Eksamensoppgaver etter tema

Ballen forlater taket ved \( {t = 0}\text{,} \) og høyden er \( z \)-koordinaten. Vi setter inn \( {t = 0} \) og \( {t = 0{,}5}\text{.} \)

1. Finn høyden til takkanten Ved \( {t = 0} \) er ballen på kanten av taket. Høyden er \( z \)-koordinaten, \( {\textcolor{green}{z(t) = 6 - 0{,}7t - 4{,}9t^2}}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{z(0)} = 6 - 0{,}7 \cdot 0 - 4{,}9 \cdot 0^2 = 6 \]

2. Finn posisjonen etter et halvt sekund Vi setter inn \( {t = 0{,}5} \) i hver koordinat: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x(0{,}5)} &= 2 \cdot 0{,}5 = 1 \\ \textcolor{red}{y(0{,}5)} &= 4 \cdot 0{,}5 = 2 \\ \textcolor{green}{z(0{,}5)} &= 6 - 0{,}35 - 1{,}225 = 4{,}425 \end{aligned} \]

Ballen treffer bakken når \( {z = 0}\text{.} \) Farten er lengden av fartsvektoren, som er den deriverte av posisjonsvektoren.

1. Finn når ballen treffer bakken Vi setter \( z \)-koordinaten lik \( 0 \) og ganger med \( {-1}\text{:} \) \[ 4{,}9t^2 + 0{,}7t - 6 = 0 \]

abc-formelen forteller oss at: \[ t = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {a = 4{,}9}\text{,} \) \( {b = 0{,}7} \) og \( {c = -6}\text{.} \) Tiden er positiv, så vi tar \( {+}\text{:} \) \[ \begin{aligned} t &= \dfrac{-0{,}7 + \sqrt{0{,}49 + 117{,}6}}{9{,}8} \\ &= \dfrac{-0{,}7 + \sqrt{118{,}09}}{9{,}8} \approx 1{,}0374 \end{aligned} \]

2. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Vi deriverer hver koordinat for seg: \[ \vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{2},\ \textcolor{red}{4},\ \textcolor{green}{-0{,}7 - 9{,}8t}] \]

3. Regn ut farten Med \( {t \approx 1{,}0374} \) er \( z \)-koordinaten: \[ \textcolor{green}{-0{,}7 - 9{,}8 \cdot 1{,}0374 \approx -10{,}867} \]

Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}| &\approx \sqrt{\textcolor{blue}{2}^2 + \textcolor{red}{4}^2 + (\textcolor{green}{-10{,}867})^2} \\ &\approx 11{,}75 \end{aligned} \]Ballen treffer bakken med en fart på omtrent \( 11{,}75\,\text{m/s}\text{.} \)

1. Regn ut farten i CAS Vi definerer posisjonen, deriverer den, finner når \( {z = 0} \) og regner ut lengden av fartsvektoren da. Rad 3 og 4 regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (2t, 4t, 6 - 0.7t - 4.9t^2) v(t) := Derivert(r(t), t) Løs(6 - 0.7t - 4.9t^2 = 0, t) Lengde(v(1.0374))

Rad 3 viser at ballen treffer bakken ved \( {t \approx 1{,}0374}\text{,} \) siden tiden er positiv. Rad 4 gir farten \( {|\vec{v}| \approx 11{,}7508\,\text{m/s}}\text{.} \)

Vi bruker fartsvektoren fra b), \( {\vec{v}(t) = [2,\ 4,\ -0{,}7 - 9{,}8t]}\text{.} \)

Vi setter lengden av fartsvektoren lik \( 10\text{,} \) og løser for \( t\text{.} \) Det er enklest å kvadrere begge sider først.

