Eksamensoppgaver etter tema

En vinkel i radianer er buelengden delt på radien. Så gjør vi om til grader med at \( \pi \) radianer er \( 180^\circ\text{.} \)

1. Regn ut vinkelen i radianer En vinkel i radianer er: \[ v = \dfrac{\textcolor{blue}{\text{buelengde}}}{\textcolor{red}{\text{radius}}} \]

Her er buelengden \( \textcolor{blue}{4} \) og radien \( \textcolor{red}{3}\text{:} \) \[ v = \dfrac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{3}} \]

2. Gjør om til grader En halv sirkel er \( \pi \) radianer og \( 180^\circ\text{,} \) så vi ganger med \( \dfrac{180^\circ}{\pi}\text{:} \) \[ v = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = \dfrac{240^\circ}{\pi} \]Med \( {\pi \approx 3{,}14} \) er dette omtrent \( 76^\circ\text{,} \) siden \( {3{,}14 \cdot 76 \approx 239}\text{.} \)

Vi ser at \( u \) er en spiss vinkel. Vi tegner derfor en rettvinklet trekant der \( {\tan u = 2}\text{,} \) finner hypotenusen med Pythagoras og leser av \( \sin u \) og \( \cos u\text{.} \)

1. Lag en trekant I en rettvinklet trekant er \( \tan u \) den motstående kateten delt på den hosliggende, som i videoen Introduksjon til Trigonometri. \( {\tan u = \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{1}}}\text{,} \) så vi kan velge den motstående kateten \( \textcolor{red}{2} \) og den hosliggende \( \textcolor{blue}{1}\text{.} \)

Hypotenusen finner vi med Pythagoras: \[ h = \sqrt{\textcolor{red}{2}^2 + \textcolor{blue}{1}^2} = \sqrt{5} \]

2. Les av sinus og cosinus Sinus er den motstående kateten delt på hypotenusen, og cosinus er den hosliggende delt på hypotenusen: \[ \begin{aligned} \sin u &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \\ \cos u &= \dfrac{\textcolor{blue}{1}}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5} \end{aligned} \]Begge er positive, fordi \( u \) ligger i første kvadrant.

Kontroll: \( {\sin^2 u + \cos^2 u = \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5} = 1}\text{,} \) og \( {\dfrac{\sin u}{\cos u} = 2}\text{.} \)

Bakkenivået er \( xy \)-planet, så høyden over bakken er \( z \)-koordinaten. Vi setter inn \( {t = 5}\text{.} \)

1. Regn ut z-koordinaten \( z \)-koordinaten er \( {\textcolor{green}{z(t) = 5 + \dfrac{1}{3}t}}\text{.} \) Med \( {t = \textcolor{red}{5}} \) får vi: \[ z(\textcolor{red}{5}) = 5 + \dfrac{1}{3} \cdot \textcolor{red}{5} = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}67 \]Etter \( 5 \) sekunder er bilen omtrent \( 6{,}67\,\text{m} \) over bakken.

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og farten er lengden av fartsvektoren. Vi deriverer hver koordinat, setter inn \( {t = 10} \) og regner ut lengden.

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Vi deriverer hver koordinat for seg. Kjerneregelen forteller oss at: \[ \begin{aligned} \big(\cos \textcolor{darkorange}{u}\big)' &= -\sin \textcolor{darkorange}{u} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \\ \big(\sin \textcolor{darkorange}{u}\big)' &= \cos \textcolor{darkorange}{u} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er kjernen \( {\textcolor{darkorange}{u} = \dfrac{\pi}{5}t}\text{,} \) så \( {\textcolor{darkorange}{u'} = \dfrac{\pi}{5}}\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} \vec{v}(t) = \Big[&\textcolor{blue}{-\dfrac{4\pi}{5}\sin\left(\dfrac{\pi}{5}t\right)}, \\ &\textcolor{red}{\dfrac{4\pi}{5}\cos\left(\dfrac{\pi}{5}t\right)},\ \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}}\Big] \end{aligned} \]

2. Regn ut farten etter ti sekunder Med \( {t = 10} \) er \( {\dfrac{\pi}{5} \cdot 10 = 2\pi}\text{,} \) og \( {\sin 2\pi = 0} \) og \( {\cos 2\pi = 1}\text{.} \) Det gir: \[ \vec{v}(10) = \left[\textcolor{blue}{0},\ \textcolor{red}{\dfrac{4\pi}{5}},\ \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}}\right] \]

Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{blue}{x'}^2 + \textcolor{red}{y'}^2 + \textcolor{green}{z'}^2} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(10)| &= \sqrt{\textcolor{blue}{0}^2 + \left(\textcolor{red}{\dfrac{4\pi}{5}}\right)^2 + \left(\textcolor{green}{\dfrac{1}{3}}\right)^2} \\ &\approx 2{,}54 \end{aligned} \]Farten etter \( 10 \) sekunder er omtrent \( 2{,}54\,\text{m/s}\text{.} \)

1. Regn ut farten i CAS Vi definerer posisjonen, deriverer den og setter inn \( {t = 10}\text{.} \) Den siste raden regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (4cos(π/5 t), 4sin(π/5 t) + 2, 5 + 1/3 t) v(t) := Derivert(r(t), t) v(10) Lengde(v(10))

Rad 2 gir fartsvektoren, og rad 4 gir farten \( {|\vec{v}(10)| \approx 2{,}5353\,\text{m/s}}\text{.} \)

Vi antar at bilen kjører én hel runde i spiralen fra en etasje til den neste. Da er avstanden mellom etasjene hvor mye bilen stiger på én runde.

1. Finn tiden for én runde \( x \) og \( y \) beskriver en sirkel med radius \( 4\text{.} \) Bilen har kjørt én hel runde når \( \dfrac{\pi}{5}t \) har økt med \( 2\pi\text{:} \) \[ \dfrac{\pi}{5}T = 2\pi \quad\Rightarrow\quad T = 10 \]Én runde tar altså \( 10 \) sekunder.

2. Finn hvor mye bilen stiger \( z \)-koordinaten øker med \( \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}}\,\text{m} \) hvert sekund, fra b). På én runde stiger bilen derfor: \[ \textcolor{green}{\dfrac{1}{3}} \cdot 10 = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33 \]Med denne antakelsen er det omtrent \( 3{,}33\,\text{m} \) mellom etasjene, som er en rimelig høyde for en etasje. På de \( 20 \) sekundene kjører bilen to runder, altså to etasjer opp.

Vi ser at hvert innskudd får renter fram til slutten av 2055, men i ulikt antall år. Summen av innskuddene med renter er derfor en geometrisk rekke.

1. Sett opp rekka Vi kaller beløpet \( x\text{.} \) Vekstfaktoren for \( 2{,}5\,\% \) er \( 1{,}025\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor.

Innskuddet i 2055 får renter i ett år, innskuddet i 2054 i to år, og så videre, til innskuddet i 2026, som får renter i \( 30 \) år: \[ \begin{aligned} &x \cdot 1{,}025 + x \cdot 1{,}025^2 \\ &+ \dots + x \cdot 1{,}025^{30} \end{aligned} \]Dette er en geometrisk rekke med \( {n = 30} \) ledd, første ledd \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{1{,}025x}} \) og kvotient \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{1{,}025}}\text{.} \)

2. Bruk summeformelen Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{k}^n - 1}{\textcolor{red}{k} - 1} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Plugger vi inn og setter summen lik \( 3\,750\,000\text{,} \) får vi: \[ \textcolor{blue}{1{,}025x} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{1{,}025}^{30} - 1}{\textcolor{red}{1{,}025} - 1} = 3\,750\,000 \]

Vi løser for \( x\text{:} \) \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{3\,750\,000 \cdot 0{,}025}{1{,}025 \cdot (1{,}025^{30} - 1)} \\ &\approx 83\,333 \end{aligned} \]

1. Løs likningen i CAS Vi skriver summen med kommandoen Sum, der leddet \( {x \cdot 1{,}025^n} \) går fra \( {n = 1} \) til \( {n = 30}\text{.} \) Vi løser likningen med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(Sum(x*1.025^n, n, 1, 30) = 3750000, x)

Rad 1 gir \( {x \approx 83\,332{,}83}\text{.} \)

Lånet er like stort som summen av nåverdiene av alle terminbeløpene. Vi setter summen lik \( 3\,000\,000 \) og løser for vekstfaktoren.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse denne likningen for hånd, fordi den har \( 33 \) ledd med den ukjente vekstfaktoren. Øv heller på å sette opp summen av nåverdiene, og på å kontrollere en rentesats med summeformelen for geometriske rekker.

