Eksamensoppgaver etter tema

Hver person stemte enten Fremskrittspartiet eller ikke, og det er så mange velgere at sannsynligheten er \( 0{,}113 \) for hver person vi plukker. Antallet som stemte Fremskrittspartiet, er derfor binomisk fordelt.

1. Kjenn igjen binomisk fordeling La \( X \) være antallet av de 10 som stemte Fremskrittspartiet. Vi sjekker de fire kravene, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: hver person stemte Fremskrittspartiet eller ikke, vi plukker et fast antall, \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{10}}\text{,} \) sannsynligheten er \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}113}} \) for hver av dem, og de påvirker ikke hverandre. Det er så mange velgere at sannsynligheten nesten ikke endrer seg når vi plukker 10.

Sannsynligheten for nøyaktig \( k \) er da: \[ P(X = k) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{k} \cdot \textcolor{red}{p}^k \cdot (1 - \textcolor{red}{p})^{\textcolor{blue}{n} - k} \]

2. Regn ut det motsatte «Minst 4» er det motsatte av høyst 3: \[ P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \]

Med \( {1 - \textcolor{red}{0{,}113} = 0{,}887} \) og nCr på kalkulatoren er: \[ \begin{aligned} P(X = 0) &= 0{,}887^{10} \approx 0{,}3015 \\ P(X = 1) &= 10 \cdot 0{,}113 \cdot 0{,}887^9 \\ &\approx 0{,}3841 \\ P(X = 2) &= 45 \cdot 0{,}113^2 \cdot 0{,}887^8 \\ &\approx 0{,}2202 \\ P(X = 3) &= 120 \cdot 0{,}113^3 \cdot 0{,}887^7 \\ &\approx 0{,}0748 \end{aligned} \]

Legger vi dem sammen med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ P(X \ge 4) \approx 1 - 0{,}9805 = 0{,}0195 \]

1. Regn ut i CAS FordelingBinomial med \( {n = 10}\text{,} \) \( {p = 0{,}113}\text{,} \) verdien 3 og true til slutt gir \( {P(X \le 3)}\text{.} \) Vi regner ut \( {1 - P(X \le 3)} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(10, 0.113, 3, true)

CAS gir \( {P(X \ge 4) \approx 0{,}0195}\text{.} \) Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra gir det samme, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.

I valgkretsen er det bare 243 velgere, og vi plukker 10 forskjellige av dem. Sannsynligheten endrer seg litt for hver person vi plukker, så antallet som stemte Arbeiderpartiet, er hypergeometrisk fordelt.

1. Begrunn valget av metode Vi regner med antall stemmer, ikke prosenten i bildet. Av de \( \textcolor{blue}{243} \) som stemte, stemte \( \textcolor{red}{100} \) Arbeiderpartiet og \( {243 - 100 = \textcolor{green}{143}} \) noe annet. Den første vi plukker, stemte Arbeiderpartiet med sannsynligheten \( \dfrac{100}{243}\text{.} \) Stemte den første Arbeiderpartiet, er sannsynligheten for den neste bare \( \dfrac{99}{242}\text{.} \)

I a) var sannsynligheten den samme for hver person, og da var fordelingen binomisk, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Her trekker vi uten tilbakelegging fra få velgere, så sannsynligheten endrer seg. Antallet \( X \) av de 10 som stemte Arbeiderpartiet, er derfor hypergeometrisk fordelt: \[ P(X = k) = \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{k} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{10 - k}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \]Telleren er antall måter å velge \( k \) av de \( \textcolor{red}{100} \) og \( {10 - k} \) av de \( \textcolor{green}{143} \) andre på. Nevneren er antall måter å velge 10 av alle \( \textcolor{blue}{243} \) på.

