, 16\text{,} 31 31 og 51. 51\text{.}

Oppgave 4a)

Beskriv en rekursiv sammenheng mellom Pn P_n og Pn−1. {P_{n-1}}\text{.}
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
P1=1,Pn=Pn−1+5(n−1)‾‾ \underline{\underline{P_1 = 1\text{,} \quad P_n = P_{n-1} + 5(n - 1)}}
Vi ser på differansen mellom to figurtall som kommer etter hverandre. Den er antall kuler i den nye ytterste femkanten.
Metode: For hånd
1. Se på differansene Vi trekker hvert figurtall fra det neste: \[ \begin{aligned} 6 - 1 &= 5 = 5 \cdot \textcolor{red}{1} \\ 16 - 6 &= 10 = 5 \cdot \textcolor{red}{2} \\ 31 - 16 &= 15 = 5 \cdot \textcolor{red}{3} \\ 51 - 31 &= 20 = 5 \cdot \textcolor{red}{4} \end{aligned} \]
2. Forklar med figuren I figur \( n \) har den ytterste femkanten \( n \) kuler på hver kant. Fem kanter gir \( 5n\text{,} \) men de fem hjørnekulene telles to ganger, så det kommer \( {5n - 5 = 5(\textcolor{red}{n - 1})} \) nye kuler. Sammenhengen er derfor: \[ P_n = P_{n-1} + 5(\textcolor{red}{n - 1}) \]
For eksempel er \( {P_3 = P_2 + 5 \cdot 2 = 16}\text{.} \)

Oppgave 4b)

Lag et program som regner ut P100 P_{100} ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a).
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a), \( {P_n = P_{n-1} + 5(n - 1)}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi starter med \( {P_1 = 1}\text{,} \) og lar en løkke legge til de nye kulene for \( {n = 2, 3, \dots, 100}\text{.} \)
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.
Metode: Med Python
1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter \( {P = 1}\text{,} \) som er \( P_1\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene.
Løkka i linje 2 går for \( {n = 2, 3, \dots, 100}\text{,} \) og linje 3 er den rekursive sammenhengen: den legger til \( {\textcolor{red}{5(n - 1)}}\text{.} \)
2. Sjekk de første rundene Etter to runder er \( {P = 1 + \textcolor{red}{5} + \textcolor{red}{10} = 16 = P_3}\text{.} \) Programmet skriver ut \( 24\,751\text{.} \)

S2 høst 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

Høyden X X til en tilfeldig valgt jente på 24 måneder er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi E(X)=87 cm {\text{E}(X) = 87\,\text{cm}} og standardavvik SD(X)=3,3 cm. {\text{SD}(X) = 3{,}3\,\text{cm}}\text{.}
Høyden Y Y til en tilfeldig valgt gutt på 24 måneder er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi E(Y)=88 cm {\text{E}(Y) = 88\,\text{cm}} og standardavvik SD(Y)=3,1 cm. {\text{SD}(Y) = 3{,}1\,\text{cm}}\text{.}
Lag et program som du kan bruke til å anslå sannsynligheten for at høyden til et tilfeldig valgt barn på 24 måneder er mindre enn 84 cm. Gå ut ifra at det er like mange jenter som gutter i populasjonen.
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Vi lar programmet velge et tilfeldig barn mange ganger: først om det er en jente eller en gutt, så høyden fra riktig normalfordeling. Andelen barn under 84 cm er et anslag for sannsynligheten.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv på å skrive og lese slike programmer på papir, og på å regne ut sannsynligheten med tabellen, som i kontrollen nedenfor.
Metode: Med Python
1. Skriv programmet Programmet står i svaret. Vi gjentar forsøket i en løkke og teller, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. \( \texttt{random()} \) gir et tilfeldig tall mellom 0 og 1, og \( \texttt{normal} \) en tilfeldig verdi fra en normalfordeling, der det første tallet er forventningen og det andre standardavviket.
2. Les programmet linje for linje Løkka i linje 6 går \( {N = 100\,000} \) ganger. Linje 7 gir en jente med sannsynlighet \( \dfrac{1}{2}\text{,} \) og da trekker linje 8 høyden fra normalfordelingen med forventning \( \textcolor{red}{87} \) og standardavvik \( \textcolor{red}{3{,}3}\text{.} \) Ellers er det en gutt, og linje 10 trekker høyden med forventning \( \textcolor{blue}{88} \) og standardavvik \( \textcolor{blue}{3{,}1}\text{.} \)
Linje 11 sjekker om høyden er under 84 cm, og da teller linje 12 én til. Linje 14 skriver ut andelen av barna som var under 84 cm. Simuleringen gir litt ulike tall hver gang, men med så mange barn blir svaret nesten alltid \( 0{,}14 \) avrundet til to desimaler.
Kontroll: Med tabellen over standard normalfordeling er sannsynligheten for en jente og for en gutt under 84 cm: \[ \begin{aligned} P(X < 84) &= P(Z < -0{,}91) \\ &= 0{,}1814 \\ P(Y < 84) &= P(Z < -1{,}29) \\ &= 0{,}0985 \end{aligned} \]Halvparten er jenter, så sannsynligheten er gjennomsnittet av de to, \( {0{,}13995 \approx 0{,}140}\text{,} \) som simuleringen.