1. Sett opp likningen Fra og med januar 2026 til og med januar 2058 er det \( 33 \) terminer. Vi kaller vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k}\text{.} \) Et terminbeløp som betales \( n \) år etter januar 2026, er verdt \( \dfrac{150\,000}{\textcolor{red}{k}^n} \) i januar 2026.

Den første terminen betaler Nora i januar 2026, med \( {n = 0}\text{,} \) og den siste i januar 2058, med \( {n = 32}\text{.} \) Summen av nåverdiene er lånet: \[ \sum_{n=0}^{32} \dfrac{150\,000}{\textcolor{red}{k}^n} = 3\,000\,000 \]

2. Løs likningen i CAS Vi fortsetter i CAS fra a), og løser likningen med NLøs og startverdien \( {k = 1{,}03}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(Sum(150000/k^n, n, 0, 32) = 3000000, k = 1.03)

Rad 2 gir \( {\textcolor{red}{k} \approx 1{,}0353}\text{,} \) så rentesatsen er omtrent \( 3{,}53\,\%\text{.} \)

Akselerasjonen er den deriverte av farten. Vi deriverer, setter den deriverte lik null og løser likningen med \( \ln\text{.} \)

1. Deriver farten Når eksponenten er \( \textcolor{green}{k}t\text{,} \) gir kjerneregelen: \[ \left(e^{\textcolor{green}{k}t}\right)' = \textcolor{green}{k}e^{\textcolor{green}{k}t} \]Hvis du er usikker på kjerneregelen, kan du se videoen Kjerneregelen. Vi deriverer ledd for ledd:

\( {-17{,}4e^{-5t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-5}}\text{,} \) så derivert blir den \( {\underline{\textcolor{blue}{87e^{-5t}}}}\text{,} \) fordi \( {-17{,}4 \cdot (\textcolor{green}{-5}) = 87}\text{.} \)

\( {9{,}1e^{-0{,}08t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-0{,}08}}\text{,} \) så derivert blir den \( {\underline{\textcolor{red}{-0{,}728e^{-0{,}08t}}}}\text{,} \) fordi \( {9{,}1 \cdot (\textcolor{green}{-0{,}08}) = -0{,}728}\text{.} \)

Konstanten \( 8{,}3 \) blir borte, så akselerasjonen er: \[ a(t) = v'(t) = \textcolor{blue}{87e^{-5t}} \textcolor{red}{- 0{,}728e^{-0{,}08t}} \]

2. Løs likningen Vi setter \( {a(t) = 0} \) og flytter det ene leddet over: \[ \textcolor{blue}{87e^{-5t}} = \textcolor{red}{0{,}728e^{-0{,}08t}} \]

Vi ganger begge sider med \( \dfrac{e^{5t}}{0{,}728}\text{.} \) Eksponenten blir \( {-0{,}08t + 5t = 4{,}92t}\text{:} \) \[ e^{4{,}92t} = \dfrac{87}{0{,}728} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider, som i videoen Naturlige Logaritmer, og får: \[ \begin{aligned} 4{,}92t &= \ln\left(\dfrac{87}{0{,}728}\right) \\ t &\approx 0{,}972 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret Vi sjekker fortegnet til akselerasjonen på hver side: \[ \begin{aligned} a(0) &= 87 - 0{,}728 \approx 86{,}3 > 0 \\ a(2) &= 87e^{-10} - 0{,}728e^{-0{,}16} \\ &\approx -0{,}62 < 0 \end{aligned} \]Farten øker altså til \( {t \approx 0{,}972} \) og avtar etterpå. Hvis du er usikker på hvordan vi avgjør om det er et toppunkt, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

Da har haren den største farten: \[ v(0{,}972) \approx 16{,}58 \]Etter omtrent \( 0{,}97 \) sekunder løper haren fortest, med omtrent \( 16{,}6\,\text{m/s}\text{,} \) og etter det går farten ned.

