Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

grenseverdier

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

1 oppgave i R2 om grenseverdier

Oppgavene

R2 vår 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

I denne oppgaven skal du vise at lim⁡v→0+sin⁡vv=1. {\displaystyle\lim_{v \to 0^+} \dfrac{\sin v}{v} = 1}\text{.}
I figuren nedenfor er AB=AD=1, {AB = AD = 1}\text{,} og buen BD BD er del av en sirkel med sentrum i A. A\text{.} Vi lar ∠BAC=v {\angle BAC = v} (målt i radianer).

Oppgave 5a)

Bruk arealbetraktninger til å begrunne at
12sin⁡v<12v<12tan⁡v \dfrac{1}{2}\sin v < \dfrac{1}{2}v < \dfrac{1}{2}\tan v
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Trekanten ABD ABD ligger inni sektoren ABD, ABD\text{,} som ligger inni trekanten ABC. ABC\text{.} Arealene er 12sin⁡v, \dfrac{1}{2}\sin v\text{,} 12v \dfrac{1}{2}v og 12tan⁡v, \dfrac{1}{2}\tan v\text{,} så
12sin⁡v<12v<12tan⁡v‾‾ \underline{\underline{\dfrac{1}{2}\sin v < \dfrac{1}{2}v < \dfrac{1}{2}\tan v}}
På figuren ligger trekanten \( ABD \) inni sirkelsektoren \( ABD\text{,} \) og sektoren ligger inni trekanten \( ABC\text{.} \) Vi finner de tre arealene.
1. Arealet av trekanten ABD Arealsetningen forteller oss at: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin v \]der \( v \) er vinkelen mellom sidene \( a \) og \( b\text{.} \) Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.
Med \( {AB = AD = 1} \) får vi \( {\textcolor{blue}{A_{ABD} = \dfrac{1}{2}\sin v}}\text{.} \)
2. Arealet av sektoren En hel sirkel med radius \( 1 \) har arealet \( \pi \) og vinkelen \( 2\pi\text{.} \) Sektoren har vinkelen \( v\text{,} \) så den er \( \dfrac{v}{2\pi} \) av sirkelen: \[ \textcolor{green}{A_{\text{sektor}}} = \dfrac{v}{2\pi} \cdot \pi = \textcolor{green}{\dfrac{1}{2}v} \]
3. Arealet av trekanten ABC Trekanten er rettvinklet i \( B\text{,} \) så \( {\tan v = \dfrac{BC}{AB} = BC}\text{.} \) Arealet er: \[ \textcolor{red}{A_{ABC}} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\tan v} \]
Trekanten \( ABD \) ligger inni sektoren, og sektoren ligger inni trekanten \( ABC\text{,} \) så arealene blir større og større.

Oppgave 5b)

Forklar at dette gir oss
1<vsin⁡v<1cos⁡v 1 < \dfrac{v}{\sin v} < \dfrac{1}{\cos v}
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Vi deler ulikheten fra a) på 12sin⁡v>0, {\dfrac{1}{2}\sin v > 0}\text{,} og bruker at tan⁡vsin⁡v=1cos⁡v: {\dfrac{\tan v}{\sin v} = \dfrac{1}{\cos v}}\text{:}
1<vsin⁡v<1cos⁡v‾‾ \underline{\underline{1 < \dfrac{v}{\sin v} < \dfrac{1}{\cos v}}}
Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: ulikheten står i oppgaveteksten i a). \[ \dfrac{1}{2}\sin v < \dfrac{1}{2}v < \dfrac{1}{2}\tan v \]
Vi deler alle tre leddene på \( \dfrac{1}{2}\sin v\text{,} \) og bruker at \( {\tan v = \dfrac{\sin v}{\cos v}}\text{.} \)
1. Del på det samme positive tallet På figuren er \( {0 < v < \dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) så \( {\textcolor{blue}{\dfrac{1}{2}\sin v} > 0}\text{.} \) Når vi deler på et positivt tall, snur ikke ulikhetstegnene, som i videoen Introduksjon til Ulikheter. Halvdelene forkortes mot hverandre: \[ \dfrac{\sin v}{\textcolor{blue}{\sin v}} < \dfrac{v}{\textcolor{blue}{\sin v}} < \dfrac{\tan v}{\textcolor{blue}{\sin v}} \]
2. Forenkle Det første leddet er \( 1\text{,} \) og det midterste er \( \dfrac{v}{\sin v}\text{.} \) I det siste skriver vi \( {\tan v = \dfrac{\sin v}{\cos v}}\text{:} \) \[ \dfrac{\tan v}{\textcolor{blue}{\sin v}} = \dfrac{\sin v}{\cos v} \cdot \dfrac{1}{\textcolor{blue}{\sin v}} = \dfrac{1}{\cos v} \]

Oppgave 5c)

Bruk ulikhetene fra oppgave b til å begrunne at lim⁡v→0+sin⁡vv=1. {\displaystyle\lim_{v \to 0^+} \dfrac{\sin v}{v} = 1}\text{.}
Vis løsning på oppgave 5c
Svar
Når v→0+, {v \to 0^+}\text{,} går både 1 1 og 1cos⁡v \dfrac{1}{\cos v} mot 1, 1\text{,} så vsin⁡v \dfrac{v}{\sin v} blir klemt mot 1. 1\text{.} Den omvendte brøken går også mot 1: 1\text{:}
lim⁡v→0+sin⁡vv=1‾‾ \underline{\underline{\lim_{v \to 0^+} \dfrac{\sin v}{v} = 1}}
Selv om du ikke fikk til b), kan du løse denne: ulikhetene står i oppgaveteksten i b). \[ 1 < \dfrac{v}{\sin v} < \dfrac{1}{\cos v} \]
Vi ser hva som skjer med de to ytterste leddene når \( v \) går mot \( 0\text{.} \) Hvis begge går mot \( 1\text{,} \) blir det midterste klemt mellom dem.
1. Se på de ytterste leddene Når \( {v \to 0^+}\text{,} \) går \( \cos v \to 1\text{.} \) Hvis du er usikker på grenseverdier, kan du se videoen Grenseverdier. Da får vi: \[ \textcolor{blue}{1} \to \textcolor{blue}{1} \qquad \text{og} \qquad \textcolor{red}{\dfrac{1}{\cos v}} \to \textcolor{red}{1} \]
2. Klem det midterste leddet \( \dfrac{v}{\sin v} \) ligger hele tiden mellom \( \textcolor{blue}{1} \) og \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{\cos v}}\text{,} \) som begge går mot \( 1\text{.} \) Da må også \( \dfrac{v}{\sin v} \) gå mot \( 1\text{.} \)
\( \dfrac{\sin v}{v} \) er den omvendte brøken, så: \[ \lim_{v \to 0^+} \dfrac{\sin v}{v} = \dfrac{1}{\displaystyle\lim_{v \to 0^+} \dfrac{v}{\sin v}} = \dfrac{1}{1} = 1 \]