Eksamensoppgaver etter tema

Vinkel \( BAC \) er vinkelen mellom vektorene \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC}\text{,} \) så vi bruker skalarproduktet av dem.

1. Bruk at skalarproduktet er null 0:55 To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{.} \) Vinkelen i \( A \) er derfor \( 90^\circ \) når: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4C - Del 1 - R1 Eksamen Høst 2025.

Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

2. Finn vektorene fra A 1:34 En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?. Begge vektorene starter i \( {A(1, -3)}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [4 - 1,\ 1 - (-3)] = [\textcolor{blue}{3}, \textcolor{red}{4}] \\ \overrightarrow{AC} &= [-2 - 1,\ a - (-3)] \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{-3}, \textcolor{red}{a + 3}] \end{aligned} \]

3. Sett skalarproduktet lik null 3:19 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{3} \cdot (\textcolor{blue}{-3}) + \textcolor{red}{4} \cdot (\textcolor{red}{a + 3}) &= 0 \\ -9 + 4a + 12 &= 0 \\ 4a &= -3 \\ a &= -\dfrac{3}{4} \end{aligned} \]

Vi regner ut lengden av begge vektorene og setter dem like. Det gir en andregradslikning for \( a\text{.} \)

1. Regn ut begge lengdene 0:12 Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Vektorene fra \( A \) finner vi ved å trekke koordinatene til \( A \) fra koordinatene til sluttpunktet: \( {\overrightarrow{AB} = [3, 4]} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [-3, a + 3]}\text{.} \) Siden \( {(a + 3)^2 = a^2 + 6a + 9}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \\ |\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{(-3)^2 + (a + 3)^2} \\ |\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{a^2 + 6a + 18} \end{aligned} \]

2. Sett lengdene like 2:55 Med \( {|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|} \) får vi: \[ \sqrt{a^2 + 6a + 18} = 5 \]

Begge sider er positive, så vi kan kvadrere begge sider: \[ \begin{aligned} a^2 + 6a + 18 &= 25 \\ a^2 + 6a - 7 &= 0 \end{aligned} \]

3. Løs med abc-formelen 4:00 Bokstaven \( a \) er den ukjente her, så vi kaller koeffisientene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{p}a^2 + \textcolor{red}{q}a + \textcolor{green}{r} = 0} \) løsningene: \[ a = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{green}{r}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{6}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{-7}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{-\textcolor{red}{6} \pm \sqrt{\textcolor{red}{6}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-7})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ a &= \dfrac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \dfrac{-6 \pm 8}{2} \end{aligned} \]

Det gir to løsninger: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{-6 + 8}{2} = 1 \\ a &= \dfrac{-6 - 8}{2} = -7 \end{aligned} \]

Vi går fra \( A \) til \( B \) og fra \( P \) til \( R \) via \( O\text{,} \) der vi kjenner vektorene.

1. Finn vektoren fra A til B 1:05 Vi går fra \( A \) til \( O \) og videre fra \( O \) til \( B\text{.} \) Å gå fra \( A \) til \( O \) er det motsatte av \( {\overrightarrow{OA} = \textcolor{blue}{\vec{a}}}\text{,} \) altså \( {-\textcolor{blue}{\vec{a}}}\text{:} \) \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = -\textcolor{blue}{\vec{a}} + \textcolor{red}{\vec{b}} = \textcolor{red}{\vec{b}} - \textcolor{blue}{\vec{a}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer.

2. Finn vektoren fra P til R 2:53 \( P \) ligger \( \dfrac{2}{3} \) av veien fra \( O \) til \( A\text{,} \) og \( R \) ligger \( \dfrac{2}{3} \) av veien fra \( O \) til \( B\text{.} \) Når vi ganger en vektor med et positivt tall, beholder den retningen, og lengden blir ganget med tallet, som i videoen Hva er en Skalar?: \[ \overrightarrow{OP} = \dfrac{2}{3}\textcolor{blue}{\vec{a}} \qquad \overrightarrow{OR} = \dfrac{2}{3}\textcolor{red}{\vec{b}} \]

Vi går fra \( P \) til \( O \) og videre til \( R\text{,} \) på samme måte som for \( \overrightarrow{AB}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{PR} &= \overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OR} = -\dfrac{2}{3}\textcolor{blue}{\vec{a}} + \dfrac{2}{3}\textcolor{red}{\vec{b}} \\ \overrightarrow{PR} &= \dfrac{2}{3}(\textcolor{red}{\vec{b}} - \textcolor{blue}{\vec{a}}) \end{aligned} \]

Vi bruker uttrykkene for \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{PR} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

I uttrykkene fra a) ser vi etter et tall \( k \) slik at \( {\overrightarrow{PR} = k \cdot \overrightarrow{AB}}\text{.} \)

1. Skriv opp når vektorer er parallelle 0:08 To vektorer \( \vec{u} \) og \( \vec{v} \) som ikke er nullvektorer, er parallelle når det finnes et tall \( k \) slik at: \[ \vec{u} = k \cdot \vec{v} \]Et tall ganget med en vektor gir en vektor langs samme linje, som i videoen Hva er en Skalar?.

2. Bruk uttrykkene fra a) 1:00 I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= \textcolor{green}{\vec{b} - \vec{a}} \\ \overrightarrow{PR} &= \dfrac{2}{3}(\textcolor{green}{\vec{b} - \vec{a}}) \end{aligned} \]

Parentesen er \( \textcolor{green}{\overrightarrow{AB}}\text{,} \) så: \[ \overrightarrow{PR} = \dfrac{2}{3} \cdot \textcolor{green}{\overrightarrow{AB}} \]Det er formen \( {\vec{u} = k \cdot \vec{v}} \) med \( {k = \dfrac{2}{3}}\text{,} \) så vektorene er parallelle.

