Eksamensoppgaver etter tema

Farten er lengden av fartsvektoren, og fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren. Vi deriverer, setter inn \( {t = 2} \) og regner ut lengden.

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Vi deriverer hver koordinat for seg: \[ \vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{6},\ \textcolor{red}{7},\ \textcolor{green}{-5 + 0{,}2t}] \]

2. Regn ut farten etter to sekunder Med \( {t = 2} \) er \( z \)-koordinaten \( {\textcolor{green}{-5 + 0{,}2 \cdot 2 = -4{,}6}}\text{.} \) Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ |[x, y, z]| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(2)| &= \sqrt{\textcolor{blue}{6}^2 + \textcolor{red}{7}^2 + (\textcolor{green}{-4{,}6})^2} \\ &= \sqrt{106{,}16} \approx 10{,}30 \end{aligned} \]Farten etter \( 2 \) sekunder er omtrent \( 10{,}30\,\text{m/s}\text{.} \)

1. Regn ut farten i CAS Vi definerer posisjonen, deriverer den og regner ut lengden av fartsvektoren for \( {t = 2}\text{.} \) Den siste raden regner vi ut med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (6t, 7t, -250 - 5t + 0.1t^2) v(t) := Derivert(r(t), t) Lengde(v(2))

Rad 2 gir fartsvektoren, og rad 3 gir farten \( {|\vec{v}(2)| \approx 10{,}3034\,\text{m/s}}\text{.} \)

Dybden er gitt av \( z \)-koordinaten. Vi finner bunnpunktet til \( z(t) \) ved å sette den deriverte lik null.

1. Finn når ubåten er dypest \( z \)-koordinaten er \( {z(t) = -250 - 5t + 0{,}1t^2}\text{,} \) og den deriverte er \( {z'(t) = \textcolor{green}{-5 + 0{,}2t}}\text{.} \) Den er null når: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{-5 + 0{,}2t} &= 0 \\ t &= 25 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på hvorfor vi setter den deriverte lik null, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

\( z'(t) \) er negativ før \( {t = 25} \) og positiv etter. Ubåten synker altså til \( {t = 25}\text{,} \) og stiger etterpå.

2. Regn ut dybden Vi setter inn \( {t = 25} \) i \( z(t)\text{:} \) \[ \begin{aligned} z(25) &= -250 - 5 \cdot 25 + 0{,}1 \cdot 25^2 \\ &= -250 - 125 + 62{,}5 \\ &= -312{,}5 \end{aligned} \]Ubåten er altså \( 312{,}5\,\text{m} \) under havoverflaten på det dypeste.

1. Finn bunnpunktet i CAS Vi fortsetter i CAS fra a). \( z \) er et navn GeoGebra bruker selv, så vi kaller \( z \)-koordinaten \( h(t)\text{.} \) Vi løser \( {h'(t) = 0} \) og setter løsningen inn:

Skriv inn i GeoGebra: h(t) := -250 - 5t + 0.1t^2 Løs(Derivert(h(t), t) = 0, t) h(25)

Rad 5 viser at den deriverte er null ved \( {t = 25}\text{,} \) og rad 6 gir \( {h(25) = -\dfrac{625}{2} = -312{,}5}\text{.} \) Ubåten er \( 312{,}5\,\text{m} \) under havoverflaten på det dypeste.

Vi finner avstanden mellom ubåten og midten av fiskestimen som en funksjon av \( t\text{,} \) og finner den minste avstanden. Ubåten kan bare kollidere hvis midtpunktene kommer nærmere enn radien til stimen pluss halve diagonalen til ubåten.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke finne bunnpunktet til denne avstanden for hånd. Øv heller på å sette opp vektoren mellom to punkter som beveger seg, og på å regne ut avstanden for en gitt \( t\text{.} \)

1. Sett opp avstanden Vektoren fra midten av stimen til ubåten er \( {\vec{r}(t) - \vec{s}(t)}\text{.} \) Vi trekker koordinatene fra hverandre, og \( {-250} \) i \( z \)-koordinaten forsvinner: \[ \begin{aligned} \vec{r}(t) - \vec{s}(t) = [&\textcolor{blue}{4t - 40},\ \textcolor{red}{5t - 60}, \\ &\textcolor{green}{0{,}1t^2 - 5t}] \end{aligned} \]

Avstanden \( d(t) \) er lengden av denne vektoren: \[ \begin{aligned} d(t)^2 = \ &(\textcolor{blue}{4t - 40})^2 + (\textcolor{red}{5t - 60})^2 \\ &+ (\textcolor{green}{0{,}1t^2 - 5t})^2 \end{aligned} \]

2. Finn den minste avstanden Vi tegner \( d \) for \( t \) fra \( 0 \) til \( 60 \) og finner bunnpunktet med kommandoen Ekstremalpunkt, som i videoen Oppgave 1B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: d(x) = Funksjon(sqrt((4x - 40)^2 + (5x - 60)^2 + (0.1x^2 - 5x)^2), 0, 60) E = Ekstremalpunkt(d, 0, 60)

Bunnpunktet er \( {E \approx (8{,}3908,\ 39{,}8251)}\text{.} \) Etter omtrent \( 8{,}4 \) sekunder er ubåten nærmest midten av stimen, omtrent \( 39{,}8\,\text{m} \) unna. Etterpå øker avstanden hele tiden.