2. Regn ut det motsatte «Minst 4» er det motsatte av høyst 3: \[ P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \]

Med nCr på kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} P(X = 0) &= \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{0} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{10}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \approx 0{,}0044 \\ P(X = 1) &= \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{1} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{9}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \approx 0{,}0325 \\ P(X = 2) &= \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{2} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{8}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \approx 0{,}1073 \\ P(X = 3) &= \dfrac{\binom{\textcolor{red}{100}}{3} \cdot \binom{\textcolor{green}{143}}{7}}{\binom{\textcolor{blue}{243}}{10}} \approx 0{,}2061 \end{aligned} \]

Legger vi dem sammen med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ P(X \ge 4) \approx 1 - 0{,}3502 = 0{,}6498 \]

1. Regn ut i CAS FordelingHypergeometrisk med populasjonen 243, antall treff 100, utvalget 10, verdien 3 og true til slutt gir \( {P(X \le 3)}\text{.} \) Vi regner ut \( {1 - P(X \le 3)} \) med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingHypergeometrisk(243, 100, 10, 3, true)

CAS gir \( {P(X \ge 4) \approx 0{,}6498}\text{.} \)

Samme farge betyr to røde, to blå eller to gule. Vi tar kulene én om gangen, regner ut hvert tilfelle for seg og legger sammen.

1. Regn ut hvert tilfelle Det er \( {4 + 3 + 2 = 9} \) kuler i kassen. Vi tar kulene én om gangen og ganger sannsynlighetene, som med terningene i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Den første kula legges ikke tilbake, så til den andre er det 8 kuler igjen, og én mindre av fargen han tok.

To røde: \[ \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{8} = \textcolor{red}{\underline{\dfrac{12}{72}}} \]

To blå: \[ \dfrac{3}{9} \cdot \dfrac{2}{8} = \textcolor{blue}{\underline{\dfrac{6}{72}}} \]

To gule: \[ \dfrac{2}{9} \cdot \dfrac{1}{8} = \textcolor{darkorange}{\underline{\dfrac{2}{72}}} \]

2. Legg sammen De tre tilfellene kan ikke skje samtidig. Slår vi dem sammen, får vi: \[ \textcolor{red}{\dfrac{12}{72}} + \textcolor{blue}{\dfrac{6}{72}} + \textcolor{darkorange}{\dfrac{2}{72}} = \dfrac{20}{72} = \dfrac{5}{18} \]

Nøyaktig én gul kan skje på to måter: den gule først og så en annen farge, eller en annen farge først og så den gule. Vi regner ut begge rekkefølgene og legger sammen.

1. Regn ut begge rekkefølgene Av de 9 kulene er \( \textcolor{darkorange}{2} \) gule og \( \textcolor{green}{7} \) ikke gule. Vi tar kulene én om gangen, som med terningene i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023.

Gul først, så en annen farge: \[ \textcolor{darkorange}{\dfrac{2}{9}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{7}{8}} = \underline{\dfrac{14}{72}} \]

En annen farge først, så gul: \[ \textcolor{green}{\dfrac{7}{9}} \cdot \textcolor{darkorange}{\dfrac{2}{8}} = \underline{\dfrac{14}{72}} \]

2. Legg sammen De to rekkefølgene kan ikke skje samtidig. Slår vi dem sammen, får vi: \[ \dfrac{14}{72} + \dfrac{14}{72} = \dfrac{28}{72} = \dfrac{7}{18} \]

Et antrekk har ett plagg fra hver av de fem gruppene, og alle valgene kan kombineres med hverandre. Vi ganger derfor antallene sammen.

1. Gang sammen antallene Hvert av de 10 hodeplaggene kan kombineres med hver av de 20 skjortene, og hver av disse kombinasjonene med hver av de 15 jakkene, og så videre. Dette kalles multiplikasjonsprinsippet: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{10 \cdot 20} \cdot \textcolor{red}{15 \cdot 15} \cdot 5 \\ &= \textcolor{blue}{200} \cdot \textcolor{red}{225} \cdot 5 = 225\,000 \end{aligned} \]

Med 3 sko kan Tore få med seg høyst ett par. Det er enklest å regne ut det motsatte, at alle tre skoene er fra ulike par, og trekke det fra 1.

