Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

derivasjon

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

25 oppgaver i S1 om derivasjon · viser 1–10

Oppgavene

S1 vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

4 poeng

Deriver funksjonene g g og h h gitt ved

Oppgave 1a)

g(x)=3x2−5+3x−2 g(x) = 3x^2 - 5 + \dfrac{3}{x - 2}
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
For x≠2 {x \neq 2} er
g′(x)=6x−3(x−2)2‾‾ \underline{\underline{g'(x) = 6x - \dfrac{3}{(x - 2)^2}}}
Oppgave 1 - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026, video, 02:52
Vi ser at funksjonen består av tre ledd. Vi deriverer dem derfor ledd for ledd, og brøken med kvotientregelen.
1. Deriver de to første leddene 0:15 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
\( \textcolor{green}{3x^2} \) derivert blir derfor \( {3 \cdot 2x = \textcolor{green}{\underline{6x}}}\text{.} \)
\( {-5} \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden det er en konstant.
2. Deriver brøken med kvotientregelen 0:45 For å derivere \( {\dfrac{3}{x - 2}} \) bruker vi kvotientregelen. Den forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Telleren \( 3 \) er en konstant, så den har derivert \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{x - 2} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{1} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ \begin{aligned} \left(\dfrac{3}{x - 2}\right)' &= \dfrac{\textcolor{red}{0} \cdot (\textcolor{blue}{x - 2}) - \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{1}}{(\textcolor{blue}{x - 2})^2} \\ \left(\dfrac{3}{x - 2}\right)' &= \textcolor{darkorange}{\underline{-\dfrac{3}{(x - 2)^2}}} \end{aligned} \]
3. Slå sammen leddene 2:18 Slår vi dette sammen, får vi: \[ g'(x) = \textcolor{green}{6x} + 0 \textcolor{darkorange}{{}- \dfrac{3}{(x - 2)^2}} \]

Oppgave 1b)

h(x)=(3x+2)3+ln⁡(3x) h(x) = (3x + 2)^3 + \ln(3x)
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
For x>0 {x > 0} er
h′(x)=9(3x+2)2+1x‾‾ \underline{\underline{h'(x) = 9(3x + 2)^2 + \dfrac{1}{x}}}
Oppgave 1B - Del 1 - S1 Eksamen Vår 2026, video, 04:07
Vi ser at funksjonen består av to ledd. Vi deriverer dem ledd for ledd, og begge med kjerneregelen.
1. Deriver potensen med kjerneregelen 0:17 Å gange ut \( {(3x + 2)^3} \) blir tungvint, så vi bruker kjerneregelen. Den forteller oss at vi deriverer den ytre funksjonen og ganger med den deriverte av kjernen \( \textcolor{green}{u}\text{:} \) \[ \left(\textcolor{green}{u}^3\right)' = 3\textcolor{green}{u}^2 \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.
Her er: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3x + 2} \qquad \textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{3} \]
Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} \left((3x + 2)^3\right)' &= 3(\textcolor{green}{3x + 2})^2 \cdot \textcolor{green}{3} \\ \left((3x + 2)^3\right)' &= \textcolor{blue}{\underline{9(3x + 2)^2}} \end{aligned} \]
2. Deriver ln-leddet 2:51 For \( \ln \) av en kjerne gir kjerneregelen: \[ \left(\ln \textcolor{green}{u}\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{3x}} \) og \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{3}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \left(\ln(3x)\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{3x}} \cdot \textcolor{green}{3} = \textcolor{red}{\underline{\dfrac{1}{x}}} \]
3. Slå sammen leddene 3:43 \( \ln(3x) \) er bare definert når \( {3x > 0}\text{,} \) altså for \( {x > 0}\text{.} \) Slår vi dette sammen, får vi: \[ h'(x) = \textcolor{blue}{9(3x + 2)^2} \textcolor{red}{{}+ \dfrac{1}{x}} \]

S1 vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

5 poeng

En funksjon f f er gitt ved
f(x)=ex(6−ex) f(x) = e^x(6 - e^x)

Oppgave 2a)

Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen f. f\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Funksjonen har ett nullpunkt:
x=ln⁡6‾‾ \underline{\underline{x = \ln 6}}
Oppgave 2A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, video, 02:25
For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Funksjonsuttrykket er et produkt, og et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)
1. Sett funksjonsuttrykket lik null 0:21 Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) = 0 \]Da må \( \textcolor{red}{e^x} \) eller \( {\textcolor{blue}{6 - e^x}} \) være \( 0\text{.} \)
\( \textcolor{red}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) er positiv for alle \( x\text{.} \)
2. Løs likningen med ln 1:12 Setter vi \( {\textcolor{blue}{6 - e^x} = 0}\text{,} \) får vi: \[ e^x = 6 \]
Vi tar \( \ln \) på begge sider og får: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{x}}\right) = \ln 6 \]
Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]Den flytter \( \textcolor{green}{x} \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer.
Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{x} \cdot \ln e &= \ln 6 \\ x &= \ln 6 \end{aligned} \]Likningen har bare denne løsningen, så funksjonen har ett nullpunkt.

Oppgave 2b)

Vis at f′(x)=2ex(3−ex). {f'(x) = 2e^x(3 - e^x)}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
f′(x)=2ex(3−ex)‾‾ \underline{\underline{f'(x) = 2e^x(3 - e^x)}}
Oppgave 2B - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, video, 04:04
Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Deretter faktoriserer vi til vi står igjen med uttrykket i oppgaven.
1. Deriver med produktregelen 0:28 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x} \) og konstanten \( 6 \) har derivert \( 0\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{6 - e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-e^x} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) + \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{-e^x}) \]
2. Faktoriser 2:05 Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) og trekker sammen det som står i parentesen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - e^x - e^x) \\ f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - 2e^x) \end{aligned} \]
Vi kan faktorisere ut \( 2 \) også, siden \( {6 = 2 \cdot 3}\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) = 2\textcolor{darkorange}{e^x}(3 - e^x) \]Det er uttrykket i oppgaven.

