Eksamensoppgaver etter tema

Vi kjenner den deriverte, så vi integrerer for å finne \( f\text{.} \) Konstanten finner vi med punktet grafen går gjennom.

1. Integrer den deriverte Vi skriver \( \dfrac{2}{x^2} \) som \( {2x^{\textcolor{green}{-2}}} \) og bruker potensregelen for integraler, som gjelder for \( {n \neq -1}\text{:} \) \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på å skrive om brøken til en potens, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{-2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} f(x) &= \int 2x^{\textcolor{green}{-2}}\,dx \\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{green}{-2} + 1}x^{\textcolor{green}{-2} + 1} + \textcolor{darkorange}{C} \\ &= 2 \cdot \dfrac{1}{-1}x^{-1} + \textcolor{darkorange}{C} \\ &= -\dfrac{2}{x} + \textcolor{darkorange}{C} \end{aligned} \]

2. Finn konstanten med punktet Grafen går gjennom \( (2, 2)\text{,} \) så \( {f(2) = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -\dfrac{2}{2} + \textcolor{darkorange}{C} &= 2 \\ \textcolor{darkorange}{C} &= \textcolor{darkorange}{3} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ f(x) = -\dfrac{2}{x} + \textcolor{darkorange}{3} \]

Vi finner først hvor grafene skjærer hverandre. Arealet er integralet av den øverste grafen minus den nederste, mellom skjæringspunktene.

1. Finn skjæringspunktene Vi setter \( {g(x) = h(x)}\text{:} \) \[ x = -\dfrac{3}{x} + 4 \]

Vi ganger begge sider med \( x\text{,} \) som går fordi \( {x > 0}\text{,} \) og samler alt på én side: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Abc-formelen forteller oss at \( {\textcolor{blue}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{green}{c} = 0} \) har løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{c}}}{2\textcolor{blue}{a}} \]Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-4}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{3}}\text{.} \) Hvis du er usikker på abc-formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-(\textcolor{red}{-4}) \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-4})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{green}{3}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ &= \dfrac{4 \pm 2}{2} \end{aligned} \]Grafene skjærer hverandre i \( {\underline{x = 1}} \) og \( {\underline{x = 3}}\text{.} \)

2. Finn grafen som ligger øverst Vi setter inn \( {x = 2}\text{,} \) som ligger mellom skjæringspunktene: \[ g(2) = 2 \qquad h(2) = -\dfrac{3}{2} + 4 = \dfrac{5}{2} \]Grafen til \( h \) ligger altså over grafen til \( g \) mellom \( {x = 1} \) og \( {x = 3}\text{.} \)

3. Regn ut arealet Arealet er integralet av den øverste minus den nederste: \[ \begin{aligned} A &= \int_1^3 \left(h(x) - g(x)\right) dx \\ &= \int_1^3 \left(-\dfrac{3}{x} + 4 - x\right) dx \end{aligned} \]

En antiderivert er \( {F(x) = -3\ln x + 4x - \dfrac{1}{2}x^2}\text{,} \) fordi \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}} \) for \( {x > 0}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler. Det gir oss: \[ \begin{aligned} F(3) &= -3\ln 3 + 12 - \dfrac{9}{2} \\ &= \dfrac{15}{2} - 3\ln 3 \\ F(1) &= -3\ln 1 + 4 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {\ln 1 = 0}\text{.} \)

Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= F(3) - F(1) \\ &= \dfrac{15}{2} - 3\ln 3 - \dfrac{7}{2} \\ &= 4 - 3\ln 3 \end{aligned} \]