Eksamensoppgaver etter tema

Påstanden gjelder alle funksjoner på denne formen, så vi undersøker om telleren kan være \( 0 \) i \( {x = d}\text{,} \) der nevneren er \( 0\text{.} \)

1. Skriv opp kravet for vertikal asymptote 0:23 Før vi setter i gang, må vi vite når en brøk har en vertikal asymptote. Det har den i \( {x = d} \) når: \[ \text{nevneren} = 0 \quad \text{og} \quad \text{telleren} \neq 0 \]Nevneren \( {x - d} \) er \( 0 \) i \( {x = d}\text{,} \) men ingenting hindrer at telleren også er det.

2. Let etter et moteksempel 0:47 Påstanden sier «alle». Finner vi én funksjon på denne formen som ikke har en vertikal asymptote i \( {x = d}\text{,} \) er påstanden usann. Det kalles et moteksempel.

Vi velger en teller med \( {\textcolor{darkorange}{x - d}} \) som faktor ved å gange nevneren med seg selv, som i andre kvadratsetning: \[ (\textcolor{darkorange}{x - d})(x - d) = x^2 - 2dx + d^2 \]Hvis du er usikker på kvadratsetningene, kan du se videoen Kvadratsetningene.

Det står \( 1 \) foran \( x^2\text{,} \) \( {-2d} \) foran \( x\text{,} \) og konstantleddet er \( d^2\text{.} \) Det er formen \( {ax^2 + bx + c} \) med: \[ a = 1, \quad b = -2d, \quad c = d^2 \]

3. Forkort brøken 3:07 Med disse tallene kan vi skrive om funksjonsuttrykket og forkorte \( {\textcolor{darkorange}{x - d}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x) &= \dfrac{x^2 - 2dx + d^2}{x - d} \\ f(x) &= \dfrac{(\textcolor{darkorange}{x - d})(x - d)}{\textcolor{darkorange}{x - d}} \\ f(x) &= x - d, \quad x \neq d \end{aligned} \]

Dette gir en rett linje med et hull i \( {x = d}\text{,} \) som i eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Når \( x \) nærmer seg \( d\text{,} \) går \( f(x) \) mot \( 0\text{,} \) ikke mot uendelig, så \( {x = d} \) er ingen vertikal asymptote. Påstanden er derfor usann. Andre moteksempler er også riktige, for eksempel \( {a = b = c = 0}\text{.} \)

En arbeidsgruppe er bare hvem som er med, uten rekkefølge. Vi teller hvor mange grupper det kan bli med 4 og med 3 medlemmer, og sammenligner.

1. Skriv opp hvordan vi teller grupper Velger vi medlemmene én om gangen, er det \( 7 \) muligheter for den første, \( 6 \) for den andre og så videre. Da teller vi hver gruppe én gang for hver rekkefølge medlemmene kan velges i, så vi deler på antall rekkefølger. Det er binomialkoeffisienten: \[ \binom{n}{k} = \dfrac{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)}{k(k - 1) \cdots 1} \]

2. Tell gruppene av begge størrelser Her er \( {n = 7} \) medlemmer å velge blant, og vi velger \( {\textcolor{blue}{k = 4}} \) eller \( {\textcolor{red}{k = 3}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\binom{7}{4}} &= \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{840}{24} = 35 \\ \textcolor{red}{\binom{7}{3}} &= \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{210}{6} = 35 \end{aligned} \]

Det er altså like mange grupper med 4 som med 3 medlemmer. Det er ikke tilfeldig: å velge de 4 som skal være med, er det samme som å velge de 3 som ikke skal være med. Påstanden er derfor usann.

Når vi vet hvilke to som sover på tomannsrommet, sover de tre andre på tremannsrommet. Vi teller derfor hvor mange måter vi kan velge 2 av de 5 jentene på.

