Eksamensoppgaver etter tema

En linje som står normalt på planet, er parallell med normalvektoren til planet. Normalvektoren kan vi lese av likningen.

1. Les av normalvektoren I planlikningen \( {\textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b}y + \textcolor{green}{c}z + d = 0} \) er \( {\vec{n} = [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}]} \) en normalvektor, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram. Her er: \[ \vec{n} = [\textcolor{blue}{1}, \textcolor{red}{-2}, \textcolor{green}{2}] \]

2. Sett opp parameterframstillingen En linje gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningsvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) er: \[ \begin{cases} x = x_0 + \textcolor{blue}{a}t \\ y = y_0 + \textcolor{red}{b}t \\ z = z_0 + \textcolor{green}{c}t \end{cases} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Med \( A(4, 2, 2) \) og \( \vec{n} \) som retningsvektor får vi linja i svaret.

Vi bruker linja \( \ell \) fra a), \( {(4 + t, 2 - 2t, 2 + 2t)}\text{.} \)

Linja står normalt på planet, så avstanden fra \( A \) til planet er avstanden fra \( A \) til punktet der linja treffer planet.

1. Finn hvor linja treffer planet Vi setter koordinatene til linja inn i planlikningen: \[ \begin{aligned} (4 + t) - 2(2 - 2t) & \\ + 2(2 + 2t) + 1 &= 0 \\ 9t + 5 &= 0 \\ t &= -\dfrac{5}{9} \end{aligned} \]

2. Regn ut avstanden Fra \( A \) (der \( {t = 0} \)) til skjæringspunktet går vi \( {\textcolor{red}{t = -\dfrac{5}{9}}} \) ganger normalvektoren. Lengden av \( \vec{n} \) finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3 \]

Avstanden er da: \[ \left|\textcolor{red}{-\dfrac{5}{9}}\right| \cdot 3 = \dfrac{5}{3} \]

Vi ser hva som legges til \( S \) i hver runde av løkka. Det er arealet av et smalt rektangel.

1. Les programmet Linje 1 til 4 deler intervallet \( {[-2, 2]} \) i \( {N = 1000} \) like deler med bredde \( {dx = \dfrac{2 - (-2)}{1000} = 0{,}004}\text{.} \) Linje 6 og 7 definerer \( {f(x) = x^2 - 1}\text{.} \)

I løkka i linje 10 til 12 er \( x_i \) venstre ende av del nummer \( i\text{,} \) og linje 12 legger til \( {\textcolor{red}{|f(x_i)|} \cdot \textcolor{blue}{dx}}\text{.} \) Det er arealet av et rektangel med bredde \( \textcolor{blue}{dx} \) og høyde \( \textcolor{red}{|f(x_i)|}\text{.} \)

2. Se hva summen blir Summen av rektanglene er en venstre Riemannsum, som i videoen Riemann sum. Med \( 1000 \) smale rektangler er den svært nær integralet. Absoluttverdien gjør at områdene under \( x \)-aksen også telles positivt.

Vi regner ut \( {\displaystyle\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx} \) fra a).

\( {x^2 - 1} \) skifter fortegn i \( {x = -1} \) og \( {x = 1}\text{.} \) Grafen er symmetrisk om \( y \)-aksen, så vi regner ut arealet fra \( 0 \) til \( 2 \) og ganger med \( 2\text{.} \)

1. Del opp intervallet \( {x^2 - 1 < 0} \) for \( {0 < x < 1}\text{,} \) og \( {x^2 - 1 > 0} \) for \( {1 < x < 2}\text{.} \) Der grafen er under aksen, integrerer vi \( {1 - x^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\int_{-2}^{2} |x^2 - 1|\,dx \\ &= 2\textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} \\ &\quad + 2\textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} \end{aligned} \]

2. Regn ut de to integralene \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\int_0^1 (1 - x^2)\,dx} &= \left[x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} \\ \textcolor{red}{\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx} &= \left[\dfrac{x^3}{3} - x\right]_1^2 \end{aligned} \]