1. Løs likningen i CAS Vi definerer \( v(t)\text{,} \) løser \( {v'(t) = 0} \) og setter løsningen inn i \( v\text{.} \) Rad 2 og 3 regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: v(t) := 8.3 - 17.4ℯ^(-5t) + 9.1ℯ^(-0.08t) Løs(Derivert(v(t), t) = 0, t) v(0.9722)

Rad 2 gir \( {t \approx 0{,}9722}\text{,} \) og rad 3 gir farten da, \( {v \approx 16{,}58\,\text{m/s}}\text{.} \) Akselerasjonen er positiv før og negativ etter, for eksempel \( {a(0) \approx 86{,}3} \) og \( {a(2) \approx -0{,}62}\text{,} \) så dette er den største farten.

Strekningen er integralet av farten. Vi finner en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene \( 0 \) og \( 7\text{.} \)

1. Finn en antiderivert Når eksponenten er \( \textcolor{green}{k}t\text{,} \) forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int e^{\textcolor{green}{k}t}\,dt = \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}}e^{\textcolor{green}{k}t} + C \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( 8{,}3 \) integrert blir \( \underline{8{,}3t}\text{.} \)

\( {-17{,}4e^{-5t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-5}}\text{,} \) så integrert blir den \( {\underline{3{,}48e^{-5t}}}\text{,} \) fordi \( {\dfrac{-17{,}4}{\textcolor{green}{-5}} = 3{,}48}\text{.} \)

\( {9{,}1e^{-0{,}08t}} \) har \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{-0{,}08}}\text{,} \) så integrert blir den \( {\underline{-113{,}75e^{-0{,}08t}}}\text{,} \) fordi \( {\dfrac{9{,}1}{\textcolor{green}{-0{,}08}} = -113{,}75}\text{.} \)

Vi kaller den antideriverte \( F\text{:} \) \[ \begin{aligned} F(t) = \ &8{,}3t + 3{,}48e^{-5t} \\ &- 113{,}75e^{-0{,}08t} \end{aligned} \]

2. Sett inn grensene Strekningen er integralet av farten: \[ s = \int_0^7 v(t)\,dt = F(\textcolor{blue}{7}) - F(\textcolor{red}{0}) \]

Vi regner ut hver for seg: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{blue}{7}) &= 58{,}1 + 3{,}48e^{-35} \\ &\quad - 113{,}75e^{-0{,}56} \\ &\approx \textcolor{blue}{-6{,}875} \\ F(\textcolor{red}{0}) &= 3{,}48 - 113{,}75 = \textcolor{red}{-110{,}27} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ s = \textcolor{blue}{-6{,}875} - (\textcolor{red}{-110{,}27}) \approx 103{,}4 \]Haren løper omtrent \( 103{,}4\,\text{m} \) de første \( 7 \) sekundene.

1. Regn ut integralet i CAS Vi fortsetter i CAS fra a), og regner ut integralet med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Integral(v(t), t, 0, 7)

Rad 4 gir strekningen, \( 103{,}395\,\text{m}\text{.} \)

Integralet i formelen er strekningen haren har løpt etter \( x \) sekunder. Vi finner når strekningen er \( 200\,\text{m}\text{,} \) og deler \( 200 \) på den tiden.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke løse likningen for hånd, fordi \( x \) står både alene og i eksponenter. Øv heller på å sette opp likningen, og på å forklare at gjennomsnittsfarten er strekningen delt på tiden.

1. Finn tiden for 200 meter Vi fortsetter i CAS fra a). Rad 5 definerer strekningen etter \( x \) sekunder, \( {S(x) = \displaystyle\int_0^x v(t)\,dt}\text{,} \) og rad 6 løser \( {S(x) = 200} \) med NLøs og startverdien \( {x = 15}\text{.} \) Rad 7 regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: S(x) := Integral(v(t), t, 0, x) NLøs(S(x) = 200, x = 15) 200 / 14.9539

Rad 6 viser at haren har løpt \( 200\,\text{m} \) etter omtrent \( 14{,}9539 \) sekunder.

2. Regn ut gjennomsnittsfarten Etter \( {\textcolor{red}{x \approx 14{,}9539}} \) sekunder er integralet \( \textcolor{blue}{200}\text{,} \) så formelen gir strekningen delt på tiden, som i videoen Strekning, Fart og Tid (SVT): \[ v_g = \dfrac{1}{\textcolor{red}{x}} \cdot \textcolor{blue}{200} \approx \dfrac{\textcolor{blue}{200}}{\textcolor{red}{14{,}9539}} \approx 13{,}37 \]Dette er rad 7.