1. Bruk den motsatte hendelsen Enten får Tore med seg et skopar, eller så er alle tre skoene fra ulike par. Sannsynlighetene blir til sammen 1, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(\text{et skopar}) = 1 - \textcolor{blue}{P(\text{ulike par})} \]

2. Ta skoene én om gangen Det er \( {5 \cdot 2 = 10} \) sko. Vi tar dem én om gangen og ganger sannsynlighetene, som med terningene i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023. Den første skoen kan være hvilken som helst. Den andre må være fra et annet par, så 8 av de 9 som er igjen, passer. Den tredje må være fra et tredje par, så 6 av de 8 som er igjen, passer: \[ \textcolor{blue}{P(\text{ulike par})} = \dfrac{10}{10} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{6}{8} = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} \]

Plugger vi dette inn, får vi: \[ P(\text{et skopar}) = 1 - \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{1}{3} \]

Vi bruker de \( 225\,000 \) antrekkene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Antall antrekk er produktet av antallene i de fem gruppene. Et nytt plagg gir flest nye antrekk i gruppen med færrest plagg, så vi kjøper alltid inn der det er færrest.

1. Se hva ett nytt plagg gir Kjøper bedriften ett plagg til i en gruppe med \( \textcolor{blue}{n} \) plagg, blir antall antrekk ganget med: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{n} + 1}{\textcolor{blue}{n}} = 1 + \dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}} \]Faktoren er størst når \( \textcolor{blue}{n} \) er minst. Det lønner seg derfor å kjøpe skopar, der det er 5, til det er like mange skopar som hodeplagg, 10.

2. Kjøp der det er færrest I a) fant vi \( 225\,000 \) antrekk. Fem nye skopar, fra 5 til 10, dobler antallet. Så gir ett nytt hodeplagg og ett nytt skopar en faktor \( \dfrac{11}{10} \) hver: \[ \begin{aligned} 225\,000 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{10}{5}} &= 450\,000 \\ 450\,000 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{11}{10}} &= 495\,000 \\ 495\,000 \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{11}{10}} &= 544\,500 \end{aligned} \]Med 6 nye er \( 495\,000 \) det meste bedriften kan få, og det er for lite. Med 7 nye, 6 skopar og 1 hodeplagg, blir det \( 544\,500 \) antrekk, som er flere enn \( 542\,000\text{.} \) Bare skopar holder ikke: 7 nye skopar gir \( {225\,000 \cdot \dfrac{12}{5} = 540\,000}\text{.} \)

Hver dag vinner Hassan eller ikke, med samme sannsynlighet og uavhengig av de andre dagene. Antall reiser han vinner, er derfor binomisk fordelt. Vi finner hvor mange dager som skal til før sannsynligheten for minst én reise blir \( 20\,\%\text{.} \)

1. Begrunn modellen La \( X \) være antall reiser Hassan vinner på \( \textcolor{blue}{n} \) dager. Vi sjekker de fire kravene til en binomisk fordeling, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver pakke har gavekort eller ikke, vi har et fast antall forsøk, \( \textcolor{blue}{n} \) pakker, sannsynligheten er den samme hver dag, \( {\textcolor{red}{p} = \dfrac{1}{1000} = \textcolor{red}{0{,}001}}\text{,} \) og pakkene påvirker ikke hverandre, fordi det selges svært mange pakker. \( X \) er altså binomisk fordelt.

2. Sett opp sannsynligheten for minst én Minst én reise er det motsatte av ingen reiser, og ingen reiser betyr at alle \( \textcolor{blue}{n} \) pakkene er uten gavekort: \[ \begin{aligned} P(X \ge 1) &= 1 - P(X = 0) \\ &= 1 - (1 - \textcolor{red}{0{,}001})^{\textcolor{blue}{n}} \\ &= 1 - 0{,}999^{\textcolor{blue}{n}} \end{aligned} \]

Den skal være \( 0{,}2\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1 - 0{,}999^{n} &= 0{,}2 \\ 0{,}999^{n} &= 0{,}8 \end{aligned} \]

