Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

74 oppgaver i S1 · viser 11–20

Oppgavene

S1 vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

3 poeng

Figuren ovenfor viser grafen til en funksjon f f gitt ved f(x)=100⋅0,8x {f(x) = 100 \cdot 0{,}8^x} og et rektangel ABCD. ABCD\text{.}
Punktet A A har koordinatene A(a,f(a)) A(a, f(a)) der a∈[0,5⟩. a \in [0, 5\rangle\text{.} Punktene B B og C C har førstekoordinat 5, 5\text{,} og punktene C C og D D har andrekoordinat 200. 200\text{.}

Oppgave 3a)

Uttrykk lengden av linjestykkene AB AB og AD AD ved a. a\text{.}
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Uttrykt ved a: a\text{:}
AB=5−a‾‾AD=200−100⋅0,8a‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{AB = 5 - a}} \\ &\underline{\underline{AD = 200 - 100 \cdot 0{,}8^a}} \end{aligned}
\( AB \) er vannrett, så lengden er forskjellen mellom førstekoordinatene. \( AD \) er loddrett, så lengden er forskjellen mellom andrekoordinatene.
Metode: For hånd
1. Finn lengdene \( A \) har førstekoordinat \( a\text{,} \) og \( B \) har førstekoordinat \( 5\text{.} \) Siden \( {a < 5}\text{,} \) er: \[ AB = \textcolor{red}{5 - a} \]
\( A \) har andrekoordinat \( {f(a) = 100 \cdot 0{,}8^a}\text{,} \) og \( D \) har andrekoordinat \( 200\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a \le 1} \) når \( {a \ge 0}\text{,} \) er \( {f(a) \le 100}\text{,} \) så \( D \) ligger over \( A\text{:} \) \[ AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a} \]

Oppgave 3b)

Bruk derivasjon til å bestemme det største arealet rektangelet ABCD ABCD kan få.
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Avrundet til et helt tall, når a≈0,17: {a \approx 0{,}17}\text{:}
Største areal≈501‾‾ \underline{\underline{\text{Største areal} \approx 501}}
Vi bruker lengdene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Arealet er \( {AB \cdot AD}\text{,} \) en funksjon av \( a\text{.} \) Vi finner der den deriverte er \( 0\text{,} \) viser at det er et toppunkt, og sammenligner med endepunktet \( {a = 0}\text{.} \)
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen der den deriverte er \( 0\text{,} \) kan ikke løses for hånd. Øv heller på å sette opp arealet og den deriverte for hånd, med produktregelen og \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{,} \) og på å avgjøre fortegnet til den deriverte.
Metode: Med GeoGebra
1. Sett opp arealet som en funksjon I a) fant vi \( {AB = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Navnet \( A \) er brukt på et punkt, så vi kaller arealet \( T(a)\text{:} \) \[ T(a) = (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \]der \( a \in [0, 5\rangle\text{.} \)
2. Deriver og løs med CAS Oppgaven krever derivasjon, fordi en annen metode, som å lese av en graf, bare gir noe uttelling. Arealet er et produkt, og produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.
Her er \( {\textcolor{red}{u} = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {\textcolor{blue}{v} = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a = e^{a \cdot \ln 0{,}8}}\text{,} \) gir kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, at \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= \textcolor{red}{-1} \cdot (\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \\ &{}+ (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \ln 0{,}8}) \end{aligned} \]
Vi lar CAS kontrollere den deriverte og løse \( {T'(a) = 0}\text{.} \) Likningen kan ikke løses eksakt, så vi bruker NLøs med startverdien \( {a = 0{,}2}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 100*0.8^x T(a) := (5 - a)*(200 - f(a)) T'(a) NLøs(T'(a) = 0, a = 0.2)
CAS gir \( {T'(a) = 0} \) når \( {a \approx 0{,}1707}\text{.} \)
3. Vis at det er et toppunkt Faktoriserer vi ut \( {100 \cdot 0{,}8^a} \) fra leddene som har den, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= 100 \cdot 0{,}8^a \cdot g(a) - 200 \\ g(a) &= 1 - (5 - a) \cdot \ln 0{,}8 \end{aligned} \]Siden \( {\ln 0{,}8 < 0}\text{,} \) er \( g(a) \) positiv og blir mindre når \( a \) øker, og \( 0{,}8^a \) blir også mindre. Derfor avtar \( T'(a)\text{,} \) og den er \( 0 \) bare én gang.
Vi sjekker fortegnet på hver side og regner ut arealet i CAS, radene 5 til 7 med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: T'(0) T'(1) T(0.1707) T(0)
CAS gir i rad 5 og 6: \[ \begin{aligned} T'(0) &\approx 11{,}57 > 0 \\ T'(1) &\approx -48{,}59 < 0 \end{aligned} \]Arealet vokser før \( {a \approx 0{,}1707} \) og avtar etter, så der har \( T \) et toppunkt.
Vi sammenligner med endepunktet \( {a = 0} \) i rad 7 og 8: \[ \begin{aligned} T(0{,}1707) &\approx 500{,}98 \\ T(0) &= 500 \end{aligned} \]Når \( a \) nærmer seg \( 5\text{,} \) går arealet mot \( 0\text{.} \) Det største arealet er derfor omtrent \( 501\text{.} \)

