Eksamensoppgaver etter tema

Parallelle plan har den samme normalvektoren. Vi finner normalvektoren til \( \alpha \) med vektorproduktet, og setter inn punktet \( P\text{.} \)

1. Finn normalvektoren Fra \( A(1, 0, 3) \) til \( B \) og \( C\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} &= \textcolor{blue}{[-1, 1, -1]} \\ \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} &= \textcolor{red}{[1, 3, -1]} \end{aligned} \]

Vektorproduktet står vinkelrett på begge. Hvis du er usikker på vektorproduktet, kan du se videoen Finn et generelt uttrykk for curlen til vektorfeltet. For \( \textcolor{blue}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{red}{\overrightarrow{AC}} \) får vi: \[ \begin{aligned} x&\text{:} \quad 1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 3 = 2 \\ y&\text{:} \quad (-1) \cdot 1 - (-1) \cdot (-1) = -2 \\ z&\text{:} \quad (-1) \cdot 3 - 1 \cdot 1 = -4 \end{aligned} \]

Vi deler \( {[2, -2, -4]} \) på \( 2 \) og bruker \( {\textcolor{green}{\vec{n} = [1, -1, -2]}}\text{.} \)

2. Sett inn punktet P Likningen for et plan med normalvektor \( [a, b, c] \) gjennom \( (x_0, y_0, z_0) \) er: \[ \begin{aligned} &a(x - x_0) + b(y - y_0) \\ &\quad + c(z - z_0) = 0 \end{aligned} \]som i videoen Hva er et plan og hvordan regner man seg fram.

Med \( \textcolor{green}{\vec{n}} \) og \( {P(2, -5, 5)} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{1}(x - 2) \textcolor{green}{- 1}(y + 5) \textcolor{green}{- 2}(z - 5) &= 0 \\ x - y - 2z + 3 &= 0 \end{aligned} \]

Til sammenligning er \( \alpha\text{:} \) \( {x - y - 2z + 5 = 0}\text{,} \) med det samme venstre leddet og et annet tall. Planene er altså parallelle og ikke like.

Fra a) er \( \beta\text{:} \) \( {x - y - 2z + 3 = 0}\text{,} \) og begge planene har normalvektoren \( {\textcolor{green}{\vec{n} = [1, -1, -2]}}\text{.} \)

Radien til en kule står vinkelrett på et plan den tangerer. Kula ligger mellom de to parallelle planene, så \( A\text{,} \) sentrum og \( Q \) ligger på én linje langs normalvektoren. \( Q \) er der den linja treffer \( \beta\text{.} \)

1. Linja gjennom A langs normalvektoren Linja gjennom \( A(1, 0, 3) \) med retning \( \textcolor{green}{\vec{n}} \) er: \[ \ell\text{:} \quad \begin{cases} x = 1 + \textcolor{green}{1}t \\ y = 0 \textcolor{green}{- 1}t \\ z = 3 \textcolor{green}{- 2}t \end{cases} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

2. Finn hvor linja treffer β Vi setter koordinatene inn i likningen for \( \beta\text{:} \) \[ \begin{aligned} (1 + t) - (-t) - 2(3 - 2t) + 3 &= 0 \\ 6t - 2 &= 0 \\ t &= \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]

3. Regn ut Q Med \( {t = \dfrac{1}{3}} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3} \\ y &= -\dfrac{1}{3} \\ z &= 3 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{3} \end{aligned} \]

Kontroll: \( {\dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{14}{3} + 3 = 0}\text{,} \) så \( Q \) ligger i \( \beta\text{.} \)

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og banefarten er lengden av fartsvektoren.

1. Deriver posisjonsvektoren Vi deriverer hver koordinat for seg, som i videoen Regn ut farten og akselerasjonen til partikkelen. Med kjerneregelen er \( {\left(e^{t/20}\right)' = \dfrac{1}{20}e^{t/20}} \) og \( {\left(e^{-2t + 2}\right)' = -2e^{-2t + 2}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen. Fartsvektoren er \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]

2. Sett inn t = 1 Kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \dfrac{1}{20}e^{0{,}05} \approx \textcolor{blue}{0{,}0526} \\ \textcolor{red}{v_y} &= -\cos 1 \approx \textcolor{red}{-0{,}5403} \\ \textcolor{green}{v_z} &= -\dfrac{1}{5}e^{0} - \sin 1 \approx \textcolor{green}{-1{,}0415} \end{aligned} \]

3. Finn lengden Lengden av en vektor er: \[ |\vec{v}| = \sqrt{\textcolor{blue}{v_x}^2 + \textcolor{red}{v_y}^2 + \textcolor{green}{v_z}^2} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Vi regner ut kvadratene først: \[ \begin{aligned} |\vec{v}(1)|^2 &\approx \textcolor{blue}{0{,}0028} + \textcolor{red}{0{,}2919} + \textcolor{green}{1{,}0847} \\ &\approx 1{,}3794 \\ |\vec{v}(1)| &\approx \sqrt{1{,}3794} \approx 1{,}17 \end{aligned} \]

1. Regn ut banefarten i CAS Vi skriver \( \vec{r}(t) \) som et punkt, deriverer og tar lengden:

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (1 + ℯ^(t/20), 1 - sin(t), 1/10 ℯ^(-2t+2) + cos(t)) v(t) := Derivert(r(t), t) ≈ Lengde(v(1))

Rad 3 gir det samme som med kalkulatoren.