1. Tell parene til tomannsrommet Den første plassen på tomannsrommet kan gå til \( 5 \) jenter, og den andre til de \( 4 \) som er igjen. Antall måter å fylle plassene på er: \[ 5 \cdot 4 = 20 \]

Men vi bryr oss ikke om hvem som tar hvilken plass, så hvert par er telt \( \textcolor{blue}{2} \) ganger. Vi deler derfor på \( \textcolor{blue}{2}\text{.} \) Det er binomialkoeffisienten \( \binom{5}{2}\text{,} \) «5 over 2»: \[ \binom{5}{2} = \dfrac{5 \cdot 4}{\textcolor{blue}{2} \cdot 1} = 10 \]

Anastasia velger det rommet der det er minst sannsynlig at Elena havner. Vi regner ut sannsynligheten for begge valgene og tar den minste.

1. Regn ut sannsynligheten for hvert rom Når Anastasia har valgt, trekker de fire andre om de fire ledige plassene, så Elena kan få hver av dem med samme sannsynlighet. Sannsynligheten for at Elena havner på samme rom som Anastasia, er derfor: \[ P = \dfrac{\text{antall gunstige}}{\text{antall mulige}} \]

Velger Anastasia \( \textcolor{blue}{\text{tomannsrommet}}\text{,} \) er \( 1 \) av de \( 4 \) ledige plassene der: \[ \textcolor{blue}{P(\text{samme rom}) = \dfrac{1}{4}} \]

Velger hun \( \textcolor{red}{\text{tremannsrommet}}\text{,} \) er \( 2 \) av de \( 4 \) ledige plassene der: \[ \textcolor{red}{P(\text{samme rom}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}} \]

2. Velg det minste Siden \( {\textcolor{blue}{\dfrac{1}{4}} < \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}\text{,} \) velger Anastasia tomannsrommet. Da er sannsynligheten \( \dfrac{1}{4} \) for at hun må sove på samme rom som Elena.

Vi bryr oss bare om hvem som sover sammen. Vi finner derfor gruppestørrelsene som får plass i rommene, teller hver av dem for seg og legger sammen.

1. Finn gruppestørrelsene Det er 7 plasser til 5 jenter, så noen plasser blir tomme. Ingen gruppe kan ha mer enn 3 jenter, og det er bare tre rom, så de fem jentene kan deles i grupper på: \[ \textcolor{blue}{3 + 2} \qquad \textcolor{red}{3 + 1 + 1} \qquad \textcolor{green}{2 + 2 + 1} \]

2. Tell hver oppdeling for seg \( {\textcolor{blue}{3 + 2}}\text{:} \) Vi velger de 3 som sover sammen, og de 2 andre sover sammen. Det er antall måter å velge 3 av 5 på: \[ \binom{5}{3} = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \textcolor{blue}{\underline{10}} \]

\( {\textcolor{red}{3 + 1 + 1}}\text{:} \) Vi velger de 3 som sover sammen, og de 2 andre sover alene. Det er igjen antall måter å velge 3 av 5 på: \[ \binom{5}{3} = \textcolor{red}{\underline{10}} \]

\( {\textcolor{green}{2 + 2 + 1}}\text{:} \) Vi velger hvem som sover alene, på 5 måter. Av de 4 andre kan den første sove sammen med 3 ulike, og da er det andre paret gitt: \[ 5 \cdot 3 = \textcolor{green}{\underline{15}} \]

3. Legg sammen Slår vi dette sammen, får vi: \[ \textcolor{blue}{10} + \textcolor{red}{10} + \textcolor{green}{15} = 35 \]

Vi tar de tre plassene i passordet én om gangen og teller hvor mange tegn som kan stå på hver av dem. Så ganger vi antallene sammen.

1. Tell valgene på hver plass Det første tegnet skal være en av bokstavene A til F, så der har vi \( \textcolor{blue}{6} \) valg.

