Hopp til hovedinnholdet

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

79 oppgaver i R2 · viser 51–60

Oppgavene

R2 vår 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

4 poeng

Funksjonen f f er gitt ved
f(x)=2⋅sin⁡(π6x−π3)−1 f(x) = 2 \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}\right) - 1
Df=⟨0,20⟩ D_f = \langle 0, 20 \rangle

Oppgave 5a)

Løs likningen f(x)=0. {f(x) = 0}\text{.}
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
x=3 ∨ x=7‾‾ \underline{\underline{x = 3 \ \vee\ x = 7}}
x=15 ∨ x=19‾‾ \underline{\underline{x = 15 \ \vee\ x = 19}}
Vi får sinus alene på den ene siden, og kaller det som står inni sinus for \( u\text{.} \) Vinklene med sinus \( \dfrac{1}{2} \) finner vi på enhetssirkelen.
1. Få sinus alene Vi legger til \( 1 \) og deler på \( 2\text{:} \) \[ \sin\left(\textcolor{red}{\dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}}\right) = \dfrac{1}{2} \]
2. Finn vinklene Vi kaller \( {\textcolor{red}{u = \dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}}}\text{.} \) Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Sinus har samme verdi i \( {\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}}\text{,} \) og gjentar seg for hver hele runde: \[ \textcolor{red}{u} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \vee \quad \textcolor{red}{u} = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \]Hvis du er usikker på den andre vinkelen, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
3. Løs for x Vi legger til \( \dfrac{\pi}{3} \) og ganger med \( \dfrac{6}{\pi}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}} &= \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{6}x &= \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \\ x &= 3 + 12k \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{6}x - \dfrac{\pi}{3}} &= \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \\ \dfrac{\pi}{6}x &= \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k \\ x &= 7 + 12k \end{aligned} \]
I \( \langle 0, 20 \rangle \) gir \( {k = 0} \) løsningene \( 3 \) og \( 7\text{,} \) og \( {k = 1} \) gir \( 15 \) og \( 19\text{.} \) \( {k = -1} \) gir negative \( x\text{,} \) og \( {k = 2} \) gir \( x \) over \( 20\text{.} \)

Oppgave 5b)

Finn amplituden, likevektslinja, perioden og forskyvningen langs likevektslinja.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Amplitude:2‾‾Likevektslinje:y=−1‾‾Periode:12‾‾Forskyvning:2 mot høyre‾‾ \begin{aligned} \text{Amplitude}&\text{:} \quad \underline{\underline{2}} \\ \text{Likevektslinje}&\text{:} \quad \underline{\underline{y = -1}} \\ \text{Periode}&\text{:} \quad \underline{\underline{12}} \\ \text{Forskyvning}&\text{:} \quad \underline{\underline{2 \text{ mot høyre}}} \end{aligned}
Vi sammenligner med den generelle formen \( {A\sin(c(x - x_0)) + d}\text{,} \) og leser av hver størrelse.
1. Skriv om funksjonen Vi setter \( \dfrac{\pi}{6} \) utenfor en parentes inni sinus: \[ f(x) = \textcolor{red}{2}\sin\left(\textcolor{green}{\dfrac{\pi}{6}}(x - \textcolor{darkorange}{2})\right) \textcolor{blue}{- 1} \]
2. Les av størrelsene En sinusfunksjon \( {\textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{green}{c}(x - \textcolor{darkorange}{x_0})) + \textcolor{blue}{d}} \) har: \[ \begin{aligned} \text{amplitude}&\text{:} \quad \textcolor{red}{A} \\ \text{likevektslinje}&\text{:} \quad y = \textcolor{blue}{d} \\ \text{periode}&\text{:} \quad \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \\ \text{forskyvning}&\text{:} \quad \textcolor{darkorange}{x_0} \end{aligned} \]
Her er perioden \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{\pi/6}} = 12}\text{,} \) og grafen er forskjøvet \( \textcolor{darkorange}{2} \) mot høyre langs likevektslinja.

R2 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

En fotballspiller skal ta et hjørnespark (corner) på en fotballbane. Posisjonen r r til ballen etter t t sekunder er gitt ved
r⃗(t)=[30t, 5t, 7t−4,9t2] \vec{r}(t) = \left[30t,\ 5t,\ 7t - 4{,}9t^2\right]
Her er posisjonen gitt i meter, og koordinatsystemet er lagt slik at origo er i hjørnet av fotballbanen, x x -aksen går langs kortsiden og y y -aksen går langs langsiden.