Oppgave 2c)

Bestem koordinatene til eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til f. f\text{.} Avgjør om eventuelle punkter er topp- eller bunnpunkt.
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
Grafen har ett toppunkt og ingen bunnpunkter:
Toppunkt: (ln⁡3, 9)‾‾ \underline{\underline{\text{Toppunkt: } (\ln 3,\ 9)}}
Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026, video, 07:06
Vi bruker nullpunktet fra a), og uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).
Funksjonen er deriverbar for alle \( x\text{,} \) så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Om det er et toppunkt eller et bunnpunkt, ser vi av funksjonsverdiene på hver side.
1. Sett den deriverte lik null 0:16 I oppgaveteksten til b) står det at: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{3 - e^x}) \]Den er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) alltid er positiv. Derfor må \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x} = 0}\text{.} \)
2. Løs likningen med ln 2:07 Vi flytter \( e^x \) over til høyre side: \[ e^x = 3 \]
Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser og \( {\ln e = 1} \) gir \( {\ln\left(e^x\right) = x \cdot \ln e = x}\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \begin{aligned} \ln\left(e^x\right) &= \ln 3 \\ x &= \ln 3 \end{aligned} \]
3. Finn y-koordinaten 2:52 For å finne koordinatene plugger vi \( {x = \ln 3} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Siden \( {\textcolor{green}{e^{\ln 3}} = \textcolor{green}{3}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f(\ln 3) &= \textcolor{green}{e^{\ln 3}}(6 - \textcolor{green}{e^{\ln 3}}) \\ f(\ln 3) &= \textcolor{green}{3} \cdot (6 - \textcolor{green}{3}) = 9 \end{aligned} \]
4. Avgjør hva slags punkt det er 4:15 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \ln 3}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = 0} \) og nullpunktet \( {x = \ln 6} \) fra a): \[ f(0) = e^0(6 - e^0) = 1 \cdot 5 = 5 \]
Siden \( \ln \) er voksende, er \( {0 = \ln 1 < \ln 3 < \ln 6}\text{,} \) og \( {f(\ln 6) = 0}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \ln 3 & \ln 6 \\ \hline f(x) & 5 & 9 & 0 \end{array} \]
Grafen går opp fra \( 5 \) til \( 9 \) og ned igjen til \( 0\text{.} \) Punktet \( (\ln 3,\ 9) \) er derfor et toppunkt, og siden grafen bare snur der, har den ingen bunnpunkter.
Alternativ metode: Fortegnslinje Siden \( {\textcolor{darkorange}{2e^x} > 0}\text{,} \) har \( f'(x) \) samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x}}\text{:} \) positiv når \( {x < \ln 3} \) og negativ når \( {x > \ln 3}\text{.} \) :::fortegnsskjema {"points": [1.0986122886681098], "labels": ["\\ln 3"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{3 - e^x}", "expr": "3 - e^x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2e^x(3 - e^x)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \ln 3} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så \( (\ln 3,\ 9) \) er et toppunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

S1 vår 2026 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 6

3 poeng

Nedenfor ser du grafen til en funksjon f. f\text{.}

Oppgave 6a)

Bruk figuren til å bestemme den gjennomsnittlige vekstfarten for f f i intervallet x∈[0,3]. x \in [0, 3]\text{.}
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Avlest i figuren er f(0)=4 {f(0) = 4} og f(3)=−0,5, {f(3) = -0{,}5}\text{,} så den gjennomsnittlige vekstfarten er
ΔyΔx=−1,5‾‾ \underline{\underline{\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = -1{,}5}}
Den gjennomsnittlige vekstfarten er stigningstallet til linja gjennom grafen i \( {x = 0} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Vi leser av funksjonsverdiene i figuren.
1. Les av funksjonsverdiene Grafen går gjennom rutepunktene \( (0, 4) \) og \( {(3,\ -0{,}5)}\text{:} \) \[ f(0) = 4 \qquad f(3) = -0{,}5 \]
2. Regn ut stigningstallet Den gjennomsnittlige vekstfarten fra \( {x = a} \) til \( {x = b} \) er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) altså stigningstallet til den blå linja, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{\Delta y}{\Delta x}} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
Med \( {a = 0} \) og \( {b = 3} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} &= \dfrac{-0{,}5 - 4}{3} \\ \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} &= \dfrac{-4{,}5}{3} = \textcolor{blue}{-1{,}5} \end{aligned} \]I gjennomsnitt synker \( f \) med \( 1{,}5 \) for hver enhet \( x \) øker.

Oppgave 6b)

Bruk figuren til å bestemme den momentane vekstfarten når x=0, {x = 0}\text{,} og når x=3. {x = 3}\text{.} Forklar hvordan du kommer fram til svarene dine.
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Stigningstallene til tangentene, avlest i figuren:
f′(0)=0‾‾f′(3)≈1,5‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{f'(0) = 0}} \\ &\underline{\underline{f'(3) \approx 1{,}5}} \end{aligned}
Den momentane vekstfarten er stigningstallet til tangenten i punktet. Vi tegner tangentene i \( {x = 0} \) og \( {x = 3} \) og leser av stigningstallene.
1. Tegn tangentene Tangenten er linja som berører grafen i punktet. Tar vi en linje gjennom punktet og et annet punkt på grafen, og lar det andre punktet gli mot punktet, blir linja til tangenten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Stigningstallet til tangenten er den deriverte, og det er den momentane vekstfarten.
2. Les av stigningstallene I \( {x = 0} \) har grafen et toppunkt i \( (0, 4)\text{.} \) Der er tangenten vannrett, den røde linja, så: \[ \textcolor{red}{f'(0) = 0} \]
I \( {x = 3} \) går den blå tangenten gjennom \( {(3,\ -0{,}5)} \) og \( (5,\ 2{,}5)\text{.} \) Den går 2 bortover og 3 opp: \[ \textcolor{blue}{f'(3)} \approx \dfrac{2{,}5 - (-0{,}5)}{5 - 3} = \dfrac{3}{2} = \textcolor{blue}{1{,}5} \]En tangent tegnet for hånd blir aldri helt nøyaktig, så svar nær \( 1{,}5 \) er også riktige.