1. Sett opp likningen Farten er lengden av fartsvektoren, som i videoen Lengden til en Vektor. Den er \( 10 \) når kvadratet av lengden er \( 100\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2}^2 + \textcolor{red}{4}^2 + (\textcolor{green}{-0{,}7 - 9{,}8t})^2 &= 100 \\ (0{,}7 + 9{,}8t)^2 &= 80 \end{aligned} \]

2. Løs for t \( {t \ge 0}\text{,} \) så \( {0{,}7 + 9{,}8t} \) er positiv, og vi tar den positive roten: \[ \begin{aligned} 0{,}7 + 9{,}8t &= \sqrt{80} \\ t &= \dfrac{\sqrt{80} - 0{,}7}{9{,}8} \approx 0{,}8413 \end{aligned} \]Det er før ballen treffer bakken ved \( {t \approx 1{,}04} \) fra b), så svaret gjelder.

1. Løs likningen i CAS Vi fortsetter i CAS fra b), der \( v(t) \) er definert, og løser \( {|\vec{v}(t)| = 10} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(Lengde(v(t)) = 10, t)

Tiden er positiv, så farten er \( 10\,\text{m/s} \) ved \( {t \approx 0{,}8413\,\text{s}}\text{.} \)

For å sette opp likningen til et plan trenger vi en normalvektor. Vi ser hva som skjer når de tre punktene ligger på én linje.

1. Se på hvordan likningen finnes Gjennom tre punkter \( A\text{,} \) \( B \) og \( C \) finner vi en normalvektor som vektorproduktet: \[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \]Så setter vi inn i likningen for planet, som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

2. Finn et moteksempel Ta punktene \( A(0, 0, 0)\text{,} \) \( B(1, 0, 0) \) og \( C(2, 0, 0)\text{,} \) som alle ligger på \( x \)-aksen. Da er \( {\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{blue}{[1, 0, 0]}} \) og \( {\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = \textcolor{red}{[2, 0, 0]} = 2\textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}}}\text{.} \) Vektorene er parallelle, så: \[ \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} = [0, 0, 0] \]

Nullvektoren kan ikke være normalvektor. Alle plan som inneholder \( x \)-aksen, går gjennom de tre punktene, for eksempel \( xy \)-planet \( {z = 0} \) og \( xz \)-planet \( {y = 0}\text{.} \) Tre punkter bestemmer bare ett plan når de ikke ligger på samme linje, så påstanden er usann.

Vi finner kvotienten for \( {x = \dfrac{1}{e}}\text{,} \) og ser om rekken konvergerer før vi bruker sumformelen.

1. Finn kvotienten Hvert ledd er det forrige ganget med \( {\textcolor{red}{k = \ln x - 1}}\text{.} \) Med \( {x = \dfrac{1}{e}} \) er \( {\ln \dfrac{1}{e} = -1}\text{,} \) så: \[ \textcolor{red}{k} = -1 - 1 = \textcolor{red}{-2} \]

2. Sjekk om rekken konvergerer En uendelig geometrisk rekke konvergerer bare når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

Med \( {\textcolor{red}{k = -2}} \) er rekken \( {1 - 2 + 4 - 8 + \dots}\text{,} \) og leddene blir større og større. Rekken divergerer, så den har ingen sum.

Sumformelen ville gitt \( {\dfrac{1}{1 - (-2)} = \dfrac{1}{3}}\text{,} \) men formelen gjelder ikke når rekken divergerer. Påstanden er derfor usann.

Vi ser på differansen \( {f(x) - g(x)}\text{.} \) Den finner skjæringspunktene, og arealet mellom grafene er integralet av den.

1. Finn skjæringspunktene Vi trekker \( g \) fra \( f\text{,} \) og \( {-x^2} \) forsvinner: \[ \begin{aligned} h(x) &= f(x) - g(x) \\ &= x^3 - (a + 1)x \\ &= x\left(x^2 - (a + 1)\right) \end{aligned} \]

Når \( {a > -1} \) er \( {a + 1 > 0}\text{,} \) og grafene skjærer hverandre i tre punkter: \[ x = 0 \quad \vee \quad x = \pm\sqrt{a + 1} \]Mellom dem avgrenser grafene to områder.