Oppgave 1a)

Hvor stor er farten til ballen idet den blir skutt?
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Avrundet til to desimaler:
∣v⃗(0)∣≈31,21 m/s‾‾ \underline{\underline{|\vec{v}(0)| \approx 31{,}21\,\text{m/s}}}
Farten er lengden av fartsvektoren, og fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren. Ballen blir skutt ved \( {t = 0}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Vi deriverer hver koordinat for seg: \[ \vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{30},\ \textcolor{red}{5},\ \textcolor{green}{7 - 9{,}8t}] \]
2. Regn ut farten ved start Med \( {t = 0} \) er \( {\vec{v}(0) = [\textcolor{blue}{30}, \textcolor{red}{5}, \textcolor{green}{7}]}\text{.} \) Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]
Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(0)| &= \sqrt{\textcolor{blue}{30}^2 + \textcolor{red}{5}^2 + \textcolor{green}{7}^2} \\ &= \sqrt{974} \approx 31{,}21 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut farten i CAS Vi definerer posisjonen, deriverer den og regner ut lengden av fartsvektoren for \( {t = 0}\text{.} \) Den siste raden regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (30t, 5t, 7t - 4.9t^2) v(t) := Derivert(r(t), t) Lengde(v(0))
Rad 3 gir farten \( {|\vec{v}(0)| \approx 31{,}209\,\text{m/s}}\text{.} \)

Oppgave 1b)

Hvor langt fra hjørnemerket er ballen når den treffer fotballbanen igjen?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til to desimaler er ballen
43,45 m fra hjørnemerket‾‾ \underline{\underline{43{,}45\,\text{m fra hjørnemerket}}}
Ballen treffer banen når \( {z = 0}\text{.} \) Avstanden fra hjørnemerket i origo er lengden av \( [x, y] \) langs bakken.
Metode: Med kalkulator
1. Finn når ballen lander Vi setter \( z \)-koordinaten lik \( 0 \) og faktoriserer: \[ \begin{aligned} 7t - 4{,}9t^2 &= 0 \\ t(7 - 4{,}9t) &= 0 \end{aligned} \]\( {t = 0} \) er når ballen blir skutt, så den lander ved \( {t = \dfrac{7}{4{,}9} = \dfrac{10}{7} \approx 1{,}43\,\text{s}}\text{.} \)
2. Regn ut avstanden Med \( {t = \dfrac{10}{7}} \) er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x} &= 30 \cdot \dfrac{10}{7} = \textcolor{blue}{\dfrac{300}{7}} \\ \textcolor{red}{y} &= 5 \cdot \dfrac{10}{7} = \textcolor{red}{\dfrac{50}{7}} \end{aligned} \]
Avstanden fra origo finner vi med Pythagoras: \[ \begin{aligned} \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} &= \sqrt{\left(\textcolor{blue}{\dfrac{300}{7}}\right)^2 + \left(\textcolor{red}{\dfrac{50}{7}}\right)^2} \\ &\approx 43{,}45 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Finn landingen i CAS Vi fortsetter i CAS fra a). Vi løser \( {z = 0}\text{,} \) og regner ut avstanden fra origo med \( {\approx}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: Løs(7t - 4.9t^2 = 0, t) sqrt((30*10/7)^2 + (5*10/7)^2)
Rad 4 viser at ballen lander ved \( {t = \dfrac{10}{7}}\text{,} \) og rad 5 gir avstanden \( 43{,}4483\,\text{m}\text{.} \)

Oppgave 1c)

Hvor stor er farten til ballen når den er på sitt høyeste? Hvor høyt over fotballbanen er ballen da?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Når ballen er på sitt høyeste, er
farten:925≈30,41 m/s‾‾høyden:2,5 m‾‾ \begin{aligned} \text{farten}&\text{:} \quad \underline{\underline{\sqrt{925} \approx 30{,}41\,\text{m/s}}} \\ \text{høyden}&\text{:} \quad \underline{\underline{2{,}5\,\text{m}}} \end{aligned}
Vi bruker fartsvektoren fra a), \( {\vec{v}(t) = [30,\ 5,\ 7 - 9{,}8t]}\text{.} \)
Ballen er på sitt høyeste når \( z \)-koordinaten har toppunkt, altså når \( {z'(t) = 0}\text{.} \) Vi setter inn den tiden i farten og i høyden.
Metode: Med kalkulator
1. Finn når ballen er høyest \( z \)-koordinaten til fartsvektoren er \( {z'(t) = \textcolor{green}{7 - 9{,}8t}}\text{.} \) Den er null når: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{7 - 9{,}8t} &= 0 \\ t &= \dfrac{7}{9{,}8} = \dfrac{5}{7} \end{aligned} \]\( z'(t) \) er positiv før og negativ etter, så dette er toppunktet. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.
2. Regn ut farten og høyden I toppunktet er \( {\textcolor{green}{z'} = \textcolor{green}{0}}\text{,} \) så farten er: \[ \begin{aligned} \left|\vec{v}\left(\dfrac{5}{7}\right)\right| &= \sqrt{\textcolor{blue}{30}^2 + \textcolor{red}{5}^2 + \textcolor{green}{0}^2} \\ &= \sqrt{925} \approx 30{,}41 \end{aligned} \]
Høyden er \( z \)-koordinaten til \( \vec{r}\text{:} \) \[ \begin{aligned} z\left(\dfrac{5}{7}\right) &= 7 \cdot \dfrac{5}{7} - 4{,}9 \cdot \dfrac{25}{49} \\ &= 5 - 2{,}5 = 2{,}5 \end{aligned} \]
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet i CAS Vi fortsetter i CAS fra a). Vi løser \( {z'(t) = 0}\text{,} \) og setter løsningen inn i farten med \( {\approx} \) og i posisjonen:
Skriv inn i GeoGebra: Løs(7 - 9.8t = 0, t) Lengde(v(5/7)) r(5/7)
Ballen er høyest ved \( {t = \dfrac{5}{7}}\text{,} \) farten er da \( 30{,}4138\,\text{m/s}\text{,} \) og \( z \)-koordinaten i rad 8 viser at høyden er \( {\dfrac{5}{2} = 2{,}5\,\text{m}}\text{.} \)

