Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

potenser

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

4 oppgaver i S1 om potenser

Oppgavene

S1 vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

4 poeng

Løs likningene

Oppgave 3a)

33x+2−5=76 3^{3x + 2} - 5 = 76
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
x=23‾‾ \underline{\underline{x = \dfrac{2}{3}}}
Oppgave 3A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2025, video, 01:37
Vi får potensen alene og skriver \( 81 \) som en potens av \( 3\text{.} \) Når grunntallene er like, må eksponentene være like.
1. Få potensen alene 0:07 Vi flytter \( {-5} \) over til høyre side: \[ \begin{aligned} 3^{3x + 2} - 5 &= 76 \\ 3^{3x + 2} &= 81 \end{aligned} \]
2. Skriv 81 som en potens 0:19 Her må vi se at \( {81 = 9 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\text{.} \) Fire like faktorer kan vi skrive som en potens, som i videoen Hva er en Potens: \[ 81 = 3^4 \]
Det gir oss: \[ 3^{\textcolor{green}{3x + 2}} = 3^{\textcolor{green}{4}} \]
3. Sett eksponentene like 1:00 Grunntallet er \( 3 \) på begge sider, så eksponentene må være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{3x + 2} &= \textcolor{green}{4} \\ 3x &= 2 \\ x &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]

Oppgave 3b)

3lg⁡x+2lg⁡x2+lg⁡1x9=2 3\lg x + 2\lg x^2 + \lg\dfrac{1}{x^9} = 2
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
x=10−1=110‾‾ \underline{\underline{x = 10^{-1} = \dfrac{1}{10}}}
Oppgave 3B - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2025, video, 02:30
Vi skriver om hvert ledd med logaritmereglene, så alle blir et tall ganget med \( \lg x\text{.} \) Så trekker vi sammen og løser for \( x\text{.} \)
1. Skriv opp logaritmereglene 0:03 Likningen gir bare mening når \( {x > 0}\text{.} \) Da forteller logaritmereglene oss at: \[ \begin{aligned} \lg(a^n) &= n \cdot \lg a \\ \lg\dfrac{a}{b} &= \lg a - \lg b \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Regneregler med Logaritmer.
2. Skriv om ledd for ledd 0:30 \( 3\lg x \) er allerede et tall ganget med \( \lg x\text{.} \)
\( \textcolor{blue}{2\lg x^2}\text{:} \) Med den første regelen er \( {\lg x^2 = 2\lg x}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{2\lg x^2} = 2 \cdot 2\lg x = \textcolor{blue}{\underline{4\lg x}} \]
\( \textcolor{red}{\lg\dfrac{1}{x^9}}\text{:} \) Fra definisjonen er \( {\lg 1 = 0}\text{,} \) siden \( {10^0 = 1}\text{,} \) som i videoen Hva er en Logaritme?. Med de to reglene får vi: \[ \textcolor{red}{\lg\dfrac{1}{x^9}} = \lg 1 - \lg x^9 = \textcolor{red}{\underline{-9\lg x}} \]
3. Trekk sammen og løs 1:30 Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} 3\lg x + \textcolor{blue}{4\lg x} \textcolor{red}{{}- 9\lg x} &= 2 \\ -2\lg x &= 2 \\ \lg x &= -1 \end{aligned} \]
For å få \( x \) alene opphøyer vi \( 10 \) i begge sider. Fra definisjonen er \( {10^{\lg x} = x}\text{,} \) så: \[ x = 10^{-1} = \dfrac{1}{10} \]Den er positiv, så den er en løsning.