Vi bruker at \( {\overrightarrow{PR} = \dfrac{2}{3} \cdot \overrightarrow{AB}}\text{,} \) som vi viste i b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Når en vektor ganges med \( \dfrac{2}{3}\text{,} \) blir lengden også ganget med \( \dfrac{2}{3}\text{.} \) Vi viser det med koordinater, og løser for lengden av \( \overrightarrow{AB}\text{.} \)

1. Skriv lengdene med koordinater 0:48 I b) viste vi at: \[ \overrightarrow{PR} = \dfrac{2}{3} \cdot \overrightarrow{AB} \]

Vi kaller koordinatene til \( \overrightarrow{AB} \) for \( \textcolor{blue}{x} \) og \( \textcolor{red}{y}\text{.} \) Da blir begge koordinatene til \( \overrightarrow{PR} \) ganget med \( \dfrac{2}{3}\text{:} \) \[ \overrightarrow{AB} = [\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}] \qquad \overrightarrow{PR} = \left[\dfrac{2}{3}\textcolor{blue}{x}, \dfrac{2}{3}\textcolor{red}{y}\right] \]

Lengden finner vi med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \\ |\overrightarrow{PR}| &= \sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\textcolor{blue}{x}\right)^2 + \left(\dfrac{2}{3}\textcolor{red}{y}\right)^2} \end{aligned} \]

2. Forenkle kvadratroten 3:16 Vi kvadrerer parentesene, setter \( \dfrac{4}{9} \) utenfor og bruker at \( {\sqrt{m \cdot n} = \sqrt{m} \cdot \sqrt{n}} \) for \( {m, n \ge 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{PR}| &= \sqrt{\dfrac{4}{9}\textcolor{blue}{x}^2 + \dfrac{4}{9}\textcolor{red}{y}^2} \\ |\overrightarrow{PR}| &= \sqrt{\dfrac{4}{9}} \cdot \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \\ |\overrightarrow{PR}| &= \dfrac{2}{3}|\overrightarrow{AB}| \end{aligned} \]

3. Sett inn lengden og løs 4:19 Vi setter inn \( {|\overrightarrow{PR}| = \dfrac{\sqrt{2}}{3}}\text{:} \) \[ \dfrac{2}{3}|\overrightarrow{AB}| = \dfrac{\sqrt{2}}{3} \]

Ganger vi begge sider med \( \dfrac{3}{2}\text{,} \) får vi: \[ |\overrightarrow{AB}| = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{3} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]Linjestykket \( AB \) er like langt som vektoren \( \overrightarrow{AB}\text{.} \)

Alternativ metode: Lengden av et tall ganget med en vektor For et tall \( k \) og en vektor \( \vec{v} \) er \( {|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|}\text{.} \) Da gir \( {\overrightarrow{PR} = \dfrac{2}{3} \cdot \overrightarrow{AB}} \) med en gang: \[ |\overrightarrow{AB}| = \dfrac{3}{2} \cdot |\overrightarrow{PR}| = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{3} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \]Regelen sparer utregningen med koordinater.

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og banefarten er lengden av fartsvektoren. Posisjonen finner vi ved å sette inn tiden.

1. Finn fartsvektoren Posisjonsvektoren har førstekoordinaten \( {\textcolor{blue}{6t + 120}} \) og andrekoordinaten \( {\textcolor{red}{\dfrac{5}{3}t + 50}}\text{:} \) \[ \vec{r}(t) = \left[\textcolor{blue}{6t + 120},\ \textcolor{red}{\dfrac{5}{3}t + 50}\right] \]Fartsvektoren er den deriverte av den, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon.

Vi deriverer hver koordinat for seg. Konstantene \( 120 \) og \( 50 \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \vec{v}(t) = \left[\textcolor{blue}{6},\ \textcolor{red}{\dfrac{5}{3}}\right] \]Fartsvektoren er den samme hele tiden, så skøyteløperen beveger seg langs en rett linje med konstant fart.

2. Regn ut banefarten Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{6}^2 + \left(\textcolor{red}{\dfrac{5}{3}}\right)^2} \\ |\vec{v}| &= \sqrt{36 + \dfrac{25}{9}} = \sqrt{\dfrac{349}{9}} = \dfrac{\sqrt{349}}{3} \\ |\vec{v}| &\approx 6{,}23 \end{aligned} \]

3. Finn posisjonen etter et halvt minutt Et halvt minutt er \( 30 \) sekunder. Vi setter inn \( {t = 30} \) i begge koordinatene: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{6 \cdot 30 + 120} = 300 \\ y &= \textcolor{red}{\dfrac{5}{3} \cdot 30 + 50} = 100 \end{aligned} \]

Skøyteløperen treffer hunden bare hvis de er på samme sted til samme tid. Da må begge koordinatene være like for den samme \( t\text{.} \)

1. Sett førstekoordinatene like Skal de treffe hverandre, må førstekoordinaten til skøyteløperen, \( {\textcolor{blue}{6t + 120}}\text{,} \) og til hunden, \( {\textcolor{red}{\dfrac{13}{2}t + 250}}\text{,} \) være like for den samme \( t \in [0, 200]\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{6t + 120} &= \textcolor{red}{\dfrac{13}{2}t + 250} \\ 6t - \dfrac{13}{2}t &= 250 - 120 \\ -\dfrac{1}{2}t &= 130 \\ t &= -260 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se kapittelet Parametrisering.

Førstekoordinatene er like bare for \( {t = -260}\text{,} \) og den er ikke med i tidsintervallet: \[ t = -260 \notin [0, 200] \]Da kan skøyteløperen og hunden aldri være på samme sted til samme tid, uansett hva andrekoordinatene er.

Ingen av dem endrer retning, så de kan bare møtes der banene krysser hverandre. Vi finner når hunden er der, og deler strekningen skøyteløperen har igjen på tiden som er igjen.

1. Finn hvor banene krysser hverandre I krysningspunktet er de på samme sted, men ikke nødvendigvis til samme tid. Vi kaller tiden til skøyteløperen \( \textcolor{blue}{u} \) og tiden til hunden \( \textcolor{red}{w}\text{,} \) og setter koordinatene like: \[ \begin{aligned} 6\textcolor{blue}{u} + 120 &= \dfrac{13}{2}\textcolor{red}{w} + 250 \\ \dfrac{5}{3}\textcolor{blue}{u} + 50 &= -\dfrac{9}{5}\textcolor{red}{w} + 520 \end{aligned} \]

Vi løser den første likningen for \( \textcolor{blue}{u}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{u} = \dfrac{13}{12}\textcolor{red}{w} + \dfrac{65}{3} \]

Setter vi det inn i den andre og ganger begge sider med \( 180\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{65}{36}\textcolor{red}{w} + \dfrac{325}{9} + 50 &= -\dfrac{9}{5}\textcolor{red}{w} + 520 \\ 325\textcolor{red}{w} + 15500 &= -324\textcolor{red}{w} + 93600 \\ 649\textcolor{red}{w} &= 78100 \\ \textcolor{red}{w} &= \dfrac{7100}{59} \end{aligned} \]Hunden er i krysningspunktet \( K \) etter omtrent \( 120{,}34 \) sekunder, innenfor \( [0, 200]\text{.} \)

2. Finn krysningspunktet og hvor skøyteløperen er Vi setter \( {\textcolor{red}{w} = \dfrac{7100}{59}} \) inn i koordinatene til hunden: \[ \begin{aligned} x_K &= \dfrac{13}{2} \cdot \dfrac{7100}{59} + 250 = \dfrac{60900}{59} \\ y_K &= -\dfrac{9}{5} \cdot \dfrac{7100}{59} + 520 = \dfrac{17900}{59} \end{aligned} \]

Skøyteløperen oppdager hunden etter \( 1 \) minutt, når \( {t = 60}\text{,} \) i punktet \( P\text{:} \) \[ \begin{aligned} x_P &= 6 \cdot 60 + 120 = 480 \\ y_P &= \dfrac{5}{3} \cdot 60 + 50 = 150 \end{aligned} \]

3. Regn ut strekningen som er igjen Vektoren fra \( P \) til \( K \) finner vi ved å trekke koordinatene til \( P \) fra koordinatene til \( K\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{PK} &= \left[\dfrac{32580}{59},\ \dfrac{9050}{59}\right] \\ \overrightarrow{PK} &= \dfrac{1810}{59} \cdot [18, 5] \end{aligned} \]Siden \( {[18, 5] = 3 \cdot \left[6, \dfrac{5}{3}\right]}\text{,} \) peker den samme vei som fartsvektoren, så \( K \) ligger rett fram.

