Eksamensoppgaver etter tema

Uttrykket i midten er et tredjegradspolynom med fire ukjente koeffisienter. Kontinuiteten i de to skjøtene og de to deriverte vi kjenner, gir fire likninger.

1. Skriv opp kravene Vi kaller uttrykket i midten \[ p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \]Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]

\( f \) er kontinuerlig der den skifter uttrykk når uttrykkene på hver side går mot samme verdi, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I \( {x = -2} \) og \( {x = 1} \) gjelder \( p(x)\text{,} \) så \( p \) må ha de verdiene de ytre uttrykkene går mot: \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -2^-} f(x) &= -9 \cdot (-2) - 15 = \textcolor{blue}{3} \\ \lim_{x \to 1^+} f(x) &= \dfrac{1}{2} - 1 - \dfrac{7}{2} = \textcolor{red}{-4} \end{aligned} \]

De deriverte i de to punktene er gitt, \( {f'(-2) = \textcolor{blue}{-9}} \) og \( {f'(1) = \textcolor{red}{0}}\text{,} \) og der gjelder \( p(x)\text{.} \) Kravene \( {p(-2) = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) \( {p'(-2) = \textcolor{blue}{-9}}\text{,} \) \( {p(1) = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {p'(1) = \textcolor{red}{0}} \) gir fire likninger: \[ \begin{aligned} \text{I: } & -8a + 4b - 2c + d = \textcolor{blue}{3} \\ \text{II: } & 12a - 4b + c = \textcolor{blue}{-9} \\ \text{III: } & a + b + c + d = \textcolor{red}{-4} \\ \text{IV: } & 3a + 2b + c = \textcolor{red}{0} \end{aligned} \]

2. Uttrykk b og c ved a Vi trekker I fra III og II fra IV: \[ \begin{aligned} \text{III} - \text{I: } & 9a - 3b + 3c = -7 \\ \text{IV} - \text{II: } & -9a + 6b = 9 \end{aligned} \]Den siste gir \( {b = \dfrac{3 + 3a}{2}}\text{,} \) og IV gir \( {c = -3a - 2b = -6a - 3}\text{.} \)

3. Finn koeffisientene Vi setter \( b \) og \( c \) inn i \( {9a - 3b + 3c = -7}\text{:} \) \[ 9a - \dfrac{9 + 9a}{2} - 18a - 9 = -7 \]

Vi ganger med \( 2 \) og trekker sammen: \[ \begin{aligned} 18a - 9 - 9a - 36a - 18 &= -14 \\ -27a &= 13 \\ a &= -\dfrac{13}{27} \end{aligned} \]

Det gir resten: \[ \begin{aligned} b &= \dfrac{1}{2}\left(3 - \dfrac{13}{9}\right) = \dfrac{7}{9} \\ c &= -6 \cdot \left(-\dfrac{13}{27}\right) - 3 = -\dfrac{1}{9} \\ d &= -4 - a - b - c = -\dfrac{113}{27} \end{aligned} \]

Uttrykket i midten er altså: \[ p(x) = -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27} \]

1. Løs kravene i CAS Vi skriver de to uttrykkene vi kjenner og polynomet inn i CAS, setter opp de fire kravene i hver sin rad og løser dem med Løs, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g(x) := -9x - 15 h(x) := x^2/2 - x - 7/2 p(x) := a*x^3 + b*x^2 + c*x + d p(-2) = g(-2) p'(-2) = -9 p(1) = h(1) p'(1) = 0 Løs({$4, $5, $6, $7}, {a, b, c, d})

CAS gir \( {a = -\dfrac{13}{27}}\text{,} \) \( {b = \dfrac{7}{9}}\text{,} \) \( {c = -\dfrac{1}{9}} \) og \( {d = -\dfrac{113}{27}}\text{.} \)

Vi finner verdimengden, og stedet der grafen gjør et sprang. Så ser vi hvilke \( x \) vi må ta ut for at \( f \) skal bli kontinuerlig, uten at verdimengden endrer seg.

1. Finn verdimengden For \( {0 \le x \le 2} \) er \( {\textcolor{blue}{f(x) = x}}\text{,} \) som gir verdiene fra 0 til og med 2. For \( {2 < x \le 5} \) er \( {\textcolor{red}{f(x) = 5 - x}}\text{,} \) som går fra nesten 3 ned til \( {f(5) = 0}\text{.} \) Verdien 3 nås ikke, fordi \( {x = 2} \) hører til den første delen: \[ V_f = \textcolor{blue}{[0, 2]} \cup \textcolor{red}{[0, 3\rangle} = [0, 3\rangle \]Hvis du er usikker på skrivemåten med klammer, kan du se videoen Symboler.

2. Finn spranget Begge delene er rette linjer, så grafen kan bare gjøre et sprang i \( {x = 2}\text{,} \) der uttrykket skifter. Der gir de to uttrykkene ulike verdier: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{red}{5 - x} &= \textcolor{red}{3} \end{aligned} \]Grafen hopper fra 2 til nesten 3, så \( f \) er ikke kontinuerlig i \( {x = 2}\text{,} \) som i det første eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

3. Ta ut punktet med spranget En funksjon er kontinuerlig når den er kontinuerlig i alle punktene i definisjonsmengden. Tar vi ut \( {x = 2}\text{,} \) er det ikke noe sprang igjen: \[ D_f = [0, 2\rangle \cup \langle 2, 5] \]Verdimengden er den samme, for verdien 2 får vi fortsatt i \( {x = 3}\text{,} \) der \( {\textcolor{red}{5 - 3 = 2}}\text{.} \)

Større kan definisjonsmengden ikke bli. Verdiene mellom 2 og 3 får vi bare fra \( {\textcolor{red}{5 - x}} \) med \( x \) like til høyre for 2, så de må være med, og da kan ikke \( {x = 2} \) være med. Utenfor \( [0, 5] \) gir uttrykkene negative verdier, og dem har ikke verdimengden.

Begge delene er polynomer, så grafen kan bare få et brudd i \( {x = 1}\text{,} \) der forskriften skifter. Der må de to delene gi samme verdi.

1. Skriv opp kravet 0:08 \( f \) er kontinuerlig i \( {x = 1} \) når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) \]For en delt forskrift betyr det at den øverste og den nederste delen gir samme verdi når vi setter inn \( {x = 1}\text{,} \) som i videoen For hvilke verdier av a blir f en kontinuerlig funksjon.

2. Finn verdien til den nederste delen 1:40 For \( {x \ge 1} \) gjelder \( {x - 1}\text{,} \) så: \[ f(1) = 1 - 1 = \textcolor{blue}{0} \]

3. Sett den øverste delen lik null 2:14 Den øverste delen må også gi \( \textcolor{blue}{0} \) når vi setter inn \( {x = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1^2 + 3 \cdot 1 - a^2 &= \textcolor{blue}{0} \\ 4 - a^2 &= 0 \\ a^2 &= 4 \end{aligned} \]

Både \( {2^2 = 4} \) og \( {(-2)^2 = 4}\text{,} \) så likningen har to løsninger.