Eksamensoppgaver etter tema

For å finne nullpunktene setter vi \( {f(x) = 0}\text{.} \) Funksjonsuttrykket er et produkt, og et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \)

1. Sett funksjonsuttrykket lik null 0:21 Vi setter \( {f(x) = 0}\text{:} \) \[ \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) = 0 \]Da må \( \textcolor{red}{e^x} \) eller \( {\textcolor{blue}{6 - e^x}} \) være \( 0\text{.} \)

\( \textcolor{red}{e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) er positiv for alle \( x\text{.} \)

2. Løs likningen med ln 1:12 Setter vi \( {\textcolor{blue}{6 - e^x} = 0}\text{,} \) får vi: \[ e^x = 6 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider og får: \[ \ln\left(e^{\textcolor{green}{x}}\right) = \ln 6 \]

Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]Den flytter \( \textcolor{green}{x} \) ned fra eksponenten, som i videoen Naturlige Logaritmer.

Fra definisjonen vet vi at \( {\ln e = 1}\text{.} \) Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{x} \cdot \ln e &= \ln 6 \\ x &= \ln 6 \end{aligned} \]Likningen har bare denne løsningen, så funksjonen har ett nullpunkt.

Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Deretter faktoriserer vi til vi står igjen med uttrykket i oppgaven.

1. Deriver med produktregelen 0:28 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x} \) og konstanten \( 6 \) har derivert \( 0\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{e^x} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{e^x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{6 - e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-e^x} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{6 - e^x}) + \textcolor{red}{e^x} \cdot (\textcolor{blue}{-e^x}) \]

2. Faktoriser 2:05 Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) og trekker sammen det som står i parentesen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - e^x - e^x) \\ f'(x) &= \textcolor{darkorange}{e^x}(6 - 2e^x) \end{aligned} \]

Vi kan faktorisere ut \( 2 \) også, siden \( {6 = 2 \cdot 3}\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) = 2\textcolor{darkorange}{e^x}(3 - e^x) \]Det er uttrykket i oppgaven.

Vi bruker nullpunktet fra a), og uttrykket for \( f'(x) \) står i oppgaveteksten til b), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til b).

Funksjonen er deriverbar for alle \( x\text{,} \) så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Om det er et toppunkt eller et bunnpunkt, ser vi av funksjonsverdiene på hver side.

1. Sett den deriverte lik null 0:16 I oppgaveteksten til b) står det at: \[ f'(x) = \textcolor{darkorange}{2e^x}(\textcolor{magenta}{3 - e^x}) \]Den er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) Faktoren \( \textcolor{darkorange}{2e^x} \) blir aldri \( 0\text{,} \) fordi \( e^x \) alltid er positiv. Derfor må \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x} = 0}\text{.} \)

2. Løs likningen med ln 2:07 Vi flytter \( e^x \) over til høyre side: \[ e^x = 3 \]

Vi tar \( \ln \) på begge sider. Logaritmeregelen for potenser og \( {\ln e = 1} \) gir \( {\ln\left(e^x\right) = x \cdot \ln e = x}\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer: \[ \begin{aligned} \ln\left(e^x\right) &= \ln 3 \\ x &= \ln 3 \end{aligned} \]

3. Finn y-koordinaten 2:52 For å finne koordinatene plugger vi \( {x = \ln 3} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Siden \( {\textcolor{green}{e^{\ln 3}} = \textcolor{green}{3}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} f(\ln 3) &= \textcolor{green}{e^{\ln 3}}(6 - \textcolor{green}{e^{\ln 3}}) \\ f(\ln 3) &= \textcolor{green}{3} \cdot (6 - \textcolor{green}{3}) = 9 \end{aligned} \]

4. Avgjør hva slags punkt det er 4:15 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \ln 3}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = 0} \) og nullpunktet \( {x = \ln 6} \) fra a): \[ f(0) = e^0(6 - e^0) = 1 \cdot 5 = 5 \]

Siden \( \ln \) er voksende, er \( {0 = \ln 1 < \ln 3 < \ln 6}\text{,} \) og \( {f(\ln 6) = 0}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \ln 3 & \ln 6 \\ \hline f(x) & 5 & 9 & 0 \end{array} \]

Grafen går opp fra \( 5 \) til \( 9 \) og ned igjen til \( 0\text{.} \) Punktet \( (\ln 3,\ 9) \) er derfor et toppunkt, og siden grafen bare snur der, har den ingen bunnpunkter.