Vi ser at integralet er et produkt av en potens og \( \ln x\text{.} \) Vi bruker derfor delvis integrasjon, med \( \ln x \) som den vi deriverer.

1. Velg u og v′ Delvis integrasjon forteller oss at: \[ \int \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}\,dx = \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v} - \int \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v}\,dx \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Delvis integrasjon.

\( \ln x \) blir enklere når vi deriverer den, så vi velger: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{\ln x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{x^2} & \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}} \end{aligned} \]

2. Sett inn i formelen Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \begin{aligned} \int x^2 \ln x\,dx &= \textcolor{red}{\ln x} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}} \\ &\quad - \int \textcolor{red}{\dfrac{1}{x}} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{x^3}{3}}\,dx \\ &= \dfrac{x^3}{3}\ln x - \int \dfrac{x^2}{3}\,dx \\ &= \dfrac{x^3}{3}\ln x - \dfrac{x^3}{9} + C \end{aligned} \]

Vi regner ut integralet med \( x \) som øvre grense, og får en likning med cosinus. Den løser vi med enhetssirkelen.

1. Regn ut integralet For sinus med en kjerne \( {\textcolor{blue}{n}t + b} \) gjelder: \[ \begin{aligned} &\int \sin(\textcolor{blue}{n}t + b)\,dt \\ &= -\dfrac{1}{\textcolor{blue}{n}}\cos(\textcolor{blue}{n}t + b) + C \end{aligned} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

Her er \( {\textcolor{blue}{n} = \textcolor{blue}{\pi}}\text{.} \) Vi setter inn grensene \( x \) og \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} &\left[-\dfrac{1}{\textcolor{blue}{\pi}}\cos\left(\textcolor{blue}{\pi}t + \dfrac{\pi}{4}\right)\right]_0^x \\ &= -\dfrac{1}{\pi}\cos\left(\pi x + \dfrac{\pi}{4}\right) + \dfrac{1}{\pi}\cos\dfrac{\pi}{4} \end{aligned} \]

Integralet er \( 0 \) når de to leddene er like, altså når: \[ \cos\left(\textcolor{red}{\pi x + \dfrac{\pi}{4}}\right) = \cos\dfrac{\pi}{4} \]

2. Løs likningen To vinkler har samme cosinus når de er like, pluss hele runder \( 2\pi k\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\pi x + \dfrac{\pi}{4}} &= \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= 2k \end{aligned} \]

eller når de er motsatte, pluss hele runder: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\pi x + \dfrac{\pi}{4}} &= -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k \\ x &= -\dfrac{1}{2} + 2k \end{aligned} \]Hvis du er usikker på \( 2\pi k\text{,} \) kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

\( {\pi \approx 3{,}14}\text{.} \) Med \( {k = 1} \) får vi \( {x = 2} \) og \( {x = \dfrac{3}{2}}\text{.} \) \( {k = 0} \) gir \( {x = 0} \) og \( {x = -\dfrac{1}{2}}\text{,} \) og \( {k = 2} \) gir \( {x = 4} \) og \( {x = \dfrac{7}{2}}\text{,} \) som alle ligger utenfor \( \langle 0, \pi \rangle\text{.} \)

Vi bruker svaret fra b), \( {x = \dfrac{3}{2}} \) og \( {x = 2}\text{.} \)

Et bestemt integral er arealet over \( x \)-aksen minus arealet under. At integralet er \( 0\text{,} \) betyr at de to er like store.

1. Tolk integralet Fra \( 0 \) til \( x \) er \( \textcolor{blue}{\text{arealet over}} \) \( t \)-aksen like stort som \( \textcolor{red}{\text{arealet under}}\text{.} \) Hvis du er usikker på integralet som areal, kan du se videoen Hva er integrasjon.

2. Gi et eksempel La \( {\sin\left(\pi t + \dfrac{\pi}{4}\right)} \) være farten i m/s til en gjenstand som beveger seg fram og tilbake langs en linje. Integralet av farten er hvor langt gjenstanden har flyttet seg fra start.