3. Vurder om de kolliderer Ingen del av ubåten er lenger fra midten av ubåten enn halve diagonalen: \[ \sqrt{2^2 + 2{,}5^2 + 4^2} = \sqrt{26{,}25} \approx 5{,}1 \]

Ubåten kan altså bare treffe stimen hvis midtpunktene kommer nærmere enn \( {15 + 5{,}1 \approx 20{,}1\,\text{m}}\text{.} \) Den minste avstanden er \( 39{,}8\,\text{m}\text{,} \) så ubåten kolliderer ikke med fiskestimen.

Spenningen går opp og ned periodisk, så vi lager en sinusmodell med sinusregresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre sinusregresjon. Øv heller på å lese av likevektslinje, amplitude og periode i en tabell, og på b) og c) med modellen fra a), med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver tiden i kolonne A og spenningen i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør sinusregresjon Sinusregresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) \( \textcolor{green}{c}\text{,} \) \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) og \( \textcolor{blue}{d} \) i \[ U(t) = \textcolor{red}{A} \cdot \sin(\textcolor{green}{c}t + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. Vi velger sinusregresjon fra den samme lista som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der det er logistisk regresjon. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: U(x) = RegSin(l1)

3. Skriv opp modellen GeoGebra skriver konstanten først. Tallene gir \( {\textcolor{red}{A} \approx \textcolor{red}{323{,}47}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} \approx \textcolor{green}{314{,}81}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} \approx \textcolor{darkorange}{-0{,}0026}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} \approx \textcolor{blue}{-0{,}91}}\text{.} \)

Perioden er \( {\dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} \approx 0{,}0200} \) sekunder, og grafen går nær alle punktene. Andre modeller som passer tabellen, er også riktige, for eksempel \( {U(t) = 325\sin(100\pi t)}\text{,} \) med amplituden og perioden lest av tabellen. Vi bruker denne modellen i b) og c).

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi skal løse \( {U(t) = 230}\text{.} \) Med kalkulator får vi sinus alene og finner de to vinklene der sinus har den verdien.

1. Få sinus alene I a) fant vi modellen. Vi kaller det som står inni sinus, \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{314{,}81t - 0{,}0026}}\text{:} \) \[ U(t) = \textcolor{red}{323{,}47}\sin \textcolor{green}{u} \textcolor{blue}{- 0{,}91} \]

Vi setter \( {U(t) = 230}\text{,} \) legger til \( \textcolor{blue}{0{,}91} \) og deler med \( \textcolor{red}{323{,}47}\text{:} \) \[ \sin \textcolor{green}{u} = \dfrac{230 + \textcolor{blue}{0{,}91}}{\textcolor{red}{323{,}47}} \approx 0{,}7139 \]

2. Finn vinklene Med kalkulatoren i radianer finner vi først én vinkel der sinus er \( 0{,}7139\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_1} = \sin^{-1}(0{,}7139) \approx 0{,}7951 \]Hvis du er usikker på å finne vinkelen med kalkulatoren, kan du se videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

Sinus har samme verdi i \( {\pi - u_1}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{u_2} = \pi - \textcolor{green}{u_1} \approx 2{,}3465 \]Fra \( {t = 0} \) til \( {t = 0{,}0200} \) går \( \textcolor{green}{u} \) fra \( {-0{,}0026} \) til omtrent \( 6{,}29\text{,} \) én periode. Den neste vinkelen, \( {u_1 + 2\pi \approx 7{,}08}\text{,} \) er for stor.

3. Regn om til tid Løser vi \( {314{,}81t - 0{,}0026 = u} \) for \( t\text{,} \) får vi \( {t = \dfrac{u + 0{,}0026}{314{,}81}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} t_1 &= \dfrac{\textcolor{green}{0{,}7951} + 0{,}0026}{314{,}81} \approx 0{,}0025 \\ t_2 &= \dfrac{\textcolor{green}{2{,}3465} + 0{,}0026}{314{,}81} \approx 0{,}0075 \end{aligned} \]Spenningen er \( 230\,\text{V} \) etter omtrent \( 0{,}0025 \) og \( 0{,}0075 \) sekunder.

1. Løs likningen i CAS Vi skriver modellen fra svaret i a) inn i CAS. Grafen i a) går gjennom \( 230 \) to ganger i den første perioden, nær \( {t = 0{,}0025} \) og \( {t = 0{,}0075}\text{.} \) Vi bruker dem som startverdier i NLøs:

Skriv inn i GeoGebra: U(t) := -0.91 + 323.47*sin(314.81t - 0.0026) NLøs(U(t) = 230, t = 0.0025) NLøs(U(t) = 230, t = 0.0075)

Rad 2 og 3 gir \( {t \approx 0{,}0025} \) og \( {t \approx 0{,}0075}\text{.} \)

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi setter modellen inn i formelen og integrerer over én periode. Blir effektivverdien omtrent \( 230\,\text{V}\text{,} \) kan målingene være riktige.