2. Regn ut de to arealene Arealet mellom grafene er integralet av differansen. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. Vi kaller \( {s = \sqrt{a + 1}}\text{,} \) så \( {s^2 = a + 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_0^{\textcolor{red}{s}} h(x)\,dx &= \left[\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{s^2 x^2}{2}\right]_0^{\textcolor{red}{s}} \\ &= \dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2} = -\dfrac{s^4}{4} \end{aligned} \]

På samme måte er: \[ \int_{\textcolor{blue}{-s}}^0 h(x)\,dx = 0 - \left(\dfrac{s^4}{4} - \dfrac{s^4}{2}\right) = \dfrac{s^4}{4} \]Det ene området har \( f \) over \( g\text{,} \) det andre \( g \) over \( f\text{,} \) og begge har arealet \( {\dfrac{s^4}{4} = \dfrac{(a + 1)^2}{4}}\text{.} \)

Det kunne vi også sett av at \( {h(-x) = -h(x)}\text{:} \) grafen til \( h \) er symmetrisk om origo. Påstanden er sann.

Gjennomsnittsfarten fra \( 0 \) til \( x \) er strekningen delt på tiden, og strekningen er integralet av farten. Vi setter gjennomsnittet lik \( 54 \) og løser for \( x\text{.} \)

1. Regn ut strekningen Strekningen fra \( 0 \) til \( x \) er integralet av farten. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. For sinus med en kjerne \( {\textcolor{blue}{n}t + b} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &\int \sin(\textcolor{blue}{n}t + b)\,dt \\ &= -\dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}\cos(\textcolor{blue}{n}t + b) + C \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{360}}\text{,} \) så \( {-6 \cdot \left(-\dfrac{1}{\textcolor{blue}{360}}\right) = \dfrac{1}{60}}\text{.} \) Vi bruker også at \( {\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} s(x) &= \left[\dfrac{1}{60}\cos\left(360t - \dfrac{\pi}{2}\right) + 54t\right]_0^x \\ &= \dfrac{1}{60}\cos\left(\textcolor{red}{360x - \dfrac{\pi}{2}}\right) + 54x \end{aligned} \]

2. Sett gjennomsnittet lik 54 Gjennomsnittsfarten er strekningen delt på tiden \( x\text{:} \) \[ \dfrac{s(x)}{x} = \dfrac{1}{60x}\cos\left(\textcolor{red}{360x - \dfrac{\pi}{2}}\right) + 54 \]Den er \( 54 \) når brøken er \( 0\text{,} \) altså når \( {\cos\left(\textcolor{red}{360x - \dfrac{\pi}{2}}\right) = 0}\text{.} \)

3. Finn det første tidspunktet Cosinus er \( 0 \) i \( {\pm\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) og så for hver \( \pi\text{.} \) \( {x = 0} \) gir \( {-\dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) så den første \( {x > 0} \) gir \( \dfrac{\pi}{2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{360x - \dfrac{\pi}{2}} &= \dfrac{\pi}{2} \\ x &= \dfrac{\pi}{360} \approx 0{,}008\,73 \end{aligned} \]Kalkulatoren må stå i radianer, fordi \( 360t \) er en vinkel i radianer. Det er \( {0{,}008\,73 \cdot 3600 \approx 31{,}4} \) sekunder.

1. Løs likningen i CAS Vi definerer farten og løser likningen for gjennomsnittsfarten med NLøs og en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: v(t) := -6sin(360t - π/2) + 54 NLøs(1/x Integral(v(t), t, 0, x) = 54, x = 0.01)

Rad 2 gir \( {x \approx 0{,}0087} \) timer, som er omtrent \( 31 \) sekunder.

Akselerasjonen er den deriverte av farten. Den deriverte blir en cosinusfunksjon, og den er størst når cosinus er \( {-1}\text{.} \)

1. Deriver farten Vi bruker kjerneregelen med kjernen \( {360t - \dfrac{\pi}{2}}\text{,} \) som har derivert \( 360\text{.} \) Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen. Sinus derivert er cosinus: \[ \begin{aligned} a(t) &= v'(t) \\ &= -6\cos\left(360t - \dfrac{\pi}{2}\right) \cdot 360 \\ &= -2160\cos\left(\textcolor{red}{360t - \dfrac{\pi}{2}}\right) \end{aligned} \]