Det andre tegnet er ett av sifrene 1 til 9, altså \( \textcolor{red}{9} \) valg. Det tredje skal være et annet siffer enn det andre, så der er det \( \textcolor{green}{8} \) igjen. Det er som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023, der den andre terningen må vise noe annet enn den første.

2. Gang sammen Hvert valg på én plass kan kombineres med hvert av valgene på de andre plassene, så vi ganger antallene: \[ \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{9} \cdot \textcolor{green}{8} = 432 \]

Det er lettere å telle passordene som ikke er lov. Vi teller alle passordene og trekker fra dem med bare siffer og dem med bare bokstaver.

1. Tell alle passordene Hver av de tre plassene kan være ett av de \( {4 + 3 = \textcolor{blue}{7}} \) tegnene 1, 2, 3, 4, A, B og C, og tegnene kan komme flere ganger: \[ \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{blue}{7} = 343 \]

2. Trekk fra de ugyldige passordene Et passord mangler en bokstav når alle tre tegnene er siffer, og mangler et siffer når alle tre er bokstaver: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Bare siffer: }} & 4 \cdot 4 \cdot 4 = \textcolor{red}{64} \\ \textcolor{green}{\text{Bare bokstaver: }} & 3 \cdot 3 \cdot 3 = \textcolor{green}{27} \end{aligned} \]

Ingen passord er begge deler, så vi trekker hvert av dem fra én gang. Resten har minst én bokstav og minst ett siffer. Vi teller altså det motsatte og trekker fra, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ 343 - \textcolor{red}{64} - \textcolor{green}{27} = 252 \]

Hvert av de tre sifrene kan være ett av de seks sifrene 1 til 6. Vi teller hvor mange koder som er mulige, og bare én av dem er riktig.

1. Tell de mulige kodene Uten 7, 8, 9 og 0 er det seks sifre igjen: 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Hvert av de tre sifrene i koden kan være hvilket som helst av dem, så antall mulige koder er: \[ \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{blue}{6} = 216 \]

2. Regn ut sannsynligheten Peder prøver én av kodene, og alle er like sannsynlige. Sannsynligheten er da: \[ P = \dfrac{\text{antall gunstige}}{\text{antall mulige}} \]

Her er 1 kode gunstig og 216 mulige: \[ P = \dfrac{1}{216} \approx 0{,}0046 \]Det er det samme som å treffe riktig siffer på hvert av de tre hjulene, \( {\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}}\text{,} \) slik vi ganger sannsynligheter i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.

Vi lar et program trekke en tilfeldig kode og et tilfeldig forsøk svært mange ganger, og teller hvor ofte forsøket åpner låsen. Andelen er omtrent sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive ett forsøk som en funksjon, og en løkke som teller.

1. Skriv programmet Programmet har to deler: ett forsøk og mange forsøk. Her er det, med utskriften fra én kjøring:

2. Forklar ett forsøk Funksjonen «forsøk()» i linje 3 til 15 trekker en tilfeldig kode i linje 4 til 6 og et tilfeldig forsøk i linje 8 til 10. \( \texttt{np.random.randint(1, 7)} \) gir et tilfeldig heltall fra 1 til 6, fordi den øvre grensen ikke er med, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 12 sjekker om alle tre sifrene er like, og da åpner låsen.

3. Tell forsøkene som åpner låsen Løkka i linje 20 til 22 gjør \( \textcolor{red}{1\,000\,000} \) forsøk og teller i «antall_åpnet» hvor mange av dem som åpner låsen, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 24 regner ut andelen i prosent: \[ P \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{forsøk som åpnet}}}{\textcolor{red}{\text{alle forsøk}}} \cdot 100\,\% \]Utskriften viser at låsen åpnet seg i omtrent \( 0{,}47\,\% \) av forsøkene. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 0{,}46\,\%\text{,} \) som er \( \dfrac{1}{216} \) fra a).

En arbeidsgruppe er bare hvem som er med, uten rekkefølge. Vi teller hvor mange måter vi kan velge 4 av de 10 elevene på.

