Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

Tema

likningssett

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

1 oppgave i R1 om likningssett

R1 vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

3 poeng

Amalie arbeider med en funksjon

f

med delt forskrift og skal vise funksjonsuttrykket til de andre i klassen. Dessverre har hun sølt på arket sitt og klarer ikke å lese alt som står der.

Hun husker at

f

er kontinuerlig og deriverbar for alle

x \in \mathbb{R}\text{.}

Hun husker også at det midterste uttrykket er et tredjegradspolynom. Bruk dette til å bestemme hele funksjonsuttrykket til

f\text{.}

Vis løsning

Svar

Hele funksjonsuttrykket er

\begin{aligned} &\underline{\underline{f(x) = -9x - 15 \text{ når } x \le -2}} \\ &\underline{\underline{f(x) = p(x) \text{ når } -2 < x < 1}} \\ &\underline{\underline{f(x) = \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2} \text{ når } x \ge 1}} \end{aligned}

der det midterste uttrykket er

\underline{\underline{\begin{aligned} p(x) = {} & -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 \\ & - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27} \end{aligned}}}

Det midterste uttrykket er et tredjegradspolynom med fire ukjente koeffisienter. Der funksjonen skifter uttrykk, må uttrykkene ha samme verdi og samme derivert, og det gir fire likninger.

Metode: For hånd

1. Skriv opp kravene Vi kaller det midterste uttrykket \[ p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \]Funksjonen er kontinuerlig og deriverbar der den skifter uttrykk når uttrykkene på hver side har samme verdi og samme derivert, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Med potensregelen, $ {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}}\text{,} $ er: \[ p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]

De kjente uttrykkene gir i skjøtene: \[ \begin{aligned} f(-2) &= -9 \cdot (-2) - 15 = \textcolor{blue}{3} \\ f'(-2) &= \textcolor{blue}{-9} \\ f(1) &= \dfrac{1}{2} - 1 - \dfrac{7}{2} = \textcolor{red}{-4} \\ f'(1) &= 1 - 1 = \textcolor{red}{0} \end{aligned} \]

Kravene $ {p(-2) = \textcolor{blue}{3}}\text{,} $ $ {p'(-2) = \textcolor{blue}{-9}}\text{,} $ $ {p(1) = \textcolor{red}{-4}} $ og $ {p'(1) = \textcolor{red}{0}} $ gir fire likninger: \[ \begin{aligned} \text{I: } & -8a + 4b - 2c + d = \textcolor{blue}{3} \\ \text{II: } & 12a - 4b + c = \textcolor{blue}{-9} \\ \text{III: } & a + b + c + d = \textcolor{red}{-4} \\ \text{IV: } & 3a + 2b + c = \textcolor{red}{0} \end{aligned} \]

2. Uttrykk b og c ved a Vi trekker I fra III og II fra IV: \[ \begin{aligned} \text{III} - \text{I: } & 9a - 3b + 3c = -7 \\ \text{IV} - \text{II: } & -9a + 6b = 9 \end{aligned} \]Den siste gir $ {b = \dfrac{3 + 3a}{2}}\text{,} $ og IV gir $ {c = -3a - 2b = -6a - 3}\text{.} $

3. Finn koeffisientene Vi setter $ b $ og $ c $ inn i $ {9a - 3b + 3c = -7}\text{:} $ \[ 9a - \dfrac{9 + 9a}{2} - 18a - 9 = -7 \]

Vi ganger med $ 2 $ og trekker sammen: \[ \begin{aligned} 18a - 9 - 9a - 36a - 18 &= -14 \\ -27a &= 13 \\ a &= -\dfrac{13}{27} \end{aligned} \]

Det gir resten: \[ \begin{aligned} b &= \dfrac{1}{2}\left(3 - \dfrac{13}{9}\right) = \dfrac{7}{9} \\ c &= -6 \cdot \left(-\dfrac{13}{27}\right) - 3 = -\dfrac{1}{9} \\ d &= -4 - a - b - c = -\dfrac{113}{27} \end{aligned} \]

Det midterste uttrykket er altså: \[ p(x) = -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27} \]

Metode: Med GeoGebra

1. Løs kravene i CAS Vi skriver de to uttrykkene vi kjenner og polynomet inn i CAS, setter opp de fire kravene i hver sin rad og løser dem med Løs, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g(x) := -9x - 15 h(x) := x^2/2 - x - 7/2 p(x) := a*x^3 + b*x^2 + c*x + d p(-2) = g(-2) p'(-2) = g'(-2) p(1) = h(1) p'(1) = h'(1) Løs({$4, $5, $6, $7}, {a, b, c, d})

CAS gir $ {a = -\dfrac{13}{27}}\text{,} $ $ {b = \dfrac{7}{9}}\text{,} $ $ {c = -\dfrac{1}{9}} $ og $ {d = -\dfrac{113}{27}}\text{.} $

Oppgavene

Oppgave 3

Svar