3. Løs med ln Vi tar \( \ln \) på begge sider. Regneregelen \( {\ln\left(a^n\right) = n \cdot \ln a} \) flytter eksponenten ned foran, som i videoen Regneregler med Logaritmer: \[ \begin{aligned} \ln\left(0{,}999^{n}\right) &= \ln 0{,}8 \\ n \cdot \ln 0{,}999 &= \ln 0{,}8 \\ n &= \dfrac{\ln 0{,}8}{\ln 0{,}999} \approx 223{,}03 \end{aligned} \]

Antall dager er et helt tall, og sannsynligheten øker for hver dag. Etter 223 dager er den \( {1 - 0{,}999^{223} \approx 19{,}997\,\%}\text{,} \) som er litt under \( 20\,\%\text{.} \) Etter 224 dager er den \( {1 - 0{,}999^{224} \approx 20{,}08\,\%}\text{.} \)

1. Løs likningen i CAS Vi løser \( {1 - 0{,}999^n = 0{,}2} \) i CAS, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(1 - 0.999^n = 0.2, n)

CAS gir \( {n \approx 223{,}03}\text{.} \) Sannsynligheten øker for hver dag, så etter 223 dager er den fortsatt litt under \( 20\,\%\text{.} \) Det tar altså 224 dager.

Overskuddet per pakke er prisen minus det pakken koster å lage, og minus det reisene koster i gjennomsnitt per pakke. Vi finner overskuddet for de vanlige pakkene og krever det samme for Gullknekk.

1. Finn overskuddet for de vanlige pakkene Overskuddet er inntekten minus kostnadene, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Én av 1000 pakker gir en reise til 5000 kroner, så reisene koster i gjennomsnitt: \[ \dfrac{5000}{1000} = \textcolor{blue}{5} \text{ kroner per pakke} \]

Overskuddet per vanlig pakke blir: \[ 40 - 10 - \textcolor{blue}{5} = 25 \text{ kroner} \]

2. Krev det samme for Gullknekk Én av 100 pakker Gullknekk gir en reise, så reisene koster i gjennomsnitt: \[ \dfrac{5000}{100} = \textcolor{red}{50} \text{ kroner per pakke} \]

Med prisen \( x \) kroner skal overskuddet også være 25 kroner per pakke: \[ \begin{aligned} x - 10 - \textcolor{red}{50} &= 25 \\ x &= 85 \end{aligned} \]

Vi lager et program som kjøper knekkebrød i 52 uker mange ganger, og teller hvor ofte Hassan vinner minst én reise. Andelen er omtrent sannsynligheten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive de 52 ukene som en funksjon, og på å forklare hva løkkene gjør.

1. Skriv programmet Her er programmet, med utskriften fra én kjøring:

2. Forklar de 52 ukene Funksjonen \( \texttt{vinner\_reise()} \) i linje 3 til 13 går gjennom 52 uker. Hver uke kjøper Hassan 5 vanlige pakker og 2 Gullknekk. \( \texttt{randint(1, 1001)} \) i linje 6 gir et tilfeldig heltall fra 1 til 1000, fordi den øvre grensen ikke er med, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Tallet er 1 med sannsynlighet \( \dfrac{1}{1000}\text{,} \) som gavekortet i en vanlig pakke. På samme måte gir \( \texttt{randint(1, 101)} \) gavekort med sannsynlighet \( \dfrac{1}{100} \) i linje 10. Funksjonen returnerer \( \texttt{True} \) så snart Hassan vinner, og \( \texttt{False} \) hvis han ikke vinner noe på 52 uker.

3. Tell forsøkene Løkka i linje 18 til 20 går gjennom de 52 ukene \( \textcolor{red}{100\,000} \) ganger og teller i \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_vinner}} \) hvor mange ganger Hassan vinner minst én reise, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 22 regner ut andelen i prosent: \[ P \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{forsøk med reise}}}{\textcolor{red}{\text{alle forsøk}}} \cdot 100\,\% \]Utskriften viser at Hassan vant minst én reise i omtrent \( 72{,}8\,\% \) av forsøkene. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 73\,\%\text{.} \)

Kontroll: På 52 uker kjøper Hassan \( {52 \cdot 5 = 260} \) vanlige pakker og \( {52 \cdot 2 = 104} \) Gullknekk. Sannsynligheten for minst én reise er da nøyaktig \( {1 - 0{,}999^{260} \cdot 0{,}99^{104}}\text{,} \) altså omtrent \( 0{,}7289\text{.} \)

Vi tar sokkene én om gangen. For hver sokk finner vi sannsynligheten for at den er gul, og ganger sannsynlighetene sammen.