2. Finn når akselerasjonen er størst Cosinus er minst \( {-1}\text{,} \) så den største verdien er \( {-2160 \cdot (-1) = 2160}\text{.} \) Cosinus er \( {-1} \) i \( \pi\text{,} \) og så for hver hele runde: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{360t - \dfrac{\pi}{2}} &= \pi + 2\pi k \\ t &= \dfrac{\pi}{240} + \dfrac{\pi}{180}k \end{aligned} \]der \( {k = 0, 1, 2, \dots}\text{,} \) siden \( {t \ge 0}\text{.} \)

Den første gangen er \( {t = \dfrac{\pi}{240} \approx 0{,}0131} \) timer, eller omtrent \( 47 \) sekunder. Så kommer den igjen etter hver periode på \( {\dfrac{\pi}{180} \approx 0{,}0175} \) timer, omtrent \( 63 \) sekunder.

Vi bruker strekningen fra a): \[ s(x) = \dfrac{1}{60}\cos\left(360x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 54x \]

Vi setter strekningen lik \( 2 \) km og løser for tiden. Likningen blander cosinus og \( x\text{,} \) så vi løser den med GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse denne likningen. Øv heller på å sette opp strekningen som integralet av farten, og på et overslag: farten svinger rundt \( 54\,\text{km/t}\text{,} \) så tiden er omtrent \( {\dfrac{2}{54}\,\text{h} \approx 2{,}2} \) minutter.

1. Løs likningen i CAS Farten er alltid mellom \( 48 \) og \( 60\,\text{km/t}\text{,} \) så bilen kjører hele tiden framover, og strekningen er integralet av farten, som i videoen Hva er integrasjon. Vi skal finne tiden \( x \) der: \[ \textcolor{red}{S(x)} = \int_0^x v(t)\,dt = \textcolor{blue}{2} \]

Vi fortsetter i CAS fra a), definerer strekningen og løser \( {\textcolor{red}{S(x)} = \textcolor{blue}{2}} \) med en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: S(x) := Integral(v(t), t, 0, x) NLøs(S(x) = 2, x = 0.04)

Rad 3 gir \( {\dfrac{1}{60}\sin(360x) + 54x}\text{,} \) det samme som \( s(x) \) fra a), og rad 4 gir \( {x \approx 0{,}0368} \) timer. Det er \( {0{,}036\,84 \cdot 60 \approx 2{,}21} \) minutter, eller omtrent \( 2 \) minutter og \( 13 \) sekunder.

Vi ser på differansen mellom to ledd som kommer etter hverandre. Den viser hvordan vi kommer fra ett ledd til det neste.

1. Se på differansene Vi trekker hvert ledd fra det neste: \[ \begin{aligned} 2 - 1 &= 1 = \textcolor{red}{1^2} \\ 6 - 2 &= 4 = \textcolor{red}{2^2} \\ 15 - 6 &= 9 = \textcolor{red}{3^2} \\ 31 - 15 &= 16 = \textcolor{red}{4^2} \\ 56 - 31 &= 25 = \textcolor{red}{5^2} \end{aligned} \]Differansene er kvadrattallene.

2. Skriv opp formelen Fra ledd nummer \( n \) til ledd nummer \( {n + 1} \) legger vi til \( \textcolor{red}{n^2}\text{.} \) Med det første leddet \( {a_1 = 1} \) blir den rekursive formelen: \[ a_{n+1} = a_n + \textcolor{red}{n^2} \]For eksempel er \( {a_3 = a_2 + 2^2 = 2 + 4 = 6}\text{.} \)

Vi bruker den rekursive formelen fra a), \( {a_1 = 1} \) og \( {a_{n+1} = a_n + n^2}\text{.} \)

Vi lar en løkke gå \( 30 \) ganger. Hver gang legger vi leddet til summen, og regner så ut neste ledd med formelen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å regne ut de første rundene for hånd.

1. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 1 og 2 setter det første leddet \( {a = 1} \) og summen \( {S = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på løkker, kan du se videoen Oppgave 7B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

Løkka i linje 3 går for \( {n = 1, 2, \dots, 30}\text{.} \) Linje 4 legger ledd nummer \( n \) til summen, og linje 5 regner ut neste ledd med formelen fra a), \( {a_{n+1} = a_n + n^2}\text{.} \)

2. Sjekk de første rundene I de tre første rundene legges \( 1\text{,} \) \( 2 \) og \( 6 \) til summen, så \( {S = 9}\text{,} \) og \( a \) blir \( 15\text{,} \) det fjerde leddet. Programmet skriver ut \( 67\,455\text{,} \) som er summen av de \( 30 \) første leddene.

Vi finner en antiderivert ledd for ledd med potensregelen, og setter inn grensene.

1. Finn en antiderivert Potensregelen for integrasjon forteller oss at: \[ \int a x^{\textcolor{blue}{n}}\,dx = \dfrac{a}{\textcolor{blue}{n} + 1}x^{\textcolor{blue}{n} + 1} + C \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Vi bruker den på hvert ledd: \[ F(x) = -\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{3x^2}{2} \]

2. Sett inn grensene Det bestemte integralet er \( {F(0) - F(-1)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \int_{-1}^{0} f(x)\,dx &= 0 - \left(-\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}\right) \\ &= -\dfrac{5}{4} \end{aligned} \]

Vi bruker integralet fra a), \( {\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\,dx = -\dfrac{5}{4}}\text{.} \)

Vi ser hvor grafen ligger under og over \( x \)-aksen. Der den ligger under, er integralet negativt, så vi tar arealet av hver del for seg.

1. Finn fortegnet til f Vi faktoriserer: \[ f(x) = x(3 - x^2) \]

For \( x \) mellom \( 0 \) og \( 1 \) er begge faktorene positive, så grafen ligger over \( x \)-aksen. For \( x \) mellom \( {-1} \) og \( 0 \) er \( x \) negativ, så grafen ligger under. Hvis du er usikker på arealet som integral, kan du se videoen Hva er integrasjon.

2. Regn ut de to delene Fra a) er integralet fra \( {-1} \) til \( 0 \) lik \( {-\dfrac{5}{4}}\text{,} \) så \( \textcolor{blue}{\text{arealet under}} \) aksen er \( \textcolor{blue}{\dfrac{5}{4}}\text{.} \) Fra \( 0 \) til \( 1 \) får vi: \[ \begin{aligned} \int_0^1 f(x)\,dx &= -\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2} - 0 = \textcolor{red}{\dfrac{5}{4}} \end{aligned} \]Det er \( \textcolor{red}{\text{arealet over}} \) aksen.

Det samlede arealet er: \[ \textcolor{blue}{\dfrac{5}{4}} + \textcolor{red}{\dfrac{5}{4}} = \dfrac{5}{2} \]

Vi ser hva som legges til \( S \) i hver runde, og når løkka stopper.

1. Se hva som legges til Linje 4 er en while-løkke: den går så lenge \( {S \le 200}\text{.} \) Hvis du er usikker på while-løkker, kan du se videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

I hver runde øker linje 5 \( n \) med \( 1\text{,} \) og linje 6 legger til \( {\textcolor{blue}{4n - 2}}\text{.} \) For \( {n = 1, 2, 3, \dots} \) er det: \[ \textcolor{blue}{2} + \textcolor{blue}{6} + \textcolor{blue}{10} + \textcolor{blue}{14} + \dots \]

Det er en aritmetisk rekke med \( {a_1 = 2} \) og differanse \( {d = 4}\text{,} \) og \( S \) er summen av de \( n \) første leddene.

2. Se når programmet stopper Løkka stopper første gang summen er større enn \( 200\text{,} \) og linje 8 skriver ut \( n\text{.} \)

Vi bruker rekken fra a), med \( {a_1 = 2} \) og \( {d = 4}\text{.} \)

Vi finner en formel for summen av de \( n \) første leddene, og ser når den blir større enn \( 200\text{.} \)

1. Finn summen av n ledd Summen av de \( n \) første leddene i en aritmetisk rekke er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + \textcolor{red}{a_n})}{2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{a_n} = \textcolor{red}{4n - 2}}\text{:} \) \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{4n - 2})}{2} = 2n^2 \]

2. Finn når summen passerer 200 Med \( {n = 10} \) er \( {S = 2 \cdot 10^2 = 200}\text{.} \) Det er ikke større enn \( 200\text{,} \) så løkka går én runde til. Med \( {n = 11} \) er \( {S = 2 \cdot 11^2 = 242}\text{,} \) og løkka stopper.

