Eksamensoppgaver etter tema

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og banefarten er lengden av fartsvektoren.

1. Deriver posisjonsvektoren Vi deriverer hver koordinat for seg, som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Med kjerneregelen er \( {\left(e^{t/20}\right)' = \dfrac{1}{20}e^{t/20}} \) og \( {\left(e^{-2t + 2}\right)' = -2e^{-2t + 2}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen. Fartsvektoren er \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]

2. Sett inn t = 1 Kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \dfrac{1}{20}e^{0{,}05} \approx \textcolor{blue}{0{,}0526} \\ \textcolor{red}{v_y} &= -\cos 1 \approx \textcolor{red}{-0{,}5403} \\ \textcolor{green}{v_z} &= -\dfrac{1}{5}e^{0} - \sin 1 \approx \textcolor{green}{-1{,}0415} \end{aligned} \]

3. Finn lengden Lengden av en vektor er: \[ |\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{blue}{v_x}^2 + \textcolor{red}{v_y}^2 + \textcolor{green}{v_z}^2} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Vi regner ut kvadratene først: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(1)|^2 &\approx \textcolor{blue}{0{,}0028} + \textcolor{red}{0{,}2919} + \textcolor{green}{1{,}0847} \\ &\approx 1{,}3794 \\ |\vec{v}(1)| &\approx \sqrt{1{,}3794} \approx 1{,}17 \end{aligned} \]

1. Regn ut banefarten i CAS Vi skriver \( \vec{r}(t) \) som et punkt, deriverer og tar lengden:

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (1 + ℯ^(t/20), 1 - sin(t), 1/10 ℯ^(-2t+2) + cos(t)) v(t) := Derivert(r(t), t) ≈ Lengde(v(1))

Rad 3 gir det samme som med kalkulatoren.

Fra a) er fartsvektoren \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]

Banefarten \( |\vec{v}(t)| \) er en funksjon av \( t\text{.} \) Vi tegner grafen for \( t \in [0, 5] \) i GeoGebra og finner bunnpunktet.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke finne bunnpunktet til en så sammensatt funksjon. Øv heller på å sette opp banefarten som lengden av fartsvektoren, og på å regne den ut for gitte \( t \) med kalkulator.

1. Tegn banefarten Banefarten er lengden av fartsvektoren, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ s(t) = \sqrt{\textcolor{blue}{v_x}^2 + \textcolor{red}{v_y}^2 + \textcolor{green}{v_z}^2} \]

Vi skriver den inn i algebrafeltet med \( x \) for \( t\text{,} \) bare for \( {0 \le x \le 5}\text{,} \) og finner bunnpunktet med Min:

Skriv inn i GeoGebra: s(x) = Hvis(0 <= x <= 5, sqrt((ℯ^(x/20)/20)^2 + cos(x)^2 + (-0.2ℯ^(2-2x) - sin(x))^2)) M = Min(s, 0, 5)

2. Les av bunnpunktet Grafen faller fra \( {s(0) \approx 1{,}79} \) og er nesten flat fra \( {t \approx 2}\text{.} \) Bunnpunktet er \( {M \approx (3{,}54;\ 1{,}0013)}\text{,} \) det laveste punktet på hele \( [0, 5]\text{.} \)

Fra a) er fartsvektoren \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]

Fartsvektoren er parallell med \( xy \)-planet når \( {\textcolor{green}{v_z = 0}}\text{,} \) og parallell med \( yz \)-planet når \( {\textcolor{blue}{v_x = 0}}\text{.} \) Vi ser om hver av dem kan bli \( 0\text{.} \)

1. Parallell med yz-planet? \( e^{t/20} \) er alltid positiv, så: \[ \textcolor{blue}{v_x} = \dfrac{1}{20}e^{t/20} > 0 \]\( \textcolor{blue}{v_x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så fartsretningen er aldri parallell med \( yz \)-planet.

2. Parallell med xy-planet? Vi regner ut \( \textcolor{green}{v_z} \) i to tidspunkter med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v_z(3)} &= -\dfrac{1}{5}e^{-4} - \sin 3 \approx -0{,}145 \\ \textcolor{green}{v_z(3{,}5)} &= -\dfrac{1}{5}e^{-5} - \sin 3{,}5 \approx 0{,}349 \end{aligned} \]

\( \textcolor{green}{v_z} \) er kontinuerlig og skifter fortegn mellom \( {t = 3} \) og \( {t = 3{,}5}\text{,} \) så den er \( 0 \) for en \( t \) der imellom. Da er fartsvektoren parallell med \( xy \)-planet. Prøver vi oss fram, finner vi fortegnsskiftet mellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v_z(3{,}14)} &\approx -0{,}004 \\ \textcolor{green}{v_z(3{,}15)} &\approx 0{,}006 \end{aligned} \]Det er altså ved \( {t \approx 3{,}14}\text{.} \)

1. Løs v_z = 0 i CAS Vi bruker \( \vec{v}(t) \) fra a), og løser \( {\textcolor{green}{v_z = 0}} \) med en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(-1/5 ℯ^(-2t+2) - sin(t) = 0, t = 3)

Ved \( {t \approx 3{,}14} \) er \( {\textcolor{green}{v_z} = 0}\text{.} \) \( \textcolor{blue}{v_x} \) er alltid positiv.