S1 vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

4 poeng

Utdraget nedenfor er hentet fra regjeringens nettsider om strømtiltak og støtte til husholdningene.
Støtte til husholdningene Husholdninger Ansvar: Energidepartementet. Regjeringen har de siste årene gjennomført en rekke tiltak for å skjerme husholdningene mot høye strømpriser og legge til rette for et mer forbrukervennlig strømmarked.
Strømstønad til husholdningene Strømstønadsordningen har siden desember 2021 bidratt til å skjerme husholdninger mot ekstraordinært høye strømpriser. Ordningen gir forutsigbarhet og bidrar til å holde strømutgiftene til husholdningene nede. Når spotprisen i enkelttimer overstiger 75 øre/kWh eksklusive merverdiavgift, vil strømstønaden dekke 90 prosent av prisen over dette nivået. Husholdninger får stønad på strømforbruk på opptil 5 000 kWh per måned per målepunkt. Ordningen administreres gjennom husholdningenes lokale nettselskap og skjer gjennom et automatisk fratrekk på fakturaen for nettleie.
Kilde: Regjeringen. (2025, 16. desember). Regjeringens strømtiltak. regjeringen.no.
Spotpris er den varierende prisen for strøm. Den endrer seg hele tiden, avhengig av hvor mye strøm som produseres, og hvor mye folk bruker.
I denne oppgaven kan du se bort fra merverdiavgift og anta et strømforbruk under 5000 kWh per måned per målepunkt.
La f(x) f(x) beskrive strømprisen til husholdningen i øre/kWh, etter at strømstønaden er trukket fra, der x x er spotprisen i øre/kWh.

Oppgave 4a)

Forklar hvorfor funksjonen f f har delt forskrift, og begrunn hvorfor den må være kontinuerlig.
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Støtten gjelder bare over 75 75 øre/kWh og starter på 0, 0\text{,} så begge delene gir 75 75 i skjøten:
Delt forskrift i x=75‾‾f er kontinuerlig‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Delt forskrift i } x = 75}} \\ &\underline{\underline{f \text{ er kontinuerlig}}} \end{aligned}
Vi ser på hva husholdningen betaler når spotprisen er under og over \( 75 \) øre/kWh, og hva som skjer når spotprisen er akkurat \( 75\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Forklar hvorfor forskriften er delt Når spotprisen er \( 75 \) øre/kWh eller lavere, gir ordningen ingen støtte, og husholdningen betaler hele spotprisen: \[ \textcolor{blue}{f(x) = x} \]
Når spotprisen er over \( 75 \) øre/kWh, dekker støtten \( 90 \) prosent av det som er over \( 75\text{,} \) altså \( {0{,}9 \cdot (x - 75)}\text{.} \) Da følger prisen en annen regel: \[ \textcolor{red}{f(x) = x - 0{,}9 \cdot (x - 75)} \]En funksjon som følger ulike regler på ulike deler av definisjonsmengden, har delt forskrift, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.
2. Begrunn at funksjonen er kontinuerlig Hver del er en rett linje, så grafen kan bare gjøre et sprang i skjøten \( {x = 75}\text{.} \) Der er \( f \) kontinuerlig når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 75^-} f(x) = \lim_{x \to 75^+} f(x) = f(75) \]
Støtten er \( 0 \) når \( {x = 75}\text{,} \) så begge delene gir \( 75\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 75^-} f(x) &= \textcolor{blue}{75} = f(75) \\ \lim_{x \to 75^+} f(x) &= \textcolor{red}{75 - 0{,}9 \cdot (75 - 75)} \\ \lim_{x \to 75^+} f(x) &= 75 \end{aligned} \]Delene møtes, så \( f \) er kontinuerlig.
Det er ordningen som gjør at den må være det: støtten dekker bare det som er over \( 75\text{,} \) så den starter på \( 0\text{.} \) Hadde støtten dekket \( 90 \) prosent av hele prisen, ville prisen falt fra \( 75 \) til \( 7{,}6 \) øre/kWh når spotprisen gikk fra \( 75 \) til \( 76\text{.} \)

Oppgave 4b)

Sett opp et funksjonsuttrykk for f(x). f(x)\text{.}
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Med x x og f(x) f(x) i øre/kWh:
f(x)={x,x≤750,1x+67,5,x>75‾‾ \underline{\underline{f(x) = \begin{cases} x, & x \le 75 \\ 0{,}1x + 67{,}5, & x > 75 \end{cases}}}
Opp til \( 75 \) øre/kWh betaler husholdningen hele spotprisen. Over \( 75 \) trekker vi fra støtten, som er \( 90 \) prosent av det som er over \( 75\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Finn prisen på begge sider Når \( {x \le 75}\text{,} \) får husholdningen ingen støtte og betaler hele spotprisen: \[ \textcolor{blue}{f(x) = x} \]
Når \( {x > 75}\text{,} \) er det som er over \( 75 \) lik \( {x - 75}\text{,} \) og støtten er \( {0{,}9 \cdot (x - 75)}\text{.} \) Husholdningen betaler spotprisen minus støtten: \[ \begin{aligned} f(x) &= x - 0{,}9 \cdot (x - 75) \\ f(x) &= x - 0{,}9x + 67{,}5 \\ f(x) &= \textcolor{red}{0{,}1x + 67{,}5} \end{aligned} \]
2. Skriv opp funksjonsuttrykket Vi setter de to delene sammen til en delt forskrift med klamme, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Begge gir \( 75 \) når \( {x = 75}\text{:} \) \[ f(x) = \begin{cases} \textcolor{blue}{x}, & x \le 75 \\ \textcolor{red}{0{,}1x + 67{,}5}, & x > 75 \end{cases} \]

S1 vår 2026 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

4 poeng

Erik og Kris spiller et terningspill. Spillet foregår over flere runder. Nedenfor ser du reglene som gjelder for én runde. • Erik kaster en terning med seks sider, nummerert med sifrene 1 til 6. • Kris kaster to terninger. Hver terning har fire sider, nummerert med sifrene 1 til 4. • Erik sammenligner sin terning med den terningen til Kris som viser høyest verdi. Dersom terningen til Erik viser en høyere verdi, får han 1 poeng. Dersom terningen til Erik ikke viser en høyere verdi, får Kris 1 poeng.