Det siste er: \[ \left(\dfrac{8}{3} - 2\right) - \left(\dfrac{1}{3} - 1\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}} \]

3. Legg sammen \[ 2\left(\textcolor{blue}{\dfrac{2}{3}} + \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}}\right) = 2 \cdot 2 = 4 \]

Vannstanden går opp og ned med en fast periode, så vi lager en sinusmodell med sinusregresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre sinusregresjon. Øv heller på å lese av likevektslinje, amplitude og periode i en tabell, og på b) og c) med en gitt sinusmodell, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver timene i kolonne A og vannstanden i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør sinusregresjon Sinusregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{a}\text{,} \) \( \textcolor{green}{b}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{c} \) og \( \textcolor{blue}{d} \) i \[ f(x) = \textcolor{red}{a} \sin(\textcolor{green}{b}x + \textcolor{darkorange}{c}) + \textcolor{blue}{d} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi velger sinusregresjon fra den samme lista som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der det er logistisk regresjon:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) = RegSin(l1)

3. Vurder modellen GeoGebra skriver konstanten først. Tallene gir \( {\textcolor{red}{a} \approx \textcolor{red}{31{,}04}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{b} \approx \textcolor{green}{0{,}5144}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{c} \approx \textcolor{darkorange}{0{,}1898}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{83{,}59}}\text{.} \)

Perioden er \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{b}} \approx 12{,}2} \) timer, omtrent som tidevannet, som har to flo og to fjære i døgnet. Grafen går nær alle punktene. Den aktuelle perioden er 25. april, altså \( {24 \le x \le 48}\text{,} \) der \( x \) er timer etter midnatt 24. april.

Vi bruker modellen fra a): \[ \begin{aligned} f(x) = \ &\textcolor{red}{31{,}04}\sin(\textcolor{green}{0{,}5144}x + \textcolor{darkorange}{0{,}1898}) \\ &+ 83{,}59 \end{aligned} \]

Vannstanden øker raskest der den deriverte \( f'(x) \) er størst. Den 25. april er \( {24 \le x \le 48}\text{.} \)

1. Deriver modellen Vi bruker kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen: \[ \begin{aligned} f'(x) = \ &\textcolor{red}{31{,}04} \cdot \textcolor{green}{0{,}5144} \\ &\cdot \cos(\textcolor{green}{0{,}5144}x + \textcolor{darkorange}{0{,}1898}) \end{aligned} \]

2. Finn når cosinus er 1 \( f'(x) \) er størst når cosinus er \( 1\text{,} \) altså når vinkelen er \( 2\pi k\text{:} \) \[ x = \dfrac{2\pi k - \textcolor{darkorange}{0{,}1898}}{\textcolor{green}{0{,}5144}} \]

\( {k = 2} \) og \( {k = 3} \) gir \( x \) mellom \( 24 \) og \( 48\text{:} \) \[ \begin{aligned} k = 2&\text{:} \quad x \approx 24{,}06 \\ k = 3&\text{:} \quad x \approx 36{,}27 \end{aligned} \]

3. Gjør om til klokkeslett \( {x = 24{,}06} \) er \( {0{,}06 \cdot 60 \approx 4} \) minutter over midnatt 25. april, og \( {x \approx 36{,}27} \) er omtrent kl. 12:16. Med alle desimalene i modellen blir det kl. 12:17, så forskjellen er bare avrunding. Da stiger vannet med \( {31{,}04 \cdot 0{,}5144 \approx 16} \) cm per time.

1. Løs f''(x) = 0 i CAS Der \( f' \) er størst, er \( {f''(x) = 0}\text{.} \) Vi henter modellen inn i CAS og løser med NLøs og startverdier i begynnelsen og midt på dagen:

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := RegSin(l1) NLøs(Derivert(f(x), x, 2) = 0, x = 24) NLøs(Derivert(f(x), x, 2) = 0, x = 36)

Grafen i a) stiger ved begge, så det er der vannstanden øker raskest: kl. 00:04 og kl. 12:17.