1. Integrer kvadratet av modellen I a) fant vi modellen. Med \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{314{,}81t - 0{,}0026}} \) er den: \[ U(t) = \textcolor{red}{323{,}47}\sin \textcolor{green}{u} \textcolor{blue}{- 0{,}91} \]

Vi kaller \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{323{,}47}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{-0{,}91}}\text{,} \) og perioden er \( {T = \dfrac{2\pi}{314{,}81}}\text{.} \) Med første kvadratsetning, \( {(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \big(U(t)\big)^2 = \ &\textcolor{red}{A}^2\sin^2 \textcolor{green}{u} + 2\textcolor{red}{A}\textcolor{blue}{d}\sin \textcolor{green}{u} \\ &+ \textcolor{blue}{d}^2 \end{aligned} \]

Over en hel periode er integralet av \( \sin u \) lik \( 0\text{,} \) fordi arealet over og under aksen er like store. For \( \sin^2 u \) bruker vi formelen for dobbel vinkel: \[ \sin^2 u = \dfrac{1 - \cos 2u}{2} \]

Integralet av \( \cos 2u \) over en hel periode er også \( 0\text{,} \) så \( \sin^2 u \) gir \( \dfrac{T}{2}\text{:} \) \[ \int_0^T \big(U(t)\big)^2\,dt = \textcolor{red}{A}^2 \cdot \dfrac{T}{2} + \textcolor{blue}{d}^2 \cdot T \]

2. Regn ut effektivverdien Vi deler på \( T \) og tar kvadratroten. \( T \) forkortes bort: \[ \begin{aligned} U_{\text{effektiv}} &= \sqrt{\dfrac{\textcolor{red}{A}^2}{2} + \textcolor{blue}{d}^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{\textcolor{red}{323{,}47}^2}{2} + (\textcolor{blue}{-0{,}91})^2} \\ &\approx 228{,}7 \end{aligned} \]

Effektivverdien til modellen er omtrent \( 228{,}7\,\text{V}\text{,} \) bare \( 1{,}3\,\text{V} \) under \( 230\,\text{V}\text{.} \) Målingene kan altså være riktige.

1. Regn ut effektivverdien i CAS Vi skriver modellen fra svaret i a) og perioden inn i CAS, og regner ut formelen med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: U(t) := -0.91 + 323.47*sin(314.81t - 0.0026) T := 2π/314.81 sqrt(1/T*Integral(U(t)^2, t, 0, T))

Rad 3 gir \( {U_{\text{effektiv}} \approx 228{,}7\,\text{V}}\text{,} \) svært nær \( 230\,\text{V}\text{,} \) så målingene kan være riktige.

Hver natt kommer det \( 2 \) enheter til, og hver dag blir \( 82\,\% \) av mengden igjen. Mengden etter hver natt er derfor summen av en geometrisk rekke med \( {k = 0{,}82}\text{.} \)

1. Sett opp mengden etter n netter Etter den første natten har Sofie \( 2 \) enheter i kroppen. Om dagen skiller hun ut \( 18\,\% \text{,} \) så \( 82\,\% \) blir igjen. Etter den andre natten har hun \( {2 \cdot 0{,}82 + 2} \) enheter, og etter \( n \) netter: \[ a_n = \textcolor{blue}{2} + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{0{,}82} + \dots + \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{0{,}82}^{n-1} \]

Summen av de \( n \) første leddene i en geometrisk rekke er: \[ S_n = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{red}{k}^n}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Sum geometriske rekker Eksempel.

Her er \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{0{,}82}}\text{:} \) \[ a_n = \textcolor{blue}{2} \cdot \dfrac{1 - \textcolor{red}{0{,}82}^n}{1 - \textcolor{red}{0{,}82}} = \dfrac{2(1 - 0{,}82^n)}{0{,}18} \]

2. Finn når mengden blir over ti Mengden er farlig når \( {a_n > 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{2(1 - 0{,}82^n)}{0{,}18} &> 10 \\ 1 - 0{,}82^n &> 0{,}9 \\ 0{,}82^n &< 0{,}1 \end{aligned} \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider og bruker at \( {\ln b^n = n \ln b}\text{.} \) \( \ln 0{,}82 \) er negativ, så ulikhetstegnet snur når vi deler på den: \[ \begin{aligned} n \ln 0{,}82 &< \ln 0{,}1 \\ n &> \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}82} \approx 11{,}6 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på logaritmeregelen eller på at ulikhetstegnet snur, kan du se videoene Naturlige Logaritmer og Introduksjon til Ulikheter.