S1 høst 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

2 poeng

Løs likningen
100x−3⋅10x=4 100^x - 3 \cdot 10^x = 4
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Likningen har én løsning, siden 10x=−1 {10^x = -1} er umulig:
x=lg⁡4‾‾ \underline{\underline{x = \lg 4}}
Vi ser at \( 100^x \) er \( 10^x \) i andre. Gir vi \( 10^x \) et nytt navn, \( u\text{,} \) blir likningen en andregradslikning.
1. Skriv om med en ny variabel Siden \( {100 = 10^2}\text{,} \) gir regneregelen \( {(a^m)^n = a^{m \cdot n}} \) for potenser at: \[ 100^x = (10^2)^x = 10^{2x} = (10^x)^2 \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.
Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{10^x}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, og flytter \( 4 \) over: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{u}^2 - 3\textcolor{darkorange}{u} &= 4 \\ \textcolor{darkorange}{u}^2 - 3\textcolor{darkorange}{u} - 4 &= 0 \end{aligned} \]
2. Løs med abc-formelen Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}u^2 + \textcolor{red}{b}u + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ u = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{c}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-3}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-4}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-3}) = 3}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} u &= \dfrac{3 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-3})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-4})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ u &= \dfrac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{3 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {u = 4} \) eller \( {u = -1}\text{.} \)
3. Finn x Vi setter tilbake \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{10^x}}\text{.} \) En potens av \( 10 \) er alltid positiv, så \( {10^x = -1} \) har ingen løsning. Vi står igjen med: \[ 10^x = 4 \]
Vi tar \( \lg \) på begge sider. Fra definisjonen er \( {\lg\left(10^x\right) = x}\text{,} \) fordi \( x \) er tallet vi må opphøye \( 10 \) i for å få \( 10^x\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lg\left(10^x\right) &= \lg 4 \\ x &= \lg 4 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

S1 høst 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

6 poeng

Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

Oppgave 2a)

Påstand: Den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen f(x)=x2+2 {f(x) = x^2 + 2} i intervallet [1,4] [1, 4] er 5.
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
f(4)−f(1)4−1=18−33=5: {\dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \dfrac{18 - 3}{3} = 5}\text{:}
Pa˚standen er sann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er sann}}}
Gjennomsnittlig vekstfart er stigningstallet til linja mellom grafens punkter i endene av intervallet. Vi regner den ut og sammenligner med 5.
Metode: For hånd
1. Regn ut den gjennomsnittlige vekstfarten Gjennomsnittlig vekstfart fra \( {x = 1} \) til \( {x = 4} \) er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Med \( {x_1 = 1} \) og \( {x_2 = 4} \) regner vi ut \( {y_1 = f(1)} \) og \( {y_2 = f(4)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f(1)} &= 1^2 + 2 = \textcolor{red}{3} \\ \textcolor{blue}{f(4)} &= 4^2 + 2 = \textcolor{blue}{18} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{blue}{18} - \textcolor{red}{3}}{4 - 1} = \dfrac{15}{3} = 5 \]Den gjennomsnittlige vekstfarten er 5, så påstanden er sann.

Oppgave 2b)

Påstand: Hvis
lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞g(x) \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x)
og
lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞g(x), \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} g(x)\text{,}
så er f(x)=g(x). {f(x) = g(x)}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
f(x)=1x2+1 {f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}} og g(x)=0 {g(x) = 0} har de samme grenseverdiene, men er ikke like:
Pa˚standen er usann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er usann}}}
Påstanden skal gjelde for alle funksjoner, så ett moteksempel er nok til å vise at den er usann. Grenseverdiene sier bare hva som skjer langt ute til venstre og til høyre.
Metode: For hånd
1. Let etter et moteksempel Finner vi to funksjoner som har de samme grenseverdiene, men som ikke er like, er påstanden usann. Det kalles et moteksempel, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.
Vi velger: \[ \textcolor{blue}{f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}} \qquad \textcolor{red}{g(x) = 0} \]
2. Sjekk grenseverdiene Når \( x \to \infty \) eller \( {x \to -\infty}\text{,} \) vokser nevneren \( {x^2 + 1} \) uten grense, så brøken går mot \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \textcolor{blue}{f(x)} &= 0 = \lim_{x \to \infty} \textcolor{red}{g(x)} \\ \lim_{x \to -\infty} \textcolor{blue}{f(x)} &= 0 = \lim_{x \to -\infty} \textcolor{red}{g(x)} \end{aligned} \]
Begge kravene i påstanden er oppfylt, men funksjonene er ikke like: \[ \textcolor{blue}{f(0)} = \dfrac{1}{0 + 1} = 1 \neq 0 = \textcolor{red}{g(0)} \]Påstanden er derfor usann. Andre moteksempler er også riktige, for eksempel \( {f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}} \) og \( {g(x) = 2}\text{.} \)

Oppgave 2c)