At integralet er \( 0 \) for \( {x = \dfrac{3}{2}} \) og \( {x = 2}\text{,} \) betyr at gjenstanden er tilbake der den startet etter \( 1{,}5 \) og etter \( 2 \) sekunder.

Vi ser at differansen er \( 4\text{.} \) Vi finner først hvor mange ledd rekken har, og bruker så sumformelen.

1. Finn antall ledd Det \( n \)-te leddet i en aritmetisk rekke er: \[ a_n = \textcolor{blue}{a_1} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{d} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Aritmetiske rekker intro.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {\textcolor{red}{d} = \textcolor{red}{4}}\text{.} \) Det siste leddet er \( 399\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{3} + (n - 1) \cdot \textcolor{red}{4} &= 399 \\ n - 1 &= 99 \\ n &= 100 \end{aligned} \]

2. Regn ut summen Summen av de \( n \) første leddene er: \[ S_n = \dfrac{n(\textcolor{blue}{a_1} + a_n)}{2} \]Hvis du er usikker på sumformelen, kan du se videoen Sum aritmetiske rekker Eksempel.

Plugger vi inn \( {n = 100}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {a_{100} = 399}\text{,} \) får vi: \[ S_{100} = \dfrac{100 \cdot (\textcolor{blue}{3} + 399)}{2} = 20\,100 \]

Vi setter inn i formelen for summen av en uendelig geometrisk rekke og løser for \( k\text{.} \)

1. Sett opp sumformelen En uendelig geometrisk rekke konvergerer når \( {-1 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{,} \) og da er summen: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på når rekken konvergerer, kan du se videoen Geometrisk rekke test.

2. Løs for k Plugger vi inn \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{12}} \) og \( {S = 18}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{12}}{1 - \textcolor{red}{k}} &= 18 \\ 12 &= 18 - 18\textcolor{red}{k} \\ \textcolor{red}{k} &= \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]\( {k = \dfrac{1}{3}} \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) så rekken konvergerer.

Sifrene \( 75 \) gjentar seg, og hver gang står de to plasser lenger til høyre. Vi deler tallet opp i ledd der hvert ledd er \( 0{,}01 \) ganger det forrige.

1. Skriv tallet som en rekke Vi deler tallet opp etter hver gruppe på \( 75\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0{,}7575\dots &= \textcolor{blue}{0{,}75} + 0{,}0075 \\ &\quad + 0{,}000075 + \dots \end{aligned} \]

Hvert ledd er det forrige ganget med \( \textcolor{red}{0{,}01}\text{,} \) så dette er en uendelig geometrisk rekke med \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{0{,}75}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}01}}\text{.} \)

2. Regn ut summen \( \textcolor{red}{k} \) ligger mellom \( {-1} \) og \( 1\text{,} \) så rekken konvergerer, som i videoen Geometrisk rekke test. Med sumformelen fra b) får vi: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{blue}{0{,}75}}{1 - \textcolor{red}{0{,}01}} = \dfrac{0{,}75}{0{,}99} \\ &= \dfrac{75}{99} = \dfrac{25}{33} \end{aligned} \]

3. Legg til 1 \( 1{,}7575\dots \) er \( 1 \) pluss tallet over: \[ \begin{aligned} 1{,}7575\dots &= 1 + \dfrac{25}{33} \\ &= \dfrac{33}{33} + \dfrac{25}{33} = \dfrac{58}{33} \end{aligned} \]

Bunnen er trekanten \( ABC\text{.} \) Arealet er halvparten av lengden til vektorproduktet av to av sidene.

1. Finn vektorproduktet Arealet av trekanten \( ABC \) er: \[ \text{Areal} = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \]

Vektorproduktet av \( [\textcolor{blue}{a_1, a_2, a_3}] \) og \( [\textcolor{red}{b_1, b_2, b_3}] \) har koordinatene: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_3} - \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_2} \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_3}\textcolor{red}{b_1} - \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_3} \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{a_1}\textcolor{red}{b_2} - \textcolor{blue}{a_2}\textcolor{red}{b_1} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet.