3. Se på hele netter Antall netter er et helt tall, så vi regner ut mengden etter 11 og 12 netter: \[ \begin{aligned} a_{11} &= \dfrac{2(1 - 0{,}82^{11})}{0{,}18} \approx 9{,}86 \\ a_{12} &= \dfrac{2(1 - 0{,}82^{12})}{0{,}18} \approx 10{,}08 \end{aligned} \]Etter 11 netter er mengden fortsatt under \( 10 \) enheter, men den 12. natten kommer den over. Sofie kan altså sove 11 netter på soverommet.

1. Løs likningen i CAS Vi bruker uttrykket for \( a_n \) fra kalkulatorruten, løser \( {a_n = 10} \) og regner ut \( a_{11} \) og \( a_{12}\text{,} \) med \( {\approx}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: Løs(2*(1 - 0.82^n)/0.18 = 10, n) 2*(1 - 0.82^11)/0.18 2*(1 - 0.82^12)/0.18

Rad 1 gir \( {n \approx 11{,}6}\text{,} \) og rad 2 og 3 gir \( {a_{11} \approx 9{,}8588} \) og \( {a_{12} \approx 10{,}0842}\text{.} \) Mengden er under \( 10 \) etter 11 netter og over etter 12, så Sofie kan sove 11 netter.

Mengden etter hver natt vokser mot summen av en uendelig geometrisk rekke. Artikkelen antar at denne summen er \( 10\text{,} \) og vi finner hvor stor andel som da skilles ut.

1. Finn hva mengden vokser mot Vi kaller andelen som skilles ut per dag, \( \textcolor{green}{p}\text{.} \) Da blir andelen \( {\textcolor{red}{k} = 1 - \textcolor{green}{p}} \) igjen, og mengden etter \( n \) netter er den samme rekken som i a), med denne \( \textcolor{red}{k}\text{.} \)

Når \( n \) vokser, nærmer mengden seg summen av den uendelige rekken, fordi \( {0 < \textcolor{red}{k} < 1}\text{:} \) \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{a_1}}{1 - \textcolor{red}{k}} \]Hvis du er usikker på hvor formelen kommer fra, kan du se videoen Geometrisk rekke test, der \( k^n \) går mot \( 0 \) i formelen for \( S_n\text{.} \)

Med \( {\textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {\textcolor{red}{k} = 1 - \textcolor{green}{p}} \) får vi: \[ S = \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{1 - (1 - \textcolor{green}{p})} = \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{green}{p}} \]Mengden vokser hele tiden, men blir aldri større enn \( S\text{.} \)

2. Sett grensen lik ti Artikkelen sier at mengden aldri blir mer enn \( 10 \) enheter, så \( {S = 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{green}{p}} &= 10 \\ \textcolor{green}{p} &= 0{,}2 \end{aligned} \]Artikkelen antar altså at en voksen person skiller ut \( 20\,\% \) per dag. Med \( 18\,\% \) som i a) blir grensen \( {\dfrac{2}{0{,}18} \approx 11{,}1}\text{,} \) og da kommer mengden over \( 10\text{.} \)

Begge metodene deler området i \( 100 \) rektangler med bredde \( dx\text{.} \) Vi ser på hvilken kant av rektanglene som bestemmer høyden, og bruker at \( f \) er voksende.

1. Se hvilken høyde rektanglene får Begge funksjonene legger sammen høyde ganger bredde, \( {f(x) \cdot dx}\text{,} \) for \( 100 \) rektangler (linje 14 og 21).

I \( \texttt{areal\_til\_hoyre} \) går \( \texttt{i} \) fra \( 0 \) til \( 99 \) i linje 12, så \( x \) i linje 13 er \( \textcolor{blue}{\text{venstre kant}} \) av hvert rektangel. Rektangelet går til høyre derfra.

I \( \texttt{areal\_til\_venstre} \) går \( \texttt{i} \) fra \( 1 \) til \( 100 \) i linje 19, så \( x \) i linje 20 er \( \textcolor{red}{\text{høyre kant}}\text{.} \) Rektangelet går til venstre derfra.

2. Bruk at funksjonen vokser \( {f(x) = 3^{2x} = 9^x} \) er voksende, fordi grunntallet \( 9 \) er større enn \( 1\text{.} \) På hvert lite intervall er grafen derfor lavest i \( \textcolor{blue}{\text{venstre kant}} \) og høyest i \( \textcolor{red}{\text{høyre kant}}\text{.} \)

Rektanglene i \( \texttt{areal\_til\_hoyre} \) ligger da under grafen og gir en litt for lav verdi. Rektanglene i \( \texttt{areal\_til\_venstre} \) stikker over grafen og gir en litt for høy verdi. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Riemann sum.

Kontroll: Programmet skriver ut \( 35{,}62 \) og \( 37{,}22\text{,} \) og det eksakte arealet er \( {\int_0^2 9^x\,dx = \dfrac{80}{\ln 9} \approx 36{,}41}\text{.} \)

Vi bruker rektanglene fra a), der den ene metoden ga for lite og den andre for mye.