1. Ta sokkene én om gangen Det ligger \( {6 + 5 + 4 = 15} \) sokker i skuffen, og 6 av dem er gule. Når den første sokken er gul, er det 14 sokker igjen, og 5 av dem er gule: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{Sokk 1: }} & \textcolor{blue}{\dfrac{6}{15}} \\ \textcolor{red}{\text{Sokk 2: }} & \textcolor{red}{\dfrac{5}{14}} \end{aligned} \]

2. Gang sammen og forkort Begge må være gule, så vi ganger sannsynlighetene sammen, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} P &= \textcolor{blue}{\dfrac{6}{15}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{5}{14}} = \dfrac{30}{210} \\ P &= \dfrac{1}{7} \end{aligned} \]

«Minst 2 av samme farge» dekker alle tilfellene unntatt ett: at de tre sokkene har hver sin farge. Vi finner sannsynligheten for det og trekker den fra 1.

1. Bruk den motsatte hendelsen Enten har alle tre sokkene ulik farge, eller så har minst to av dem samme farge. Sannsynlighetene for de to tilfellene blir til sammen 1, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} &P(\text{minst 2 like}) \\ &= 1 - \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} \end{aligned} \]

2. Finn sannsynligheten for alle ulike Tre ulike farger betyr én gul, én svart og én hvit. Tar vi dem i rekkefølgen gul, svart, hvit, får vi: \[ \begin{aligned} P(\text{GSH}) &= \dfrac{6}{15} \cdot \dfrac{5}{14} \cdot \dfrac{4}{13} \\ P(\text{GSH}) &= \dfrac{120}{2730} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{4}{91}} \end{aligned} \]

I en annen rekkefølge, for eksempel svart, gul, hvit, står de samme tallene 6, 5 og 4 i tellerne, bare i en annen rekkefølge. Alle rekkefølgene har derfor sannsynligheten \( \textcolor{darkorange}{\dfrac{4}{91}}\text{.} \) Det er \( {3 \cdot 2 \cdot 1 = 6} \) rekkefølger: \[ \textcolor{blue}{P(\text{alle ulike})} = 6 \cdot \textcolor{darkorange}{\dfrac{4}{91}} = \textcolor{blue}{\dfrac{24}{91}} \]

3. Trekk fra 1 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} P(\text{minst 2 like}) &= 1 - \textcolor{blue}{\dfrac{24}{91}} \\ P(\text{minst 2 like}) &= \dfrac{67}{91} \end{aligned} \]

Vi tar terningene én om gangen. Hver ny terning må vise et antall øyne som ikke er brukt, og vi ganger sannsynlighetene sammen.

1. Finn sannsynligheten for hver terning Den første terningen kan vise hva som helst, så \( \textcolor{blue}{6} \) av de \( \textcolor{red}{6} \) sidene er gunstige. Den andre må vise noe annet enn den første, så \( \textcolor{blue}{5} \) sider er gunstige, og så videre. Vi skriver de gunstige sidene i blått og alle sidene i rødt: \[ \begin{aligned} \text{Terning 1: } & \dfrac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{6}} & \text{Terning 2: } & \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{6}} \\ \text{Terning 3: } & \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{6}} & \text{Terning 4: } & \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{6}} \\ \text{Terning 5: } & \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{6}} \end{aligned} \]

2. Gang sammen og forkort Hver brøk gjelder når terningene før har vist forskjellig antall øyne, så vi ganger brøkene sammen, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} P &= \dfrac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{6}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{6}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{6}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{6}} \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{6}} \\ P &= \dfrac{\textcolor{blue}{720}}{\textcolor{red}{7776}} = \dfrac{5}{54} \approx 0{,}093 \end{aligned} \]

Sannsynligheten er omtrent andelen av mange forsøk der vi får nøyaktig tre seksere. Vi lar et program kaste fem terninger svært mange ganger og telle.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive én funksjon for ett kast med fem terninger og en løkke som teller, og på å forklare hva hver del gjør.