Oppgave 5a)

Bestem sannsynligheten for at Erik får poeng i den første runden de spiller.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Avrundet til tre desimaler:
P=2348≈0,479‾‾ \underline{\underline{P = \dfrac{23}{48} \approx 0{,}479}}
Erik får poenget når terningen hans viser mer enn den høyeste av Kris sine to. Vi teller de like sannsynlige utfallene der det skjer.
Metode: For hånd
1. Tell utfallene der Erik vinner Vi deler opp etter den høyeste terningen til Kris, \( m\text{.} \) Av de 16 parene Kris kan få, har \( {\textcolor{blue}{2m - 1}} \) høyeste verdi \( m\text{,} \) for eksempel har (1, 2), (2, 1) og (2, 2) høyeste verdi 2. Erik vinner når han får mer enn \( m\text{,} \) altså på \( {\textcolor{red}{6 - m}} \) av sidene: \[ \begin{array}{l|cccc} m & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \text{par til Kris} & \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{5} & \textcolor{blue}{7} \\ \text{Erik over } m & \textcolor{red}{5} & \textcolor{red}{4} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{2} \\ \hline \text{gunstige} & 5 & 12 & 15 & 14 \end{array} \]Til sammen er det \( {5 + 12 + 15 + 14 = 46} \) gunstige utfall.
2. Regn ut sannsynligheten Eriks terning har 6 sider og hver av Kris sine 4, så det er \( {6 \cdot 4 \cdot 4 = 96} \) like sannsynlige utfall. Sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P = \dfrac{46}{96} = \dfrac{23}{48} \approx 0{,}479 \]
Erik og Kris spiller flere runder.

Oppgave 5b)

Bruk simulering til å bestemme sannsynligheten for at Erik får 100 poeng før Kris.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Med 100 000 100\,000 simulerte spill, avrundet til hele prosent:
P≈28 %‾‾ \underline{\underline{P \approx 28\,\%}}
Vi lager et program som spiller hele spillet mange ganger, og teller hvor ofte Erik når 100 poeng først. Andelen er omtrent sannsynligheten.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet, men S1 kan be deg skrive et program på papir. Øv på å skrive en runde og et spill som funksjoner, og på å forklare hva løkkene gjør.
Metode: Med Python
1. Skriv programmet Programmet har tre deler: én runde, ett spill og mange spill. Her er det, med utskriften fra én kjøring:
2. Forklar en runde og et spill Funksjonen \( \texttt{runde()} \) i linje 3 til 11 kaster Eriks terning med \( \texttt{randint(1, 7)} \) og Kris sine med \( \texttt{randint(1, 5)}\text{.} \) Den øvre grensen er ikke med, så vi får 1 til 6 og 1 til 4, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 8 sammenligner Eriks terning med den høyeste av Kris sine.
Funksjonen \( \texttt{spill()} \) i linje 13 til 23 spiller runder så lenge begge har under 100 poeng, og gir poenget til den som vinner runden. Den returnerer Eriks poeng, som er 100 når han kom først.
3. Tell spillene Erik vinner Løkka i linje 28 til 30 spiller \( \textcolor{red}{100\,000} \) spill og teller i \( \textcolor{blue}{\texttt{antall\_erik\_vinner}} \) hvor mange Erik vinner, som i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Linje 32 regner ut andelen i prosent: \[ P \approx \dfrac{\textcolor{blue}{\text{spill Erik vinner}}}{\textcolor{red}{\text{alle spill}}} \cdot 100\,\% \]Utskriften viser at Erik nådde 100 poeng først i omtrent \( 27{,}7\,\% \) av spillene. Kjører vi programmet på nytt, blir tallet litt annerledes, men det holder seg rundt \( 28\,\%\text{.} \)
Kontroll: Erik når 100 poeng først nøyaktig når han vinner minst 100 av de 199 første rundene. Med \( {p = \dfrac{23}{48}} \) fra a) gir sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, med binomisk fordeling og \( {n = 199}\text{,} \) den eksakte verdien \( {P(X \ge 100) \approx 0{,}2780}\text{.} \)

S1 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

5 poeng

Oppgave 1a)

Deriver funksjonen f f gitt ved
f(x)=13x3+x+2 f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + \sqrt{x} + 2
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
For x>0 {x > 0} er
f′(x)=x2+12x‾‾ \underline{\underline{f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}}}
Oppgave 1A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 02:51
Vi ser at funksjonen består av tre ledd, og at roten er vanskelig å derivere slik den står. Vi skriver den derfor som en potens og deriverer ledd for ledd.
1. Skriv roten som en potens 0:15 En rot kan skrives som en potens: \[ \sqrt[n]{x} = x^{\tfrac{1}{n}} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Potenser og røtter.
Kvadratroten er andreroten, så \( {n = 2}\text{:} \) \[ f(x) = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}x^3} + \textcolor{red}{x^{\tfrac{1}{2}}} + 2 \]
2. Deriver ledd for ledd 1:04 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
\( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}x^3} \) derivert blir \( {\dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 = \textcolor{blue}{\underline{x^2}}}\text{.} \)
\( \textcolor{red}{x^{\tfrac{1}{2}}} \) derivert blir \( {\dfrac{1}{2} \cdot x^{\tfrac{1}{2} - 1} = \textcolor{red}{\underline{\dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}}}}\text{.} \)
\( 2 \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden det er en konstant.
3. Skriv svaret med rot 1:42 Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}} \]
En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.
Det gir \( {x^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{x^{\tfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}}\text{.} \) Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så for \( {x > 0} \) er: \[ f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]
Funksjon g g gitt ved
g(x)=2x−3ex g(x) = \dfrac{2x - 3}{e^x}
er kontinuerlig og deriverbar for alle x∈R. x \in \mathbb{R}\text{.}

Oppgave 1b)