R2 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

2 poeng

Bildet nedenfor viser halve snittflaten til en pære som er skåret over på midten. Bildet er satt inn i et koordinatsystem. Enheten langs begge aksene er centimeter. Bruk informasjonen i bildet til å bestemme det omtrentlige volumet av pæra.
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Med RegPoly av grad 6 6 gjennom punkter på kanten er volumet omtrent
V≈310 cm3‾‾ \underline{\underline{V \approx 310\,\text{cm}^3}}
Pæra er et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen, og kanten i bildet er grafen som dreies. Vi leser av punkter på kanten, lager en funksjon gjennom dem med regresjon, og regner ut volumet med integralet.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjonen. Øv heller på å lese av punkter fra et bilde, og på å sette opp volumet som \( \pi \int f(x)^2\,dx\text{.} \) For hånd kan du tilnærme pæra med noen sylindere.
Metode: Med GeoGebra
1. Les av punkter på kanten Vi leser av høyden \( \textcolor{blue}{f(x)} \) til kanten i rutenettet. Den er radien i omdreiningslegemet: \[ \begin{array}{r|ccccc} x & 0 & 0{,}5 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \textcolor{blue}{f(x)} & 0 & 2 & 2{,}6 & 3{,}4 & 3{,}7 \end{array} \]\[ \begin{array}{r|ccccc} x & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \textcolor{blue}{f(x)} & 3{,}9 & 3{,}9 & 3{,}6 & 3{,}1 & 2{,}6 \end{array} \]\[ \begin{array}{r|cccc} x & 9 & 10 & 11 & 11{,}9 \\ \hline \textcolor{blue}{f(x)} & 2 & 1{,}5 & 0{,}8 & 0 \end{array} \]Alle målene er i centimeter.
2. Lag modellen og regn ut volumet Volumet av et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen er: \[ V = \pi \int_a^b \textcolor{blue}{f(x)}^2\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.
Vi legger punktene i en liste og bruker RegPoly med grad \( 6\text{,} \) som i videoen Oppgave 1A (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023. Så regner vi ut integralet fra \( 0 \) til \( 11{,}9\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 0), (0.5, 2), (1, 2.6), (2, 3.4), (3, 3.7), (4, 3.9), (5, 3.9), (6, 3.6), (7, 3.1), (8, 2.6), (9, 2), (10, 1.5), (11, 0.8), (11.9, 0)} f(x) = RegPoly(l1, 6) V = π*Integral((f(x))^2, 0, 11.9)
Grafen følger kanten godt, og volumet er \( {V \approx 313\,\text{cm}^3}\text{.} \)
3. Vurder svaret Vi har antatt at pæra er rund om \( x \)-aksen, og punktene er lest av med en nøyaktighet på omtrent en millimeter. Svaret er derfor et overslag, og vi runder av til omtrent \( 310\,\text{cm}^3\text{,} \) eller \( 3{,}1 \) dl. Det passer med en stor pære som er omtrent \( 12\,\text{cm} \) lang og \( 8\,\text{cm} \) bred.

R2 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

6 poeng

En sensor skal slå på utelyset foran ytterdøra til et hus. Lyset blir slått på T(x) T(x) timer etter midnatt. T(x) T(x) er gitt ved
T(x)=4⋅sin⁡(0,0055π⋅x−0,5π)+19 T(x) = 4 \cdot \sin(0{,}0055\pi \cdot x - 0{,}5\pi) + 19
x x er antall dager etter 31. desember 2023 slik at x=1 {x = 1} svarer til 1. januar 2024. Tidspunktet sensoren slår på utelyset, varierer fra kl. 15:00 til kl. 23:00, og det varierer periodisk i løpet av et år. Den 1. april slår lyset seg på kl. 19:00.

Oppgave 3a)

Forklar hvordan de ulike verdiene i modellen T(x) T(x) passer med opplysningene gitt ovenfor.
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Midt mellom 15 og 23 er 19‾‾, \underline{\underline{19}}\text{,} halve forskjellen er amplituden 4‾‾, \underline{\underline{4}}\text{,} perioden 2π0,0055π≈364 dager‾‾ {\dfrac{2\pi}{0{,}0055\pi} \approx \underline{\underline{364 \text{ dager}}}} er omtrent ett år, og −0,5π {-0{,}5\pi} gjør at T(91)≈19‾‾, {\underline{\underline{T(91) \approx 19}}}\text{,} kl. 19:00 rundt 1. april.
Vi sammenligner med den generelle formen \( {\textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{green}{c}x + \varphi) + \textcolor{blue}{d}}\text{,} \) og ser hva hver verdi betyr for tidspunktet.
Metode: For hånd
1. Likevektslinja og amplituden Tidspunktet varierer fra \( 15 \) til \( 23\text{.} \) Midt mellom ligger likevektslinja, og amplituden er avstanden derfra til toppen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d} &= \dfrac{15 + 23}{2} = \textcolor{blue}{19} \\ \textcolor{red}{A} &= \dfrac{23 - 15}{2} = \textcolor{red}{4} \end{aligned} \]Det er tallene \( \textcolor{red}{4} \) og \( \textcolor{blue}{19} \) i modellen.
2. Perioden Perioden er \( \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}}\text{,} \) og her er \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{0{,}0055\pi}}\text{:} \) \[ \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{0{,}0055\pi}} \approx 364 \]Det er omtrent ett år, så tidspunktet gjentar seg hvert år.
3. Forskyvningen \( {-0{,}5\pi} \) bestemmer hvor i året vi starter. Sinus er \( 0\text{,} \) og \( {T = 19}\text{,} \) når det som står inni er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}0055\pi x - 0{,}5\pi &= 0 \\ x &= \dfrac{0{,}5}{0{,}0055} \approx 91 \end{aligned} \]Siden 2024 er et skuddår, er \( {x = 31 + 29 + 31 = 91} \) den 31. mars. Lyset slår seg altså på kl. 19:00 rundt 1. april, som i teksten. Den 1. april, \( {x = 92}\text{,} \) gir \( {T(92) \approx 19{,}08}\text{,} \) omtrent kl. 19:05.

