Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

pytagorassetningen

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

1 oppgave i R2 om pytagorassetningen

Oppgavene

R2 vår 2023 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

For en deriverbar funksjon f f kan vi finne en tilnærmet verdi for lengden av grafen mellom to x x -verdier ved å bruke en polylinje, slik figuren nedenfor illustrerer.
Dersom vi skal finne lengden av grafen i et intervall [a,b], [a, b]\text{,} kan vi dele dette intervallet i N N like store delintervall [xi,xi+1] {[x_i, x_{i+1}]} med bredde h=b−aN {h = \dfrac{b - a}{N}} og xi=a+i⋅h. {x_i = a + i \cdot h}\text{.}
Vi regner da ut lengdene av linjestykkene som går mellom punktene (xi,f(xi)) (x_i, f(x_i)) og (xi+1,f(xi+1)). {(x_{i+1}, f(x_{i+1}))}\text{.} Summen av disse lengdene vil da være en tilnærmet verdi for lengden av grafen fra x=a {x = a} til x=b. {x = b}\text{.}

Oppgave 6a)

Forklar at lengden av linjestykket som går fra punktet (xi,f(xi)) (x_i, f(x_i)) til punktet (xi+1,f(xi+1)), {(x_{i+1}, f(x_{i+1}))}\text{,} er gitt ved
Si=h2+ki2, der S_i = \sqrt{h^2 + k_i^2}\text{, der}
ki=f(xi+1)−f(xi) k_i = f(x_{i+1}) - f(x_i)
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Linjestykket er hypotenusen i en rettvinklet trekant med katetene h=xi+1−xi {h = x_{i+1} - x_i} og ∣ki∣, |k_i|\text{,} der ki=f(xi+1)−f(xi). {k_i = f(x_{i+1}) - f(x_i)}\text{.} Pytagoras gir
Si=h2+ki2‾‾ \underline{\underline{S_i = \sqrt{h^2 + k_i^2}}}
Linjestykket er hypotenusen i en rettvinklet trekant med en vannrett og en loddrett katet. Vi finner katetene og bruker Pytagoras.
Metode: For hånd
1. Finn katetene Den vannrette kateten går fra \( x_i \) til \( {x_{i+1}}\text{,} \) så den er: \[ \textcolor{blue}{x_{i+1} - x_i = h} \]
Den loddrette kateten er forskjellen i høyde mellom de to punktene: \[ \textcolor{red}{k_i = f(x_{i+1}) - f(x_i)} \]Hvis grafen synker, er \( \textcolor{red}{k_i} \) negativ, men lengden av kateten er \( |\textcolor{red}{k_i}|\text{,} \) og \( {|\textcolor{red}{k_i}|^2 = \textcolor{red}{k_i}^2}\text{.} \)
2. Bruk Pytagoras Pytagoras forteller oss at: \[ S_i^2 = \textcolor{blue}{h}^2 + \textcolor{red}{k_i}^2 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Buelengde formel, som gjør det samme med små trekanter.
Vi tar kvadratroten, og \( S_i \) er positiv: \[ S_i = \sqrt{\textcolor{blue}{h}^2 + \textcolor{red}{k_i}^2} \]
Funksjonen g g er gitt ved
g(x)=1−x2,Dg=[−1,1] g(x) = \sqrt{1 - x^2}, \quad D_g = [-1, 1]

Oppgave 6b)

Regn ut en god tilnærmet verdi for lengden av grafen til g g ved å bruke framgangsmåten beskrevet ovenfor. Vurder om svaret er rimelig.
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Fra a) er lengden av linjestykke nummer \( i \) lik \( {S_i = \sqrt{h^2 + k_i^2}}\text{,} \) der \( {k_i = g(x_{i+1}) - g(x_i)}\text{.} \)
Vi lar et program legge sammen \( S_i \) for mange små delintervall, her \( {N = 1000}\text{.} \) Grafen til \( g \) er en halvsirkel, så vi kan sammenligne med halve omkretsen.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å regne ut summen med få delintervall for hånd, for eksempel \( {N = 2}\text{,} \) og på å lese og skrive slike løkker på papir.
Metode: Med Python
1. Les programmet Programmet står i svaret. Linje 3 og 4 definerer \( g\text{,} \) og linje 6 til 9 deler \( {[-1, 1]} \) i \( {N = 1000} \) delintervall med bredde \( {\textcolor{blue}{h} = \dfrac{1 - (-1)}{1000} = \textcolor{blue}{0{,}002}}\text{.} \)
Løkka i linje 12 til 16 regner ut \( x_i \) og \( {x_{i+1}}\text{,} \) høydeforskjellen \( \textcolor{red}{k_i}\text{,} \) og legger \( {\sqrt{\textcolor{blue}{h}^2 + \textcolor{red}{k_i}^2}} \) til summen \( L\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.
Programmet skriver ut \( {L \approx 3{,}14157}\text{.} \)
2. Vurder svaret \( {x^2 + g(x)^2 = 1}\text{,} \) så grafen til \( g \) er den øvre halvdelen av sirkelen med sentrum i origo og radius \( 1\text{.} \) Lengden er halve omkretsen: \[ \dfrac{2\pi \cdot 1}{2} = \pi \approx 3{,}14159 \]
Svaret er rimelig: det er litt mindre enn \( \pi\text{,} \) fordi et rett linjestykke er kortere enn buen det erstatter. Med større \( N \) kommer vi enda nærmere \( \pi\text{.} \)