Vi beholder de \( 100 \) delene, men bruker trapeser i stedet for rektangler. Et trapes følger grafen fra venstre kant til høyre kant, så det ligger mye nærmere arealet.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, og på å forklare hvorfor trapeser gir et bedre svar enn rektangler.

1. Bruk trapeser i stedet for rektangler Et trapes med bredde \( dx \) og høyder \( \textcolor{blue}{f(x)} \) og \( {\textcolor{red}{f(x + dx)}} \) har arealet: \[ A = \dfrac{\textcolor{blue}{f(x)} + \textcolor{red}{f(x + dx)}}{2} \cdot dx \]Hvis du er usikker på trapesmetoden, kan du se videoen Trapesmetoden.

Det er gjennomsnittet av rektangelet med \( \textcolor{blue}{\text{venstre kant}} \) og rektangelet med \( \textcolor{red}{\text{høyre kant}} \) fra a). Den ene ga for lite og den andre for mye, så gjennomsnittet ligger mye nærmere.

2. Les programmet linje for linje Programmet står i svaret. Linje 12 og 13 går gjennom de samme venstre kantene som \( \texttt{areal\_til\_hoyre}\text{,} \) og linje 14 legger til arealet av ett trapes for hver \( x\text{.} \) Linje 15 og 17 er som i koden fra oppgaven, så linjenumrene stemmer.

3. Kjør programmet Programmet skriver ut \( 36{,}415\,428\dots\text{,} \) mens det eksakte arealet er \( {\dfrac{80}{\ln 9} \approx 36{,}409\,57}\text{.} \) Feilen er omtrent \( 0{,}006\text{,} \) mot omtrent \( 0{,}8 \) med rektanglene i a).

Vi ser at integralet består av to ledd. Vi finner derfor en antiderivert ledd for ledd og setter inn grensene til slutt.

1. Finn en antiderivert ledd for ledd \( e^x \) er sin egen deriverte, så \( \textcolor{blue}{2e^x} \) integrert blir \( \underline{\textcolor{blue}{2e^x}}\text{.} \) Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

For potenser forteller integrasjonsreglene oss at: \[ \int x^{\textcolor{green}{n}}\,dx = \dfrac{1}{\textcolor{green}{n} + 1}x^{\textcolor{green}{n} + 1} + C \]Regelen står også i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

\( \textcolor{red}{2x^2} \) har \( {\textcolor{green}{n} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) så integrert blir den \( \underline{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3}x^3}}\text{.} \)

2. Sett inn grensene Et bestemt integral regner vi ut med en antiderivert \( F\text{:} \) \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Plugger vi inn antiderivertene og grensene, får vi: \[ \begin{aligned} & \int_0^1 \left(2e^x + 2x^2\right) dx \\ &= \left[\textcolor{blue}{2e^x} + \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}x^3}\right]_0^1 \\ &= \left(\textcolor{blue}{2e} + \textcolor{red}{\dfrac{2}{3}}\right) - \left(\textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{0}\right) \\ &= 2e - \dfrac{4}{3} \end{aligned} \]Da vi satte inn \( {x = 0}\text{,} \) brukte vi at \( {e^0 = 1}\text{.} \)

Vi ser at telleren \( {2x - 1} \) er den deriverte av nevneren \( {x^2 - x - 6}\text{.} \) Vi bruker derfor variabelskifte med \( u \) lik nevneren.

1. Bytt variabel Vi setter nevneren lik \( \textcolor{green}{u} \) og deriverer: \[ \textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2 - x - 6} \qquad \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{dx} = 2x - 1 \]Løser vi for \( dx\text{,} \) får vi \( {dx = \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x - 1}}\text{.} \) Hvis du er usikker på variabelskifte, kan du se videoen Substitusjon.

2. Integrer med den nye variabelen Plugger vi dette inn i integralet, får vi: \[ \begin{aligned} & \int \dfrac{2x - 1}{\textcolor{green}{x^2 - x - 6}}\,dx \\ &= \int \dfrac{2x - 1}{\textcolor{green}{u}} \cdot \dfrac{d\textcolor{green}{u}}{2x - 1} \\ &= \int \dfrac{1}{\textcolor{green}{u}}\,d\textcolor{green}{u} \\ &= \ln|\textcolor{green}{u}| + C \end{aligned} \]\( {2x - 1} \) forkortes bort, og \( \ln|u| \) er en antiderivert til \( \dfrac{1}{u}\text{,} \) som i videoen Basic integrasjonsregler/​formler.

3. Bytt tilbake til den gamle variabelen Til slutt setter vi \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{x^2 - x - 6}} \) tilbake: \[ \begin{aligned} & \int \dfrac{2x - 1}{x^2 - x - 6}\,dx \\ &= \ln|\textcolor{green}{x^2 - x - 6}| + C \end{aligned} \]

Kontroll: Deriverer vi svaret med kjerneregelen, får vi \( {\dfrac{1}{x^2 - x - 6} \cdot (2x - 1)}\text{,} \) som er det vi integrerte.