Bestem g′(2) g'(2) og g′(3). g'(3)\text{.}
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
g′(2)=1e2‾‾g′(3)=−1e3‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{g'(2) = \dfrac{1}{e^2}}} \\ &\underline{\underline{g'(3) = -\dfrac{1}{e^3}}} \end{aligned}
Oppgave 1B + C - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 04:30
Funksjonen er en brøk, så vi deriverer den med kvotientregelen. Så setter vi inn \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \)
1. Skriv opp kvotientregelen 0:19 Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x - 3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]
2. Sett inn og forenkle 1:13 Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{e^x} - (\textcolor{red}{2x - 3}) \cdot \textcolor{blue}{e^x}}{(\textcolor{blue}{e^x})^2} \]
Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) i telleren og skriver \( {(e^x)^2 = \textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x}\text{,} \) får vi: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^x}\bigl(2 - (2x - 3)\bigr)}{\textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x} \]
Vi forkorter \( \textcolor{darkorange}{e^x}\text{.} \) Minus foran parentesen gjelder begge leddene, så \( {-(2x - 3) = -2x + 3}\text{:} \) \[ g'(x) = \dfrac{2 - 2x + 3}{e^x} = \dfrac{5 - 2x}{e^x} \]
3. Regn ut de to verdiene 2:46 Vi setter inn \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(2) &= \dfrac{5 - 2 \cdot 2}{e^2} = \dfrac{1}{e^2} \\ g'(3) &= \dfrac{5 - 2 \cdot 3}{e^3} = -\dfrac{1}{e^3} \end{aligned} \]

Oppgave 1c)

Hva forteller svarene i oppgave b om grafen til g g når x∈[2,3]? x \in [2, 3]\text{?}
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Grafen stiger i x=2 {x = 2} og synker i x=3: {x = 3}\text{:}
Et toppunkt der 2<x<3‾‾ \underline{\underline{\text{Et toppunkt der } 2 < x < 3}}
Oppgave 1B + C - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 04:30
Vi bruker \( g'(2) \) og \( g'(3) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Den deriverte er stigningstallet til grafen. Fortegnet til \( g'(2) \) og \( g'(3) \) forteller derfor om grafen stiger eller synker der.
1. Tolk fortegnene 3:37 I b) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g'(2)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{e^2}} > 0 \\ \textcolor{red}{g'(3)} &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{e^3}} < 0 \end{aligned} \]
Den deriverte er stigningstallet til tangenten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Grafen stiger altså i \( {\textcolor{blue}{x = 2}} \) og synker i \( {\textcolor{red}{x = 3}}\text{.} \)
Siden \( g \) er kontinuerlig og deriverbar, må grafen snu et sted mellom \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Der er \( {g'(x) = 0}\text{,} \) og grafen har et toppunkt.

S1 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

3 poeng

Oppgave 2a)

Løs likningen
(lg⁡x)2−2lg⁡x=8 (\lg x)^2 - 2\lg x = 8
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Likningen har to løsninger:
x=104ellerx=10−2‾‾ \underline{\underline{x = 10^4 \quad \text{eller} \quad x = 10^{-2}}}
Oppgave 2A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 04:45
Vi ser at \( \lg x \) står både i andre potens og alene. Vi gir den et nytt navn, \( k\text{,} \) og får en andregradslikning.
1. Skriv om med en ny variabel 0:39 Det står \( (\lg x)^2\text{,} \) ikke \( \lg(x^2)\text{,} \) så det er hele \( \lg x \) som er opphøyd i andre. Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\lg x}} \) og flytter \( 8 \) over: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{k}^2 - 2\textcolor{darkorange}{k} &= 8 \\ \textcolor{darkorange}{k}^2 - 2\textcolor{darkorange}{k} - 8 &= 0 \end{aligned} \]
2. Løs med abc-formelen 1:09 Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}k^2 + \textcolor{red}{b}k + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ k = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{c}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.
Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-8}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-2}) = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} k &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-8})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ k &= \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {k = 4} \) eller \( {k = -2}\text{.} \)
3. Finn x 3:19 Vi setter tilbake \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\lg x}} \) og opphøyer \( 10 \) i begge sider. Fra definisjonen av logaritmen er \( \lg x \) tallet vi må opphøye \( 10 \) i for å få \( x\text{,} \) så: \[ 10^{\lg x} = x \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.
Det gir oss to løsninger: \[ \begin{aligned} 10^{\textcolor{darkorange}{\lg x}} = 10^4 \quad &\Rightarrow \quad x = 10^4 \\ 10^{\textcolor{darkorange}{\lg x}} = 10^{-2} \quad &\Rightarrow \quad x = 10^{-2} \end{aligned} \]Begge er positive, så begge er løsninger.

Oppgave 2b)

Bestem a a slik at
log⁡a164=−3 \log_a \dfrac{1}{64} = -3
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
a=4‾‾ \underline{\underline{a = 4}}
Oppgave 2B - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 02:21
Her er det grunntallet \( a \) som er ukjent. Vi skriver om likningen med definisjonen av logaritmen og finner \( a\text{.} \)
1. Bruk definisjonen av logaritmen 0:13 Fra definisjonen av logaritmen vet vi at: \[ \log_{\textcolor{blue}{a}} \textcolor{red}{b} = \textcolor{green}{c} \quad \text{betyr at} \quad \textcolor{blue}{a}^{\textcolor{green}{c}} = \textcolor{red}{b} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.
Her er \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{64}}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3}}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{a}^{\textcolor{green}{-3}} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{64}} \]
2. Skriv om den negative eksponenten 1:00 En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.
Det gir oss: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{a^3} &= \dfrac{1}{64} \\ a^3 &= 64 \end{aligned} \]
3. Prøv deg fram 1:20 Uten kalkulator prøver vi med hele tall. \( {3^3 = 27} \) er for lite, men: \[ 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \]Altså er \( {a = 4}\text{,} \) som er et gyldig grunntall, siden \( {a > 0} \) og \( {a \neq 1}\text{.} \)

S1 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

3 poeng

Oppgave 3a)