Vi bruker modellen fra a): \[ \begin{aligned} f(x) = \ &\textcolor{red}{31{,}04}\sin(\textcolor{green}{0{,}5144}x + \textcolor{darkorange}{0{,}1898}) \\ &+ 83{,}59 \end{aligned} \]

Vannstanden må være over \( 90 \) cm i hele de \( 2 \) timene. Vi finner det siste tidspunktet den 25. april der vannstanden synker under \( 90 \) cm, og trekker fra \( 2 \) timer.

1. Få sinus alene \( {f(x) = 90} \) gir: \[ \sin(\textcolor{blue}{u}) = \dfrac{90 - 83{,}59}{31{,}04} \approx 0{,}2065 \]der \( {\textcolor{blue}{u = 0{,}5144x + 0{,}1898}}\text{.} \)

2. Når vannet synker under 90 cm Kalkulatoren gir \( {\sin^{-1}(0{,}2065) \approx 0{,}208}\text{.} \) Vannet synker forbi \( 90 \) cm der sinus synker, i den andre vinkelen \( {\pi - 0{,}208}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025. Den 25. april går \( \textcolor{blue}{u} \) fra \( {0{,}5144 \cdot 24 + 0{,}1898 \approx 12{,}5} \) til \( {0{,}5144 \cdot 48 + 0{,}1898 \approx 24{,}9}\text{,} \) så den siste vinkelen er tre hele runder senere: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{u} &= \pi - 0{,}208 + 3 \cdot 2\pi \approx 21{,}783 \\ x &= \dfrac{21{,}783 - 0{,}1898}{0{,}5144} \approx 41{,}98 \end{aligned} \]

3. Trekk fra 2 timer Vannet stiger forbi \( 90 \) cm i den første vinkelen, \( {\textcolor{blue}{u} = 0{,}208 + 3 \cdot 2\pi \approx 19{,}058}\text{,} \) altså ved \( {x = \dfrac{19{,}058 - 0{,}1898}{0{,}5144} \approx 36{,}7}\text{.} \) Vannstanden er over \( 90 \) cm fra \( {x \approx 36{,}7} \) til \( {x \approx 41{,}98}\text{,} \) mer enn \( 2 \) timer. De må altså starte senest ved \( {x = 41{,}98 - 2 = 39{,}98}\text{,} \) som er \( 15 \) timer og \( {0{,}98 \cdot 60 \approx 58{,}8} \) minutter etter midnatt 25. april. Det er det seneste de kan starte, så vi runder ned til kl. 15:58.

1. Løs f(x) = 90 i CAS Vi bruker modellen fra b) i CAS, og løser \( {f(x) = 90} \) med en startverdi sent på ettermiddagen:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(f(x) = 90, x = 42) ≈ 41.9807 - 2

Vannstanden synker under \( 90 \) cm ved \( {x \approx 41{,}98}\text{,} \) så de må starte senest ved \( {x \approx 39{,}98}\text{,} \) like før kl. 15:59. Vi runder ned til kl. 15:58.

Vi ser på differansen mellom to figurtall som kommer etter hverandre. Den er antall kuler i den nye ytterste femkanten.