1. Tell gruppene Trekker vi lappene én om gangen, er det \( 10 \) muligheter for den første, \( 9 \) for den andre, \( 8 \) for den tredje og \( 7 \) for den fjerde: \[ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040 \]

Men rekkefølgen spiller ingen rolle, og de fire elevene i en gruppe kan trekkes i \( {\textcolor{blue}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \textcolor{blue}{24}} \) rekkefølger. Hver gruppe er derfor telt \( \textcolor{blue}{24} \) ganger, så vi deler på \( \textcolor{blue}{24}\text{.} \) Det er binomialkoeffisienten \( \binom{10}{4}\text{,} \) «10 over 4»: \[ \binom{10}{4} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{\textcolor{blue}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \dfrac{5040}{\textcolor{blue}{24}} = 210 \]

Vi bruker de 210 mulige gruppene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Det er 3 gutter og 7 jenter. «Minst to gutter» betyr to eller tre gutter. Vi teller gruppene med to og med tre gutter, og deler på alle gruppene.

1. Tell gruppene med minst to gutter Det er \( {10 - 7 = 3} \) gutter. En gruppe med \( \textcolor{blue}{2} \) gutter har \( \textcolor{red}{2} \) jenter. Vi velger guttene og jentene hver for seg, og ganger: \[ \binom{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{blue}{2}} \cdot \binom{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{red}{2}} = 3 \cdot \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 3 \cdot 21 = \underline{63} \]

En gruppe med \( \textcolor{blue}{3} \) gutter har \( \textcolor{red}{1} \) jente: \[ \binom{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{blue}{3}} \cdot \binom{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{red}{1}} = 1 \cdot 7 = \underline{7} \]

2. Regn ut sannsynligheten I a) fant vi at det er \( 210 \) mulige grupper, og alle er like sannsynlige. Sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P = \dfrac{63 + 7}{210} = \dfrac{70}{210} = \dfrac{1}{3} \]Elevene trekkes uten tilbakelegging, så dette er en hypergeometrisk sannsynlighet.

1. Regn ut i CAS La \( X \) være antall gutter i gruppen. Minst to gutter er det motsatte av høyst én: \[ P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \]FordelingHypergeometrisk med populasjonen 10, antall gutter 3, utvalget 4, verdien 1 og true til slutt gir \( {P(X \le 1)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingHypergeometrisk(10, 3, 4, 1, true)

CAS gir \( {P(X \ge 2) = \dfrac{1}{3}}\text{.} \)

Vi bruker de 210 mulige gruppene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi deler elevene i to: Emma og Marie, og de 8 andre. Gruppen skal ha én av de to og tre av de åtte andre.

1. Tell de gunstige gruppene Vi velger én av \( \textcolor{green}{\text{Emma og Marie}} \) og tre av de \( 8 \) andre elevene, og ganger: \[ \begin{aligned} \binom{\textcolor{green}{2}}{\textcolor{green}{1}} \cdot \binom{8}{3} &= 2 \cdot \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\ &= 2 \cdot 56 = 112 \end{aligned} \]

2. Regn ut sannsynligheten I a) fant vi at det er \( 210 \) like sannsynlige grupper: \[ P = \dfrac{112}{210} = \dfrac{8}{15} \approx 0{,}533 \]

1. Regn ut i CAS Nå er Emma og Marie det vi teller: populasjonen er 10, antall treff 2 og utvalget 4. Vi vil ha nøyaktig 1, så vi skriver false til slutt:

Skriv inn i GeoGebra: FordelingHypergeometrisk(10, 2, 4, 1, false)

CAS gir \( \dfrac{8}{15}\text{.} \)

Et antrekk har ett plagg fra hver av de fem gruppene, og alle valgene kan kombineres med hverandre. Vi ganger derfor antallene sammen.