Lengden finner vi med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{.} \) Den positive faktoren kan stå utenfor roten: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{PK}| &= \dfrac{1810}{59} \cdot \sqrt{18^2 + 5^2} \\ |\overrightarrow{PK}| &= \dfrac{1810}{59} \cdot \sqrt{349} \approx 573{,}11 \end{aligned} \]Skøyteløperen har omtrent \( 573{,}11\,\text{m} \) igjen.

4. Regn ut den nye banefarten Den nye banefarten er strekningen delt på tiden fra \( {t = 60} \) til hunden er i \( K\text{.} \) Vi regner med de eksakte verdiene og runder av til slutt: \[ \begin{aligned} v &= \dfrac{|\overrightarrow{PK}|}{\textcolor{red}{w} - 60} \\ v &= \dfrac{1810 \cdot \sqrt{349}}{59} : \left(\dfrac{7100}{59} - 60\right) \\ v &= \dfrac{1810 \cdot \sqrt{349}}{59} : \dfrac{3560}{59} \\ v &= \dfrac{181 \cdot \sqrt{349}}{356} \approx 9{,}50 \end{aligned} \]Skøyteløperen må holde en banefart på omtrent \( 9{,}50\,\text{m/s}\text{.} \)

1. Løs likningene i CAS Vi skriver posisjonene inn i CAS og løser likningssystemet for krysningspunktet med Løs, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den nye banefarten er avstanden fra \( P\text{,} \) der skøyteløperen er etter \( 60 \) sekunder, til krysningspunktet \( K\text{,} \) delt på tiden som er igjen, der \( w \) er tiden da hunden er i \( K\text{:} \) \[ v = \dfrac{|\overrightarrow{PK}|}{w - 60} \]Den siste raden regner vi ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (6t + 120, 5/3*t + 50) s(t) := (13/2*t + 250, -9/5*t + 520) Løs({6u + 120 = 13/2*w + 250, 5/3*u + 50 = -9/5*w + 520}, {u, w}) Avstand(r(60), s(7100/59)) / (7100/59 - 60)

CAS gir \( {u = \dfrac{8970}{59}} \) og \( {w = \dfrac{7100}{59}}\text{,} \) og den nye banefarten er omtrent \( 9{,}4982\,\text{m/s}\text{,} \) altså omtrent \( 9{,}50\,\text{m/s}\text{.} \)

Linjestykket \( AB \) er like langt som vektoren \( \overrightarrow{AB}\text{.} \) Vi finner vektoren og bruker Pythagoras.

1. Finn vektoren fra A til B 0:35 En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [x_B - x_A,\ y_B - y_A] \\ \overrightarrow{AB} &= [3 - (-2),\ 2 - 3] = [\textcolor{blue}{5}, \textcolor{red}{-1}] \end{aligned} \]

2. Bruk Pythagoras 1:25 Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 + (\textcolor{red}{-1})^2} \\ AB &= \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \end{aligned} \]

Vi bruker vektoren \( {\overrightarrow{AB} = [5, -1]} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner likningen \( {y = ax + b} \) for linja gjennom \( A \) og \( B\text{.} \) \( C \) ligger på \( x \)-aksen, så der er \( {y = 0}\text{.} \)

1. Finn stigningstallet 0:35 En rett linje har likningen: \[ y = \textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b} \]der \( \textcolor{blue}{a} \) er stigningstallet og \( \textcolor{red}{b} \) er der linja skjærer \( y \)-aksen.

Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. I a) fant vi \( {\overrightarrow{AB} = [5, -1]}\text{:} \) når vi går \( 5 \) bortover, går linja \( 1 \) ned. Det gir: \[ \textcolor{blue}{a} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-1}{5} = \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{5}} \]

2. Finn konstantleddet 1:52 Linja går gjennom \( {A(-2, 3)}\text{.} \) Vi setter inn \( {x = -2} \) og \( {y = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{5}} \cdot (-2) + \textcolor{red}{b} \\ 3 &= \dfrac{2}{5} + \textcolor{red}{b} \\ \textcolor{red}{b} &= \dfrac{15}{5} - \dfrac{2}{5} = \textcolor{red}{\dfrac{13}{5}} \end{aligned} \]

3. Sett y lik null 3:44 \( C \) ligger på \( x \)-aksen, der \( {y = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{5}}x + \textcolor{red}{\dfrac{13}{5}} \\ \dfrac{1}{5}x &= \dfrac{13}{5} \\ x &= 13 \end{aligned} \]

Vinkelen \( \angle ABD \) ligger i \( B\text{,} \) mellom vektorene \( \overrightarrow{BA} \) og \( \overrightarrow{BD}\text{.} \) Den er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av dem er \( 0\text{.} \)

1. Skriv opp kravet 1:10 Skalarproduktet av to vektorer er: \[ \vec{u} \cdot \vec{w} = |\vec{u}| \cdot |\vec{w}| \cdot \cos v \]der \( v \) er vinkelen mellom dem. Når \( {v = 90^\circ}\text{,} \) er \( {\cos v = 0}\text{,} \) så skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

2. Finn vektorene fra B 2:14 Begge vektorene starter i \( B(3, 2)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BA} &= [-2 - 3,\ 3 - 2] = [\textcolor{blue}{-5}, \textcolor{red}{1}] \\ \overrightarrow{BD} &= [2 - 3,\ t - 2] = [\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{red}{t - 2}] \end{aligned} \]

3. Sett skalarproduktet lik null 3:17 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{-5}) \cdot (\textcolor{blue}{-1}) + \textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{red}{t - 2}) &= 0 \\ 5 + t - 2 &= 0 \\ t &= -3 \end{aligned} \]

Vi kjenner bare lengdene og vinkelen, ikke selve vektorene. Vi gir dem ukjente koordinater, skriver opp \( |\vec{p}|^2 \) og bruker det vi vet.

