Eksamensoppgaver etter tema

Akselerasjonen er den deriverte av farten. Vi deriverer, setter den deriverte lik null og løser likningen med \( \ln\text{.} \)

1. Deriver farten Når eksponenten er \( \textcolor{green}{k}t\text{,} \) gir kjerneregelen: \[ \left(e^{\textcolor{green}{k}t}\right)' = \textcolor{green}{k}e^{\textcolor{green}{k}t} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen. Vi deriverer ledd for ledd:

\( {-17{,}4e^{-5t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-5}}\text{,} \) så derivert blir den \( {\underline{\textcolor{blue}{87e^{-5t}}}}\text{,} \) fordi \( {-17{,}4 \cdot (\textcolor{green}{-5}) = 87}\text{.} \)

\( {9{,}1e^{-0{,}08t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-0{,}08}}\text{,} \) så derivert blir den \( {\underline{\textcolor{red}{-0{,}728e^{-0{,}08t}}}}\text{,} \) fordi \( {9{,}1 \cdot (\textcolor{green}{-0{,}08}) = -0{,}728}\text{.} \)

Konstanten \( 8{,}3 \) blir borte, så akselerasjonen er: \[ a(t) = v'(t) = \textcolor{blue}{87e^{-5t}} \textcolor{red}{- 0{,}728e^{-0{,}08t}} \]

2. Løs likningen Vi setter \( {a(t) = 0} \) og flytter det ene leddet over: \[ \textcolor{blue}{87e^{-5t}} = \textcolor{red}{0{,}728e^{-0{,}08t}} \]

Vi ganger begge sider med \( \dfrac{e^{5t}}{0{,}728}\text{.} \) Eksponenten blir \( {-0{,}08t + 5t = 4{,}92t}\text{:} \) \[ e^{4{,}92t} = \dfrac{87}{0{,}728} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Naturlige Logaritmer, og får: \[ \begin{aligned} 4{,}92t &= \ln\left(\dfrac{87}{0{,}728}\right) \\ t &\approx 0{,}972 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Vi sjekker fortegnet til akselerasjonen på hver side: \[ \begin{aligned} a(0) &= 87 - 0{,}728 \approx 86{,}3 > 0 \\ a(2) &= 87e^{-10} - 0{,}728e^{-0{,}16} \\ &\approx -0{,}62 < 0 \end{aligned} \]Farten øker altså til \( {t \approx 0{,}972} \) og avtar etterpå. Hvis du er usikker på hvordan vi avgjør om det er et toppunkt, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

Da har haren den største farten: \[ v(0{,}972) \approx 16{,}58 \]Etter omtrent \( 0{,}97 \) sekunder løper haren fortest, med omtrent \( 16{,}6\,\text{m/s}\text{,} \) og etter det går farten ned.

1. Løs likningen i CAS Vi definerer \( v(t)\text{,} \) løser \( {v'(t) = 0} \) og setter løsningen inn i \( v\text{.} \) Rad 2 og 3 regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: v(t) := 8.3 - 17.4ℯ^(-5t) + 9.1ℯ^(-0.08t) Løs(Derivert(v(t), t) = 0, t) v(0.9722)

Rad 2 gir \( {t \approx 0{,}9722}\text{,} \) og rad 3 gir farten da, \( {v \approx 16{,}58\,\text{m/s}}\text{.} \) Akselerasjonen er positiv før og negativ etter, for eksempel \( {a(0) \approx 86{,}3} \) og \( {a(2) \approx -0{,}62}\text{,} \) så dette er den største farten.

Strekningen er integralet av farten. Vi finner en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene \( 0 \) og \( 7\text{.} \)

1. Finn en antiderivert Når eksponenten er \( \textcolor{green}{k}t\text{,} \) forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int e^{\textcolor{green}{k}t}\,dt = \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}e^{\textcolor{green}{k}t} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( 8{,}3 \) integrert blir \( \underline{8{,}3t}\text{.} \)

\( {-17{,}4e^{-5t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-5}}\text{,} \) så integrert blir den \( {\underline{3{,}48e^{-5t}}}\text{,} \) fordi \( {\dfrac{-17{,}4}{\textcolor{green}{-5}} = 3{,}48}\text{.} \)

\( {9{,}1e^{-0{,}08t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-0{,}08}}\text{,} \) så integrert blir den \( {\underline{-113{,}75e^{-0{,}08t}}}\text{,} \) fordi \( {\dfrac{9{,}1}{\textcolor{green}{-0{,}08}} = -113{,}75}\text{.} \)

Vi kaller den antideriverte \( F\text{:} \) \[ \begin{aligned} F(t) = \ &8{,}3t + 3{,}48e^{-5t} \\ &- 113{,}75e^{-0{,}08t} \end{aligned} \]

2. Sett inn grensene Strekningen er integralet av farten: \[ s = \int_0^7 v(t)\,dt = F(\textcolor{blue}{7}) - F(\textcolor{red}{0}) \]

Vi regner ut hver for seg: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{blue}{7}) &= 58{,}1 + 3{,}48e^{-35} \\ &\quad - 113{,}75e^{-0{,}56} \\ &\approx \textcolor{blue}{-6{,}875} \\ F(\textcolor{red}{0}) &= 3{,}48 - 113{,}75 = \textcolor{red}{-110{,}27} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ s = \textcolor{blue}{-6{,}875} - (\textcolor{red}{-110{,}27}) \approx 103{,}4 \]Haren løper omtrent \( 103{,}4\,\text{m} \) de første \( 7 \) sekundene.

1. Regn ut integralet i CAS Vi fortsetter i CAS fra a), og regner ut integralet med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Integral(v(t), t, 0, 7)

Rad 4 gir strekningen, \( 103{,}395\,\text{m}\text{.} \)

Integralet i formelen er strekningen haren har løpt etter \( x \) sekunder. Vi finner når strekningen er \( 200\,\text{m}\text{,} \) og deler \( 200 \) på den tiden.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse likningen for hånd, fordi \( x \) står både alene og i eksponenter. Øv heller på å sette opp likningen, og på å forklare at gjennomsnittsfarten er strekningen delt på tiden.

1. Finn tiden for 200 meter Vi fortsetter i CAS fra a). Rad 5 definerer strekningen etter \( x \) sekunder, \( {S(x) = \displaystyle\int_0^x v(t)\,dt}\text{,} \) og rad 6 løser \( {S(x) = 200} \) med NLøs og startverdien \( {x = 15}\text{.} \) Rad 7 regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: S(x) := Integral(v(t), t, 0, x) NLøs(S(x) = 200, x = 15) 200 / 14.9539

Rad 6 viser at haren har løpt \( 200\,\text{m} \) etter omtrent \( 14{,}9539 \) sekunder.

2. Regn ut gjennomsnittsfarten Etter \( {\textcolor{red}{x \approx 14{,}9539}} \) sekunder er integralet \( \textcolor{blue}{200}\text{,} \) så formelen gir strekningen delt på tiden, som i videoen Strekning, Fart og Tid (SVT): \[ v_g = \dfrac{1}{\textcolor{red}{x}} \cdot \textcolor{blue}{200} \approx \dfrac{\textcolor{blue}{200}}{\textcolor{red}{14{,}9539}} \approx 13{,}37 \]Dette er rad 7.