1. Se på differansene Vi trekker hvert figurtall fra det neste: \[ \begin{aligned} 6 - 1 &= 5 = 5 \cdot \textcolor{red}{1} \\ 16 - 6 &= 10 = 5 \cdot \textcolor{red}{2} \\ 31 - 16 &= 15 = 5 \cdot \textcolor{red}{3} \\ 51 - 31 &= 20 = 5 \cdot \textcolor{red}{4} \end{aligned} \]

2. Forklar med figuren I figur \( n \) har den ytterste femkanten \( n \) kuler på hver kant. Fem kanter med \( n \) kuler gir \( 5n\text{,} \) men de fem hjørnekulene telles to ganger, så det blir \( {5n - 5 = 5(\textcolor{red}{n - 1})} \) nye kuler. For eksempel er \( {P_3 = P_2 + 5 \cdot 2 = 16}\text{.} \)

Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a), \( {P_n = P_{n-1} + 5(n - 1)}\text{.} \)

Vi starter med \( {P_1 = 1}\text{,} \) og lar en løkke legge til de nye kulene for \( {n = 2, 3, \dots, 100}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter \( {P = 1}\text{,} \) som er \( P_1\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.

Løkka i linje 2 går for \( {n = 2, 3, \dots, 100}\text{,} \) og linje 3 er den rekursive sammenhengen: den legger til \( {\textcolor{red}{5(n - 1)}}\text{.} \)

2. Sjekk de første rundene Etter to runder er \( {P = 1 + \textcolor{red}{5} + \textcolor{red}{10} = 16 = P_3}\text{.} \) Programmet skriver ut \( 24\,751\text{.} \)

Vi bruker \( {P_1 = 1} \) og \( {P_n = P_{n-1} + 5(n - 1)} \) fra a).

\( P_n \) er \( 1 \) pluss \( 5 \) ganger summen \( {1 + 2 + \dots + (n - 1)}\text{.} \) Den summen har en kjent formel. Så viser vi formelen med induksjon.

1. Finn formelen Vi legger sammen alle differansene fra a): \[ \begin{aligned} P_n &= 1 + 5\left(1 + 2 + \dots + (n - 1)\right) \\ &= 1 + 5 \cdot \dfrac{(n - 1)n}{2} \\ &= \dfrac{5n^2 - 5n + 2}{2} \end{aligned} \]der vi brukte at \( {1 + 2 + \dots + m} \) er \( {\dfrac{m(m + 1)}{2}}\text{,} \) som i videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.

2. Sjekk for n = 1 Formelen gir \( {P_1 = \dfrac{5 - 5 + 2}{2} = 1}\text{,} \) som stemmer.

3. Anta formelen for n = k Vi antar at: \[ \textcolor{blue}{P_k = \dfrac{5k^2 - 5k + 2}{2}} \]Vi skal vise at da er: \[ P_{k+1} = \dfrac{5(k + 1)^2 - 5(k + 1) + 2}{2} \]

4. Vis steget til k + 1 Den rekursive sammenhengen med \( {n = k + 1} \) gir \( {P_{k+1} = \textcolor{blue}{P_k} + \textcolor{red}{5k}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} P_{k+1} &= \textcolor{blue}{\dfrac{5k^2 - 5k + 2}{2}} + \textcolor{red}{\dfrac{10k}{2}} \\ &= \dfrac{5k^2 + 5k + 2}{2} \end{aligned} \]

Formelen med \( {n = k + 1} \) gir det samme: \[ \begin{aligned} &\dfrac{5(k + 1)^2 - 5(k + 1) + 2}{2} \\ &= \dfrac{5k^2 + 10k + 5 - 5k - 5 + 2}{2} \\ &= \dfrac{5k^2 + 5k + 2}{2} \end{aligned} \]Formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og når den stemmer for ett tall, stemmer den for det neste. Da stemmer den for alle \( n\text{.} \)

Likevektslinja ligger midt mellom den største og den minste verdien, og amplituden er avstanden derfra til toppen. Perioden er ett døgn.

1. Finn d og A \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d} &= \dfrac{31{,}2 + 18{,}2}{2} = \textcolor{blue}{24{,}7} \\ \textcolor{red}{A} &= \dfrac{31{,}2 - 18{,}2}{2} = \textcolor{red}{6{,}5} \end{aligned} \]

2. Finn c Forurensningen varierer hvert døgn, så perioden er \( 24 \) timer. Perioden er \( \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}}\text{:} \) \[ \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} = 24 \quad\Rightarrow\quad \textcolor{green}{c} = \dfrac{2\pi}{24} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{12}} \]

Vi bruker \( {\textcolor{red}{A = 6{,}5}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c = \dfrac{\pi}{12}}} \) og \( {\textcolor{blue}{d = 24{,}7}} \) fra a).