1. Gang sammen antallene Hvert av de 10 hodeplaggene kan kombineres med hver av de 20 skjortene, og hver av disse kombinasjonene med hver av de 15 jakkene, og så videre. Dette kalles multiplikasjonsprinsippet: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{10 \cdot 20} \cdot \textcolor{red}{15 \cdot 15} \cdot 5 \\ &= \textcolor{blue}{200} \cdot \textcolor{red}{225} \cdot 5 = 225\,000 \end{aligned} \]

Med 3 sko kan Tore få med seg høyst ett par. Det er enklest å regne ut det motsatte, at alle tre skoene er fra ulike par, og trekke det fra 1.

1. Bruk den motsatte hendelsen Enten får Tore med seg et skopar, eller så er alle tre skoene fra ulike par. Sannsynlighetene blir til sammen 1, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(\text{et skopar}) = 1 - \textcolor{blue}{P(\text{ulike par})} \]

2. Ta skoene én om gangen Det er \( {5 \cdot 2 = 10} \) sko. Vi tar dem én om gangen og ganger sannsynlighetene, som med terningene i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Den første skoen kan være hvilken som helst. Den andre må være fra et annet par, så 8 av de 9 som er igjen, passer. Den tredje må være fra et tredje par, så 6 av de 8 som er igjen, passer: \[ \textcolor{blue}{P(\text{ulike par})} = \dfrac{10}{10} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{6}{8} = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(\text{et skopar}) = 1 - \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{1}{3} \]

Vi bruker de \( 225\,000 \) antrekkene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Antall antrekk er produktet av antallene i de fem gruppene. Et nytt plagg gir flest nye antrekk i gruppen med færrest plagg, så vi kjøper alltid inn der det er færrest.

1. Se hva ett nytt plagg gir Kjøper bedriften ett plagg til i en gruppe med \( \textcolor{blue}{n} \) plagg, blir antall antrekk ganget med: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{n} + 1}{\textcolor{blue}{n}} = 1 + \dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}} \]Faktoren er størst når \( \textcolor{blue}{n} \) er minst. Det lønner seg derfor å kjøpe skopar, der det er 5, til det er like mange skopar som hodeplagg, 10.

2. Kjøp der det er færrest I a) fant vi \( 225\,000 \) antrekk. Fem nye skopar, fra 5 til 10, dobler antallet. Så gir ett nytt hodeplagg og ett nytt skopar en faktor \( \dfrac{11}{10} \) hver: \[ \begin{aligned} 225\,000 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{10}{5}} &= 450\,000 \\ 450\,000 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{11}{10}} &= 495\,000 \\ 495\,000 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{11}{10}} &= 544\,500 \end{aligned} \]Med 6 nye er \( 495\,000 \) det meste bedriften kan få, og det er for lite. Med 7 nye, 6 skopar og 1 hodeplagg, blir det \( 544\,500 \) antrekk, som er flere enn \( 542\,000\text{.} \) Bare skopar holder ikke: 7 nye skopar gir \( {225\,000 \cdot \dfrac{12}{5} = 540\,000}\text{.} \)

Vi tar sokkene én om gangen. For hver sokk finner vi sannsynligheten for at den er gul, og ganger sannsynlighetene sammen.

1. Ta sokkene én om gangen Det ligger \( {6 + 5 + 4 = 15} \) sokker i skuffen, og 6 av dem er gule. Når den første sokken er gul, er det 14 sokker igjen, og 5 av dem er gule: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{Sokk 1: }} & \textcolor{blue}{\dfrac{6}{15}} \\ \textcolor{red}{\text{Sokk 2: }} & \textcolor{red}{\dfrac{5}{14}} \end{aligned} \]

2. Gang sammen og forkort Begge må være gule, så vi ganger sannsynlighetene sammen, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} P &= \textcolor{blue}{\dfrac{6}{15}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{5}{14}} = \dfrac{30}{210} \\ P &= \dfrac{1}{7} \end{aligned} \]

«Minst 2 av samme farge» dekker alle tilfellene unntatt ett: at de tre sokkene har hver sin farge. Vi finner sannsynligheten for det og trekker den fra 1.