S1 vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

5 poeng

Eva har kjøpt et sett med kopper. Koppene er tilnærmet sylinderformede. Alle har samme høyde, men de har ulik radius. Eva har målt de ulike radiene og volumene. Se tabellen nedenfor.
RadiusVolum(cm)(mL)3,54403,64703,85304,57304,78304,9900 \begin{array}{r|r} \text{Radius} & \text{Volum} \\ \text{(cm)} & \text{(mL)} \\ \hline 3{,}5 & 440 \\ 3{,}6 & 470 \\ 3{,}8 & 530 \\ 4{,}5 & 730 \\ 4{,}7 & 830 \\ 4{,}9 & 900 \end{array}

Oppgave 1a)

Lag en modell på formen
V(x)=a⋅xb V(x) = a \cdot x^b
for sammenhengen mellom radius x x og volumet V. V\text{.}
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Med a a avrundet til to desimaler og b b til tre:
V(x)≈31,96⋅x2,097‾‾ \underline{\underline{V(x) \approx 31{,}96 \cdot x^{2{,}097}}}
Formen i oppgaven er en potensfunksjon, så vi bruker potensregresjon i GeoGebra.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre potensregresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver radiusen i kolonne A og volumet i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
2. Kjør potensregresjon Potensregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:
Skriv inn i GeoGebra: V(x) = RegPot(l1)
Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ V(x) = \textcolor{red}{a} \cdot x^{\textcolor{blue}{b}} \]Det gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{31{,}9554}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{2{,}0968}}\text{.} \)
I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.
Merk – Ikke rund av for tidlig: Runder vi \( b \) av til \( 2{,}1\text{,} \) blir svaret i b) omtrent \( 308 \) i stedet for \( 307\text{,} \) og økningen i c) omtrent \( 329\,\% \) i stedet for \( 328\,\%\text{.} \)

Oppgave 1b)

Bestem V′(4). V'(4)\text{.} Gi en praktisk tolkning av svaret.
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til hele mL per cm. Når radien er 4 cm, øker volumet med omtrent 307 mL for hver centimeter radien øker:
V′(4)≈307 mL/cm‾‾ \underline{\underline{V'(4) \approx 307\,\text{mL/cm}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
\( V'(4) \) er hvor fort volumet vokser når radien er \( 4 \) cm. Vi deriverer modellen med potensregelen og setter inn \( {x = 4}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Deriver modellen I a) fant vi modellen: \[ V(x) \approx \textcolor{red}{31{,}96} \cdot x^{\textcolor{blue}{2{,}097}} \]Vi regner med \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og setter inn tallene til slutt.
Potensregelen forteller oss at: \[ (x^{\textcolor{blue}{n}})' = \textcolor{blue}{n} \cdot x^{\textcolor{blue}{n} - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{b}}\text{.} \) Konstanten \( \textcolor{red}{a} \) står ganget med potensen, så den blir stående: \[ V'(x) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot x^{\textcolor{blue}{b} - 1} \]
2. Sett inn tallene Plugger vi inn tallene fra svaret i a), får vi: \[ \begin{aligned} V'(4) &\approx \textcolor{red}{31{,}96} \cdot \textcolor{blue}{2{,}097} \cdot 4^{\textcolor{blue}{2{,}097} - 1} \\ V'(4) &\approx 306{,}7 \end{aligned} \]
3. Tolk svaret Radien \( x \) er i cm og volumet i mL, så \( V'(4) \) er i mL per cm. Når radien er \( 4 \) cm, øker volumet med omtrent \( 307 \) mL for hver centimeter radien øker.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut den deriverte I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(x) \approx \textcolor{red}{31{,}9554} \cdot x^{\textcolor{blue}{2{,}0968}} \]Vi skriver den deriverte i \( {x = 4} \) inn i Algebrafeltet:
Skriv inn i GeoGebra: d = V'(4)
GeoGebra gir \( {V'(4) \approx 306{,}5292}\text{,} \) altså omtrent \( 307 \) mL per cm.

Oppgave 1c)