1. Skriv programmet Programmet har to deler: ett kast med fem terninger, og mange kast. Her er det, med utskriften fra én kjøring:

2. Forklar ett kast Funksjonen \( \texttt{kast()} \) i linje 3 til 12 kaster fem terninger med \( \texttt{randint(1, 7)}\text{.} \) Den øvre grensen er ikke med, så vi får et tall fra 1 til 6, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang terningen viser 6, øker \( \texttt{antall\_seksere} \) med 1, og funksjonen returnerer antall seksere.

3. Tell kastene med tre seksere Løkka i linje 17 til 19 kaster de fem terningene \( \textcolor{red}{1\,000\,000} \) ganger og teller i \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_tre\_seksere}} \) hvor mange kast som har nøyaktig tre seksere, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 21 regner ut andelen i prosent: \[ P \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{kast med tre seksere}}}{\textcolor{red}{\text{alle kast}}} \cdot 100\,\% \]Utskriften viser at vi fikk nøyaktig tre seksere i omtrent \( 3{,}2\,\% \) av kastene. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 3{,}2\,\%\text{.} \)

Kontroll: Med binomisk fordeling, \( {n = 5} \) og \( {p = \dfrac{1}{6}}\text{,} \) er den eksakte sannsynligheten \( {10 \cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 = \dfrac{125}{3888}}\text{,} \) altså omtrent \( 3{,}2\,\%\text{.} \) Tallet \( {10 = \dbinom{5}{3}} \) er antall måter å velge hvilke tre terninger som viser 6 på.

Vi tar terningene én om gangen. For hver terning finner vi sannsynligheten for at den viser et antall øyne som ikke er brukt, og ganger sannsynlighetene sammen.

1. Finn sannsynligheten for hver terning 0:12 Den første terningen kan vise hva som helst, så 6 av de 6 sidene er gunstige. Den andre må vise noe annet enn den første, og den tredje noe annet enn begge: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\text{Terning 1: }} & \textcolor{blue}{\dfrac{6}{6}} \\ \textcolor{red}{\text{Terning 2: }} & \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}} \\ \textcolor{green}{\text{Terning 3: }} & \textcolor{green}{\dfrac{4}{6}} \end{aligned} \]

2. Gang sammen og forkort 1:00 Hver brøk gjelder når terningene før har vist forskjellig antall øyne, så vi ganger brøkene sammen. Vi stryker en \( \textcolor{darkorange}{6} \) oppe mot en nede og forkorter med 4: \[ \begin{aligned} P &= \textcolor{blue}{\dfrac{6}{6}} \cdot \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}} \cdot \textcolor{green}{\dfrac{4}{6}} = \dfrac{\textcolor{darkorange}{6} \cdot 5 \cdot 4}{\textcolor{darkorange}{6} \cdot 6 \cdot 6} \\ P &= \dfrac{20}{36} = \dfrac{5}{9} \end{aligned} \]

Vi bruker sannsynligheten for at alle terningene viser forskjellig, \( \dfrac{5}{9}\text{,} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Tre terninger viser enten tre like, tre ulike eller nøyaktig to like. Vi finner sannsynligheten for de to første og trekker dem fra 1.