Fra a) er fartsvektoren \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]

Banefarten \( |\vec{v}(t)| \) er en funksjon av \( t\text{.} \) Vi tegner grafen for \( t \in [0, 5] \) i GeoGebra og finner bunnpunktet.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke finne bunnpunktet til en så sammensatt funksjon. Øv heller på å sette opp banefarten som lengden av fartsvektoren, og på å regne den ut for gitte \( t \) med kalkulator.

1. Tegn banefarten Banefarten er lengden av fartsvektoren, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ s(t) = \sqrt{\textcolor{blue}{v_x}^2 + \textcolor{red}{v_y}^2 + \textcolor{green}{v_z}^2} \]

Vi skriver den inn i algebrafeltet med \( x \) for \( t\text{,} \) bare for \( {0 \le x \le 5}\text{,} \) og finner bunnpunktet med Min:

Skriv inn i GeoGebra: s(x) = Hvis(0 <= x <= 5, sqrt((ℯ^(x/20)/20)^2 + cos(x)^2 + (-0.2ℯ^(2-2x) - sin(x))^2)) M = Min(s, 0, 5)

2. Les av bunnpunktet Grafen faller fra \( {s(0) \approx 1{,}79} \) og er nesten flat fra \( {t \approx 2}\text{.} \) Bunnpunktet er \( {M \approx (3{,}54;\ 1{,}0013)}\text{,} \) det laveste punktet på hele \( [0, 5]\text{.} \)

Fra a) er fartsvektoren \( {\vec{v}(t) = [\textcolor{blue}{v_x}, \textcolor{red}{v_y}, \textcolor{green}{v_z}]}\text{,} \) der: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v_x} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{20}e^{t/20}} \\ \textcolor{red}{v_y} &= \textcolor{red}{-\cos t} \\ \textcolor{green}{v_z} &= \textcolor{green}{-\dfrac{1}{5}e^{-2t + 2} - \sin t} \end{aligned} \]

Fartsvektoren er parallell med \( xy \)-planet når \( {\textcolor{green}{v_z = 0}}\text{,} \) og parallell med \( yz \)-planet når \( {\textcolor{blue}{v_x = 0}}\text{.} \) Vi ser om hver av dem kan bli \( 0\text{.} \)

1. Parallell med yz-planet? \( e^{t/20} \) er alltid positiv, så: \[ \textcolor{blue}{v_x} = \dfrac{1}{20}e^{t/20} > 0 \]\( \textcolor{blue}{v_x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) så fartsretningen er aldri parallell med \( yz \)-planet.

2. Parallell med xy-planet? Vi regner ut \( \textcolor{green}{v_z} \) i to tidspunkter med kalkulatoren: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v_z(3)} &= -\dfrac{1}{5}e^{-4} - \sin 3 \approx -0{,}145 \\ \textcolor{green}{v_z(3{,}5)} &= -\dfrac{1}{5}e^{-5} - \sin 3{,}5 \approx 0{,}349 \end{aligned} \]

\( \textcolor{green}{v_z} \) er kontinuerlig og skifter fortegn mellom \( {t = 3} \) og \( {t = 3{,}5}\text{,} \) så den er \( 0 \) for en \( t \) der imellom. Da er fartsvektoren parallell med \( xy \)-planet. Prøver vi oss fram, finner vi fortegnsskiftet mellom: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{v_z(3{,}14)} &\approx -0{,}004 \\ \textcolor{green}{v_z(3{,}15)} &\approx 0{,}006 \end{aligned} \]Det er altså ved \( {t \approx 3{,}14}\text{.} \)

1. Løs v_z = 0 i CAS Vi bruker \( \vec{v}(t) \) fra a), og løser \( {\textcolor{green}{v_z = 0}} \) med en startverdi:

Skriv inn i GeoGebra: NLøs(-1/5 ℯ^(-2t+2) - sin(t) = 0, t = 3)

Ved \( {t \approx 3{,}14} \) er \( {\textcolor{green}{v_z} = 0}\text{.} \) \( \textcolor{blue}{v_x} \) er alltid positiv.