\( A \) er origo, så \( {\overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{3, 1, 2}]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [\textcolor{red}{-1, 3, 1}]}\text{.} \) Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{1} - \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{3} = -5 \\ y&\text{:} \quad \textcolor{blue}{2} \cdot (\textcolor{red}{-1}) - \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{1} = -5 \\ z&\text{:} \quad \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{3} - \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{red}{-1}) = 10 \end{aligned} \]Altså er \( {\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [-5, -5, 10]}\text{.} \)

2. Regn ut arealet Lengden av vektorproduktet finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} \left|[-5, -5, 10]\right| &= \sqrt{25 + 25 + 100} \\ &= \sqrt{150} = 5\sqrt{6} \end{aligned} \]

Arealet er halvparten av dette: \[ \text{Areal} = \dfrac{5\sqrt{6}}{2} \]

\( T \) ligger på \( \ell\text{,} \) så \( {T = (t, t, 4t)}\text{.} \) Vi setter lengden av \( \overrightarrow{CT} \) lik \( \sqrt{17} \) og løser for \( t\text{.} \)

1. Sett opp likningen Med \( {T = (t, t, 4t)} \) og \( {C(-1, 3, 1)} \) er: \[ \overrightarrow{CT} = [\textcolor{blue}{t + 1},\ \textcolor{red}{t - 3},\ \textcolor{green}{4t - 1}] \]

Lengden er \( \sqrt{17}\text{,} \) så kvadratet av lengden er \( 17\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{t + 1})^2 + (\textcolor{red}{t - 3})^2 + (\textcolor{green}{4t - 1})^2 &= 17 \\ 18t^2 - 12t + 11 &= 17 \\ 3t^2 - 2t - 1 &= 0 \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen abc-formelen forteller oss at: \[ t = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {a = 3}\text{,} \) \( {b = -2} \) og \( {c = -1}\text{:} \) \[ t = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \dfrac{2 \pm 4}{6} \]Det gir \( {t = 1} \) eller \( {t = -\dfrac{1}{3}}\text{.} \)

3. Velg riktig løsning \( T \) er toppen av teltet, så den ligger over \( A\text{,} \) som har \( {z = 0}\text{.} \) \( {t = -\dfrac{1}{3}} \) gir \( {z = -\dfrac{4}{3}}\text{,} \) lavere enn alle hjørnene i bunnen, så \( {t = 1}\text{,} \) og \( {T = (1, 1, 4)}\text{.} \)

Vi tegner en sirkel med sentrum i toppunktet til vinkelen. Vinkelen i radianer er buen vinkelen spenner over, delt på radien. Til omgjøringen bruker vi at en halv runde er \( {180^\circ = \pi} \) radianer.

1. Skriv opp definisjonen Vi tegner en sirkel med radius \( \textcolor{blue}{r} \) og sentrum i toppunktet til vinkelen \( v\text{.} \) Buen mellom vinkelbeina har lengden \( \textcolor{red}{b}\text{.} \) Det absolutte vinkelmålet er: \[ v = \dfrac{\textcolor{red}{b}}{\textcolor{blue}{r}} \]

Vinkelen er altså \( 1 \) radian når buen er like lang som radien. En hel runde har buelengden \( 2\pi\textcolor{blue}{r}\text{,} \) så \( {360^\circ = 2\pi} \) radianer.

2. Gjør om 80 grader \( 180^\circ \) er \( \pi \) radianer, så \( 1^\circ \) er \( \dfrac{\pi}{180} \) radianer: \[ 80^\circ = 80 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{4\pi}{9} \]

Vi bruker at \( {\sin^2 v + \cos^2 v = 1}\text{,} \) og velger fortegnet til \( \cos v \) ut fra hvor vinkelen ligger.

1. Finn cosinus Punktet på enhetssirkelen har koordinatene \( (\textcolor{blue}{\cos v}, \textcolor{red}{\sin v})\text{,} \) og avstanden til origo er \( 1\text{.} \) Pythagoras forteller oss at: \[ \textcolor{red}{\sin^2 v} + \textcolor{blue}{\cos^2 v} = 1 \]Hvis du er usikker på enhetssirkelen, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Plugger vi inn \( {\textcolor{red}{\sin v = -\dfrac{1}{4}}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\cos^2 v} &= 1 - \dfrac{1}{16} = \dfrac{15}{16} \\ \textcolor{blue}{\cos v} &= \pm\dfrac{\sqrt{15}}{4} \end{aligned} \]