Oppgave 3b)

Når i 2024 vil tidspunktet da lyset slår seg på, flytte seg 3 3 minutter per dag?
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Tidspunktet flytter seg 3 3 minutter per dag omtrent 16. februar‾‾, \underline{\underline{\text{16. februar}}}\text{,} 14. mai‾‾, \underline{\underline{\text{14. mai}}}\text{,} 16. august‾‾ \underline{\underline{\text{16. august}}} og 12. november‾‾. \underline{\underline{\text{12. november}}}\text{.}
Hvor mye tidspunktet flytter seg per dag, er den deriverte \( T'(x)\text{,} \) målt i timer per dag. \( 3 \) minutter er \( 0{,}05 \) timer, så vi løser \( {T'(x) = 0{,}05} \) og \( {T'(x) = -0{,}05}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Deriver modellen Vi bruker kjerneregelen, som i videoen Kjerneregelen. Kjernen har derivert \( 0{,}0055\pi\text{,} \) og sinus derivert er cosinus: \[ \begin{aligned} T'(x) &= 4 \cdot 0{,}0055\pi \cdot \cos(\textcolor{red}{u}) \\ &= 0{,}022\pi\cos(\textcolor{red}{u}) \end{aligned} \]der \( {\textcolor{red}{u = 0{,}0055\pi x - 0{,}5\pi}}\text{.} \)
2. Løs likningene \( {T'(x) = \pm 0{,}05} \) gir: \[ \cos(\textcolor{red}{u}) = \pm\dfrac{0{,}05}{0{,}022\pi} \approx \pm 0{,}7234 \]
Kalkulatoren gir \( {\cos^{-1}(0{,}7234) \approx 0{,}7620}\text{,} \) og cosinus har samme verdi i \( {-0{,}7620}\text{.} \) For \( {-0{,}7234} \) er vinklene \( \pi \mp 0{,}7620\text{.} \) Hvis du er usikker på de to vinklene, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.
I 2024 går \( \textcolor{red}{u} \) fra omtrent \( {-1{,}55} \) til \( 4{,}75\text{,} \) så vi får fire vinkler. Vi løser \( {x = \dfrac{\textcolor{red}{u} + 0{,}5\pi}{0{,}0055\pi}} \) for hver: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} = -0{,}7620&\text{:} \quad x \approx 46{,}8 \\ \textcolor{red}{u} = 0{,}7620&\text{:} \quad x \approx 135{,}0 \\ \textcolor{red}{u} = \pi - 0{,}7620&\text{:} \quad x \approx 228{,}6 \\ \textcolor{red}{u} = \pi + 0{,}7620&\text{:} \quad x \approx 316{,}8 \end{aligned} \]
3. Gjør om til datoer Januar har \( 31 \) dager, februar \( 29\text{,} \) og så videre. \( {x \approx 47} \) er 16. februar, \( {x = 135} \) er 14. mai, \( {x \approx 229} \) er 16. august og \( {x \approx 317} \) er 12. november. I februar og mai kommer lyset \( 3 \) minutter senere for hver dag, i august og november \( 3 \) minutter tidligere.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningene i CAS Vi definerer modellen og den deriverte, og løser \( {T'(x) = \pm 0{,}05} \) med NLøs og fire startverdier:
Skriv inn i GeoGebra: T(x) := 4sin(0.0055π x - 0.5π) + 19 D(x) := Derivert(T(x), x) NLøs(D(x) = 0.05, x = 50) NLøs(D(x) = 0.05, x = 130) NLøs(D(x) = -0.05, x = 230) NLøs(D(x) = -0.05, x = 320)
Radene 3 til 6 gir de samme fire dagene som med kalkulatoren.

