Eksamensoppgaver etter tema

\( \ln x \) er bare definert for \( {x > 0}\text{,} \) og der er \( f \) deriverbar, så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen er et produkt, så vi deriverer med produktregelen.

1. Deriver med produktregelen 0:10 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{4x^2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \\ f'(x) &= 8x \ln x + 4x \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null 2:12 Vi setter \( {f'(x) = 0}\text{:} \) \[ 8x \ln x + 4x = 0 \]

Vi trekker fra \( 4x \) og deler på \( 8x\text{,} \) som går fordi \( {x > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 8x \ln x &= -4x \\ \ln x &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

For å få \( x \) alene opphøyer vi \( e \) i begge sider. Siden \( {e^{\ln x} = x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026, får vi: \[ x = e^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{e}} \]

3. Finn y-koordinaten 4:05 Vi setter \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Her er \( {\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 = \dfrac{1}{e}} \) og \( {\ln\left(e^{-\tfrac{1}{2}}\right) = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ f\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right) = 4 \cdot \dfrac{1}{e} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{2}{e} \]

4. Avgjør hva slags punkt det er 6:07 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = \dfrac{1}{e}} \) og \( {x = 1}\text{,} \) siden \( {\dfrac{1}{e} < \dfrac{1}{\sqrt{e}} < 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{e}\right) &= 4 \cdot \dfrac{1}{e^2} \cdot (-1) = -\dfrac{4}{e^2} \\ f(1) &= 4 \cdot 1^2 \cdot \ln 1 = 0 \end{aligned} \]

Siden \( {e > 2}\text{,} \) er \( {\dfrac{2}{e} < 1}\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{4}{e^2} &= \dfrac{2}{e} \cdot \dfrac{2}{e} < \dfrac{2}{e} \\ -\dfrac{4}{e^2} &> -\dfrac{2}{e} \end{aligned} \]

Begge verdiene er altså større enn \( {-\dfrac{2}{e}}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & \dfrac{1}{e} & \dfrac{1}{\sqrt{e}} & 1 \\ \hline f(x) & -\dfrac{4}{e^2} & -\dfrac{2}{e} & 0 \end{array} \]Grafen går ned til \( {-\dfrac{2}{e}} \) og opp igjen, så punktet er et bunnpunkt. Grafen snur ikke noe annet sted, så den har ingen toppunkter.

Alternativ metode: Fortegnslinje Vi faktoriserer \( {f'(x) = \textcolor{darkorange}{4x}(\textcolor{magenta}{2\ln x + 1})}\text{.} \) For \( {x > 0} \) er \( {\textcolor{darkorange}{4x} > 0}\text{,} \) så \( f'(x) \) har samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{2\ln x + 1}}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [0.6065306597126334], "labels": ["\\tfrac{1}{\\sqrt{e}}"], "start": 0, "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{4x}", "expr": "4x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2\\ln x + 1}", "expr": "2ln(x) + 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "4x(2ln(x) + 1)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så punktet er et bunnpunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Faktoren \( \ln(3x) \) deriverer vi med kjerneregelen.

1. Skriv opp produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

2. Finn delene \( \ln \) av en kjerne \( \textcolor{green}{k} \) deriverer vi med kjerneregelen: \[ \left(\ln \textcolor{green}{k}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}} \cdot \textcolor{green}{k'} \]

Her er kjernen \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{3x}} \) og \( {\textcolor{green}{k'} = \textcolor{green}{3}}\text{,} \) så \( {\left(\ln(3x)\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{3x}} \cdot \textcolor{green}{3} = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 1B - Del 1 - S1 Eksamen Vår 2026.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln(3x)} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

3. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{\ln(3x)} + \textcolor{red}{4x^2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \\ f'(x) &= 8x \ln(3x) + 4x \end{aligned} \]\( \ln(3x) \) er bare definert når \( {3x > 0}\text{,} \) altså for \( {x > 0}\text{.} \)

Vi ser at \( \ln x \) står både i andre potens og alene. Vi gir den et nytt navn, \( k\text{,} \) og får en andregradslikning.

1. Skriv om med en ny variabel Det står \( (\ln x)^2\text{,} \) ikke \( \ln(x^2)\text{,} \) så det er hele \( \ln x \) som er opphøyd i andre. Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\ln x}} \) og flytter \( 6 \) over, som i videoen Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{k}^2 - \textcolor{darkorange}{k} &= 6 \\ \textcolor{darkorange}{k}^2 - \textcolor{darkorange}{k} - 6 &= 0 \end{aligned} \]

2. Løs med abc-formelen Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}k^2 + \textcolor{red}{b}k + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ k = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{c}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-1}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-6}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-1}) = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} k &= \dfrac{1 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-1})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-6})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ k &= \dfrac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {k = 3} \) eller \( {k = -2}\text{.} \)

3. Finn x Vi setter tilbake \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\ln x}} \) og opphøyer \( e \) i begge sider. Fra definisjonen av \( \ln \) er \( \ln x \) tallet vi må opphøye \( e \) i for å få \( x\text{,} \) så: \[ e^{\ln x} = x \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Det gir oss to løsninger: \[ \begin{aligned} e^{\textcolor{darkorange}{\ln x}} = e^3 \quad &\Rightarrow \quad x = e^3 \\ e^{\textcolor{darkorange}{\ln x}} = e^{-2} \quad &\Rightarrow \quad x = e^{-2} \end{aligned} \]Begge er positive, så begge er løsninger.

Vi tar for oss uttrykkene hver for seg og finner verdien, eller to tall den ligger mellom. Så sorterer vi dem.

1. Regn ut det første uttrykket 0:33 \( \ln \) er logaritmen med grunntall \( e\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer. Derfor opphever \( \ln \) og \( e \) hverandre: \[ \ln\left(e^x\right) = x \qquad e^{\ln x} = x \]

\( \textcolor{blue}{2\ln e^3}\text{:} \) Med regelen er \( {\ln\left(e^3\right) = 3}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{\underline{2\ln e^3 = 2 \cdot 3 = 6}} \]

2. Avgrens det andre uttrykket 1:15 \( \lg x \) er tallet vi må opphøye 10 i for å få \( x\text{:} \) \[ 10^{\lg x} = x \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

\( \textcolor{red}{3\lg 70}\text{:} \) Vi kan ikke regne ut \( \lg 70 \) uten kalkulator, så vi bruker litt logikk. \( \lg \) er voksende, og \( {10 < 70 < 100}\text{,} \) så: \[ 1 = \lg 10 < \lg 70 < \lg 100 = 2 \]

Ganger vi med 3, får vi: \[ \textcolor{red}{\underline{3 < 3\lg 70 < 6}} \]

3. Regn ut det tredje uttrykket 4:22 Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(x^n\right) = n \cdot \ln x \quad \text{for } x > 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

\( \textcolor{green}{e^{3\ln 2}}\text{:} \) Baklengs gir regelen \( {3\ln 2 = \ln\left(2^3\right) = \ln 8}\text{,} \) og siden \( e \) og \( \ln \) opphever hverandre, er \( {e^{\ln 8} = 8}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{\underline{e^{3\ln 2} = e^{\ln 8} = 8}} \]

4. Sorter verdiene 5:50 Slår vi dette sammen, får vi: \[ \textcolor{red}{3\lg 70} < 6 = \textcolor{blue}{2\ln e^3} < 8 = \textcolor{green}{e^{3\ln 2}} \]