1. Gi vektorene koordinater 1:21 Vi skriver \( {\vec{a} = [x_1, y_1]} \) og \( {\vec{b} = [x_2, y_2]}\text{.} \) Da er \( {\vec{p} = [x_1 + x_2,\ y_1 + y_2]}\text{,} \) og med Pythagoras, som i videoen Lengden til en Vektor, er: \[ |\vec{p}|^2 = (x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2 \]

Vi ganger ut med \( {(u + w)^2 = u^2 + 2uw + w^2} \) og samler leddene: \[ \begin{aligned} |\vec{p}|^2 = {} & \textcolor{blue}{x_1^2 + y_1^2} + \textcolor{red}{x_2^2 + y_2^2} \\ &+ 2(\textcolor{green}{x_1 x_2 + y_1 y_2}) \end{aligned} \]

2. Finn de tre delene 4:30 Lengden av en vektor gir de to første delene: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{x_1^2 + y_1^2} &= |\vec{a}|^2 = 4^2 = \textcolor{blue}{16} \\ \textcolor{red}{x_2^2 + y_2^2} &= |\vec{b}|^2 = (2\sqrt{3})^2 = \textcolor{red}{12} \end{aligned} \]

Den tredje delen er skalarproduktet \( {\vec{a} \cdot \vec{b}} \) med koordinater. Med vinkelen \( v \) mellom vektorene er skalarproduktet: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos v \]

Med \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) får vi: \[ \textcolor{green}{x_1 x_2 + y_1 y_2} = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \textcolor{green}{12} \]

3. Sett sammen 7:35 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{p}|^2 &= \textcolor{blue}{16} + \textcolor{red}{12} + 2 \cdot \textcolor{green}{12} = 52 \\ |\vec{p}| &= \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \end{aligned} \]

1. Legg vektorene inn i CAS Bare lengdene og vinkelen er gitt, så vi kan velge hvor vektorene ligger, som i videoen Oppgave 5A + B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Vi legger \( \vec{a} \) langs \( x \)-aksen og \( \vec{b} \) med vinkelen \( 30^\circ\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: a := Vektor((4, 0)) b := Vektor((2*sqrt(3)*cos(30°), 2*sqrt(3)*sin(30°))) p := a + b Lengde(p)

CAS gir \( {\vec{p} = [7, \sqrt{3}]} \) og \( {|\vec{p}| = 2\sqrt{13}}\text{.} \)

Alternativ metode: Regneregler for skalarproduktet Siden \( {\vec{p} \cdot \vec{p} = |\vec{p}|^2}\text{,} \) kan vi gange ut med vektorene direkte: \[ \begin{aligned} |\vec{p}|^2 &= (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \\ &= |\vec{a}|^2 + 2\,\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \end{aligned} \]Det gir \( {16 + 2 \cdot 12 + 12 = 52}\text{.} \) Metoden sparer koordinatene når lengdene og vinkelen er gitt.

Vi bruker \( {|\vec{a}|^2 = 16}\text{,} \) \( {|\vec{b}|^2 = 12} \) og \( {\vec{a} \cdot \vec{b} = 12} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

To vektorer er ortogonale når skalarproduktet er \( 0\text{.} \) Vi skriver \( {\vec{p} \cdot \vec{q}} \) ved de tre tallene fra a) og løser for \( t\text{.} \)

1. Skriv opp kravet 0:19 Ortogonale vektorer står vinkelrett på hverandre, og da er skalarproduktet \( 0\text{:} \) \[ \vec{p} \cdot \vec{q} = 0 \]

Med koordinatene fra a) er: \[ \begin{aligned} \vec{p} &= [x_1 + x_2,\ y_1 + y_2] \\ \vec{q} &= [t x_1 + x_2,\ t y_1 + y_2] \end{aligned} \]

2. Regn ut skalarproduktet 1:44 Vi ganger førstekoordinatene og andrekoordinatene: \[ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{q} = {} & (x_1 + x_2)(t x_1 + x_2) \\ &+ (y_1 + y_2)(t y_1 + y_2) \end{aligned} \]

Ganger vi ut og samler leddene, får vi: \[ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{q} = {} & t \cdot (\textcolor{blue}{x_1^2 + y_1^2}) \\ &+ (t + 1) \cdot (\textcolor{green}{x_1 x_2 + y_1 y_2}) \\ &+ (\textcolor{red}{x_2^2 + y_2^2}) \end{aligned} \]

3. Sett inn og løs 4:14 I a) fant vi \( {\textcolor{blue}{x_1^2 + y_1^2 = 16}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{x_2^2 + y_2^2 = 12}} \) og \( {\textcolor{green}{x_1 x_2 + y_1 y_2 = 12}}\text{.} \) Plugger vi dem inn og setter skalarproduktet lik \( 0\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{16}t + \textcolor{green}{12}(t + 1) + \textcolor{red}{12} &= 0 \\ 28t + 24 &= 0 \\ t &= -\dfrac{24}{28} = -\dfrac{6}{7} \end{aligned} \]

1. Løs i CAS Vi fortsetter i CAS-vinduet fra a), der \( \vec{a} \) ligger langs \( x \)-aksen, og løser \( {\vec{p} \cdot \vec{q} = 0}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: q := t*a + b Løs(p*q = 0, t)

CAS gir \( {t = -\dfrac{6}{7}}\text{.} \)

Alternativ metode: Regneregler for skalarproduktet Vi ganger ut med vektorene direkte: \[ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{q} &= (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (t\vec{a} + \vec{b}) \\ &= t|\vec{a}|^2 + (t + 1)\,\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \end{aligned} \]Det gir den samme likningen, \( {16t + 12(t + 1) + 12 = 0}\text{.} \) Metoden sparer koordinatene.

Avstanden mellom Nils og Ahmad er lengden av vektoren \( \overrightarrow{NA}\text{.} \) Vi finner vektoren og bruker Pythagoras.