1. Del opp i tre tilfeller 0:09 Nøyaktig ett av de tre tilfellene skjer, så sannsynlighetene blir til sammen 1: \[ \begin{aligned} P(\text{to like}) = 1 &- \textcolor{blue}{P(\text{alle like})} \\ &- \textcolor{red}{P(\text{alle ulike})} \end{aligned} \]

2. Finn sannsynligheten for alle like 1:24 Den første terningen kan vise hva som helst. De to andre må vise akkurat det samme tallet, med sannsynlighet \( \dfrac{1}{6} \) hver, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{P(\text{alle like})} = \dfrac{6}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{36}} \]

3. Trekk fra og forkort 2:30 I a) fant vi \( {\textcolor{red}{P(\text{alle ulike})} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{9}} = \textcolor{red}{\dfrac{20}{36}}}\text{.} \) Med fellesnevner 36 får vi: \[ \begin{aligned} P(\text{to like}) &= \dfrac{36}{36} - \textcolor{blue}{\dfrac{1}{36}} - \textcolor{red}{\dfrac{20}{36}} \\ P(\text{to like}) &= \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12} \end{aligned} \]

Hver gutt er enten venstrehendt eller ikke, med samme sannsynlighet 0,1, og guttene påvirker ikke hverandre. Antall venstrehendte gutter er derfor binomisk fordelt.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke legge sammen så mange sannsynligheter. Øv heller på å kjenne igjen en binomisk fordeling, og på å regne den ut for små tall med formelen, som i b).

1. Kjenn igjen binomisk fordeling 1:10 La \( X \) være antall venstrehendte gutter. Vi sjekker de fire kravene til en binomisk fordeling: hver gutt er venstrehendt eller høyrehendt, vi har et fast antall forsøk, \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{280}} \) gutter, sannsynligheten er den samme for hver gutt, \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}1}}\text{,} \) og guttene påvirker ikke hverandre.

\( X \) er altså binomisk fordelt, og sannsynligheten for nøyaktig \( k \) venstrehendte er: \[ P(X = k) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{k} \cdot \textcolor{red}{p}^k \cdot (1 - \textcolor{red}{p})^{\textcolor{blue}{n} - k} \]

2. Regn ut i GeoGebra 2:51 «Minst 25» er 25 eller flere. Det er det motsatte av høyst 24: \[ P(X \ge 25) = 1 - P(X \le 24) \]

I CAS gir FordelingBinomial med true sannsynligheten for høyst 24. Vi bruker knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(280, 0.1, 24, true)

CAS gir \( {P(X \ge 25) \approx 0{,}7528}\text{.} \) Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra gir det samme, som i videoen.

Antall venstrehendte gutter i klassen er binomisk fordelt med \( {p = 0{,}1}\text{.} \) Vi prøver oss fram med antall gutter \( n \) til \( {P(X \ge 3)} \) blir større enn 0,2.

1. Skriv opp sannsynligheten \( X \) er antall venstrehendte blant \( \textcolor{blue}{n} \) gutter. \( X \) er binomisk fordelt med \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}1}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(X = k) = \binom{\textcolor{blue}{n}}{k} \cdot \textcolor{red}{0{,}1}^k \cdot 0{,}9^{\textcolor{blue}{n} - k} \]

Det er enklest å regne ut det motsatte, høyst 2 venstrehendte: \[ P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) \]Her er \( {P(X \le 2)} \) summen av \( {P(X = 0)}\text{,} \) \( {P(X = 1)} \) og \( {P(X = 2)}\text{.} \)

2. Prøv med 15 og 16 gutter 0:52 Vi prøver oss fram. Med \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{15}} \) og \( {\binom{15}{2} = 105} \) er: \[ \begin{aligned} P(X \le 2) &= 0{,}9^{15} + 15 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{14} \\ &\quad + 105 \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^{13} \\ &\approx 0{,}816 \\ P(X \ge 3) &\approx 1 - 0{,}816 = 0{,}184 \end{aligned} \]

Med \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{16}} \) og \( {\binom{16}{2} = 120} \) er: \[ \begin{aligned} P(X \le 2) &= 0{,}9^{16} + 16 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{15} \\ &\quad + 120 \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^{14} \\ &\approx 0{,}789 \\ P(X \ge 3) &\approx 1 - 0{,}789 = 0{,}211 \end{aligned} \]Med 15 gutter er sannsynligheten under 20 %, og med 16 er den over. Sannsynligheten vokser når \( n \) øker, så det må være minst 16 gutter.