\( v \) ligger mellom \( \pi \) og \( \dfrac{3\pi}{2}\text{,} \) altså i tredje kvadrant. Der er \( x \)-koordinaten negativ, så \( {\textcolor{blue}{\cos v = -\dfrac{\sqrt{15}}{4}}}\text{.} \)

2. Finn tangens Tangens er sinus delt på cosinus: \[ \begin{aligned} \tan v &= \dfrac{\textcolor{red}{\sin v}}{\textcolor{blue}{\cos v}} = \textcolor{red}{\left(-\dfrac{1}{4}\right)} \cdot \left(-\dfrac{4}{\textcolor{blue}{\sqrt{15}}}\right) \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{15}} = \dfrac{\sqrt{15}}{15} \end{aligned} \]Delt på en brøk er det samme som ganget med den omvendte brøken, og til slutt ganger vi med \( \sqrt{15} \) over og under brøkstreken.

Vi leser av toppunktene og bunnpunktene på grafen. Av dem finner vi likevektslinja, amplituden og perioden, og til slutt \( \varphi \) slik at cosinus har toppunkt der grafen har det.

1. Les av grafen Grafen har toppunkter med \( {y = 1} \) og bunnpunkter med \( {y = -3}\text{.} \) Likevektslinja \( \textcolor{blue}{d} \) ligger midt mellom, og amplituden \( \textcolor{red}{A} \) er avstanden derfra til toppen: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{d} &= \dfrac{1 + (-3)}{2} = \textcolor{blue}{-1} \\ \textcolor{red}{A} &= \dfrac{1 - (-3)}{2} = \textcolor{red}{2} \end{aligned} \]

2. Finn perioden Toppunktene ligger i \( {x = 4} \) og \( {x = 12}\text{,} \) så perioden er \( {p = 8}\text{.} \) Sammenhengen mellom perioden og \( \textcolor{green}{c} \) er: \[ p = \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \quad \Rightarrow \quad \textcolor{green}{c} = \dfrac{2\pi}{8} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}} \]

3. Finn φ \( \cos u \) har toppunkt når \( {u = 0}\text{.} \) Grafen har toppunkt i \( {x = 4}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{\dfrac{\pi}{4}} \cdot 4 + \varphi &= 0 \\ \varphi &= -\pi \end{aligned} \]

Vi bruker funksjonen fra a), \( {g(x) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x - \pi\right) - 1}\text{,} \) som er den samme som \( f\text{.} \)

Vi kaller det som står inni cosinus for \( u\text{,} \) og finner vinklene med cosinus \( \dfrac{1}{2} \) på enhetssirkelen. Til slutt ser vi hva likningen betyr for \( g\text{.} \)

1. Finn vinklene Vi kaller \( {\textcolor{red}{u = \dfrac{\pi}{4}x - \pi}}\text{.} \) Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Cosinus har samme verdi i \( {-\dfrac{\pi}{3}}\text{,} \) og gjentar seg for hver hele runde: \[ \textcolor{red}{u} = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \vee \quad \textcolor{red}{u} = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \]Hvis du er usikker på \( 2\pi k\text{,} \) kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

2. Løs for x Vi legger til \( \pi \) og ganger med \( \dfrac{4}{\pi} \) i begge likningene: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{4}x - \pi} &= \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{16}{3} + 8k \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\dfrac{\pi}{4}x - \pi} &= -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ x &= \dfrac{8}{3} + 8k \end{aligned} \]

\( {3\pi \approx 9{,}42}\text{.} \) Med \( {k = 0} \) får vi \( {x = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67} \) og \( {x = \dfrac{16}{3} \approx 5{,}33}\text{.} \) \( {k = 1} \) gir \( {\dfrac{8}{3} + 8 \approx 10{,}67}\text{,} \) som er for stort, og negative \( k \) gir negative \( x\text{.} \)

3. Finn løsningene på figuren Setter vi \( {\cos\left(\dfrac{\pi}{4}x - \pi\right) = \dfrac{1}{2}} \) inn i \( g \) fra a), får vi: \[ g(x) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} - 1 = 0 \]Løsningene er altså nullpunktene til \( f\text{,} \) der grafen skjærer \( x \)-aksen, før og etter toppunktet i \( {x = 4}\text{.} \)