Hvor mye øker volumet dersom radien dobles ifølge modellen fra oppgave a?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Avrundet til hele prosent. Volumet blir omtrent 4,28 ganger så stort:
Det øker med omtrent 328 %‾‾ \underline{\underline{\text{Det øker med omtrent } 328\,\%}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi setter inn \( 2x \) i stedet for \( x \) i modellen og sammenligner med \( V(x)\text{.} \) Svaret blir det samme for alle radier.
Metode: Med kalkulator
1. Sett inn den doble radien I a) fant vi modellen: \[ V(x) \approx \textcolor{red}{31{,}96} \cdot x^{\textcolor{blue}{2{,}097}} \]Vi regner med \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og setter inn tallene til slutt. Med radien \( 2x \) blir volumet \( {V(2x) = \textcolor{red}{a} \cdot (2x)^{\textcolor{blue}{b}}}\text{.} \)
En potens av et produkt er produktet av potensene: \[ (2 \cdot x)^{\textcolor{blue}{b}} = 2^{\textcolor{blue}{b}} \cdot x^{\textcolor{blue}{b}} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.
Det gir oss: \[ \begin{aligned} V(2x) &= 2^{\textcolor{blue}{b}} \cdot \textcolor{red}{a} \cdot x^{\textcolor{blue}{b}} \\ V(2x) &= 2^{\textcolor{blue}{b}} \cdot V(x) \end{aligned} \]
2. Regn ut faktoren Med \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{2{,}097}} \) fra svaret i a) gir kalkulatoren: \[ 2^{\textcolor{blue}{2{,}097}} \approx 4{,}28 \]Volumet blir altså omtrent \( 4{,}28 \) ganger så stort. Det øker med \( {4{,}28 - 1 = 3{,}28} \) ganger det første volumet, altså med omtrent \( 328\,\%\text{.} \)
Metode: Med GeoGebra
1. Forenkle forholdet i CAS I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(x) \approx \textcolor{red}{31{,}9554} \cdot x^{\textcolor{blue}{2{,}0968}} \]
Vi lar CAS forenkle \( \dfrac{V(2x)}{V(x)} \) med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: Forenkle(V(2x)/V(x))
CAS gir \( 4{,}2777\text{,} \) uten noen \( x\text{.} \) Volumet blir omtrent \( 4{,}28 \) ganger så stort, uansett radius, og øker med omtrent \( 328\,\%\text{.} \)

S1 vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

3 poeng

Figuren ovenfor viser grafen til en funksjon f f gitt ved f(x)=100⋅0,8x {f(x) = 100 \cdot 0{,}8^x} og et rektangel ABCD. ABCD\text{.}
Punktet A A har koordinatene A(a,f(a)) A(a, f(a)) der a∈[0,5⟩. a \in [0, 5\rangle\text{.} Punktene B B og C C har førstekoordinat 5, 5\text{,} og punktene C C og D D har andrekoordinat 200. 200\text{.}

Oppgave 3a)

Uttrykk lengden av linjestykkene AB AB og AD AD ved a. a\text{.}
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Uttrykt ved a: a\text{:}
AB=5−a‾‾AD=200−100⋅0,8a‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{AB = 5 - a}} \\ &\underline{\underline{AD = 200 - 100 \cdot 0{,}8^a}} \end{aligned}
\( AB \) er vannrett, så lengden er forskjellen mellom førstekoordinatene. \( AD \) er loddrett, så lengden er forskjellen mellom andrekoordinatene.
Metode: For hånd
1. Finn lengdene \( A \) har førstekoordinat \( a\text{,} \) og \( B \) har førstekoordinat \( 5\text{.} \) Siden \( {a < 5}\text{,} \) er: \[ AB = \textcolor{red}{5 - a} \]
\( A \) har andrekoordinat \( {f(a) = 100 \cdot 0{,}8^a}\text{,} \) og \( D \) har andrekoordinat \( 200\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a \le 1} \) når \( {a \ge 0}\text{,} \) er \( {f(a) \le 100}\text{,} \) så \( D \) ligger over \( A\text{:} \) \[ AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a} \]

Oppgave 3b)

Bruk derivasjon til å bestemme det største arealet rektangelet ABCD ABCD kan få.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Avrundet til et helt tall, når a≈0,17: {a \approx 0{,}17}\text{:}
Største areal≈501‾‾ \underline{\underline{\text{Største areal} \approx 501}}
Vi bruker lengdene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Arealet er \( {AB \cdot AD}\text{,} \) en funksjon av \( a\text{.} \) Vi finner der den deriverte er \( 0\text{,} \) viser at det er et toppunkt, og sammenligner med endepunktet \( {a = 0}\text{.} \)
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen der den deriverte er \( 0\text{,} \) kan ikke løses for hånd. Øv heller på å sette opp arealet og den deriverte for hånd, med produktregelen og \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{,} \) og på å avgjøre fortegnet til den deriverte.
Metode: Med GeoGebra
1. Sett opp arealet som en funksjon I a) fant vi \( {AB = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Navnet \( A \) er brukt på et punkt, så vi kaller arealet \( T(a)\text{:} \) \[ T(a) = (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \]der \( a \in [0, 5\rangle\text{.} \)
2. Deriver og løs med CAS Oppgaven krever derivasjon, fordi en annen metode, som å lese av en graf, bare gir noe uttelling. Arealet er et produkt, og produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.
Her er \( {\textcolor{red}{u} = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {\textcolor{blue}{v} = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a = e^{a \cdot \ln 0{,}8}}\text{,} \) gir kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, at \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= \textcolor{red}{-1} \cdot (\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \\ &{}+ (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \ln 0{,}8}) \end{aligned} \]
Vi lar CAS kontrollere den deriverte og løse \( {T'(a) = 0}\text{.} \) Likningen kan ikke løses eksakt, så vi bruker NLøs med startverdien \( {a = 0{,}2}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 100*0.8^x T(a) := (5 - a)*(200 - f(a)) T'(a) NLøs(T'(a) = 0, a = 0.2)
CAS gir \( {T'(a) = 0} \) når \( {a \approx 0{,}1707}\text{.} \)
3. Vis at det er et toppunkt Faktoriserer vi ut \( {100 \cdot 0{,}8^a} \) fra leddene som har den, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= 100 \cdot 0{,}8^a \cdot g(a) - 200 \\ g(a) &= 1 - (5 - a) \cdot \ln 0{,}8 \end{aligned} \]Siden \( {\ln 0{,}8 < 0}\text{,} \) er \( g(a) \) positiv og blir mindre når \( a \) øker, og \( 0{,}8^a \) blir også mindre. Derfor avtar \( T'(a)\text{,} \) og den er \( 0 \) bare én gang.
Vi sjekker fortegnet på hver side og regner ut arealet i CAS, radene 5 til 7 med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: T'(0) T'(1) T(0.1707) T(0)
CAS gir i rad 5 og 6: \[ \begin{aligned} T'(0) &\approx 11{,}57 > 0 \\ T'(1) &\approx -48{,}59 < 0 \end{aligned} \]Arealet vokser før \( {a \approx 0{,}1707} \) og avtar etter, så der har \( T \) et toppunkt.
Vi sammenligner med endepunktet \( {a = 0} \) i rad 7 og 8: \[ \begin{aligned} T(0{,}1707) &\approx 500{,}98 \\ T(0) &= 500 \end{aligned} \]Når \( a \) nærmer seg \( 5\text{,} \) går arealet mot \( 0\text{.} \) Det største arealet er derfor omtrent \( 501\text{.} \)