Arealet av en trekant er halvparten av lengden til vektorproduktet av to av sidene.

1. Finn vektorproduktet Arealet av trekanten \( ABC \) er: \[ \text{Areal} = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \]

Vi trekker koordinatene fra hverandre: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{3, 0, 1}] \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{red}{1, -1, -1}] \end{aligned} \]

Vektorproduktet av \( [\textcolor{blue}{a_1, a_2, a_3}] \) og \( [\textcolor{red}{b_1, b_2, b_3}] \) har koordinatene: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2} \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3} \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{0} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 1 \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 4 \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{0} \cdot \textcolor{red}{1} = -3 \end{aligned} \]Altså er \( {\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [1, 4, -3]}\text{.} \)

2. Regn ut arealet Lengden finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \left|[1, 4, -3]\right| = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26} \]Arealet er halvparten av dette, \( \dfrac{\sqrt{26}}{2}\text{.} \)

Vi bruker arealet fra a), \( \dfrac{\sqrt{26}}{2}\text{.} \)

Avstanden fra \( C \) til linja er høyden i trekanten når \( AB \) er grunnlinja. Vi bruker arealformelen baklengs.

1. Bruk arealet Arealet av en trekant er grunnlinja ganger høyden, delt på \( 2\text{:} \) \[ \text{Areal} = \dfrac{\textcolor{blue}{|AB|} \cdot \textcolor{red}{h}}{2} \]

Grunnlinja er: \[ \textcolor{blue}{|AB|} = \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2} = \textcolor{blue}{\sqrt{10}} \]

Med arealet fra a) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{\sqrt{10}} \cdot \textcolor{red}{h}}{2} &= \dfrac{\sqrt{26}}{2} \\ \textcolor{red}{h} &= \dfrac{\sqrt{26}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\dfrac{13}{5}} = \dfrac{\sqrt{65}}{5} \end{aligned} \]Det er omtrent \( 1{,}61\text{.} \)

Vi bruker vektorproduktet fra a), \( {[1, 4, -3]}\text{.} \)

En linje som står vinkelrett på et plan, har en normalvektor til planet som retningsvektor. Vektorproduktet fra a) står vinkelrett på både \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så det er en normalvektor til \( \alpha\text{.} \)

1. Sett opp parameterframstillingen En linje gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med retningsvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) har parameterframstillingen: \[ \ell\text{:} \ \begin{cases} x = x_0 + \textcolor{blue}{a}t \\ y = y_0 + \textcolor{red}{b}t \\ z = z_0 + \textcolor{green}{c}t \end{cases} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Plugger vi inn \( {P(-2, 1, 4)} \) og \( {[\textcolor{blue}{1}, \textcolor{red}{4}, \textcolor{green}{-3}]}\text{,} \) får vi svaret.

Vi bruker normalvektoren \( {\vec{n} = [1, 4, -3]} \) fra c).

\( D \) ligger på \( z \)-aksen, så \( {D = (0, 0, d)}\text{.} \) Linja \( m \) er parallell med planet, så \( \overrightarrow{PD} \) står vinkelrett på normalvektoren. Da er skalarproduktet \( 0\text{.} \)

1. Sett opp vektoren PD Med \( {D = (0, 0, d)} \) og \( {P(-2, 1, 4)} \) er: \[ \overrightarrow{PD} = [\textcolor{blue}{2},\ \textcolor{red}{-1},\ \textcolor{green}{d - 4}] \]

2. Sett skalarproduktet lik 0 To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{2} \cdot 1 + (\textcolor{red}{-1}) \cdot 4 & \\ + (\textcolor{green}{d - 4}) \cdot (-3) &= 0 \\ 10 - 3d &= 0 \\ d &= \dfrac{10}{3} \end{aligned} \]