Vi går gjennom løkka én runde om gangen og skriver opp hva \( \texttt{a} \) er i hver runde.

1. Les koden linje for linje Linje 1 setter \( {\texttt{a} = 2}\text{,} \) og linje 2 setter \( {\texttt{n} = 5}\text{.} \) Løkka i linje 3 går gjennom \( {\texttt{i} = 1, 2, 3, 4, 5}\text{,} \) fordi \( \texttt{range(1, 6)} \) stopper før 6, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

I hver runde skriver linje 4 ut \( \texttt{a}\text{,} \) og linje 5 legger til \( {\textcolor{red}{\texttt{i} + 2}}\text{.} \)

2. Kjør løkka for hånd De fire første rundene gir: \[ \begin{aligned} \texttt{i} = 1&\text{:} \quad 2 + \textcolor{red}{3} = 5 \\ \texttt{i} = 2&\text{:} \quad 5 + \textcolor{red}{4} = 9 \\ \texttt{i} = 3&\text{:} \quad 9 + \textcolor{red}{5} = 14 \\ \texttt{i} = 4&\text{:} \quad 14 + \textcolor{red}{6} = 20 \end{aligned} \]Programmet skriver ut \( \texttt{a} \) før det legger til, så det skriver ut \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{.} \)

Tallfølgen starter altså på \( 2\text{,} \) og hvert nytt tall er det forrige pluss \( \textcolor{red}{3}\text{,} \) \( \textcolor{red}{4}\text{,} \) \( \textcolor{red}{5}\text{,} \) \( \textcolor{red}{6}\text{,} \) … Det vi legger til, øker med \( 1 \) hver gang.

Vi ser at programmet legger hvert ledd til \( \texttt{S} \) før det lager det neste. \( \texttt{S} \) blir derfor summen av leddene.

1. Les koden Linje 3 setter \( {\texttt{S} = 0}\text{.} \) I hver runde legger linje 5 det leddet vi har nå, til \( \texttt{S}\text{,} \) og linje 6 lager det neste leddet, som i a). Slik oppdaterer vi en sum i en løkke, som i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

Linje 7 står utenfor løkka, så den skriver ut \( \textcolor{blue}{\texttt{S}} \) én gang, etter den siste runden. Løkka går fem runder, så eleven vil finne summen av de fem første leddene.

2. Regn ut summen Leddene fra a) er \( 2\text{,} \) \( 5\text{,} \) \( 9\text{,} \) \( 14 \) og \( 20\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{\texttt{S}} = 2 + 5 + 9 + 14 + 20 = \textcolor{blue}{50} \]

Fra koden i a) ser vi hvordan et ledd lages av det forrige. Med den sammenhengen viser vi at formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og at den stemmer for \( {n = k + 1} \) hvis den stemmer for \( {n = k}\text{.} \)

1. Finn sammenhengen mellom leddene I runde nummer \( n \) gjør linje 5 i den første koden ledd nummer \( n \) om til ledd nummer \( {n + 1}\text{:} \) \[ a_{n+1} = a_n + \textcolor{red}{n + 2} \]For eksempel er \( {a_2 = 2 + \textcolor{red}{3} = 5}\text{.} \)

2. Sjekk det første tilfellet For \( {n = 1} \) gir formelen: \[ a_1 = \dfrac{1 \cdot (1 + 3)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \]Det er det første leddet, så formelen stemmer for \( {n = 1}\text{.} \)

3. Vis neste tilfelle Vi antar at formelen stemmer for \( {n = k}\text{,} \) der \( {k \ge 1}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{a_k} = \textcolor{blue}{\dfrac{k(k + 3)}{2}} \]

Bytter vi ut \( \textcolor{blue}{a_k} \) med antakelsen i sammenhengen mellom leddene, får vi: \[ \begin{aligned} a_{k+1} &= \textcolor{blue}{a_k} + \textcolor{red}{k + 2} \\ &= \textcolor{blue}{\dfrac{k(k + 3)}{2}} + \textcolor{red}{k + 2} \\ &= \dfrac{k^2 + 3k + 2k + 4}{2} \\ &= \dfrac{k^2 + 5k + 4}{2} \\ &= \dfrac{(k + 1)(k + 4)}{2} \end{aligned} \]Dette er formelen med \( {n = k + 1}\text{,} \) fordi \( {(k + 1) + 3 = k + 4}\text{.} \)

Formelen stemmer for \( {n = 1}\text{,} \) og hver gang den stemmer for ett tall, stemmer den for det neste. Den stemmer derfor for alle \( {n \ge 1}\text{.} \)

Vi sammenligner \( f \) med den generelle sinusfunksjonen og leser av konstantene.