1. Prøv deg fram i CAS 0:14 Vi regner ut \( {P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2)} \) for 15 og 16 gutter, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: 1 - FordelingBinomial(15, 0.1, 2, true) 1 - FordelingBinomial(16, 0.1, 2, true)

CAS gir omtrent 0,1841 med 15 gutter og 0,2108 med 16. Det må altså være minst 16 gutter.

Guttene og jentene har ulik sannsynlighet for å være venstrehendte, så vi ser på dem hver for seg. Vi deler opp etter hvor mange av de tre venstrehendte som er gutter, og legger sammen.

Merk – Metoden i videoen: I videoen bruker vi én sannsynlighet for hele klassen og runder den av fra 0,0887 til 0,09, og det er mest den avrundingen som gjør at vi får 0,2319 og ikke 0,2309.

1. Skriv opp de to fordelingene 0:08 La \( \textcolor{blue}{G} \) være antall venstrehendte blant de 13 guttene og \( \textcolor{red}{J} \) antall venstrehendte blant de 17 jentene. Hver for seg er de binomisk fordelt, som i videoen Oppgave 2A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{blue}{G} = g) &= \binom{13}{g} \cdot 0{,}1^g \cdot 0{,}9^{13 - g} \\ P(\textcolor{red}{J} = j) &= \binom{17}{j} \cdot 0{,}08^j \cdot 0{,}92^{17 - j} \end{aligned} \]

2. Del opp etter antall gutter Tre venstrehendte i klassen kan være 0, 1, 2 eller 3 gutter, og resten jenter. Guttene og jentene påvirker ikke hverandre, så vi ganger og legger sammen: \[ \begin{aligned} P = {} & P(\textcolor{blue}{G} = 0) \cdot P(\textcolor{red}{J} = 3) \\ &+ P(\textcolor{blue}{G} = 1) \cdot P(\textcolor{red}{J} = 2) \\ &+ P(\textcolor{blue}{G} = 2) \cdot P(\textcolor{red}{J} = 1) \\ &+ P(\textcolor{blue}{G} = 3) \cdot P(\textcolor{red}{J} = 0) \end{aligned} \]

3. Regn ut og legg sammen Hvert ledd regner vi ut med formlene fra steg 1 og kalkulatoren. For eksempel er \( {\binom{17}{3} = 680}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} P(\textcolor{red}{J} = 3) &= 680 \cdot 0{,}08^3 \cdot 0{,}92^{14} \\ &\approx 0{,}1083 \end{aligned} \]

Ganger vi \( {\textcolor{blue}{P(G = g)}} \) med \( {\textcolor{red}{P(J = 3 - g)}} \) for hver \( g\text{,} \) får vi, avrundet til fire desimaler: \[ \begin{aligned} g = 0\text{:} \quad & \textcolor{blue}{0{,}2542} \cdot \textcolor{red}{0{,}1083} \approx 0{,}0275 \\ g = 1\text{:} \quad & \textcolor{blue}{0{,}3672} \cdot \textcolor{red}{0{,}2492} \approx 0{,}0915 \\ g = 2\text{:} \quad & \textcolor{blue}{0{,}2448} \cdot \textcolor{red}{0{,}3582} \approx 0{,}0877 \\ g = 3\text{:} \quad & \textcolor{blue}{0{,}0997} \cdot \textcolor{red}{0{,}2423} \approx 0{,}0242 \end{aligned} \]

Slår vi dette sammen med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ \begin{aligned} P &\approx 0{,}0275 + 0{,}0915 \\ &\quad + 0{,}0877 + 0{,}0242 \\ &\approx 0{,}2309 \end{aligned} \]

1. Regn ut summen i CAS Vi lager en liste med \( {P(G = 0)} \) til \( {P(G = 3)}\text{,} \) og en med \( {P(J = 3)} \) ned til \( {P(J = 0)}\text{.} \) Summen av produktene er sannsynligheten. Vi bruker knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: G := Følge(FordelingBinomial(13, 0.1, g, false), g, 0, 3) J := Følge(FordelingBinomial(17, 0.08, 3 - g, false), g, 0, 3) Sum(G*J)

CAS gir sannsynligheten omtrent 0,2309.