S1 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

5 poeng

Oppgave 1a)

Deriver funksjonen f f gitt ved
f(x)=13x3+x+2 f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + \sqrt{x} + 2
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
For x>0 {x > 0} er
f′(x)=x2+12x‾‾ \underline{\underline{f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}}}
Oppgave 1A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 02:51
Vi ser at funksjonen består av tre ledd, og at roten er vanskelig å derivere slik den står. Vi skriver den derfor som en potens og deriverer ledd for ledd.
1. Skriv roten som en potens 0:15 En rot kan skrives som en potens: \[ \sqrt[n]{x} = x^{\tfrac{1}{n}} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Potenser og røtter.
Kvadratroten er andreroten, så \( {n = 2}\text{:} \) \[ f(x) = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}x^3} + \textcolor{red}{x^{\tfrac{1}{2}}} + 2 \]
2. Deriver ledd for ledd 1:04 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
\( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}x^3} \) derivert blir \( {\dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 = \textcolor{blue}{\underline{x^2}}}\text{.} \)
\( \textcolor{red}{x^{\tfrac{1}{2}}} \) derivert blir \( {\dfrac{1}{2} \cdot x^{\tfrac{1}{2} - 1} = \textcolor{red}{\underline{\dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}}}}\text{.} \)
\( 2 \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden det er en konstant.
3. Skriv svaret med rot 1:42 Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}} \]
En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.
Det gir \( {x^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{x^{\tfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}}\text{.} \) Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så for \( {x > 0} \) er: \[ f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]
Funksjon g g gitt ved
g(x)=2x−3ex g(x) = \dfrac{2x - 3}{e^x}
er kontinuerlig og deriverbar for alle x∈R. x \in \mathbb{R}\text{.}

Oppgave 1b)

Bestem g′(2) g'(2) og g′(3). g'(3)\text{.}
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
g′(2)=1e2‾‾g′(3)=−1e3‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{g'(2) = \dfrac{1}{e^2}}} \\ &\underline{\underline{g'(3) = -\dfrac{1}{e^3}}} \end{aligned}
Oppgave 1B + C - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 04:30
Funksjonen er en brøk, så vi deriverer den med kvotientregelen. Så setter vi inn \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \)
1. Skriv opp kvotientregelen 0:19 Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x - 3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]
2. Sett inn og forenkle 1:13 Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{e^x} - (\textcolor{red}{2x - 3}) \cdot \textcolor{blue}{e^x}}{(\textcolor{blue}{e^x})^2} \]
Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) i telleren og skriver \( {(e^x)^2 = \textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x}\text{,} \) får vi: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^x}\bigl(2 - (2x - 3)\bigr)}{\textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x} \]
Vi forkorter \( \textcolor{darkorange}{e^x}\text{.} \) Minus foran parentesen gjelder begge leddene, så \( {-(2x - 3) = -2x + 3}\text{:} \) \[ g'(x) = \dfrac{2 - 2x + 3}{e^x} = \dfrac{5 - 2x}{e^x} \]
3. Regn ut de to verdiene 2:46 Vi setter inn \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(2) &= \dfrac{5 - 2 \cdot 2}{e^2} = \dfrac{1}{e^2} \\ g'(3) &= \dfrac{5 - 2 \cdot 3}{e^3} = -\dfrac{1}{e^3} \end{aligned} \]

Oppgave 1c)

Hva forteller svarene i oppgave b om grafen til g g når x∈[2,3]? x \in [2, 3]\text{?}
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Grafen stiger i x=2 {x = 2} og synker i x=3: {x = 3}\text{:}
Et toppunkt der 2<x<3‾‾ \underline{\underline{\text{Et toppunkt der } 2 < x < 3}}
Oppgave 1B + C - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 04:30
Vi bruker \( g'(2) \) og \( g'(3) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Den deriverte er stigningstallet til grafen. Fortegnet til \( g'(2) \) og \( g'(3) \) forteller derfor om grafen stiger eller synker der.
1. Tolk fortegnene 3:37 I b) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g'(2)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{e^2}} > 0 \\ \textcolor{red}{g'(3)} &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{e^3}} < 0 \end{aligned} \]
Den deriverte er stigningstallet til tangenten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Grafen stiger altså i \( {\textcolor{blue}{x = 2}} \) og synker i \( {\textcolor{red}{x = 3}}\text{.} \)
Siden \( g \) er kontinuerlig og deriverbar, må grafen snu et sted mellom \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Der er \( {g'(x) = 0}\text{,} \) og grafen har et toppunkt.