Alternativ metode: Fortegnslinje Siden \( {\textcolor{darkorange}{2e^x} > 0}\text{,} \) har \( f'(x) \) samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{3 - e^x}}\text{:} \) positiv når \( {x < \ln 3} \) og negativ når \( {x > \ln 3}\text{.} \) :::fortegnsskjema {"points": [1.0986122886681098], "labels": ["\\ln 3"], "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{2e^x}", "expr": "2e^x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{3 - e^x}", "expr": "3 - e^x"}, {"label": "f'(x)", "expr": "2e^x(3 - e^x)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \ln 3} \) går \( f'(x) \) fra pluss til minus: grafen stiger og så synker, så \( (\ln 3,\ 9) \) er et toppunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

Vi leser hva linje 4 til 6 regner ut, og sammenligner brøken med definisjonen av den deriverte.

1. Les hva de to funksjonene gjør Linje 1 og 2 definerer funksjonen \( \textcolor{blue}{f}\text{,} \) og linje 4 til 6 definerer \( \textcolor{red}{g}\text{.} \) Linje 5 setter \( {h = 0{,}000001}\text{,} \) og linje 6 returnerer: \[ \textcolor{red}{g(x)} = \dfrac{\textcolor{blue}{f(x + h)} - \textcolor{blue}{f(x)}}{h} \]

2. Sammenlign med definisjonen av den deriverte Brøken er stigningstallet til linja gjennom punktene \( (x, f(x)) \) og \( {(x + h, f(x + h))} \) på grafen, en sekant. Den deriverte er grenseverdien av den samme brøken når \( h \) går mot \( 0\text{:} \) \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\textcolor{blue}{f(x + h)} - \textcolor{blue}{f(x)}}{h} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.

Koden tar ikke grenseverdien, men bruker en svært liten \( h\text{.} \) Da er sekanten nesten lik tangenten, og \( \textcolor{red}{g(x)} \) er nesten lik \( f'(x)\text{.} \)

Vi bruker at \( {g(x) \approx f'(x)}\text{,} \) som vi fant i a).

Programmet skriver bare ut der \( g(x)\text{,} \) og dermed \( f'(x)\text{,} \) er nesten \( 0\text{.} \) Fortegnet til den deriverte like før og like etter punktet avgjør hva slags punkt det er.

1. Finn ut når programmet skriver ut I a) fant vi at: \[ g(x) \approx f'(x) \]Løkka i linje 13 til 24 går gjennom \( x \) fra \( {-4} \) til \( 4 \) med steg \( {\texttt{dx} = 0{,}002}\text{.} \) Programmet kan bare skrive ut når testen i linje 15 er sann, altså når \( {|g(x)| < 0{,}000001}\text{.} \) Da er \( {f'(x) \approx 0}\text{,} \) og grafen har en vannrett tangent.

2. Tolk de tre testene Linje 17, 20 og 23 sammenligner den deriverte like før punktet, \( {\textcolor{green}{g(x - \texttt{dx})}}\text{,} \) med den like etter, \( {\textcolor{darkorange}{g(x + \texttt{dx})}}\text{.} \)

Linje 17 er sann når produktet \( {\textcolor{green}{g(x - \texttt{dx})} \cdot \textcolor{darkorange}{g(x + \texttt{dx})}} \) er positivt, altså når den deriverte har samme fortegn på begge sider. Da fortsetter grafen samme vei gjennom punktet, og det er et terrassepunkt.

Kommer programmet til linje 20, har den deriverte ulikt fortegn på de to sidene. Linje 20 er sann når den går fra minus til pluss: grafen går ned og så opp, og det er et bunnpunkt. Linje 23 er det motsatte, fra pluss til minus, og det er et toppunkt.