Bestem grenseverdien dersom den eksisterer:
lim⁡x→−2x2−4x+2x2−2x−8 \lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8}
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Telleren går mot 14 14 og nevneren mot 0: 0\text{:}
Grensen eksisterer ikke‾‾ \underline{\underline{\text{Grensen eksisterer ikke}}}
Oppgave 3A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 01:42
Grensen finnes bare hvis brøken nærmer seg et tall. Vi ser derfor hva telleren og nevneren går mot hver for seg.
1. Sett inn i teller og nevner 0:10 Vi setter inn \( {x = -2} \) i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Teller: }} & (-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 2 = \textcolor{red}{14} \\ \textcolor{blue}{\text{Nevner: }} & (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 8 = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]
2. Avgjør om grensen finnes 1:11 Telleren går mot \( \textcolor{red}{14}\text{,} \) mens nevneren går mot \( \textcolor{blue}{0}\text{.} \) Et tall som ikke er \( 0\text{,} \) delt på noe som går mot \( 0\text{,} \) blir større og større i tallverdi, som i videoen Dele på null: \[ \dfrac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8} \to \pm\infty \]Brøken nærmer seg ikke noe tall, så grenseverdien eksisterer ikke.

Oppgave 3b)

1) Bestem a a slik at grenseverdien eksisterer:
lim⁡x→−2x2+ax+2x2−2x−8 \lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 + ax + 2}{x^2 - 2x - 8}
2) Bestem grenseverdien for denne verdien av a. a\text{.}
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Telleren må være 0 0 i x=−2: {x = -2}\text{:}
1) a=3‾‾2) Grenseverdien er 16‾‾ \begin{aligned} &1)\ \underline{\underline{a = 3}} \\ &2)\ \underline{\underline{\text{Grenseverdien er } \dfrac{1}{6}}} \end{aligned}
Oppgave 3B - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 04:04
Nevneren er \( 0 \) i \( {x = -2}\text{.} \) Skal grensen finnes, må telleren også være \( 0 \) der, slik at vi får formen \( \dfrac{0}{0}\text{.} \)
1. Sett telleren lik null 0:00 Setter vi inn \( {x = -2}\text{,} \) blir nevneren \( {(-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 8 = 0}\text{.} \) Går telleren mot et tall som ikke er \( 0\text{,} \) eksisterer ikke grensen, som i a). Telleren må derfor også bli \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} (-2)^2 + a \cdot (-2) + 2 &= 0 \\ 6 - 2a &= 0 \\ a &= 3 \end{aligned} \]
2. Bruk L'Hôpitals regel 1:46 Med \( {a = 3} \) gir innsetting formen \( \dfrac{0}{0}\text{.} \) Da kan vi bruke L'Hôpitals regel. Den forteller oss at når vi får formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) er: \[ \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{f(x)}}{\textcolor{blue}{g(x)}} = \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{f'(x)}}{\textcolor{blue}{g'(x)}} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen L'Hôpitals regel.
Her er \( {\textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{x^2 + 3x + 2}} \) og \( {\textcolor{blue}{g(x)} = \textcolor{blue}{x^2 - 2x - 8}}\text{.} \) Deriverer vi telleren og nevneren hver for seg, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f'(x)} &= \textcolor{red}{2x + 3} \\ \textcolor{blue}{g'(x)} &= \textcolor{blue}{2x - 2} \end{aligned} \]
3. Sett inn og regn ut 3:21 Det nye uttrykket gir ikke lenger formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så vi setter inn \( {x = -2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{x^2 + 3x + 2}}{\textcolor{blue}{x^2 - 2x - 8}} &= \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{2x + 3}}{\textcolor{blue}{2x - 2}} \\ &= \dfrac{2 \cdot (-2) + 3}{2 \cdot (-2) - 2} \\ &= \dfrac{-1}{-6} = \dfrac{1}{6} \end{aligned} \]
Alternativ metode: Faktoriser og forkort 2:05 Begge polynomene er \( 0 \) i \( {x = -2}\text{,} \) så begge har \( {(x + 2)} \) som faktor: \[ \begin{aligned} \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 8} &= \dfrac{(x + 1)\textcolor{darkorange}{(x + 2)}}{(x - 4)\textcolor{darkorange}{(x + 2)}} \\ &= \dfrac{x + 1}{x - 4} \end{aligned} \]Når \( {x \to -2}\text{,} \) går brøken mot \( {\dfrac{-2 + 1}{-2 - 4} = \dfrac{1}{6}}\text{,} \) som i videoen Grenseverdier. Metoden lønner seg når faktorene er lette å se.

S1 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

3 poeng

Oppgave 4a)

Et passord skal bestå av tre tegn og lages av sifrene 1–9 og bokstavene A–F. Det første tegnet skal være en bokstav, og de to neste tegnene skal være to ulike siffer. Hvor mange ulike passord er det mulig å lage med disse betingelsene?
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
432 passord‾‾ \underline{\underline{432 \text{ passord}}}
Vi tar de tre plassene i passordet én om gangen og teller hvor mange tegn som kan stå på hver av dem. Så ganger vi antallene sammen.
1. Tell valgene på hver plass Det første tegnet skal være en av bokstavene A til F, så der har vi \( \textcolor{blue}{6} \) valg.
Det andre tegnet er ett av sifrene 1 til 9, altså \( \textcolor{red}{9} \) valg. Det tredje skal være et annet siffer enn det andre, så der er det \( \textcolor{green}{8} \) igjen. Det er som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023, der den andre terningen må vise noe annet enn den første.
2. Gang sammen Hvert valg på én plass kan kombineres med hvert av valgene på de andre plassene, så vi ganger antallene: \[ \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{9} \cdot \textcolor{green}{8} = 432 \]
Et annet passord skal også bestå av tre tegn. • Hvert tegn skal være et av sifrene 1, 2, 3, 4 eller en av bokstavene A, B, C. • Både sifrene og bokstavene kan forekomme flere ganger. • Passordet må inneholde minst én bokstav og minst ett siffer.