1. Finn vektoren fra N til A En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{NA} &= [x_A - x_N,\ y_A - y_N] \\ \overrightarrow{NA} &= [1 - (-1),\ 1 - 2] = [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{-1}] \end{aligned} \]

2. Bruk Pythagoras Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{NA}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{2}^2 + (\textcolor{red}{-1})^2} \\ |\overrightarrow{NA}| &= \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {\overrightarrow{NA} = [2, -1]} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

To vektorer er parallelle når den ene er et tall ganget med den andre. Vi setter opp den sammenhengen og finner tallet og \( a\text{.} \)

1. Skriv opp kravet for parallelle vektorer To vektorer \( \vec{u} \) og \( \vec{v} \) er parallelle når det finnes et tall \( k \) slik at: \[ \vec{u} = k \cdot \vec{v} \]Tallet \( k \) kan også være negativt, og da peker vektorene motsatt vei. Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 8B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

2. Finn tallet og a Vi kaller punktet til ballen \( {B(-1, a)}\text{.} \) Vektoren fra Jelena til ballen er: \[ \overrightarrow{JB} = [-1 - 0,\ a - 0] = [\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{red}{a}] \]

I a) fant vi \( {\overrightarrow{NA} = [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{-1}]}\text{,} \) så kravet er: \[ [\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{red}{a}] = k \cdot [\textcolor{blue}{2}, \textcolor{red}{-1}] \]

Førstekoordinatene gir \( {\textcolor{blue}{-1} = k \cdot \textcolor{blue}{2}}\text{,} \) altså \( {k = -\dfrac{1}{2}}\text{.} \) Andrekoordinatene gir da: \[ \textcolor{red}{a} = k \cdot (\textcolor{red}{-1}) = -\dfrac{1}{2} \cdot (-1) = \dfrac{1}{2} \]

\( M \) skal ligge \( \sqrt{10} \) meter fra Jelena, og vinkelen i \( A \) mellom \( \overrightarrow{AM} \) og \( \overrightarrow{AJ} \) skal være \( 90^\circ\text{.} \) Det gir to likninger for koordinatene til \( M\text{.} \)

1. Skriv opp de to kravene Vi kaller koordinatene til \( M \) for \( x \) og \( y\text{.} \) Med Pythagoras er avstanden fra \( J(0, 0) \) lik \( {\sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) så: \[ x^2 + y^2 = 10 \]

Vinkelen \( \angle MAJ \) ligger i \( A\text{.} \) Den er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av \( \overrightarrow{AM} \) og \( \overrightarrow{AJ} \) er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

Her er \( {\overrightarrow{AM} = [\textcolor{blue}{x - 1}, \textcolor{red}{y - 1}]} \) og \( {\overrightarrow{AJ} = [\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{red}{-1}]}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x - 1})(\textcolor{blue}{-1}) + (\textcolor{red}{y - 1})(\textcolor{red}{-1}) &= 0 \\ -x + 1 - y + 1 &= 0 \\ y &= 2 - x \end{aligned} \]

2. Løs likningssettet Vi setter \( {y = 2 - x} \) inn i \( {x^2 + y^2 = 10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} x^2 + (2 - x)^2 &= 10 \\ 2x^2 - 4x + 4 &= 10 \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \end{aligned} \]

Bokstaven \( a \) er brukt i b), så vi kaller koeffisientene \( \textcolor{blue}{p}\text{,} \) \( \textcolor{red}{q} \) og \( \textcolor{green}{r}\text{.} \) Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{p}x^2 + \textcolor{red}{q}x + \textcolor{green}{r} = 0} \) løsningene: \[ x = \dfrac{-\textcolor{red}{q} \pm \sqrt{\textcolor{red}{q}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{p} \cdot \textcolor{green}{r}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{p}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{p} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{q} = \textcolor{red}{-2}} \) og \( {\textcolor{green}{r} = \textcolor{green}{-3}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-2}) = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} x &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-3})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ x &= \dfrac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {x = 3} \) eller \( {x = -1}\text{,} \) og med \( {y = 2 - x} \) punktene \( {(3, -1)} \) og \( {(-1, 3)}\text{.} \)

3. Velg punktet nærmest Nils Nils står i \( {N(-1, 2)}\text{.} \) Punktet \( {(-1, 3)} \) ligger \( 1 \) meter rett over ham. Punktet \( {(3, -1)} \) ligger \( 4 \) meter bortover og \( 3 \) meter nedover, altså \( {\sqrt{4^2 + 3^2} = 5} \) meter unna. Det nærmeste punktet er derfor \( {(-1, 3)}\text{.} \)

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og farten er lengden av fartsvektoren. Til slutt gjør vi kilometer per time om til knop.

1. Finn fartsvektoren Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( \vec{r}\,'(t)\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat for seg, og konstantene \( 1 \) og \( 4 \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \vec{r}\,'(t) = [\textcolor{blue}{5}, \textcolor{red}{8}] \]

2. Regn ut farten Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Enhetene er kilometer og timer, så farten er: \[ \begin{aligned} |\vec{r}\,'(t)| &= \sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 + \textcolor{red}{8}^2} = \sqrt{89} \\ |\vec{r}\,'(t)| &\approx 9{,}434\,\text{km/h} \end{aligned} \]

3. Gjør om til knop 1 knop er 1852 meter per time, altså \( 1{,}852\,\text{km/h}\text{.} \) Vi deler farten på \( 1{,}852\text{:} \) \[ \dfrac{\sqrt{89}}{1{,}852} \approx 5{,}09 \]Fiskebåten holder omtrent \( 5{,}1 \) knop.

1. Regn ut i CAS Vi deriverer posisjonen i CAS og regner ut lengden av fartsvektoren. Den siste raden deler på 1,852 km/h med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (1 + 5t, 4 + 8t) v(t) := r'(t) Lengde(v(t)) Lengde(v(t))*1000/1852

CAS gir fartsvektoren \( (5, 8)\text{,} \) farten \( \sqrt{89} \) km/h og omtrent \( 5{,}0939 \) knop.

Vi skriver avstanden mellom båten og fyret som en funksjon av \( t \) og finner der den er minst. Det er enklest å finne bunnpunktet til kvadratet av avstanden.

1. Skriv opp avstanden Vektoren fra fyret til båten er \( {\vec{r}(t) - [4, 7]}\text{:} \) \[ \begin{aligned} &[1 + 5t - 4,\ 4 + 8t - 7] \\ &= [\textcolor{blue}{5t - 3}, \textcolor{red}{8t - 3}] \end{aligned} \]

Avstanden \( d(t) \) er lengden av den, som vi finner med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) som i videoen Lengden til en Vektor. Vi ganger ut med andre kvadratsetning, \( {(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} d(t)^2 &= (\textcolor{blue}{5t - 3})^2 + (\textcolor{red}{8t - 3})^2 \\ d(t)^2 &= 89t^2 - 78t + 18 \end{aligned} \]

2. Finn når avstanden er minst Avstanden er minst når \( d(t)^2 \) er minst, fordi \( {d(t) \ge 0}\text{.} \) Vi deriverer og setter den deriverte lik \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} \left(d(t)^2\right)' = 178t - 78 &= 0 \\ t &= \dfrac{39}{89} \end{aligned} \]Grafen til \( d(t)^2 \) er en parabel som vender opp, så det er et bunnpunkt.

3. Regn ut avstanden Vi setter \( {t = \dfrac{39}{89}} \) inn: \[ \begin{aligned} d^2 &= 89 \cdot \dfrac{39^2}{89^2} - 78 \cdot \dfrac{39}{89} + 18 = \dfrac{81}{89} \\ d &= \sqrt{\dfrac{81}{89}} = \dfrac{9}{\sqrt{89}} \approx 0{,}954 \end{aligned} \]Den minste avstanden er omtrent \( 0{,}954 \) km, altså omtrent 954 meter.