Oppgave 3c)

Når endrer dette tidspunktet seg raskest, og hvor stor er endringen da?
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Tidspunktet endrer seg raskest rundt
31. mars og 29. september‾‾ \underline{\underline{\text{31. mars og 29. september}}}
og da endrer det seg med 0,022π≈0,069 {0{,}022\pi \approx 0{,}069} timer, omtrent 4,1 4{,}1 minutter, per dag.
Vi bruker den deriverte fra b), \( {T'(x) = \textcolor{blue}{0{,}022\pi}\cos(\textcolor{red}{u})}\text{,} \) der \( {\textcolor{red}{u = 0{,}0055\pi x - 0{,}5\pi}}\text{.} \)
Endringen er størst når \( |T'(x)| \) er størst, altså når cosinus er \( 1 \) eller \( {-1}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Finn når endringen er størst Cosinus er \( {\pm 1} \) når vinkelen \( \textcolor{red}{u} \) er \( 0 \) eller \( \pi\text{:} \) \[ \textcolor{red}{u} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{0{,}5\pi}{0{,}0055\pi} \approx 90{,}9 \]\[ \textcolor{red}{u} = \pi \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{1{,}5\pi}{0{,}0055\pi} \approx 272{,}7 \]\( {x \approx 91} \) er 31. mars, og \( {x \approx 273} \) er 29. september.
2. Regn ut endringen Da er \( {|T'(x)| = \textcolor{blue}{0{,}022\pi} \approx \textcolor{blue}{0{,}0691}} \) timer per dag. Ganget med \( 60 \) er det omtrent \( 4{,}1 \) minutter per dag. Rundt 31. mars kommer lyset senere for hver dag, og rundt 29. september tidligere.

R2 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

6 poeng

De fem første kubikktallene er 13, 1^3\text{,} 23, 2^3\text{,} 33, 3^3\text{,} 43 4^3 og 53. 5^3\text{.} La Sn S_n være summen av de n n første kubikktallene.

Oppgave 4a)

Beskriv den rekursive sammenhengen mellom Sn S_n og Sn+1. {S_{n+1}}\text{.} Bestem en eksplisitt formel for Sn. S_n\text{.}
Vis løsning på oppgave 4a
Svar
Sn+1=Sn+(n+1)3,S1=1‾‾ \underline{\underline{S_{n+1} = S_n + (n + 1)^3\text{,} \quad S_1 = 1}}
Sn=(n(n+1)2)2‾‾ \underline{\underline{S_n = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2}}
Fra \( S_n \) til \( {S_{n+1}} \) legger vi til ett kubikktall til. For den eksplisitte formelen regner vi ut de første summene og ser etter et mønster.
Metode: For hånd
1. Den rekursive sammenhengen \( {S_{n+1}} \) er summen av de \( {n + 1} \) første kubikktallene, altså \( S_n \) pluss det neste kubikktallet: \[ S_{n+1} = S_n + \textcolor{red}{(n + 1)^3} \quad\text{og}\quad S_1 = 1 \]
2. Regn ut de første summene Vi legger til ett kubikktall om gangen: \[ \begin{aligned} S_1 &= 1 = 1^2 \\ S_2 &= 1 + 8 = 9 = 3^2 \\ S_3 &= 9 + 27 = 36 = 6^2 \\ S_4 &= 36 + 64 = 100 = 10^2 \\ S_5 &= 100 + 125 = 225 = 15^2 \end{aligned} \]Alle summene er kvadrattall.
3. Finn mønsteret Tallene \( 1, 3, 6, 10, 15 \) er summene \( {1 + 2 + \dots + n}\text{,} \) og den summen er: \[ 1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.
Summen av kubikktallene er kvadratet av den: \[ S_n = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2 \]For eksempel er \( {S_5 = \left(\dfrac{5 \cdot 6}{2}\right)^2 = 15^2 = 225}\text{.} \)

Oppgave 4b)

Lag et program som regner ut S50 S_{50} ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a.
Vis løsning på oppgave 4b
Svar
Vi bruker den rekursive sammenhengen fra a), \( {S_{n+1} = S_n + (n + 1)^3}\text{.} \)
Vi starter med summen \( 0\text{,} \) og lar en løkke legge til ett kubikktall om gangen, \( 50 \) ganger.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.
Metode: Med Python
1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 setter summen \( {S = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker som legger sammen, kan du se videoen Summen av de 100 første figurtallene – Python og rekker.
Løkka i linje 2 går for \( {n = 1, 2, \dots, 50}\text{,} \) og linje 3 er den rekursive sammenhengen: den legger \( \textcolor{red}{n^3} \) til summen.
2. Sjekk de første rundene Etter tre runder er \( {S = \textcolor{red}{1} + \textcolor{red}{8} + \textcolor{red}{27} = 36 = S_3}\text{.} \) Programmet skriver ut \( 1\,625\,625\text{.} \) Formelen fra a) gir det samme: \[ \left(\dfrac{50 \cdot 51}{2}\right)^2 = 1275^2 = 1\,625\,625 \]

Oppgave 4c)