Oppgave 4b)

Hvor mange ulike passord er det mulig å lage med disse betingelsene?
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
252 passord‾‾ \underline{\underline{252 \text{ passord}}}
Det er lettere å telle passordene som ikke er lov. Vi teller alle passordene og trekker fra dem med bare siffer og dem med bare bokstaver.
1. Tell alle passordene Hver av de tre plassene kan være ett av de \( {4 + 3 = \textcolor{blue}{7}} \) tegnene 1, 2, 3, 4, A, B og C, og tegnene kan komme flere ganger: \[ \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{blue}{7} \cdot \textcolor{blue}{7} = 343 \]
2. Trekk fra de ugyldige passordene Et passord mangler en bokstav når alle tre tegnene er siffer, og mangler et siffer når alle tre er bokstaver: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Bare siffer: }} & 4 \cdot 4 \cdot 4 = \textcolor{red}{64} \\ \textcolor{green}{\text{Bare bokstaver: }} & 3 \cdot 3 \cdot 3 = \textcolor{green}{27} \end{aligned} \]
Ingen passord er begge deler, så vi trekker hvert av dem fra én gang. Resten har minst én bokstav og minst ett siffer. Vi teller altså det motsatte og trekker fra, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ 343 - \textcolor{red}{64} - \textcolor{green}{27} = 252 \]

S1 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

2 poeng

En funksjon f f er gitt ved
f(x)=4x2⋅ln⁡x f(x) = 4x^2 \cdot \ln x
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. f\text{.}
Vis løsning på oppgave 5

Svar

Grafen har ett bunnpunkt og ingen toppunkter:
Bunnpunkt: (1e, −2e)‾‾ \underline{\underline{\text{Bunnpunkt: } \left(\dfrac{1}{\sqrt{e}},\ -\dfrac{2}{e}\right)}}
Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025, video, 09:17
\( \ln x \) er bare definert for \( {x > 0}\text{,} \) og der er \( f \) deriverbar, så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen er et produkt, så vi deriverer med produktregelen.
1. Deriver med produktregelen 0:10 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{4x^2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \\ f'(x) &= 8x \ln x + 4x \end{aligned} \]
2. Sett den deriverte lik null 2:12 Vi setter \( {f'(x) = 0}\text{:} \) \[ 8x \ln x + 4x = 0 \]
Vi trekker fra \( 4x \) og deler på \( 8x\text{,} \) som går fordi \( {x > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 8x \ln x &= -4x \\ \ln x &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]
For å få \( x \) alene opphøyer vi \( e \) i begge sider. Siden \( {e^{\ln x} = x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026, får vi: \[ x = e^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{e}} \]
3. Finn y-koordinaten 4:05 Vi setter \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Her er \( {\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 = \dfrac{1}{e}} \) og \( {\ln\left(e^{-\tfrac{1}{2}}\right) = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ f\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right) = 4 \cdot \dfrac{1}{e} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{2}{e} \]
4. Avgjør hva slags punkt det er 6:07 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = \dfrac{1}{e}} \) og \( {x = 1}\text{,} \) siden \( {\dfrac{1}{e} < \dfrac{1}{\sqrt{e}} < 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{e}\right) &= 4 \cdot \dfrac{1}{e^2} \cdot (-1) = -\dfrac{4}{e^2} \\ f(1) &= 4 \cdot 1^2 \cdot \ln 1 = 0 \end{aligned} \]
Siden \( {e > 2}\text{,} \) er \( {\dfrac{2}{e} < 1}\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{4}{e^2} &= \dfrac{2}{e} \cdot \dfrac{2}{e} < \dfrac{2}{e} \\ -\dfrac{4}{e^2} &> -\dfrac{2}{e} \end{aligned} \]
Begge verdiene er altså større enn \( {-\dfrac{2}{e}}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & \dfrac{1}{e} & \dfrac{1}{\sqrt{e}} & 1 \\ \hline f(x) & -\dfrac{4}{e^2} & -\dfrac{2}{e} & 0 \end{array} \]Grafen går ned til \( {-\dfrac{2}{e}} \) og opp igjen, så punktet er et bunnpunkt. Grafen snur ikke noe annet sted, så den har ingen toppunkter.
Alternativ metode: Fortegnslinje Vi faktoriserer \( {f'(x) = \textcolor{darkorange}{4x}(\textcolor{magenta}{2\ln x + 1})}\text{.} \) For \( {x > 0} \) er \( {\textcolor{darkorange}{4x} > 0}\text{,} \) så \( f'(x) \) har samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{2\ln x + 1}}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [0.6065306597126334], "labels": ["\\tfrac{1}{\\sqrt{e}}"], "start": 0, "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{4x}", "expr": "4x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2\\ln x + 1}", "expr": "2ln(x) + 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "4x(2ln(x) + 1)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så punktet er et bunnpunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

S1 høst 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 6

5 poeng

Einar er fotballspiller og har skrevet programmet nedenfor.