1. Sammenlign med den generelle formen Den generelle sinusfunksjonen er: \[ f(x) = \textcolor{red}{A}\sin(\textcolor{green}{c}x + \textcolor{darkorange}{\varphi}) + \textcolor{blue}{d} \]

Her er \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{2\sqrt{3}}}\text{,} \) \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{2}}\text{,} \) \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{\pi}{6}}} \) og \( {\textcolor{blue}{d} = \textcolor{blue}{0}}\text{.} \)

2. Les av egenskapene Amplituden er \( {\textcolor{red}{A} = \textcolor{red}{2\sqrt{3}}}\text{,} \) og likevektslinja er \( {y = \textcolor{blue}{d}}\text{,} \) altså \( {y = \textcolor{blue}{0}}\text{.} \) Sammenhengen mellom perioden og \( \textcolor{green}{c} \) er: \[ p = \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{c}} = \dfrac{2\pi}{\textcolor{green}{2}} = \pi \]

Faseforskyvningen er \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{\pi}{6}}}\text{.} \) Den flytter grafen \( \dfrac{\pi}{12} \) mot venstre, fordi \( {2x + \dfrac{\pi}{6} = 2\left(x + \dfrac{\pi}{12}\right)}\text{.} \)

Vi deler på \( 2\sqrt{3} \) og får en likning med sinus. Så finner vi vinklene der sinus er \( \dfrac{1}{2}\text{,} \) og ser hvilke som gir en \( x \) i definisjonsmengden.

1. Isoler sinus Vi deler begge sider på \( 2\sqrt{3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2\sqrt{3}\sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}}\right) &= \sqrt{3} \\ \sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}}\right) &= \dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

2. Finn vinklene Når \( x \) ligger i \( {\left\langle 0, \dfrac{\pi}{2} \right\rangle}\text{,} \) ligger \( {\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}}} \) i \( {\left\langle \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6} \right\rangle}\text{.} \)

Fra de eksakte verdiene vet vi at \( {\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Sinus har samme verdi i \( {\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

\( \dfrac{\pi}{6} \) er ikke med i intervallet, fordi \( {x = 0} \) ikke er med, og vinklene en hel runde senere er større enn \( \dfrac{7\pi}{6}\text{.} \) Den eneste løsningen er altså: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{5\pi}{6} \\ 2x &= \dfrac{4\pi}{6} \\ x &= \dfrac{\pi}{3} \end{aligned} \]

Vi skriver \( g \) om til én sinusfunksjon. Da ser vi at \( g \) har samme uttrykk som \( f\text{,} \) og vi kan bruke vinklene fra b) på et større intervall.

1. Skriv g som én sinusfunksjon En sum av sinus og cosinus med samme \( c \) kan skrives som én sinusfunksjon: \[ \begin{aligned} &\textcolor{red}{a}\sin(cx) + \textcolor{blue}{b}\cos(cx) \\ &= A\sin(cx + \textcolor{darkorange}{\varphi}) \end{aligned} \]der \( {A = \sqrt{\textcolor{red}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2}} \) og \( {\tan \textcolor{darkorange}{\varphi} = \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{red}{a}}}\text{,} \) med \( \textcolor{darkorange}{\varphi} \) i samme kvadrant som punktet \( (\textcolor{red}{a}, \textcolor{blue}{b})\text{.} \)

Her er \( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{3}} \) og \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{\sqrt{3}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} A &= \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 + (\textcolor{blue}{\sqrt{3}})^2} \\ &= \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \\ \tan \textcolor{darkorange}{\varphi} &= \dfrac{\textcolor{blue}{\sqrt{3}}}{\textcolor{red}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned} \]

Punktet \( (\textcolor{red}{3}, \textcolor{blue}{\sqrt{3}}) \) ligger i første kvadrant, så \( {\textcolor{darkorange}{\varphi} = \textcolor{darkorange}{\dfrac{\pi}{6}}}\text{.} \) Det gir: \[ g(x) = 2\sqrt{3}\sin\left(2x + \textcolor{darkorange}{\dfrac{\pi}{6}}\right) \]Dette er det samme uttrykket som \( f(x)\text{,} \) men på intervallet \( \langle 0, 2\pi \rangle\text{.} \)

2. Løs likningen Som i b) blir likningen \( {\sin\left(\textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}}\right) = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Sinus er \( \dfrac{1}{2} \) i \( \dfrac{\pi}{6} \) og \( \dfrac{5\pi}{6}\text{,} \) og igjen hver gang vi legger til en hel runde, \( 2\pi\text{,} \) som i videoen Oppgave 3A - Forkurs Eksamen Vår 2025.

Den første vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{\pi}{6} + n \cdot 2\pi \\ x &= n \cdot \pi \end{aligned} \]

Den andre vinkelen gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{2x + \dfrac{\pi}{6}} &= \dfrac{5\pi}{6} + n \cdot 2\pi \\ x &= \dfrac{\pi}{3} + n \cdot \pi \end{aligned} \]der \( n \) er et helt tall.

I \( \langle 0, 2\pi \rangle \) gir den første bare \( {x = \pi}\text{,} \) fordi \( 0 \) og \( 2\pi \) ikke er med. Den andre gir \( {x = \dfrac{\pi}{3}} \) og \( {x = \dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{4\pi}{3}}\text{.} \)

En vinkel er større enn \( 90^\circ \) når skalarproduktet av de to vektorene ut fra hjørnet er negativt. Vi regner ut skalarproduktet i hvert hjørne.