S2 vår 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

En elev har skrevet følgende kode:

Oppgave 4a)

Forklar hva eleven ønsker å regne ut.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Eleven ønsker å regne ut summen av de 10 10 første leddene i den aritmetiske rekken med a1=3 {a_1 = 3} og d=4: {d = 4}\text{:}
3+7+11+⋯+39=210‾‾ \underline{\underline{3 + 7 + 11 + \dots + 39 = 210}}
Vi følger løkka noen runder og ser hva som legges til \( S \) hver gang.
1. Følg løkka Linje 7 til 9 er en løkke som går \( {N = 10} \) ganger. I hver runde legger linje 8 tallet \( a \) til summen \( S\text{,} \) og linje 9 øker \( a \) med \( {d = 4}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene.
Etter tre runder er: \[ S = \textcolor{blue}{3} + 7 + 11 \]
2. Kjenn igjen rekken Leddene øker med \( \textcolor{red}{4} \) hver gang, så dette er en aritmetisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {\textcolor{red}{d = 4}}\text{.} \) Programmet legger sammen de \( 10 \) første leddene, og det siste er \( {3 + 9 \cdot 4 = 39}\text{.} \)
Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]
Plugger vi inn \( {n = 10}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {a_{10} = 39}\text{,} \) får vi: \[ S_{10} = \dfrac{10 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 39)}{2} = 210 \]

Oppgave 4b)

Hva blir resultatet når programmet kjøres, dersom N settes til 100 i linje 4?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Programmet skriver ut summen av de 100 100 første leddene:
S100=20 100‾‾ \underline{\underline{S_{100} = 20\,100}}
Fra a) legger programmet sammen de \( N \) første leddene i den aritmetiske rekken med \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {\textcolor{red}{d = 4}}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi finner det siste leddet, \( a_{100}\text{,} \) og bruker sumformelen for aritmetiske rekker.
1. Finn det siste leddet Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.
Med \( {n = 100} \) får vi: \[ a_{100} = \textcolor{blue}{3} + 99 \cdot \textcolor{red}{4} = 399 \]
2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.
Plugger vi inn \( {n = 100}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1 = 3}} \) og \( {a_{100} = 399}\text{,} \) får vi: \[ S_{100} = \dfrac{100 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 399)}{2} = 20\,100 \]

S2 vår 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

Forskere ønsker å undersøke matematikkunnskapene til elever i videregående skole. Elever fra tre store skoler skal være med i undersøkelsen.
Karakterstatistikk fra de tre skolene viser at karakterene i matematikk er tilnærmet normalfordelt. Tabellen nedenfor viser forventningsverdi og standardavvik for hver av de tre skolene.
SkoleABCForventningsverdi3,83,44,1Standardavvik1,21,41,1 \begin{array}{r|r|r|r} \text{Skole} & A & B & C \\ \hline \text{Forventningsverdi} & 3{,}8 & 3{,}4 & 4{,}1 \\ \text{Standardavvik} & 1{,}2 & 1{,}4 & 1{,}1 \end{array}
Forskerne skal trekke ut 20 elever. For hver elev de skal trekke, trekker de først en tilfeldig skole og deretter en tilfeldig elev fra den skolen.

Oppgave 5a)

Lag et program som simulerer gjennomsnittskarakteren til 20 elever som er valgt ut på denne måten.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
For hver av de 20 elevene trekker vi først en skole, og så en karakter fra normalfordelingen til den skolen. Vi legger sammen karakterene og deler på 20.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir.
Metode: Med Python
1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 3 og 4 lagrer forventningene og standardavvikene til skole A, B og C i to lister, på plass 0, 1 og 2. Linje 6 starter summen på 0, og løkka i linje 7 går én gang for hver av de 20 elevene.
Linje 8 trekker en tilfeldig skole: \( \texttt{randint(0, 3)} \) gir 0, 1 eller 2 med like stor sannsynlighet, på samme måte som terningen i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 9 trekker en karakter fra normalfordelingen med forventningen og standardavviket til \( \textcolor{blue}{\texttt{skole}}\text{,} \) og linje 10 legger den til \( \textcolor{red}{\texttt{summen}}\text{.} \)
2. Regn ut gjennomsnittet Etter løkka skriver linje 12 ut gjennomsnittet: \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{x_1 + x_2 + \ldots + x_{20}}}{20} \]Hver kjøring gir et nytt tilfeldig gjennomsnitt, som regel mellom \( 3{,}2 \) og \( 4{,}3\text{.} \)

Oppgave 5b)

Bruk simuleringer til å estimere sannsynligheten for at karaktersnittet til de 20 elevene er høyere enn 4.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Andelen av 100 000 simuleringer der snittet ble høyere enn 4, avrundet til to desimaler:
P(xˉ>4)≈0,21‾‾ \underline{\underline{P(\bar{x} > 4) \approx 0{,}21}}
Vi bruker programmet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi gjør simuleringen fra a) mange ganger og teller hvor ofte snittet blir høyere enn 4. Andelen er et estimat for sannsynligheten.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre en simulering. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir.
Metode: Med Python
1. Lag en funksjon av simuleringen Vi legger linje 6 til 12 fra a) inn i en funksjon, \( \texttt{snitt()}\text{,} \) som gir tilbake gjennomsnittet av 20 tilfeldige elever i stedet for å skrive det ut:
2. Tell og regn ut andelen Løkka i linje 16 gjør \( \textcolor{blue}{100\,000} \) forsøk, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang snittet er høyere enn 4, øker linje 18 telleren \( \textcolor{red}{\texttt{over\_4}} \) med 1. Linje 20 skriver ut andelen av forsøkene der snittet var over 4. Én kjøring ga \( \textcolor{red}{20\,635} \) slike snitt: \[ P(\bar{x} > 4) \approx \dfrac{\textcolor{red}{20\,635}}{\textcolor{blue}{100\,000}} = 0{,}20635 \]Med så mange forsøk varierer svaret lite fra kjøring til kjøring, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.
Kontroll: Forventningen til én elev er \( {\dfrac{3{,}8 + 3{,}4 + 4{,}1}{3} \approx 3{,}77}\text{,} \) under 4. Et snitt over 4 skal derfor skje i mindre enn halvparten av forsøkene, og det gjør det.