1. Bruk den motsatte hendelsen Enten har alle tre sokkene ulik farge, eller så har minst to av dem samme farge. Sannsynlighetene for de to tilfellene blir til sammen 1, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} &P(\text{minst 2 like}) \\ &= 1 - \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} \end{aligned} \]

2. Finn sannsynligheten for alle ulike Tre ulike farger betyr én gul, én svart og én hvit. Tar vi dem i rekkefølgen gul, svart, hvit, får vi: \[ \begin{aligned} P(\text{GSH}) &= \dfrac{6}{15} \cdot \dfrac{5}{14} \cdot \dfrac{4}{13} \\ P(\text{GSH}) &= \dfrac{120}{2730} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{4}{91}} \end{aligned} \]

I en annen rekkefølge, for eksempel svart, gul, hvit, står de samme tallene 6, 5 og 4 i tellerne, bare i en annen rekkefølge. Alle rekkefølgene har derfor sannsynligheten \( \textcolor{darkorange}{\dfrac{4}{91}}\text{.} \) Det er \( {3 \cdot 2 \cdot 1 = 6} \) rekkefølger: \[ \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} = 6 \cdot \textcolor{darkorange}{\dfrac{4}{91}} = \textcolor{blue}{\dfrac{24}{91}} \]

3. Trekk fra 1 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\text{minst 2 like}) &= 1 - \textcolor{blue}{\dfrac{24}{91}} \\ P(\text{minst 2 like}) &= \dfrac{67}{91} \end{aligned} \]

Påstanden skal gjelde for alle \( {x > 0}\text{,} \) så vi viser den generelt. Vi skriver om \( {k \cdot \ln(x)} \) med en logaritmeregel, og bruker at \( e \) opphøyd i \( \ln \) av et tall gir tallet tilbake.

1. Skriv om eksponenten Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Naturlige Logaritmer.

Med \( {a = x} \) og \( {\textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{k}} \) er \( {\textcolor{green}{k} \cdot \ln(x) = \ln\left(x^{\textcolor{green}{k}}\right)}\text{.} \) Det går fordi \( {x > 0}\text{.} \)

2. Bruk definisjonen av ln \( \ln u \) er tallet vi må opphøye \( e \) i for å få \( u\text{,} \) så \( {e^{\ln u} = u} \) for \( {u > 0}\text{.} \) Med \( {u = x^{\textcolor{green}{k}}} \) får vi: \[ \begin{aligned} e^{\textcolor{green}{k} \cdot \ln(x)} &= e^{\ln\left(x^{\textcolor{green}{k}}\right)} \\ e^{\textcolor{green}{k} \cdot \ln(x)} &= x^{\textcolor{green}{k}} \end{aligned} \]Dette gjelder for alle \( {x > 0} \) og alle tall \( k\text{.} \) Påstanden er derfor sann.

Påstanden skal gjelde for alle \( a \) og \( b \) med \( {1 < a < \dfrac{b}{2}}\text{.} \) Finner vi ett tilfelle der den ikke stemmer, er den usann, så vi prøver med små tall.

1. Skriv opp binomialkoeffisienten \( \dbinom{n}{k} \) er antall måter å velge \( k \) av \( n \) på. Vi regner den ut slik: \[ \binom{n}{k} = \dfrac{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)}{k(k - 1) \cdots 1} \]

2. Prøv med små tall Det minste heltallet med \( {1 < a} \) er \( {a = 2}\text{,} \) og \( {2 < \dfrac{b}{2}} \) gir \( {b > 4}\text{.} \) Vi prøver \( {\textcolor{blue}{b = 5}} \) og \( {\textcolor{red}{a = 2}}\text{,} \) der \( {1 < 2 < \dfrac{5}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \binom{\textcolor{blue}{5}}{3} &= \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \\ \binom{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{2}} &= \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \end{aligned} \]

De to er like, så \( {\dbinom{5}{3} > \dbinom{5}{2}} \) stemmer ikke. Det er et moteksempel, og påstanden er derfor usann. Det er ikke tilfeldig: å velge de 3 som skal være med, er det samme som å velge de 2 som ikke skal være med.