S1 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

2 poeng

En funksjon f f er gitt ved
f(x)=4x2⋅ln⁡x f(x) = 4x^2 \cdot \ln x
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. f\text{.}
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Grafen har ett bunnpunkt og ingen toppunkter:
Bunnpunkt: (1e, −2e)‾‾ \underline{\underline{\text{Bunnpunkt: } \left(\dfrac{1}{\sqrt{e}},\ -\dfrac{2}{e}\right)}}
Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 09:17
\( \ln x \) er bare definert for \( {x > 0}\text{,} \) og der er \( f \) deriverbar, så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen er et produkt, så vi deriverer med produktregelen.
1. Deriver med produktregelen 0:10 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{4x^2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \\ f'(x) &= 8x \ln x + 4x \end{aligned} \]
2. Sett den deriverte lik null 2:12 Vi setter \( {f'(x) = 0}\text{:} \) \[ 8x \ln x + 4x = 0 \]
Vi trekker fra \( 4x \) og deler på \( 8x\text{,} \) som går fordi \( {x > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 8x \ln x &= -4x \\ \ln x &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]
For å få \( x \) alene opphøyer vi \( e \) i begge sider. Siden \( {e^{\ln x} = x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026, får vi: \[ x = e^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{e}} \]
3. Finn y-koordinaten 4:05 Vi setter \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Her er \( {\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 = \dfrac{1}{e}} \) og \( {\ln\left(e^{-\tfrac{1}{2}}\right) = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ f\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right) = 4 \cdot \dfrac{1}{e} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{2}{e} \]
4. Avgjør hva slags punkt det er 6:07 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = \dfrac{1}{e}} \) og \( {x = 1}\text{,} \) siden \( {\dfrac{1}{e} < \dfrac{1}{\sqrt{e}} < 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{e}\right) &= 4 \cdot \dfrac{1}{e^2} \cdot (-1) = -\dfrac{4}{e^2} \\ f(1) &= 4 \cdot 1^2 \cdot \ln 1 = 0 \end{aligned} \]
Siden \( {e > 2}\text{,} \) er \( {\dfrac{2}{e} < 1}\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{4}{e^2} &= \dfrac{2}{e} \cdot \dfrac{2}{e} < \dfrac{2}{e} \\ -\dfrac{4}{e^2} &> -\dfrac{2}{e} \end{aligned} \]
Begge verdiene er altså større enn \( {-\dfrac{2}{e}}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & \dfrac{1}{e} & \dfrac{1}{\sqrt{e}} & 1 \\ \hline f(x) & -\dfrac{4}{e^2} & -\dfrac{2}{e} & 0 \end{array} \]Grafen går ned til \( {-\dfrac{2}{e}} \) og opp igjen, så punktet er et bunnpunkt. Grafen snur ikke noe annet sted, så den har ingen toppunkter.
Alternativ metode: Fortegnslinje Vi faktoriserer \( {f'(x) = \textcolor{darkorange}{4x}(\textcolor{magenta}{2\ln x + 1})}\text{.} \) For \( {x > 0} \) er \( {\textcolor{darkorange}{4x} > 0}\text{,} \) så \( f'(x) \) har samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{2\ln x + 1}}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [0.6065306597126334], "labels": ["\\tfrac{1}{\\sqrt{e}}"], "start": 0, "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{4x}", "expr": "4x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2\\ln x + 1}", "expr": "2ln(x) + 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "4x(2ln(x) + 1)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så punktet er et bunnpunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

S1 høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

Tabellen nedenfor viser folketallet i en bygd, noen år i perioden 1910–1935.
A˚rFolketall19108001913963191912531921151119251720192718791931238719352774 \begin{array}{r|r} \text{År} & \text{Folketall} \\ \hline 1910 & 800 \\ 1913 & 963 \\ 1919 & 1253 \\ 1921 & 1511 \\ 1925 & 1720 \\ 1927 & 1879 \\ 1931 & 2387 \\ 1935 & 2774 \end{array}

Oppgave 1a)

Bruk informasjonen til å lage en modell F F på formen
F(t)=a⋅bt F(t) = a \cdot b^t
for antall personer F(t) F(t) som bodde i bygda t t år etter 1910. Vurder modellens gyldighetsområde.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Med a a avrundet til hele personer og b b til tre desimaler:
F(t)≈821⋅1,051t‾‾Gyldig for 0≤t≤25‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{F(t) \approx 821 \cdot 1{,}051^t}} \\ &\underline{\underline{\text{Gyldig for } 0 \le t \le 25}} \end{aligned}
Formen i oppgaven er en eksponentialfunksjon, så vi bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra. Først gjør vi årene om til år etter 1910.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre eksponentiell regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Gjør årene om til t \( t \) er antall år etter 1910, så 1910 blir \( {t = 0}\text{,} \) 1913 blir \( {t = 3} \) og så videre, til 1935, som blir \( {t = 25}\text{.} \)
Vi skriver \( t \) i kolonne A og folketallet i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
2. Kjør eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. I GeoGebra heter kommandoen RegEksp, og den gir en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{.} \) GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegEksp(l1)
Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ F(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]Det gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{820{,}6398}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{1{,}0510}}\text{.} \)
I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.
Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {b \approx 1{,}05}\text{.} \) Regner vi videre med \( 1{,}05\text{,} \) blir svaret i b) 1925 i stedet for 1924, og i c) 26 år i stedet for 25.
3. Vurder gyldighetsområdet Tabellen har tall fra 1910 til 1935, altså for \( {0 \le t \le 25}\text{.} \) Der går grafen nær punktene.
Framover vokser modellen med omtrent \( 5{,}1\,\% \) hvert år, uten stopp, og folketallet i en bygd kan ikke vokse slik for alltid. Vi har ingen tall før 1910 eller etter 1935, så modellen gjelder bare for årene vi har data for.