Oppgave 6a)

Hvilke mulige verdier kan programmet skrive ut?
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Programmet skriver ut antall treff delt på 3:
0,13,23og1‾‾ \underline{\underline{0, \quad \dfrac{1}{3}, \quad \dfrac{2}{3} \quad \text{og} \quad 1}}
Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør, og ser hvor mange treff det kan bli. Programmet skriver ut antall treff delt på antall skudd.
1. Les løkka Linje 7 setter \( {\textcolor{blue}{\texttt{skuddserie}} = \textcolor{blue}{3}}\text{,} \) så løkka i linje 10 til 13 går tre ganger, én gang for hvert skudd, som løkka i videoen Oppgave 4B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Hver gang trekker \( \texttt{choice} \) et tilfeldig element fra lista i linje 4. Er det \( \texttt{"treff"}\text{,} \) øker linje 13 \( \textcolor{red}{\texttt{antall\_treff}} \) med 1.
Linje 8 starter tellingen på 0, så etter løkka er \( \textcolor{red}{\texttt{antall\_treff}} \) lik \( \textcolor{red}{0}\text{,} \) \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) \( \textcolor{red}{2} \) eller \( \textcolor{red}{3}\text{.} \)
2. Regn ut utskriftene Linje 15 står utenfor løkka og skriver ut ett tall: \( \textcolor{red}{\text{antall treff}} \) delt på \( {\textcolor{blue}{\texttt{skuddserie}} = \textcolor{blue}{3}}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{0}}{\textcolor{blue}{3}} = 0 \qquad \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{3}} \qquad \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{3}} \qquad \dfrac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{3}} = 1 \]Programmet skriver dem som desimaltall, så tre treff gir \( 1{,}0\text{,} \) som i b).

Oppgave 6b)

Bestem sannsynligheten for at programmet skriver ut 1,0. 1{,}0\text{.}
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Utskriften er 1,0 1{,}0 når alle tre skuddene er treff:
P=8125=0,064‾‾ \underline{\underline{P = \dfrac{8}{125} = 0{,}064}}
Programmet skriver ut \( 1{,}0 \) når alle tre skuddene er treff. Hvert skudd er treff med samme sannsynlighet, uavhengig av de andre, så vi ganger.
1. Finn sannsynligheten for ett treff Lista i linje 4 har 5 elementer, og 2 av dem er \( \texttt{"treff"}\text{.} \) \( \texttt{choice} \) velger hvert element med samme sannsynlighet, så sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige: \[ P(\text{treff}) = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \]
2. Gang sammen for tre skudd Lista endrer seg ikke, så skuddene er uavhengige. Vi ganger sannsynlighetene for hvert skudd, som i videoen Oppgave 3A - Del 1 - S1 Eksamen Høst 2023: \[ P(\text{tre treff}) = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{2}{5}} = \dfrac{8}{125} \]Antallet treff er altså binomisk fordelt med \( {n = 3} \) skudd og \( {p = \dfrac{2}{5}}\text{.} \)
Når Einar tar et straffespark, er sannsynligheten for at han scorer mål, 30 %. 30\,\%\text{.}

Oppgave 6c)

Hva er det minste antallet straffespark Einar må ta for at sannsynligheten for at han scorer minst ett mål, skal være 50 % 50\,\% eller mer?
Vis løsning på oppgave 6c
Svar
Med ett straffespark er sannsynligheten 30 %, 30\,\%\text{,} med to 51 %: 51\,\%\text{:}
2 straffespark‾‾ \underline{\underline{2 \text{ straffespark}}}
«Minst ett mål» er det motsatte av «ingen mål». Vi finner sannsynligheten for at Einar bommer på alle straffesparkene, og prøver oss fram med antallet.
1. Bruk den motsatte hendelsen Einar bommer med sannsynligheten \( {1 - 0{,}3 = \textcolor{red}{0{,}7}}\text{.} \) Enten scorer han minst ett mål, eller så bommer han på alle, så vi teller det motsatte og trekker fra, som i videoen Oppgave 4A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} &P(\text{minst ett mål}) \\ &= 1 - P(\text{ingen mål}) \end{aligned} \]
Straffesparkene er uavhengige, så med \( n \) straffespark ganger vi \( \textcolor{red}{0{,}7} \) med seg selv \( n \) ganger: \[ P(\text{minst ett mål}) = 1 - \textcolor{red}{0{,}7}^n \]
2. Prøv deg fram Med ett straffespark er sannsynligheten \( {1 - \textcolor{red}{0{,}7} = 0{,}3}\text{,} \) som er for lite. Med to får vi: \[ \begin{aligned} 1 - \textcolor{red}{0{,}7}^2 &= 1 - 0{,}49 \\ &= 0{,}51 \end{aligned} \]Det er mer enn \( 0{,}5\text{,} \) altså over \( 50\,\%\text{.} \)

S1 høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

Tabellen nedenfor viser folketallet i en bygd, noen år i perioden 1910–1935.
A˚rFolketall19108001913963191912531921151119251720192718791931238719352774 \begin{array}{r|r} \text{År} & \text{Folketall} \\ \hline 1910 & 800 \\ 1913 & 963 \\ 1919 & 1253 \\ 1921 & 1511 \\ 1925 & 1720 \\ 1927 & 1879 \\ 1931 & 2387 \\ 1935 & 2774 \end{array}

Oppgave 1a)

Bruk informasjonen til å lage en modell F F på formen
F(t)=a⋅bt F(t) = a \cdot b^t
for antall personer F(t) F(t) som bodde i bygda t t år etter 1910. Vurder modellens gyldighetsområde.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Med a a avrundet til hele personer og b b til tre desimaler:
F(t)≈821⋅1,051t‾‾Gyldig for 0≤t≤25‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{F(t) \approx 821 \cdot 1{,}051^t}} \\ &\underline{\underline{\text{Gyldig for } 0 \le t \le 25}} \end{aligned}
Formen i oppgaven er en eksponentialfunksjon, så vi bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra. Først gjør vi årene om til år etter 1910.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre eksponentiell regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Gjør årene om til t \( t \) er antall år etter 1910, så 1910 blir \( {t = 0}\text{,} \) 1913 blir \( {t = 3} \) og så videre, til 1935, som blir \( {t = 25}\text{.} \)
Vi skriver \( t \) i kolonne A og folketallet i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
2. Kjør eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, slik regresjonen gjør i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. I GeoGebra heter kommandoen RegEksp, og den gir en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{.} \) GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegEksp(l1)
Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ F(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]Det gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{820{,}6398}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} \approx \textcolor{blue}{1{,}0510}}\text{.} \)
I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.
Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {b \approx 1{,}05}\text{.} \) Regner vi videre med \( 1{,}05\text{,} \) blir svaret i b) 1925 i stedet for 1924, og i c) 26 år i stedet for 25.
3. Vurder gyldighetsområdet Tabellen har tall fra 1910 til 1935, altså for \( {0 \le t \le 25}\text{.} \) Der går grafen nær punktene.
Framover vokser modellen med omtrent \( 5{,}1\,\% \) hvert år, uten stopp, og folketallet i en bygd kan ikke vokse slik for alltid. Vi har ingen tall før 1910 eller etter 1935, så modellen gjelder bare for årene vi har data for.