Bruk induksjonsbevis til å bevise den eksplisitte formelen for Sn. S_n\text{.}
Vis løsning på oppgave 4c
Svar
Formelen stemmer for n=1, {n = 1}\text{,} og hvis Sk=k2(k+1)24, {S_k = \dfrac{k^2(k + 1)^2}{4}}\text{,} er
Sk+1=k2(k+1)24+(k+1)3=(k+1)2(k+2)24‾‾ \begin{aligned} S_{k+1} &= \dfrac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3 \\ &= \underline{\underline{\dfrac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4}}} \end{aligned}
Ved induksjon gjelder formelen for alle n. n\text{.}
Vi beviser formelen fra a), \( {S_n = \left(\dfrac{n(n + 1)}{2}\right)^2}\text{,} \) og bruker \( {S_{n+1} = S_n + (n + 1)^3}\text{.} \)
Et induksjonsbevis har to steg. Vi viser at formelen stemmer for \( {n = 1}\text{.} \) Så viser vi at hvis den stemmer for \( {n = k}\text{,} \) stemmer den også for \( {n = k + 1}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Sjekk for n = 1 Venstre side er \( {S_1 = 1^3 = 1}\text{,} \) og formelen gir: \[ \left(\dfrac{1 \cdot 2}{2}\right)^2 = 1^2 = 1 \]Formelen stemmer for \( {n = 1}\text{.} \)
2. Anta formelen for n = k Vi antar at: \[ \textcolor{blue}{S_k = \dfrac{k^2(k + 1)^2}{4}} \]Vi skal vise at da er \( {S_{k+1} = \dfrac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4}}\text{.} \)
3. Vis steget til k + 1 Med den rekursive sammenhengen og antakelsen får vi: \[ \begin{aligned} S_{k+1} &= \textcolor{blue}{S_k} + \textcolor{red}{(k + 1)^3} \\ &= \textcolor{blue}{\dfrac{k^2(k + 1)^2}{4}} + \textcolor{red}{\dfrac{4(k + 1)^3}{4}} \end{aligned} \]
Vi setter \( {(k + 1)^2} \) utenfor en parentes: \[ \begin{aligned} S_{k+1} &= \dfrac{(k + 1)^2\left(k^2 + 4(k + 1)\right)}{4} \\ &= \dfrac{(k + 1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4} \\ &= \dfrac{(k + 1)^2(k + 2)^2}{4} \end{aligned} \]der vi brukte første kvadratsetning, \( {k^2 + 4k + 4 = (k + 2)^2}\text{.} \)
Det er formelen med \( {n = k + 1}\text{.} \) Formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og når den stemmer for ett tall, stemmer den for det neste. Da stemmer den for alle \( n\text{.} \)

R2 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

4 poeng

Punktene A(1,2,1) A(1, 2, 1) og B(3,0,−3) {B(3, 0, -3)} ligger på en kuleflate. AB AB er en diameter til kuleflaten. Planet γ \gamma er gitt ved likningen x+2y+2z=14. {x + 2y + 2z = 14}\text{.}

Oppgave 5a)

Finn den minste avstanden fra kuleflaten til planet.
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
Sentrum er M(2,1,−1), {M(2, 1, -1)}\text{,} radien er 6, \sqrt{6}\text{,} og avstanden fra M M til γ \gamma er 4, 4\text{,} så den minste avstanden er
4−6≈1,55‾‾ \underline{\underline{4 - \sqrt{6} \approx 1{,}55}}
Vi finner sentrum og radius i kula. Den minste avstanden fra kuleflaten til planet er avstanden fra sentrum til planet, minus radien.
Metode: For hånd
1. Finn sentrum og radius Sentrum \( \textcolor{blue}{M} \) er midtpunktet på diameteren \( AB\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{M} &= \left(\dfrac{1 + 3}{2}, \dfrac{2 + 0}{2}, \dfrac{1 - 3}{2}\right) \\ &= \textcolor{blue}{(2, 1, -1)} \end{aligned} \]
Radien \( \textcolor{red}{r} \) er halve lengden av \( {\overrightarrow{AB} = [2, -2, -4]}\text{.} \) Lengden finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-4)^2} \\ &= \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \\ \textcolor{red}{r} &= \textcolor{red}{\sqrt{6}} \end{aligned} \]
2. Finn avstanden fra sentrum til planet Avstanden fra et punkt \( (x_0, y_0, z_0) \) til planet \( {ax + by + cz + d = 0} \) er: \[ \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]
Her er planet \( {x + 2y + 2z - 14 = 0}\text{,} \) og punktet er \( {\textcolor{blue}{M(2, 1, -1)}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\dfrac{|\textcolor{blue}{2} + 2 \cdot \textcolor{blue}{1} + 2 \cdot (\textcolor{blue}{-1}) - 14|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} \\ &= \dfrac{|-12|}{3} = 4 \end{aligned} \]
3. Trekk fra radien \( {4 > \sqrt{6} \approx 2{,}45}\text{,} \) så kula skjærer ikke planet. Det nærmeste punktet på kuleflaten ligger på linja fra \( \textcolor{blue}{M} \) rett mot planet, \( \textcolor{red}{r} \) fra sentrum: \[ 4 - \textcolor{red}{\sqrt{6}} \approx 1{,}55 \]

Oppgave 5b)