Oppgave 1b)

Når økte befolkningen med mer enn 80 personer per år ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Vekstfarten passerer 80 personer per år midt i 1923, når t≈13,5: {t \approx 13{,}5}\text{:}
Fra og med 1924‾‾ \underline{\underline{\text{Fra og med } 1924}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Økningen per år er vekstfarten \( F'(t)\text{.} \) Vi finner når \( {F'(t) = 80}\text{,} \) og ser fra hvilket år vekstfarten er over 80.
Metode: Med kalkulator
1. Deriver modellen I a) fant vi modellen: \[ F(t) \approx \textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t \]Vi regner med \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og setter inn tallene til slutt.
Vi skriver \( {\textcolor{blue}{b}^t = e^{t \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{t \cdot \ln b}} \) er \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\ln b}}\text{,} \) så \( {(b^t)' = b^t \cdot \ln b}\text{.} \) Det gir oss: \[ F'(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]
2. Sett den deriverte lik 80 Vi setter \( {F'(t) = 80} \) og deler på \( {\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{b}^t = \dfrac{80}{\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}} \]
Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen \( {\ln\left(b^t\right) = t \cdot \ln b} \) flytter \( t \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ t = \dfrac{\ln\left(\dfrac{80}{\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}\right)}{\ln \textcolor{blue}{b}} \]
3. Sett inn tallene Med tallene fra svaret i a) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{821} \cdot \ln \textcolor{blue}{1{,}051} &\approx 40{,}84 \\ t &\approx \dfrac{\ln\left(\dfrac{80}{40{,}84}\right)}{\ln \textcolor{blue}{1{,}051}} \approx 13{,}5 \end{aligned} \]
Siden \( {\textcolor{blue}{b} > 1}\text{,} \) vokser \( F'(t) \) hele tiden, så \( {F'(t) > 80} \) når \( {t > 13{,}5}\text{.} \) Det er midt i 1923. Det første hele året med vekst på mer enn 80 personer er \( {t = 14}\text{,} \) altså 1924, og det gjelder resten av perioden modellen gjelder for.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn skjæringspunktet med linja I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ F(t) \approx \textcolor{red}{820{,}6398} \cdot \textcolor{blue}{1{,}0510}^t \]
Vi lar GeoGebra derivere den, tegner linja \( {y = 80} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: Derivert(F) g: y = 80
Skjæringspunktet er \( {K \approx (13{,}5382,\ 80)}\text{,} \) og grafen til \( F' \) ligger over linja til høyre for det. Vekstfarten er over 80 personer per år fra \( {t \approx 13{,}5}\text{,} \) midt i 1923, så det første hele året er 1924.

Oppgave 1c)

Hvor mange år gikk det før den gjennomsnittlige befolkningsveksten fra 1910 var større enn 80 personer per år ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Etter 24 år var gjennomsnittet under 80 personer per år, og etter 25 år var det over:
25 a˚r‾‾ \underline{\underline{25 \text{ år}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Den gjennomsnittlige veksten fra 1910 er endringen i folketallet delt på antall år. Vi regner den ut for hele år, og ser når den blir større enn 80.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp gjennomsnittet Den gjennomsnittlige veksten er endringen i folketallet delt på endringen i tid, som stigningstallet \( \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \) i videoen Definisjonen til den deriverte. Fra 1910, der \( {t = 0}\text{,} \) til \( t \) år etter er den: \[ G(t) = \dfrac{F(t) - F(0)}{t - 0} \]
I a) fant vi \( {F(t) \approx \textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t}\text{,} \) så \( {F(0) = \textcolor{red}{821}} \) og: \[ G(t) = \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t - \textcolor{red}{821}}{t} \]
2. Prøv deg fram med hele år Likningen \( {G(t) = 80} \) kan vi ikke løse for hånd, fordi \( t \) står både i eksponenten og i nevneren. Grafen til \( F \) blir stadig brattere, så gjennomsnittet vokser med \( t\text{.} \) Vi prøver oss fram med hele år, som i videoen Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.
Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} G(24) &= \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^{24} - \textcolor{red}{821}}{24} \approx 78{,}7 \\ G(25) &= \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^{25} - \textcolor{red}{821}}{25} \approx 81{,}0 \end{aligned} \]Etter 24 år, i 1934, var gjennomsnittet under 80, og etter 25 år, i 1935, var det over. Det gikk altså 25 år.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen og sjekk hele år I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi løser \( {G(t) = 80} \) med NLøs og startverdien \( {t = 20}\text{,} \) og regner ut gjennomsnittet etter 24 og 25 år med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: NLøs((F(t) - F(0))/t = 80, t = 20) (F(24) - F(0))/24 (F(25) - F(0))/25
CAS gir \( {t \approx 24{,}5995}\text{,} \) og gjennomsnittet er omtrent \( 78{,}59 \) etter 24 år og \( 80{,}96 \) etter 25 år. Det gikk altså 25 år, til 1935.

S1 høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

4 poeng

En elevbedrift produserer og selger et produkt. Kostnaden K(x) K(x) kroner ved produksjon og salg er gitt ved
K(x)=0,02x2+60x+12000. K(x) = 0{,}02x^2 + 60x + 12000\text{.}

Oppgave 4a)