1. Finn bunnpunktet i CAS Vi skriver avstanden mellom båten og fyret som en funksjon i CAS, setter den deriverte lik \( 0 \) og regner ut avstanden. Rad 4 er rad 3 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: d(t) := Avstand((1 + 5t, 4 + 8t), (4, 7)) Løs(d'(t) = 0, t) d(39/89)

CAS gir \( {t = \dfrac{39}{89}} \) og den minste avstanden \( {\dfrac{9}{89}\sqrt{89} \approx 0{,}954} \) km.

Båten treffer stimen bare hvis de er på samme sted til samme tid. Da må begge koordinatene være like for den samme \( t\text{.} \)

1. Skriv opp posisjonen til stimen Stimen har den samme farten hele tiden, så for hver time flytter den seg \( 4 \) km bortover og \( 11 \) km oppover, som \( \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \) i videoen Parametrisering, eksempel oppgave 1. Den starter i \( {(1, -3)}\text{,} \) så etter \( t \) timer er den i: \[ [\textcolor{blue}{1 + 4t},\ \textcolor{red}{-3 + 11t}] \]

2. Sett koordinatene like Båten er i \( {[\textcolor{blue}{1 + 5t},\ \textcolor{red}{4 + 8t}]}\text{.} \) Førstekoordinatene er like når: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1 + 5t} &= \textcolor{blue}{1 + 4t} \\ t &= 0 \end{aligned} \]

Da er andrekoordinatene \( {\textcolor{red}{4 + 8 \cdot 0} = 4} \) og \( {\textcolor{red}{-3 + 11 \cdot 0} = -3}\text{,} \) som ikke er like. Førstekoordinatene er altså like bare når andrekoordinatene er ulike, så båten og stimen er aldri på samme sted til samme tid.

Vi bruker posisjonen til fiskestimen fra c), \( {[1 + 4t,\ -3 + 11t]}\text{.} \)

Båten går i retning langs \( {\vec{u} = [6, 4]} \) med en ukjent fart, så fartsvektoren er \( {k \cdot \vec{u}}\text{.} \) Vi finner \( k \) slik at båten og stimen er på samme sted til samme tid.

1. Skriv opp posisjonen til båten Fartsvektoren er \( {\textcolor{green}{k} \cdot [6, 4] = [6\textcolor{green}{k}, 4\textcolor{green}{k}]}\text{,} \) der \( {\textcolor{green}{k} > 0}\text{.} \) Båten starter i \( {(-2, 0)}\text{,} \) så etter \( t \) timer er den i: \[ [\textcolor{blue}{-2 + 6\textcolor{green}{k}t},\ \textcolor{red}{4\textcolor{green}{k}t}] \]

2. Sett koordinatene like Båten og stimen skal være på samme sted til samme tid. Førstekoordinatene er blå og andrekoordinatene røde: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{-2 + 6\textcolor{green}{k}t} &= \textcolor{blue}{1 + 4t} \\ \textcolor{red}{4\textcolor{green}{k}t} &= \textcolor{red}{-3 + 11t} \end{aligned} \]

Den andre likningen gir \( {\textcolor{green}{k}t = \dfrac{11t - 3}{4}}\text{.} \) Vi setter det inn i den første og ganger med \( 2\text{:} \) \[ \begin{aligned} -2 + \dfrac{3(11t - 3)}{2} &= 1 + 4t \\ -4 + 33t - 9 &= 2 + 8t \\ 25t &= 15 \\ t &= \dfrac{3}{5} = 0{,}6 \end{aligned} \]

Da er \( {\textcolor{green}{k}t = \dfrac{11 \cdot 0{,}6 - 3}{4} = 0{,}9}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{k} = \dfrac{0{,}9}{0{,}6} = \textcolor{green}{\dfrac{3}{2}}}\text{.} \)

3. Regn ut farten Fartsvektoren er \( {\textcolor{green}{\dfrac{3}{2}} \cdot [6, 4] = [9, 6]}\text{.} \) Med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) som i videoen Lengden til en Vektor, er farten: \[ \begin{aligned} |[9, 6]| &= \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{117} \\ |[9, 6]| &= 3\sqrt{13} \approx 10{,}82 \end{aligned} \]Det er omtrent \( 10{,}8\,\text{km/h}\text{,} \) eller \( {\dfrac{10{,}82}{1{,}852} \approx 5{,}8} \) knop.

1. Løs likningssettet i CAS Vi løser de to likningene for \( k \) og \( t \) i CAS, som i videoen Oppgave 4D - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Så regner vi ut lengden av fartsvektoren \( {\dfrac{3}{2} \cdot [6, 4]} \) og deler på 1,852 km/h. Rad 3 er rad 2 med knappen ≈, og rad 4 regner vi ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: Løs({-2 + 6k*t = 1 + 4t, 4k*t = -3 + 11t}, {k, t}) Lengde(3/2*Vektor((6, 4))) Lengde(3/2*Vektor((6, 4)))*1000/1852

CAS gir \( {k = \dfrac{3}{2}} \) og \( {t = \dfrac{3}{5}}\text{,} \) og farten \( {3\sqrt{13} \approx 10{,}8167} \) km/h, altså omtrent \( 5{,}8405 \) knop.

Vi regner ut lengden av alle fire vektorene og sammenligner. Ortogonale vektorer har skalarprodukt \( 0\text{,} \) så vi regner ut skalarproduktet for hvert par.

1. Regn ut lengdene Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{u}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + (\textcolor{red}{-2})^2} = \sqrt{13} \\ |\vec{v}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{4}^2 + (\textcolor{red}{-6})^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \\ |\vec{w}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{2}^2 + (\textcolor{red}{-3})^2} = \sqrt{13} \\ |\vec{p}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{12}^2} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \end{aligned} \]Bare \( \vec{u} \) og \( \vec{w} \) er like lange.

2. Regn ut skalarproduktene To vektorer er ortogonale når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

Vi regner ut alle seks parene: \[ \begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} &= \textcolor{blue}{3 \cdot 4} + \textcolor{red}{(-2) \cdot (-6)} = 24 \\ \vec{u} \cdot \vec{w} &= \textcolor{blue}{3 \cdot 2} + \textcolor{red}{(-2) \cdot (-3)} = 12 \\ \vec{u} \cdot \vec{p} &= \textcolor{blue}{3 \cdot 8} + \textcolor{red}{(-2) \cdot 12} = 0 \\ \vec{v} \cdot \vec{w} &= \textcolor{blue}{4 \cdot 2} + \textcolor{red}{(-6) \cdot (-3)} = 26 \\ \vec{v} \cdot \vec{p} &= \textcolor{blue}{4 \cdot 8} + \textcolor{red}{(-6) \cdot 12} = -40 \\ \vec{w} \cdot \vec{p} &= \textcolor{blue}{2 \cdot 8} + \textcolor{red}{(-3) \cdot 12} = -20 \end{aligned} \]Bare \( {\vec{u} \cdot \vec{p} = 0}\text{,} \) så bare \( \vec{u} \) og \( \vec{p} \) er ortogonale.