Et plan α \alpha har samme avstand til kuleflaten og er parallelt med planet γ. \gamma\text{.}
Bestem en likning for planet α. \alpha\text{.}
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
α \alpha ligger på den andre siden av kula, med avstand 4 4 til sentrum:
α: x+2y+2z=−10‾‾ \underline{\underline{\alpha\text{:} \ x + 2y + 2z = -10}}
Vi bruker sentrum \( {M(2, 1, -1)} \) og at avstanden fra \( M \) til \( \gamma \) er \( 4\text{,} \) fra a).
\( \alpha \) har samme avstand til kuleflaten som \( \gamma\text{,} \) så den har også avstanden \( 4 \) til sentrum. Siden \( \alpha \ne \gamma\text{,} \) må \( \alpha \) ligge på den andre siden av kula.
Metode: For hånd
1. Sett opp likningen Parallelle plan har samme normalvektor, så \( \alpha \) har likningen: \[ x + 2y + 2z = \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på likningen til et plan, kan du se videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.
2. Finn d Avstanden fra \( {M(2, 1, -1)} \) skal være \( 4\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{|2 + 2 - 2 - \textcolor{red}{d}|}{3} &= 4 \\ |2 - \textcolor{red}{d}| &= 12 \end{aligned} \]
Det gir \( {\textcolor{red}{d} = -10} \) eller \( {\textcolor{red}{d} = 14}\text{.} \) \( {\textcolor{red}{d} = 14} \) er planet \( \gamma\text{,} \) så \( {\textcolor{red}{d} = -10}\text{.} \)

R2 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

2 poeng

La a1>0 {a_1 > 0} og la S(x) S(x) være summen av en rekke gitt ved
S(x)=∑n=0∞a1⋅(∫0xe−t dt)n S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_1 \cdot \left(\int_0^x e^{-t}\,dt\right)^n
Bestem a1 a_1 slik at den minste mulige summen blir 1. 1\text{.}
Vis løsning på oppgave 6

Svar

S(x)=a1ex {S(x) = a_1 e^x} for x>−ln⁡2, {x > -\ln 2}\text{,} og summen nærmer seg a12 \dfrac{a_1}{2} når x x nærmer seg −ln⁡2, {-\ln 2}\text{,} så
a1=2‾‾ \underline{\underline{a_1 = 2}}
Integralet er et tall for hver \( x\text{,} \) så rekken er en uendelig geometrisk rekke med det tallet som kvotient. Vi finner kvotienten, når rekken konvergerer, og summen som funksjon av \( x\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Finn kvotienten Den antideriverte til \( {e^{-t}} \) er \( {-e^{-t}}\text{,} \) så: \[ \textcolor{red}{k} = \int_0^x e^{-t}\,dt = \left[-e^{-t}\right]_0^x = \textcolor{red}{1 - e^{-x}} \]Hvis du er usikker på integralet, kan du se videoen Integrasjon regler.
Rekken er \( {a_1 + a_1\textcolor{red}{k} + a_1\textcolor{red}{k}^2 + \dots}\text{,} \) en geometrisk rekke med første ledd \( a_1 \) og kvotient \( \textcolor{red}{k}\text{.} \)
2. Finn når rekken konvergerer Rekken konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) som i videoen Geometrisk rekke test. \( {e^{-x} > 0}\text{,} \) så \( {\textcolor{red}{k} < 1} \) alltid. Den andre ulikheten gir: \[ \begin{aligned} 1 - e^{-x} &> -1 \\ e^{-x} &< 2 \\ x &> -\ln 2 \end{aligned} \]
3. Finn summen og den minste verdien Summen av en konvergent geometrisk rekke er \( {\dfrac{a_1}{1 - \textcolor{red}{k}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} S(x) &= \dfrac{a_1}{1 - (\textcolor{red}{1 - e^{-x}})} \\ &= \dfrac{a_1}{e^{-x}} = a_1 e^x \end{aligned} \]
\( a_1 e^x \) vokser med \( x\text{,} \) så summen er minst når \( x \) er nær \( {-\ln 2}\text{.} \) Der nærmer den seg: \[ a_1 e^{-\ln 2} = \dfrac{a_1}{2} \]Grensen nås ikke, siden \( {x = -\ln 2} \) gir \( {k = -1}\text{,} \) men summen kommer så nær \( \dfrac{a_1}{2} \) vi vil. Den minste mulige summen blir \( 1 \) når \( {\dfrac{a_1}{2} = 1}\text{,} \) altså \( {a_1 = 2}\text{.} \)

R2 høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

Regn ut integralet
∫−11(x3+2x) dx \int_{-1}^{1} (x^3 + 2x)\,dx
Hva forteller svaret deg?
Vis løsning på oppgave 1

Svar

∫−11(x3+2x) dx=0‾‾ \underline{\underline{\int_{-1}^{1} (x^3 + 2x)\,dx = 0}}
Arealet mellom grafen og x x -aksen er like stort under aksen, fra −1 {-1} til 0, 0\text{,} som over, fra 0 0 til 1. 1\text{.} Det betyr ikke at arealet er 0. 0\text{.}
Vi finner en antiderivert med potensregelen, og setter inn grensene. Så ser vi på hva integralet betyr for grafen.
1. Finn en antiderivert Regelen for å integrere en potens er: \[ \int a x^{\textcolor{blue}{n}}\,dx = \dfrac{a}{\textcolor{blue}{n} + 1}x^{\textcolor{blue}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.
Ledd for ledd får vi: \[ \int_{-1}^{1} (x^3 + 2x)\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4} + x^2\right]_{-1}^{1} \]
2. Sett inn grensene \[ \begin{aligned} &\left(\dfrac{1^4}{4} + 1^2\right) - \left(\dfrac{(-1)^4}{4} + (-1)^2\right) \\ &= \left(\dfrac{1}{4} + 1\right) - \left(\dfrac{1}{4} + 1\right) = 0 \end{aligned} \]
3. Tolk svaret Integralet regner arealet over \( x \)-aksen som positivt og arealet under som negativt. Hvis du er usikker på integral som areal, kan du se videoen Hva er integrasjon. \( {f(x) = x^3 + 2x} \) er negativ for \( {x < 0} \) og positiv for \( {x > 0}\text{,} \) og \( {f(-x) = -f(x)}\text{,} \) så grafen er symmetrisk om origo. Området under \( x \)-aksen fra \( {-1} \) til \( 0 \) er derfor like stort som området over fra \( 0 \) til \( 1\text{.} \)