Vi teller alle passord med seks bokstaver, og trekker fra dem som bare har små eller bare store bokstaver.

1. Tell alle passordene med bokstaver Vi regner med det norske alfabetet, som har 29 bokstaver, altså 29 store og 29 små. Hvert av de 6 tegnene kan da være en av \( \textcolor{blue}{58} \) bokstaver, så vi ganger antall valg for hvert tegn: \[ \textcolor{blue}{58} \cdot \textcolor{blue}{58} \cdot \textcolor{blue}{58} \cdot \textcolor{blue}{58} \cdot \textcolor{blue}{58} \cdot \textcolor{blue}{58} = 58^6 \]

2. Trekk fra passordene som bryter reglene Et passord med bare bokstaver bryter reglene når det mangler en stor eller mangler en liten bokstav. Vi trekker dem fra, som når vi bruker den motsatte hendelsen i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med bare små bokstaver har hvert tegn \( \textcolor{red}{29} \) valg, og det samme med bare store: \[ \begin{aligned} &58^6 - \textcolor{red}{29}^6 - \textcolor{red}{29}^6 \\ &= 38\,068\,692\,544 - 2 \cdot 594\,823\,321 \\ &= 36\,879\,045\,902 \end{aligned} \]Det er omtrent \( {3{,}7 \cdot 10^{10}}\text{,} \) altså 37 milliarder passord.

1. Regn ut i CAS Vi skriver uttrykket fra kalkulatorruten inn i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: 58^6 - 2*29^6

CAS gir 36 879 045 902 passord.

Vi sammenligner med antallet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Jo flere passord som er mulige, jo vanskeligere er det å gjette ett. Vi teller passordene etter regelsett 2 og sammenligner med a).

1. Velg plassene Først velger vi hvilke 2 av de 6 plassene som får store bokstaver, og så hvilke 2 av de 4 som er igjen, som får små. Sifrene får de 2 siste. Antall måter å velge \( k \) av \( n \) plasser på er binomialkoeffisienten: \[ \binom{n}{k} = \dfrac{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)}{k(k - 1) \cdots 1} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{\binom{6}{2} \cdot \binom{4}{2}} &= \dfrac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \\ &= 15 \cdot 6 = \textcolor{darkorange}{90} \end{aligned} \]

2. Fyll plassene Hver plass med stor eller liten bokstav har 29 valg, og hver plass med siffer har 10 valg (0 til 9): \[ \begin{aligned} &\textcolor{darkorange}{90} \cdot 29^2 \cdot 29^2 \cdot 10^2 \\ &= \textcolor{darkorange}{90} \cdot 707\,281 \cdot 100 \\ &= 6\,365\,529\,000 \end{aligned} \]

3. Sammenlign med a) I a) fant vi 36 879 045 902 passord med regelsett 1: \[ \dfrac{36\,879\,045\,902}{6\,365\,529\,000} \approx 5{,}8 \]Regelsett 2 gir omtrent 5,8 ganger færre passord. Selv om reglene er flere, blir det lettere å gjette et passord ved å prøve alle. Kravet om nøyaktig to av hver sort låser for mye.

1. Regn ut i CAS Vi regner ut antallet og forholdet til a) i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: nCr(6,2)*nCr(4,2)*29^4*10^2 (58^6 - 2*29^6)/(nCr(6,2)*nCr(4,2)*29^4*10^2)

CAS gir 6 365 529 000 passord, omtrent 5,8 ganger færre enn med regelsett 1.