Eksamensoppgaver etter tema

Tallene vokser sakte, så raskt, og så saktere igjen. Det er formen til en logistisk modell, som også flater ut i årene etterpå. Vi lar \( x \) være antall år etter 2008 og bruker logistisk regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på å se av tallene hvilken type modell som passer, og på å bruke en gitt logistisk modell med kalkulator.

1. Velg modell Økningen er \( 68\text{,} \) \( 176\text{,} \) \( 210\text{,} \) \( 126 \) og \( 73 \) millioner kroner for hvert andre år. Den blir først større og så mindre, så veksten bremser opp. Da passer en logistisk modell, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den vokser på samme måte, og flater ut mot en øvre grense. Det passer også for årene etterpå: hvor mye folk bruker på strømming, kan ikke vokse uten grense.

2. Legg punktene inn i GeoGebra Med \( x \) år etter 2008 blir årene \( 0\text{,} \) \( 2\text{,} \) \( 4\text{,} \) \( 6\text{,} \) \( 8 \) og \( 10\text{.} \) Vi skriver dem i kolonne A og beløpene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

3. Kjør logistisk regresjon Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{c}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{b} \) i \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{c}}{1 + \textcolor{blue}{a}e^{-\textcolor{green}{b}x}} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegLogist(l1)

Grafen går nær alle punktene, og flater ut mot \( {\textcolor{red}{c} \approx \textcolor{red}{660}} \) millioner kroner per år.

Vi bruker modellen fra a): \[ F(x) = \dfrac{\textcolor{red}{660{,}36}}{1 + \textcolor{blue}{30{,}72}e^{-\textcolor{green}{0{,}7066}x}} \]

Vi henter modellen inn i CAS og skriver de fire formlene som de står. CAS gir et tall for hver.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC har du ikke modellen fra a). Øv heller på å forstå hva et integral, en gjennomsnittsverdi, en sum og en differansekvotient betyr, som i c).

1. Regn ut formlene i CAS Rad 1 henter modellen fra lista \( l_1\text{.} \) Så skriver vi integralene med Integral, summen med Sum og differansekvotienten. Hvis du er usikker på hva integralet er, kan du se videoen Hva er integrasjon:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) := RegLogist(l1) ≈ Integral(F(x), -0.5, 10.5) ≈ 1/5 Integral(F(x), 2.5, 7.5) ≈ Sum(F(i), i, 0, 10) ≈ (F(5.001) - F(5))/0.001

\( I \) og \( S \) er nesten like. Det er ingen tilfeldighet, og c) forklarer hvorfor.

Fra b) er \( {I \approx 3729}\text{,} \) \( {G \approx 344}\text{,} \) \( {S \approx 3729} \) og \( {D \approx 116}\text{.} \) Modellen \( F(x) \) fra a) gir millioner kroner per år, \( x \) år etter 2008.

Vi ser hvilke år hver formel dekker. Året \( {2008 + i} \) svarer til intervallet fra \( {x = i - 0{,}5} \) til \( {x = i + 0{,}5}\text{.} \)

1. Tolk integralene Integralet av en vekstfart er det som samles opp, her millioner kroner. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Hva er integrasjon. Fra \( {x = -0{,}5} \) til \( {x = 10{,}5} \) dekker \( \textcolor{blue}{I} \) årene 2008 til 2018: \[ \textcolor{blue}{I} \approx \textcolor{blue}{3729} \text{ millioner kroner totalt} \]

\( \textcolor{red}{G} \) er integralet fra \( 2{,}5 \) til \( 7{,}5\text{,} \) altså årene 2011 til 2015, delt på de \( 5 \) årene. Det er gjennomsnittet per år.

2. Tolk summen og differansekvotienten \( \textcolor{green}{S} \) legger sammen beløpet for hvert av de \( 11 \) årene 2008 til 2018. Det er nesten det samme som \( \textcolor{blue}{I}\text{,} \) fordi hvert år er en stripe med bredde \( 1 \) under grafen.

\( \textcolor{darkorange}{D} \) er stigningstallet mellom \( {x = 5} \) og \( {x = 5{,}001}\text{,} \) nesten den deriverte \( F'(5)\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. Det er hvor fort beløpet økte i 2013.

Volumet er \( \pi \) ganger integralet av \( f(x)^2\text{.} \) Vi skriver om \( f(x)^2 \) med \( {\cos^2 x = 1 - \sin^2 x} \) til ledd vi kan integrere.