R2 høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

Figuren viser grafene til funksjonene f f og g, g\text{,} der f(x)=cos⁡x {f(x) = \cos x} og g(x)=sin⁡x. {g(x) = \sin x}\text{.}
Bestem arealet av det fargelagte området vist på figuren.
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Grafene skjærer hverandre i x=−3π4 {x = -\dfrac{3\pi}{4}} og x=π4, {x = \dfrac{\pi}{4}}\text{,} og arealet er ∫−3π/4π/4(cos⁡x−sin⁡x) dx: {\displaystyle\int_{-3\pi/4}^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\,dx}\text{:}
A=22‾‾ \underline{\underline{A = 2\sqrt{2}}}
Området ligger mellom to skjæringspunkter, med \( f \) over \( g\text{.} \) Vi finner skjæringspunktene, og integrerer \( {f(x) - g(x)} \) mellom dem.
1. Finn skjæringspunktene Grafene skjærer hverandre når \( {\cos x = \sin x}\text{,} \) altså når \( {\tan x = 1}\text{:} \) \[ x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k \]På figuren ligger det ene skjæringspunktet like til høyre for \( y \)-aksen, \( {\textcolor{red}{x = \dfrac{\pi}{4}}}\text{,} \) og det andre en halv runde til venstre, \( {\textcolor{blue}{x = -\dfrac{3\pi}{4}}}\text{.} \)
2. Sett opp integralet Arealet mellom to grafer er integralet av den øverste minus den nederste. Den antideriverte til \( \sin x \) er \( {-\cos x}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler, og til \( \cos x \) er den \( \sin x\text{:} \) \[ \begin{aligned} A &= \int_{\textcolor{blue}{-3\pi/4}}^{\textcolor{red}{\pi/4}} (\cos x - \sin x)\,dx \\ &= \Big[\sin x + \cos x\Big]_{\textcolor{blue}{-3\pi/4}}^{\textcolor{red}{\pi/4}} \end{aligned} \]
3. Sett inn grensene Fra enhetssirkelen er \( {\sin\dfrac{\pi}{4} = \cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) og i \( {-\dfrac{3\pi}{4}} \) er begge \( {-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A &= \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &\quad - \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &= \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \end{aligned} \]

R2 høst 2023 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

Oppgave 3a)

En uendelig geometrisk rekke a1+a2+a3+… {a_1 + a_2 + a_3 + \dots} konvergerer mot 8. 8\text{.}
Bestem summen av de fire første leddene, når du får vite at a1=4. {a_1 = 4}\text{.}
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
k=12, {k = \dfrac{1}{2}}\text{,} så
S4=4+2+1+12=152‾‾ \underline{\underline{S_4 = 4 + 2 + 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{15}{2}}}
Vi finner kvotienten fra summen av den uendelige rekka. Så legger vi sammen de fire første leddene.
1. Finn kvotienten Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Geometrisk rekke test.
Plugger vi inn \( {S = 8} \) og \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{4}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{1 - \textcolor{red}{k}} &= 8 \\ 1 - \textcolor{red}{k} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{k} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]
2. Legg sammen de fire første leddene Hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} S_4 &= 4 + 2 + 1 + \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{15}{2} \end{aligned} \]

Oppgave 3b)

I en aritmetisk rekke er a1+a4+a7=114. {a_1 + a_4 + a_7 = 114}\text{.}
Bestem a4. a_4\text{.}
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
a1+a4+a7=3a4, {a_1 + a_4 + a_7 = 3a_4}\text{,} så
a4=1143=38‾‾ \underline{\underline{a_4 = \dfrac{114}{3} = 38}}
Vi skriver alle tre leddene med \( a_1 \) og differansen \( d\text{,} \) og ser at summen er tre ganger \( a_4\text{.} \)
1. Skriv leddene med a₁ og d Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.
Da er \( {\textcolor{blue}{a_4 = a_1 + 3\textcolor{red}{d}}} \) og \( {a_7 = a_1 + 6\textcolor{red}{d}}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} a_1 + a_4 + a_7 &= 3a_1 + 9\textcolor{red}{d} \\ &= 3(\textcolor{blue}{a_1 + 3\textcolor{red}{d}}) = 3\textcolor{blue}{a_4} \end{aligned} \]
2. Løs for a₄ \[ \begin{aligned} 3\textcolor{blue}{a_4} &= 114 \\ \textcolor{blue}{a_4} &= 38 \end{aligned} \]