De to tidspunktene ligger like langt fra toppen av grafen, ett på vei opp og ett på vei ned. Vi finner tiden mellom dem fra de to vinklene der sinus har samme verdi.

1. Få sinus alene \( {M(t) = 27} \) gir: \[ \sin(\textcolor{darkorange}{u}) = \dfrac{27 - \textcolor{blue}{24{,}7}}{\textcolor{red}{6{,}5}} \approx 0{,}3538 \]der \( {\textcolor{darkorange}{u = ct + k}}\text{.} \)

2. Finn de to vinklene Kalkulatoren gir \( {\sin^{-1}(0{,}3538) \approx 0{,}3617}\text{,} \) og sinus har samme verdi i \( {\pi - 0{,}3617 \approx 2{,}7799}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

Kl. 13:00 er første gang i døgnet. Hadde forurensningen vært på vei ned da, ville den vært \( 27 \) også tidligere samme dag, på vei opp. Kl. 13:00 hører altså til den første vinkelen, \( 0{,}3617\text{.} \)

3. Finn tiden mellom Vinkelen øker med \( {\textcolor{green}{c} = \dfrac{\pi}{12}} \) per time: \[ \begin{aligned} \Delta t &= \dfrac{2{,}7799 - 0{,}3617}{\textcolor{green}{\pi/12}} \\ &\approx 9{,}24 \text{ timer} \end{aligned} \]Det er \( 9 \) timer og \( {0{,}24 \cdot 60 \approx 14} \) minutter etter kl. 13:00, altså kl. 22:14.

1. Finn k og løs i CAS Vi finner \( k \) slik at \( {M(13) = 27} \) med NLøs, og løser så \( {M(t) = 27} \) med en startverdi om kvelden:

Skriv inn i GeoGebra: M(t) := 6.5 sin(π/12 t + k) + 24.7 NLøs(M(13) = 27, k = -3) M(t) := 6.5 sin(π/12 t - 3.0417) + 24.7 NLøs(M(t) = 27, t = 22)

Med \( {k \approx -3{,}0417} \) har grafen topp ved \( {t \approx 17{,}6}\text{,} \) så den stiger kl. 13:00. Rad 4 gir \( {t \approx 22{,}24}\text{,} \) kl. 22:14.

Tangenten har retningen til \( \vec{r}_1\,'(t)\text{.} \) Den er parallell med \( xy \)-planet når \( z \)-koordinaten til \( \vec{r}_1\,'(t) \) er \( 0\text{.} \)

1. Deriver Vi deriverer hver koordinat for seg, som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen: \[ \vec{r}_1\,'(t) = [\cos t, 1, \textcolor{red}{-\sin t}] \]

2. Sett z-koordinaten lik 0 \[ \textcolor{red}{-\sin t} = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \pi \]siden \( {0 < t < 2\pi}\text{.} \) Da er: \[ \vec{r}_1(\pi) = [\sin \pi, \pi, \cos \pi] = [0, \pi, -1] \]

To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{.} \)

1. Deriver to ganger \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{r}_1\,'(t)} &= \textcolor{blue}{[\cos t, 1, -\sin t]} \\ \textcolor{red}{\vec{r}_1\,''(t)} &= \textcolor{red}{[-\sin t, 0, -\cos t]} \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\vec{r}_1\,'} \cdot \textcolor{red}{\vec{r}_1\,''} &= -\cos t \sin t + 0 \\ &\quad + \sin t \cos t \\ &= 0 \end{aligned} \]Det gjelder for alle \( t\text{.} \)

Vi bruker \( {\vec{r}_1\,'(t) = [\cos t, 1, -\sin t]} \) og \( {\vec{r}_1\,''(t) = [-\sin t, 0, -\cos t]} \) fra b).