1. Sett opp volumet Volumet av et omdreiningslegeme om \( x \)-aksen er: \[ V = \pi \int_a^b f(x)^2\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Omdreiningslegeme x-akse.

2. Skriv om f(x)² Vi kvadrerer telleren og bytter \( \cos^2 x \) med \( {1 - \sin^2 x}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(x)^2 &= \dfrac{4 - 4\cos x + \cos^2 x}{\sin^2 x} \\ &= \dfrac{5 - 4\cos x - \sin^2 x}{\sin^2 x} \\ &= \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{\sin^2 x} - \dfrac{\textcolor{red}{4\cos x}}{\sin^2 x} - 1 \end{aligned} \]

3. Integrer ledd for ledd Siden \( {\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}} \) med kvotientregelen, er \( {\displaystyle\int \dfrac{\textcolor{blue}{5}}{\sin^2 x}\,dx = -\textcolor{blue}{5}\dfrac{\cos x}{\sin x}}\text{.} \)

I det midterste leddet setter vi \( {u = \sin x}\text{,} \) så \( {du = \cos x\,dx}\text{,} \) som i videoen Substitusjon: \[ \int \dfrac{\textcolor{red}{4\cos x}}{\sin^2 x}\,dx = \int \dfrac{4}{u^2}\,du = -\dfrac{4}{\sin x} \]

Til sammen: \[ V = \pi\left[-\dfrac{\textcolor{blue}{5}\cos x}{\sin x} + \dfrac{\textcolor{red}{4}}{\sin x} - x\right]_{\pi/4}^{3\pi/4} \]

4. Sett inn grensene Med \( {\sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) \( {\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \) og \( {\dfrac{4}{\sqrt{2}/2} = 4\sqrt{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{øvre: } & 5 + 4\sqrt{2} - \dfrac{3\pi}{4} \\ \text{nedre: } & -5 + 4\sqrt{2} - \dfrac{\pi}{4} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} V &= \pi\left(10 - \dfrac{\pi}{2}\right) \\ &= 10\pi - \dfrac{\pi^2}{2} \approx 26{,}48 \end{aligned} \]

1. Regn ut volumet i CAS Vi skriver \( f \) og integralet, først eksakt og så med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := (2 - cos(x))/sin(x) π*Integral(f(x)^2, π/4, 3π/4) ≈ π*Integral(f(x)^2, π/4, 3π/4)

Rad 2 gir det samme eksakte svaret som for hånd.

Fra a) er volumet av legemet omtrent \( 26{,}48\text{,} \) og legemet er \( {\dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}571} \) langt.

Volumet \( {26{,}48 < 45} \) er ikke nok: legemet må også passe i formen. Kjeglen blir smalere oppover, så vi ser om kjeglen er bred nok også der legemet slutter.

1. Finn høyden i kjeglen Volumet av en kjegle er \( \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\text{,} \) som i videoen Koblede hastigheter. Med \( {r = 4} \) og volum \( 45\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot h &= 45 \\ h &= \dfrac{135}{16\pi} \approx 2{,}686 \end{aligned} \]

2. Plasser den brede enden nederst Radiene i endene er \( {f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)} \) og \( {f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}\text{.} \) Vi ganger teller og nevner med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)} &= \dfrac{4 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= \textcolor{red}{2\sqrt{2} + 1} \approx \textcolor{red}{3{,}83} \\ \textcolor{blue}{f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)} &= \dfrac{4 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= \textcolor{blue}{2\sqrt{2} - 1} \approx \textcolor{blue}{1{,}83} \end{aligned} \]

Det er best å la den brede enden stå på grunnflaten, der kjeglen er bredest. Da står den smale enden \( 1{,}571 \) over grunnflaten.

3. Sjekk den smale enden Radien i kjeglen avtar jevnt fra \( 4 \) ved grunnflaten til \( 0 \) i toppen. I høyden \( 1{,}571 \) er den: \[ 4\left(1 - \dfrac{1{,}571}{2{,}686}\right) \approx 1{,}66 \]

Den smale enden har radius \( \textcolor{blue}{1{,}83}\text{,} \) som er større enn \( 1{,}66\text{.} \) Legemet går altså ut gjennom kjegleveggen øverst. Snur vi legemet, står den brede enden der, og det blir enda verre.