Påstand: For likningen ax=ay, {a^x = a^y}\text{,} der a∈R, a \in \mathbb{R}\text{,} er løsningen alltid x=y. {x = y}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
For a=1 {a = 1} er 12=13, {1^2 = 1^3}\text{,} selv om 2≠3: {2 \neq 3}\text{:}
Pa˚standen er usann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er usann}}}
Påstanden sier «alltid», så den skal gjelde for alle \( a \in \mathbb{R}\text{.} \) Finner vi én verdi av \( a \) der likningen også har andre løsninger, er påstanden usann.
Metode: For hånd
1. Let etter et moteksempel Vi prøver \( {\textcolor{green}{a = 1}}\text{.} \) En potens er et produkt der grunntallet er faktor like mange ganger som eksponenten sier, som i videoen Hva er en Potens, så for eksempel er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{1}^{\textcolor{blue}{2}} &= 1 \cdot 1 = 1 \\ \textcolor{green}{1}^{\textcolor{red}{3}} &= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \end{aligned} \]Da er \( {\textcolor{green}{1}^{\textcolor{blue}{2}} = \textcolor{green}{1}^{\textcolor{red}{3}}}\text{,} \) så \( {x = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {y = \textcolor{red}{3}} \) er en løsning av likningen, selv om \( {2 \neq 3}\text{.} \) Dette er et moteksempel, og påstanden er usann.
Påstanden gjelder når \( {a > 0} \) og \( {a \neq 1}\text{,} \) fordi \( a^x \) da enten vokser hele tiden eller avtar hele tiden, og tar hver verdi bare én gang.

S1 høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

Skriv så enkelt som mulig.
(3a22b3)2⋅(a2b−54)−1 \left(\dfrac{3a^2}{2b^3}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{a^2b^{-5}}{4}\right)^{-1}
Vis løsning på oppgave 1

Svar

For a≠0 {a \neq 0} og b≠0 {b \neq 0} er uttrykket lik
9a2b‾‾ \underline{\underline{\dfrac{9a^2}{b}}}
Oppgave 1 - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023, video, 07:57
Vi ser at uttrykket er to brøker ganget sammen, og hver av dem er opphøyd i en potens. Vi forenkler dem hver for seg og ganger dem sammen til slutt.
1. Regn ut den første faktoren 0:16 Å opphøye brøken i andre er å gange den med seg selv. Vi ganger teller med teller og nevner med nevner, som i videoen Oppgave 3: Forenkle uttrykket (brøk + negative potenser).
Potenser med samme grunntall ganger vi ved å legge sammen eksponentene: \[ p^m \cdot p^n = p^{m + n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.
Det gir oss: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{3a^2}{2b^3}\right)^2 &= \dfrac{3a^2 \cdot 3a^2}{2b^3 \cdot 2b^3} \\ &= \dfrac{9a^{2 + 2}}{4b^{3 + 3}} = \textcolor{blue}{\dfrac{9a^4}{4b^6}} \end{aligned} \]
2. Snu den andre faktoren 2:04 En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ p^{-n} = \dfrac{1}{p^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.
Inni parentesen er altså \( {b^{-5} = \dfrac{1}{b^5}}\text{,} \) så \( b^5 \) havner i nevneren: \[ \dfrac{a^2b^{-5}}{4} = \dfrac{a^2}{4b^5} \]
En brøk opphøyd i \( {-1} \) er én delt på brøken, altså den samme brøken snudd opp ned: \[ \left(\dfrac{a^2}{4b^5}\right)^{-1} = \textcolor{red}{\dfrac{4b^5}{a^2}} \]
3. Gang sammen og forkort 5:51 Vi ganger brøkene sammen. Med regelen fra steg 1 er \( {a^4 = a^2 \cdot a^2} \) og \( {b^6 = b^5 \cdot b}\text{,} \) så \( \textcolor{darkorange}{4}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{a^2} \) og \( \textcolor{darkorange}{b^5} \) står både oppe og nede. Vi stryker dem: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\dfrac{9a^4}{4b^6}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{4b^5}{a^2}} &= \dfrac{9 \cdot \textcolor{darkorange}{4} \cdot a^2 \cdot \textcolor{darkorange}{a^2} \cdot \textcolor{darkorange}{b^5}}{\textcolor{darkorange}{4} \cdot \textcolor{darkorange}{b^5} \cdot b \cdot \textcolor{darkorange}{a^2}} \\ &= \dfrac{9a^2}{b} \end{aligned} \]