Smygplanet inneholder \( \vec{r}_1\,' \) og \( \vec{r}_1\,''\text{,} \) så vektorproduktet av dem er en normalvektor. Vinkelen mellom planet og \( y \)-aksen er \( 90^\circ \) minus vinkelen mellom normalvektoren og \( y \)-aksen.

1. Finn en normalvektor Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet. Koordinat for koordinat er \( {\vec{n} = \vec{r}_1\,' \times \vec{r}_1\,''}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad -\cos t - (-\sin t) \cdot 0 = -\cos t \\ y&\text{:} \quad \sin^2 t + \cos^2 t = \textcolor{red}{1} \\ z&\text{:} \quad \cos t \cdot 0 - 1 \cdot (-\sin t) = \sin t \end{aligned} \]Så \( {\vec{n} = [-\cos t, \textcolor{red}{1}, \sin t]}\text{.} \)Lengden er: \[ |\vec{n}| = \sqrt{\cos^2 t + 1 + \sin^2 t} = \sqrt{2} \]

2. Finn vinkelen med y-aksen \( y \)-aksen har retningsvektor \( [0, 1, 0]\text{.} \) Vinkelen \( v \) mellom \( \vec{n} \) og \( y \)-aksen er gitt ved: \[ \cos v = \dfrac{|\vec{n} \cdot [0, 1, 0]|}{|\vec{n}| \cdot 1} = \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\sqrt{2}} \]Altså er \( {v = 45^\circ}\text{,} \) uansett \( t\text{.} \)

3. Vinkelen med planet Normalvektoren står vinkelrett på planet, så vinkelen mellom planet og \( y \)-aksen er \( {90^\circ - 45^\circ = 45^\circ}\text{.} \) Den er den samme for alle \( t\text{.} \)

Vi finner en normalvektor som i c), og ser hva som skjer med smygplanet når \( t \) endrer seg.

1. Finn en normalvektor \[ \begin{aligned} \vec{r}_2\,'(t) &= [\cos t, 1, 2\cos t] \\ \vec{r}_2\,''(t) &= [-\sin t, 0, -2\sin t] \end{aligned} \]

Vektorproduktet er: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad -2\sin t - 2\cos t \cdot 0 = -2\sin t \\ y&\text{:} \quad -2\cos t\sin t + 2\cos t\sin t = 0 \\ z&\text{:} \quad \cos t \cdot 0 - 1 \cdot (-\sin t) = \sin t \end{aligned} \]

Så \( {\vec{r}_2\,' \times \vec{r}_2\,'' = \sin t \cdot \textcolor{red}{[-2, 0, 1]}}\text{.} \)Når \( \sin t \ne 0\text{,} \) er \( {\textcolor{red}{[-2, 0, 1]}} \) en normalvektor, for alle \( t\text{.} \)

2. Finn likningen for smygplanet Planet går gjennom punktet \( {(\sin t, t, 2\sin t + 1)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -2(x - \sin t) & \\ + (z - 2\sin t - 1) &= 0 \\ z &= 2x + 1 \end{aligned} \]Leddene med \( t \) forsvinner, så det er det samme planet for alle \( t\text{.} \) For eksempel gir \( {t = \dfrac{\pi}{2}} \) punktet \( (1, \dfrac{\pi}{2}, 3)\text{,} \) og \( {3 = 2 \cdot 1 + 1}\text{.} \)

3. Tolk det Kurven har \( {x = \sin t} \) og \( {z = 2\sin t + 1 = 2x + 1}\text{,} \) så hele kurven ligger i planet \( {z = 2x + 1}\text{.} \) Den er en plan kurve, og da er smygplanet det planet kurven ligger i. Når \( {\sin t = 0}\text{,} \) er \( {\vec{r}_2\,''(t) = \vec{0}}\text{,} \) og definisjonen gir ikke noe plan der.