Elevbedriften selger produktet for 100 kroner per enhet. Hvor stort er det største overskuddet elevbedriften kan få?
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Med 1000 enheter er overskuddet størst:
8000 kroner‾‾ \underline{\underline{8000 \text{ kroner}}}
Overskuddet er inntekten minus kostnadene. Det blir en andregradsfunksjon, og det største overskuddet ligger i toppunktet, der den deriverte er null.
Metode: For hånd
1. Sett opp overskuddet Overskuddet er det elevbedriften får for produktene, minus det de koster, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \text{overskudd} = \textcolor{blue}{\text{inntekt}} - \textcolor{red}{\text{kostnader}} \]
Hver enhet gir 100 kroner, så \( x \) enheter gir inntekten \( \textcolor{blue}{100x}\text{.} \) Vi trekker fra hele \( \textcolor{red}{K(x)}\text{,} \) så minus gjelder alle leddene i den, og \( {100x - 60x = 40x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O(x) &= \textcolor{blue}{100x} - \textcolor{red}{K(x)} \\ &= \textcolor{blue}{100x} \textcolor{red}{{}- 0{,}02x^2} \\ &\quad \textcolor{red}{{}- 60x - 12000} \\ &= -0{,}02x^2 + 40x - 12000 \end{aligned} \]
2. Finn toppunktet Toppunktet ligger der den deriverte er null, som i videoen Oppgave 1C (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Med potensregelen, \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} \) er: \[ O'(x) = -0{,}04x + 40 \]
Vi setter \( {O'(x) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}04x + 40 &= 0 \\ x &= \dfrac{40}{0{,}04} = 1000 \end{aligned} \]Grafen er en parabel som vender ned, fordi \( {-0{,}02 < 0}\text{,} \) så dette er et toppunkt.
3. Regn ut overskuddet Vi setter \( {x = 1000} \) inn i \( O(x)\text{.} \) Her er \( {-0{,}02 \cdot 1000^2 = -20\,000} \) og \( {40 \cdot 1000 = 40\,000}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &O(1000) \\ &= -20\,000 + 40\,000 - 12\,000 \\ &= 8000 \end{aligned} \]Det største overskuddet er 8000 kroner, når elevbedriften lager og selger 1000 enheter.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet i GeoGebra Vi skriver inn \( K \) og overskuddet \( O\text{,} \) og finner toppunktet med Ekstremalpunkt:
Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 0.02x^2 + 60x + 12000 O(x) = 100x - K(x) T = Ekstremalpunkt(O)
Toppunktet er \( {T = (1000,\ 8000)}\text{.} \) Det største overskuddet er 8000 kroner, med 1000 enheter.
Elevbedriften klarer å forhandle ned de faste kostnadene til 8000 kroner. De produserer og selger nå 1000 enheter.

Oppgave 4b)

Hva er den laveste prisen elevbedriften kan selge produktet for, dersom de skal unngå å gå med underskudd?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Med 1000 enheter koster produksjonen 88 000 kroner:
88 kroner per enhet‾‾ \underline{\underline{88 \text{ kroner per enhet}}}
Nå er antallet fast, 1000 enheter, og prisen er ukjent. Elevbedriften unngår underskudd når inntekten er minst like stor som kostnadene.
Metode: For hånd
1. Regn ut de nye kostnadene De faste kostnadene er konstantleddet i \( K(x)\text{,} \) det som må betales uansett hvor mange enheter som lages. Det blir 8000 i stedet for 12 000: \[ K(x) = 0{,}02x^2 + 60x + \textcolor{darkorange}{8000} \]
Med 1000 enheter er \( {0{,}02 \cdot 1000^2 = 20\,000} \) og \( {60 \cdot 1000 = 60\,000}\text{,} \) så kostnadene er: \[ \begin{aligned} K(1000) &= 20\,000 + 60\,000 + \textcolor{darkorange}{8000} \\ K(1000) &= \textcolor{red}{88\,000} \end{aligned} \]
2. Finn den laveste prisen Med prisen \( p \) kroner per enhet er inntekten \( \textcolor{blue}{1000p}\text{.} \) Overskuddet er inntekten minus kostnadene, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Det blir ikke underskudd når inntekten er minst like stor som kostnadene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1000p} &\ge \textcolor{red}{88\,000} \\ p &\ge 88 \end{aligned} \]Med 88 kroner per enhet er overskuddet akkurat 0.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs i CAS Vi skriver de nye kostnadene inn i CAS og løser likningen der inntekten er lik kostnadene:
Skriv inn i GeoGebra: K(x) := 0.02x^2 + 60x + 8000 Løs(1000p = K(1000), p)
CAS gir \( {p = 88}\text{.} \) Med en lavere pris blir det underskudd.

S1 vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

2 poeng

Deriver funksjonen f f gitt ved
f(x)=e−2x+15x5−2π f(x) = e^{-2x} + \dfrac{1}{5}x^5 - 2\pi
Vis løsning på oppgave 1

Svar

f′(x)=−2e−2x+x4‾‾ \underline{\underline{f'(x) = -2e^{-2x} + x^4}}
Oppgave 1 - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2025, video, 04:47
Vi ser at funksjonen består av tre ledd. Vi deriverer dem derfor ledd for ledd, og \( {e^{-2x}} \) med kjerneregelen.
1. Deriver det første leddet med kjerneregelen 0:46 Kjerneregelen forteller oss at når \( {g(x) = k(\textcolor{green}{u})} \) og kjernen \( \textcolor{green}{u} \) er en funksjon av \( x\text{,} \) er: \[ g'(x) = k'(\textcolor{green}{u}) \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp kjernen, som er det \( e \) er opphøyd i, og de to deriverte. Siden \( {(e^u)' = e^u}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{u} &= \textcolor{green}{-2x} & \textcolor{green}{u'} &= \textcolor{green}{-2} \\ k(\textcolor{green}{u}) &= e^{\textcolor{green}{u}} & k'(\textcolor{green}{u}) &= e^{\textcolor{green}{u}} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} \left(e^{-2x}\right)' &= e^{\textcolor{green}{-2x}} \cdot (\textcolor{green}{-2}) \\ \left(e^{-2x}\right)' &= \textcolor{blue}{\underline{-2e^{-2x}}} \end{aligned} \]
2. Deriver de to siste leddene 3:15 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
\( \textcolor{red}{\dfrac{1}{5}x^5} \) derivert blir derfor \( {\dfrac{1}{5} \cdot 5x^4 = \textcolor{red}{\underline{x^4}}}\text{.} \)
\( {-2\pi} \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden \( 2\pi \) bare er et tall, en konstant.
3. Slå sammen leddene 4:17 Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{blue}{-2e^{-2x}} + \textcolor{red}{x^4} + 0 \]