1. Skriv opp regelen Skalarproduktet av to vektorer er: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \textcolor{red}{\theta} \]der \( \textcolor{red}{\theta} \) er vinkelen mellom dem. Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Oppgave 5A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Lengdene er positive, så skalarproduktet har samme fortegn som \( \cos \textcolor{red}{\theta}\text{.} \) Er det negativt, er \( \textcolor{red}{\theta} \) større enn \( 90^\circ\text{.} \)

2. Regn ut i hvert hjørne Ut fra \( A \) går \( {\overrightarrow{AB} = [2, 3, 0]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [1, 4, 1]}\text{,} \) ut fra \( B \) går \( {\overrightarrow{BA} = [-2, -3, 0]} \) og \( {\overrightarrow{BC} = [-1, 1, 1]}\text{,} \) og ut fra \( C \) går \( {\overrightarrow{CA} = [-1, -4, -1]} \) og \( {\overrightarrow{CB} = [1, -1, -1]}\text{.} \)

Vi ganger koordinatene parvis og legger sammen: \[ \begin{aligned} A\text{:} \quad \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= 2 + 12 + 0 = 14 \\ B\text{:} \quad \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} &= 2 - 3 + 0 = \textcolor{red}{-1} \\ C\text{:} \quad \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} &= -1 + 4 + 1 = 4 \end{aligned} \]Skalarproduktet er negativt bare i \( B\text{,} \) så vinkelen i \( B \) er større enn \( 90^\circ\text{.} \)

Arealet av en trekant er halvparten av lengden av vektorproduktet av to av sidene. Vi bruker \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) fra a).

1. Regn ut vektorproduktet Arealet av trekanten er: \[ T = \dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \]

Vektorproduktet av \( [a_1, a_2, a_3] \) og \( [b_1, b_2, b_3] \) er: \[ \begin{aligned} [&\textcolor{blue}{a_2b_3 - a_3b_2},\ \textcolor{red}{a_3b_1 - a_1b_3}, \\ &\textcolor{green}{a_1b_2 - a_2b_1}] \end{aligned} \]

Med \( {\overrightarrow{AB} = [2, 3, 0]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [1, 4, 1]} \) får vi: \[ \begin{aligned} & \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \\ &= [\textcolor{blue}{3 \cdot 1 - 0 \cdot 4},\ \textcolor{red}{0 \cdot 1 - 2 \cdot 1}, \\ &\qquad \textcolor{green}{2 \cdot 4 - 3 \cdot 1}] \\ &= [\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{-2}, \textcolor{green}{5}] \end{aligned} \]

2. Regn ut arealet Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2}\sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + (\textcolor{red}{-2})^2 + \textcolor{green}{5}^2} \\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{38} \end{aligned} \]Enheten er desimeter, så arealet er i kvadratdesimeter.

Vi finner planet som bordplaten ligger i. Linja gjennom \( D \) og \( E \) treffer aldri planet hvis den er parallell med planet og ikke ligger i det.

1. Finn planet til bordplaten Vektorproduktet fra b) står vinkelrett på bordplaten, så \( {\vec{n} = [\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{-2}, \textcolor{green}{5}]} \) er en normalvektor. Et plan gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) med normalvektor \( [\textcolor{blue}{a}, \textcolor{red}{b}, \textcolor{green}{c}] \) har likningen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{a}(x - x_0) + \textcolor{red}{b}(y - y_0) \\ &+ \textcolor{green}{c}(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på formelen, kan du se videoen Tangentplan eksempel!.

Planet går gjennom \( A(0, 0, 0)\text{,} \) så likningen blir: \[ \textcolor{blue}{3}x \textcolor{red}{- 2}y + \textcolor{green}{5}z = 0 \]

2. Undersøk linja Retningsvektoren til linja er: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{DE} &= [2 - 3,\ 3 - 7,\ 2 - 3] \\ &= [-1, -4, -1] \end{aligned} \]

Skalarproduktet med normalvektoren er: \[ \begin{aligned} & \overrightarrow{DE} \cdot \vec{n} \\ &= (-1) \cdot \textcolor{blue}{3} + (-4) \cdot (\textcolor{red}{-2}) + (-1) \cdot \textcolor{green}{5} \\ &= -3 + 8 - 5 = 0 \end{aligned} \]Retningsvektoren står vinkelrett på normalvektoren, så linja er parallell med planet.

Setter vi \( D(3, 7, 3) \) inn i likningen for planet, får vi: \[ \textcolor{blue}{3} \cdot 3 \textcolor{red}{- 2} \cdot 7 + \textcolor{green}{5} \cdot 3 = 10 \neq 0 \]\( D \) ligger altså ikke i planet. En linje som er parallell med et plan og ikke ligger i det, treffer aldri planet, og derfor heller aldri bordplaten.