Vi integrerer ledd for ledd med potensregelen, og setter inn grensene.

1. Finn den antideriverte Potensregelen for integraler forteller oss at: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Ledd for ledd får vi: \[ \int (4x^{\textcolor{green}{3}} - x^{\textcolor{green}{1}})\,dx = x^4 - \dfrac{1}{2}x^2 + C \]

2. Sett inn grensene \[ \begin{aligned} &\left[x^4 - \dfrac{1}{2}x^2\right]_{-1}^{1} \\ &= \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) - \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) \\ &= 0 \end{aligned} \]

Det kunne vi også sett på forhånd: \( {4x^3 - x} \) er en odde funksjon, så arealet over og under \( x \)-aksen er like store.

Vi bruker regelen for integralet av \( e^{kx}\text{,} \) og husker at \( {e^{2\ln 2} = 4}\text{.} \)

1. Finn den antideriverte Regelen for eksponentialfunksjoner forteller oss at: \[ \int e^{\textcolor{red}{k}x}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{red}{k}}e^{\textcolor{red}{k}x} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{2}}\text{.} \)

2. Sett inn grensene \[ \begin{aligned} \left[\dfrac{1}{\textcolor{red}{2}}e^{\textcolor{red}{2}x}\right]_{0}^{\ln 2} &= \dfrac{1}{2}e^{2\ln 2} - \dfrac{1}{2}e^{0} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot 4 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]Her brukte vi at \( {e^{2\ln 2} = \left(e^{\ln 2}\right)^2 = 2^2 = 4}\text{.} \)

Vi skriver \( {\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}} \) og deriverer brøken med kvotientregelen.

1. Skriv opp kvotientregelen Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{blue}{u}}{\textcolor{red}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{blue}{u}' \cdot \textcolor{red}{v} - \textcolor{blue}{u} \cdot \textcolor{red}{v}'}{\textcolor{red}{v}^2} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{u} &= \textcolor{blue}{\sin x}, & \textcolor{blue}{u}' &= \cos x \\ \textcolor{red}{v} &= \textcolor{red}{\cos x}, & \textcolor{red}{v}' &= -\sin x \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn, blir telleren: \[ \begin{aligned} &\cos x \cdot \textcolor{red}{\cos x} - \textcolor{blue}{\sin x} \cdot (-\sin x) \\ &= \cos^2 x + \sin^2 x \end{aligned} \]

Nevneren er \( {\textcolor{red}{v}^2 = \textcolor{red}{\cos^2 x}}\text{,} \) så: \[ f'(x) = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\textcolor{red}{\cos^2 x}} \]

Vi deler brøken i to: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= 1 + \tan^2 x \end{aligned} \]

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: den deriverte av \( \tan x \) står i oppgaveteksten i a), \( {(\tan x)' = 1 + \tan^2 x}\text{.} \)

Telleren er den deriverte av nevneren, så vi bruker substitusjon med \( {u = \tan x}\text{.} \)

1. Velg u Vi setter \( {\textcolor{blue}{u = \tan x}}\text{.} \) Fra a) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{du}{dx} &= 1 + \tan^2 x \\ \textcolor{red}{du} &= \textcolor{red}{(1 + \tan^2 x)\,dx} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på substitusjon, kan du se videoen Substitusjon.

2. Integrer med hensyn på u Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \int \dfrac{\textcolor{red}{(1 + \tan^2 x)\,dx}}{\textcolor{blue}{\tan x}} &= \int \dfrac{1}{\textcolor{blue}{u}}\,\textcolor{red}{du} \\ &= \ln|\textcolor{blue}{u}| + C \end{aligned} \]Integralet av \( \dfrac{1}{u} \) står i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Til slutt bytter vi tilbake til \( x\text{.} \)