Oppgave 1b)

Når økte befolkningen med mer enn 80 personer per år ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Vekstfarten passerer 80 personer per år midt i 1923, når t≈13,5: {t \approx 13{,}5}\text{:}
Fra og med 1924‾‾ \underline{\underline{\text{Fra og med } 1924}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Økningen per år er vekstfarten \( F'(t)\text{.} \) Vi finner når \( {F'(t) = 80}\text{,} \) og ser fra hvilket år vekstfarten er over 80.
Metode: Med kalkulator
1. Deriver modellen I a) fant vi modellen: \[ F(t) \approx \textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t \]Vi regner med \( \textcolor{red}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og setter inn tallene til slutt.
Vi skriver \( {\textcolor{blue}{b}^t = e^{t \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{t \cdot \ln b}} \) er \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{\ln b}}\text{,} \) så \( {(b^t)' = b^t \cdot \ln b}\text{.} \) Det gir oss: \[ F'(t) = \textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{blue}{b}^t \]
2. Sett den deriverte lik 80 Vi setter \( {F'(t) = 80} \) og deler på \( {\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{b}^t = \dfrac{80}{\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}} \]
Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen \( {\ln\left(b^t\right) = t \cdot \ln b} \) flytter \( t \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ t = \dfrac{\ln\left(\dfrac{80}{\textcolor{red}{a} \cdot \ln \textcolor{blue}{b}}\right)}{\ln \textcolor{blue}{b}} \]
3. Sett inn tallene Med tallene fra svaret i a) gir kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{821} \cdot \ln \textcolor{blue}{1{,}051} &\approx 40{,}84 \\ t &\approx \dfrac{\ln\left(\dfrac{80}{40{,}84}\right)}{\ln \textcolor{blue}{1{,}051}} \approx 13{,}5 \end{aligned} \]
Siden \( {\textcolor{blue}{b} > 1}\text{,} \) vokser \( F'(t) \) hele tiden, så \( {F'(t) > 80} \) når \( {t > 13{,}5}\text{.} \) Det er midt i 1923. Det første hele året med vekst på mer enn 80 personer er \( {t = 14}\text{,} \) altså 1924, og det gjelder resten av perioden modellen gjelder for.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn skjæringspunktet med linja I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ F(t) \approx \textcolor{red}{820{,}6398} \cdot \textcolor{blue}{1{,}0510}^t \]
Vi lar GeoGebra derivere den, tegner linja \( {y = 80} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: Derivert(F) g: y = 80
Skjæringspunktet er \( {K \approx (13{,}5382,\ 80)}\text{,} \) og grafen til \( F' \) ligger over linja til høyre for det. Vekstfarten er over 80 personer per år fra \( {t \approx 13{,}5}\text{,} \) midt i 1923, så det første hele året er 1924.

Oppgave 1c)

Hvor mange år gikk det før den gjennomsnittlige befolkningsveksten fra 1910 var større enn 80 personer per år ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Etter 24 år var gjennomsnittet under 80 personer per år, og etter 25 år var det over:
25 a˚r‾‾ \underline{\underline{25 \text{ år}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Den gjennomsnittlige veksten fra 1910 er endringen i folketallet delt på antall år. Vi regner den ut for hele år, og ser når den blir større enn 80.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp gjennomsnittet Den gjennomsnittlige veksten er endringen i folketallet delt på endringen i tid, som stigningstallet \( \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \) i videoen Definisjonen til den deriverte. Fra 1910, der \( {t = 0}\text{,} \) til \( t \) år etter er den: \[ G(t) = \dfrac{F(t) - F(0)}{t - 0} \]
I a) fant vi \( {F(t) \approx \textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t}\text{,} \) så \( {F(0) = \textcolor{red}{821}} \) og: \[ G(t) = \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^t - \textcolor{red}{821}}{t} \]
2. Prøv deg fram med hele år Likningen \( {G(t) = 80} \) kan vi ikke løse for hånd, fordi \( t \) står både i eksponenten og i nevneren. Grafen til \( F \) blir stadig brattere, så gjennomsnittet vokser med \( t\text{.} \) Vi prøver oss fram med hele år, som i videoen Oppgave 2B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023.
Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} G(24) &= \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^{24} - \textcolor{red}{821}}{24} \approx 78{,}7 \\ G(25) &= \dfrac{\textcolor{red}{821} \cdot \textcolor{blue}{1{,}051}^{25} - \textcolor{red}{821}}{25} \approx 81{,}0 \end{aligned} \]Etter 24 år, i 1934, var gjennomsnittet under 80, og etter 25 år, i 1935, var det over. Det gikk altså 25 år.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen og sjekk hele år I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi løser \( {G(t) = 80} \) med NLøs og startverdien \( {t = 20}\text{,} \) og regner ut gjennomsnittet etter 24 og 25 år med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: NLøs((F(t) - F(0))/t = 80, t = 20) (F(24) - F(0))/24 (F(25) - F(0))/25
CAS gir \( {t \approx 24{,}5995}\text{,} \) og gjennomsnittet er omtrent \( 78{,}59 \) etter 24 år og \( 80{,}96 \) etter 25 år. Det gikk altså 25 år, til 1935.