Vi regner ut \( {\vec{u} + 2\vec{q}} \) med koordinater. To vektorer er like når førstekoordinatene er like og andrekoordinatene er like.

1. Regn ut vektoren Vi ganger begge koordinatene i \( \vec{q} \) med \( 2\text{,} \) som i videoen Hva er en Skalar?: \[ 2\vec{q} = [4a - 6,\ 2 + 6b] \]

Med \( {\vec{u} = [3, -2]} \) legger vi sammen koordinatene hver for seg, som i videoen Addisjon og Subtraksjon med vektorer: \[ \begin{aligned} \vec{u} + 2\vec{q} &= [\textcolor{blue}{3 + 4a - 6},\ \textcolor{red}{-2 + 2 + 6b}] \\ &= [\textcolor{blue}{4a - 3},\ \textcolor{red}{6b}] \end{aligned} \]

2. Sett koordinatene like Vektoren skal være \( [\textcolor{blue}{7}, \textcolor{red}{5}]\text{,} \) så både førstekoordinatene og andrekoordinatene må være like: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{4a - 3} &= \textcolor{blue}{7} \\ a &= \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2} \\ \textcolor{red}{6b} &= \textcolor{red}{5} \\ b &= \dfrac{5}{6} \end{aligned} \]

Farten er lengden av fartsvektoren, og fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren.

1. Finn fartsvektorene Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. Vi deriverer hver koordinat for seg, og konstantene har derivert \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \vec{v}_1(t) &= [\textcolor{blue}{6}, \textcolor{red}{-3}] \\ \vec{v}_2(t) &= [\textcolor{blue}{5}, \textcolor{red}{4}] \end{aligned} \]Fartsvektorene er de samme hele tiden, så begge fuglene flyr med konstant fart.

2. Regn ut lengdene Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}_1| &= \sqrt{\textcolor{blue}{6}^2 + (\textcolor{red}{-3})^2} = \sqrt{45} \approx 6{,}71 \\ |\vec{v}_2| &= \sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 + \textcolor{red}{4}^2} = \sqrt{41} \approx 6{,}40 \end{aligned} \]

Avstanden mellom fuglene er lengden av vektoren mellom posisjonene deres.

1. Finn posisjonene Vi setter \( {t = 0} \) inn i begge posisjonsvektorene: \[ \begin{aligned} \vec{r}_1(0) &= [-10, 35] \\ \vec{r}_2(0) &= [2, 0] \end{aligned} \]

2. Regn ut avstanden En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \vec{r}_2(0) - \vec{r}_1(0) = [\textcolor{blue}{12}, \textcolor{red}{-35}] \]

Lengden finner vi med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) som i videoen Lengden til en Vektor: \[ \begin{aligned} d &= \sqrt{\textcolor{blue}{12}^2 + (\textcolor{red}{-35})^2} \\ d &= \sqrt{1369} = 37 \end{aligned} \]

Vi finner avstanden mellom fuglene som en funksjon \( d(t)\text{.} \) Den er minst der den deriverte er \( 0\text{.} \)

1. Finn avstanden som funksjon av tiden Vektoren fra fugl 1 til fugl 2 har førstekoordinat \( {2 + 5t - (-10 + 6t) = \textcolor{blue}{12 - t}} \) og andrekoordinat \( {4t - (35 - 3t) = \textcolor{red}{7t - 35}}\text{.} \) Med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{,} \) er avstanden: \[ d(t) = \sqrt{(\textcolor{blue}{12 - t})^2 + (\textcolor{red}{7t - 35})^2} \]

Ganger vi ut kvadratene og trekker sammen, får vi: \[ d(t) = \sqrt{50t^2 - 514t + 1369} \]

2. Finn når avstanden er minst Avstanden er minst der \( {d'(t) = 0}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\sqrt{\textcolor{green}{u}}\right)' = \dfrac{\textcolor{green}{u'}}{2\sqrt{\textcolor{green}{u}}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen. Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{50t^2 - 514t + 1369}}\text{:} \) \[ d'(t) = \dfrac{\textcolor{green}{100t - 514}}{2\sqrt{50t^2 - 514t + 1369}} \]

Nevneren er positiv, så \( {d'(t) = 0} \) når telleren er \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} 100t - 514 &= 0 \\ t &= 5{,}14 \end{aligned} \]Telleren er negativ før og positiv etter, så avstanden minker og så øker. Fuglene er nærmest hverandre etter \( 5{,}14 \) sekunder.

3. Regn ut den minste avstanden Vi setter inn \( {t = 5{,}14} \) i koordinatene til vektoren: \( {\textcolor{blue}{12 - 5{,}14 = 6{,}86}} \) og \( {\textcolor{red}{7 \cdot 5{,}14 - 35 = 0{,}98}}\text{.} \) Det gir: \[ d(5{,}14) = \sqrt{\textcolor{blue}{6{,}86}^2 + \textcolor{red}{0{,}98}^2} \approx 6{,}93 \]

1. Løs i CAS Vi skriver posisjonene inn i CAS og lar Avstand gi avstanden \( d(t)\text{.} \) Så løser vi \( {d'(t) = 0}\text{,} \) og regner ut den siste raden med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: r_1(t) := (-10 + 6t, 35 - 3t) r_2(t) := (2 + 5t, 4t) d(t) := Avstand(r_1(t), r_2(t)) Løs(d'(t) = 0, t) d(257/50)

CAS gir \( {t = \dfrac{257}{50} = 5{,}14} \) og \( {d \approx 6{,}9296}\text{.} \) Fuglene er nærmest hverandre etter \( 5{,}14 \) sekunder, omtrent \( 6{,}93 \) meter fra hverandre.

Vi sammenligner med farten til småfuglene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Rovfuglen tar en småfugl bare hvis de er på samme sted til samme tid. Vi sjekker om begge koordinatene kan være like samtidig.

1. Sjekk om rovfuglen tar fugl 1 Skal rovfuglen ta fugl 1, må begge koordinatene være like for den samme \( t\text{.} \) Førstekoordinatene gir: \[ \begin{aligned} 7t - 10 &= -10 + 6t \\ t &= 0 \end{aligned} \]Ved \( {t = 0} \) er andrekoordinatene ulike: \[ \begin{aligned} \text{rovfuglen: } \textcolor{red}{2 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 5} &= \textcolor{red}{5} \\ \text{fugl 1: } \textcolor{blue}{35 - 3 \cdot 0} &= \textcolor{blue}{35} \end{aligned} \]De er ikke på samme sted, så rovfuglen tar ikke fugl 1.

