Eksamensoppgaver etter tema

Grunnflaten \( ABC \) ligger i \( xy \)-planet, og \( T \) ligger rett over \( A\text{.} \) Høyden er derfor \( 5\text{,} \) og vi trenger bare arealet av grunnflaten.

1. Finn arealet av grunnflaten Arealet av en trekant utspent av \( \vec{u} \) og \( \vec{v} \) er: \[ A = \dfrac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}| \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Her er \( {\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[5, 0, 0]}} \) og \( {\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = \textcolor{red}{[4, 2, 0]}}\text{.} \) Begge ligger i \( xy \)-planet, så bare \( z \)-koordinaten er ulik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= [0, 0, \textcolor{blue}{5} \cdot \textcolor{red}{2} - 0 \cdot \textcolor{red}{4}] \\ &= [0, 0, 10] \end{aligned} \]

Grunnflaten er \( {G = \dfrac{1}{2} \cdot 10 = 5}\text{.} \)

2. Regn ut volumet Volumet av en pyramide er: \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \]

Høyden er avstanden fra \( T \) ned til \( xy \)-planet, \( {h = 5}\text{:} \) \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot 5 \cdot 5 = \dfrac{25}{3} \]

Vi bruker vektorproduktet igjen, nå med to av sidene som går ut fra \( B\text{.} \)

1. Sett opp vektorene Fra \( B(5, 0, 0) \) til \( C \) og \( T\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} &= \textcolor{blue}{[-1, 2, 0]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{BT}} &= \textcolor{red}{[-5, 0, 5]} \end{aligned} \]

2. Regn ut vektorproduktet Koordinatene til \( \vec{u} \times \vec{v} \) er: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad u_2v_3 - u_3v_2 \\ y&\text{:} \quad u_3v_1 - u_1v_3 \\ z&\text{:} \quad u_1v_2 - u_2v_1 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet, som regner det ut med en determinant.

For \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{BC}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{BT}} \) får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad 2 \cdot 5 - 0 \cdot 0 = 10 \\ y&\text{:} \quad 0 \cdot (-5) - (-1) \cdot 5 = 5 \\ z&\text{:} \quad (-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-5) = 10 \end{aligned} \]

3. Finn arealet Lengden er: \[ \sqrt{10^2 + 5^2 + 10^2} = \sqrt{225} = 15 \]

Arealet er halve lengden: \[ A_{BCT} = \dfrac{1}{2} \cdot 15 = \dfrac{15}{2} \]

Fra a) er volumet av pyramiden \( \dfrac{25}{3}\text{,} \) og fra b) er arealet av \( \triangle BCT \) lik \( \dfrac{15}{2}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi kan se på pyramiden med \( \triangle BCT \) som grunnflate. Da er høyden nettopp avstanden fra \( A \) til planet gjennom \( B\text{,} \) \( C \) og \( T\text{.} \)

1. Bruk volumet med en ny grunnflate Volumet er det samme uansett hvilken side vi kaller grunnflaten. Med \( {\textcolor{blue}{G = \dfrac{15}{2}}} \) og høyden \( \textcolor{red}{d} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{15}{2}} \cdot \textcolor{red}{d} &= \dfrac{25}{3} \\ \dfrac{5}{2}\textcolor{red}{d} &= \dfrac{25}{3} \\ \textcolor{red}{d} &= \dfrac{10}{3} \end{aligned} \]

2. Kontroller med planet Normalvektoren \( [10, 5, 10] \) fra b) kan vi korte til \( [2, 1, 2]\text{.} \) Planet gjennom \( B(5, 0, 0) \) er da \( {2x + y + 2z - 10 = 0}\text{,} \) som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram. Avstanden fra \( A(0, 0, 0) \) er: \[ d = \dfrac{|2 \cdot 0 + 0 + 2 \cdot 0 - 10|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{10}{3} \]