2. Sjekk om rovfuglen tar fugl 2 Førstekoordinatene gir: \[ \begin{aligned} 7t - 10 &= 2 + 5t \\ t &= 6 \end{aligned} \]Ved \( {t = 6} \) er andrekoordinatene ulike: \[ \begin{aligned} \text{rovfuglen: } \textcolor{red}{2 \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 + 5} &= \textcolor{red}{41} \\ \text{fugl 2: } \textcolor{blue}{4 \cdot 6} &= \textcolor{blue}{24} \end{aligned} \]Heller ikke de er på samme sted, så rovfuglen tar ikke fugl 2.

3. Beskriv jakten Rovfuglen starter i \( {(-10, 5)}\text{,} \) \( 30 \) meter fra fugl 1. Fartsvektoren er den deriverte, \( {\vec{v}_R(t) = [7,\ 4t - 6]}\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon, så farten er: \[ |\vec{v}_R(t)| = \sqrt{7^2 + (4t - 6)^2} \]Den er minst, \( 7 \) m/s, når \( {t = 1{,}5}\text{.} \) Rovfuglen er altså hele tiden raskere enn småfuglene, som i a) flyr med omtrent \( 6{,}71 \) og \( 6{,}40 \) m/s. Etter \( {t = 1{,}5} \) flyr den stadig fortere, og ved \( {t = 6} \) er farten \( {\sqrt{373} \approx 19{,}3} \) m/s. Likevel er den da i \( (32, 41)\text{,} \) \( 17 \) meter fra fugl 2 i \( (32, 24)\text{.} \) Den tar ingen av dem.

Andre beskrivelser er også riktige, for eksempel hvor nær rovfuglen kommer hver av småfuglene, som i GeoGebra-ruten.

1. Sjekk om de møtes Vi skriver posisjonene inn i CAS og løser \( {\vec{r}_R(t) = \vec{r}_1(t)} \) og \( {\vec{r}_R(t) = \vec{r}_2(t)}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: R(t) := (7t - 10, 2t^2 - 6t + 5) r_1(t) := (-10 + 6t, 35 - 3t) r_2(t) := (2 + 5t, 4t) Løs(R(t) = r_1(t), t) Løs(R(t) = r_2(t), t)

Begge likningene er uten løsning, så rovfuglen er aldri på samme sted som en småfugl til samme tid.

2. Finn hvor nær rovfuglen kommer Vi lar Avstand gi avstanden til hver småfugl, og finner den minste avstanden de første 6 sekundene med Min, med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: D_1(t) := Avstand(R(t), r_1(t)) D_2(t) := Avstand(R(t), r_2(t)) Min(D_1, 0, 6) Min(D_2, 0, 6)

Rovfuglen kommer nærmest fugl 2, omtrent \( 3{,}0 \) meter etter omtrent \( 4{,}5 \) sekunder, og fugl 1, omtrent \( 4{,}7 \) meter etter omtrent \( 4{,}7 \) sekunder. Den tar ingen av dem.

Punktene ligger på en rett linje når \( \overrightarrow{AB} \) og \( \overrightarrow{AC} \) er parallelle. Da er den ene vektoren et tall ganget med den andre.

1. Finn vektorene fra A En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?. Begge vektorene starter i \( A(3, 4)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [-1 - 3,\ -2 - 4] \\ \overrightarrow{AB} &= [\textcolor{blue}{-4}, \textcolor{red}{-6}] \\ \overrightarrow{AC} &= [3 + t - 3,\ 2t - 4] \\ \overrightarrow{AC} &= [\textcolor{blue}{t}, \textcolor{red}{2t - 4}] \end{aligned} \]

2. Skriv opp kravet for parallelle vektorer To vektorer er parallelle når det finnes et tall \( k \) slik at den ene er \( k \) ganget med den andre, som i videoen Oppgave 8B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB} \]

Med koordinatene får vi: \[ [\textcolor{blue}{t}, \textcolor{red}{2t - 4}] = k \cdot [\textcolor{blue}{-4}, \textcolor{red}{-6}] \]

3. Løs for k og t Førstekoordinatene gir \( {\textcolor{blue}{t} = k \cdot (\textcolor{blue}{-4})}\text{,} \) altså \( {k = -\dfrac{t}{4}}\text{.} \) Setter vi det inn i andrekoordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{2t - 4} &= -\dfrac{t}{4} \cdot (\textcolor{red}{-6}) \\ 2t - 4 &= \dfrac{3}{2}t \\ \dfrac{1}{2}t &= 4 \\ t &= 8 \end{aligned} \]Da er \( {k = -2}\text{,} \) og \( {\overrightarrow{AC} = [8, 12]}\text{,} \) som er \( {-2 \cdot [-4, -6]}\text{.} \)

Vinkelen i \( C \) ligger mellom vektorene \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB}\text{.} \) Den er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av dem er \( 0\text{.} \)

1. Skriv opp kravet To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026: \[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0 \]

Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

2. Finn vektorene fra C Begge vektorene starter i \( {C(3 + t, 2t)}\text{,} \) så vi trekker koordinatene til \( C \) fra koordinatene til \( A \) og \( B\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{CA} &= [3 - (3 + t),\ 4 - 2t] \\ \overrightarrow{CA} &= [\textcolor{blue}{-t}, \textcolor{red}{4 - 2t}] \\ \overrightarrow{CB} &= [-1 - (3 + t),\ -2 - 2t] \\ \overrightarrow{CB} &= [\textcolor{blue}{-4 - t}, \textcolor{red}{-2 - 2t}] \end{aligned} \]

3. Sett skalarproduktet lik null Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} &(\textcolor{blue}{-t})(\textcolor{blue}{-4 - t}) \\ &+ (\textcolor{red}{4 - 2t})(\textcolor{red}{-2 - 2t}) = 0 \end{aligned} \]

Vi ganger ut parentesene og trekker sammen: \[ \begin{aligned} 4t + t^2 - 8 - 8t + 4t + 4t^2 &= 0 \\ 5t^2 - 8 &= 0 \\ t^2 &= \dfrac{8}{5} \end{aligned} \]

Det gir to løsninger: \[ t = \pm\sqrt{\dfrac{8}{5}} = \pm\dfrac{\sqrt{40}}{5} = \pm\dfrac{2\sqrt{10}}{5} \]For begge er \( \overrightarrow{CA} \) og \( \overrightarrow{CB} \) ulik nullvektoren, så punktene danner en trekant med rett vinkel i \( C\text{.} \)