I tabellen står linja som skriver ut, fortegnet til \( f' \) før og etter punktet, og hva slags punkt det er: \[ \begin{array}{c|cc|l} 18 & + & + & \text{terrassepunkt} \\ 18 & - & - & \text{terrassepunkt} \\ 21 & - & + & \text{bunnpunkt} \\ 24 & + & - & \text{toppunkt} \end{array} \]

Vi bruker fra a) og b) at programmet skriver ut der \( {f'(x) \approx 0}\text{,} \) og hva linje 18, 21 og 24 betyr.

Vi deriverer \( f\text{,} \) finner hvor \( {f'(x) = 0}\text{,} \) og ser på fortegnet til \( f' \) på hver side. Fortegnet avgjør hvilken linje som skriver ut.

1. Deriver funksjonen Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

Vi deriverer ledd for ledd: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 + \dfrac{5}{3} \cdot 2x + \dfrac{25}{9} \\ f'(x) &= x^2 + \dfrac{10}{3}x + \dfrac{25}{9} \end{aligned} \]

2. Faktoriser den deriverte Første kvadratsetning forteller oss at: \[ (\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b})^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + 2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} + \textcolor{red}{b}^2 \]Vi bruker den baklengs, som i videoen Kvadratsetningene.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{x}} \) og \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{3}}}\text{,} \) fordi \( {\textcolor{red}{b}^2 = \dfrac{25}{9}} \) og \( {2 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} = \dfrac{10}{3}x}\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) = \left(\textcolor{blue}{x} + \textcolor{red}{\dfrac{5}{3}}\right)^2 \]

3. Avgjør fortegnet rundt nullpunktet Et kvadrat er aldri negativt, og \( {\left(x + \dfrac{5}{3}\right)^2} \) er \( 0 \) bare i \( {x = -\dfrac{5}{3}}\text{,} \) som ligger mellom \( {-4} \) og \( 4\text{.} \) Det gir oss: \[ f'(x) > 0 \quad \text{for } x \neq -\dfrac{5}{3} \]Den deriverte er positiv på begge sider av punktet, så grafen stiger både før og etter det. Det er et terrassepunkt.

Siden \( {g(x) \approx f'(x)}\text{,} \) er begge faktorene i linje 17 positive, og produktet er positivt. Programmet skriver derfor ut setningen i linje 18.

Formen i oppgaven er en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på b) til d) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver tiden i kolonne A og farten i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør logistisk regresjon Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{C}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = RegLogist(l1)

3. Skriv opp modellen Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ V(t) = \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]Det gir \( {\textcolor{red}{C} \approx \textcolor{red}{223{,}48}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{27{,}33}} \) og \( {\textcolor{green}{k} \approx \textcolor{green}{0{,}0478}}\text{.} \)

I b) til d) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Runder vi \( k \) av til \( 0{,}05\text{,} \) blir svaret i b) omtrent \( 61{,}9\,\text{s} \) i stedet for \( 64{,}8\,\text{s}\text{.} \)

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi skal finne \( t \) når \( {V(t) = 100}\text{.} \) Med kalkulator får vi potensen \( {e^{-kt}} \) alene og tar \( \ln \) på begge sider.

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}33} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

Vi regner med bokstavene \( \textcolor{red}{C}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k}\text{,} \) og setter inn tallene til slutt. Vi skal finne \( t \) når \( {V(t) = 100}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} = 100 \]

2. Få potensen alene Vi ganger begge sider med nevneren, trekker fra \( 100 \) og deler med \( {100 \cdot \textcolor{blue}{a}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{C} &= 100 + 100 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} \\ e^{-\textcolor{green}{k}t} &= \dfrac{\textcolor{red}{C} - 100}{100 \cdot \textcolor{blue}{a}} \end{aligned} \]

3. Ta ln på begge sider Brøken er positiv, fordi \( {\textcolor{red}{C} > 100}\text{,} \) så vi kan ta \( \ln \) på begge sider. Siden \( {\ln(e^u) = u \cdot \ln e = u}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} -\textcolor{green}{k}t &= \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{C} - 100}{100 \cdot \textcolor{blue}{a}}\right) \\ t &= -\dfrac{1}{\textcolor{green}{k}} \cdot \ln\left(\dfrac{\textcolor{red}{C} - 100}{100 \cdot \textcolor{blue}{a}}\right) \end{aligned} \]Hvis du er usikker på å ta \( \ln \) på begge sider, kan du se videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

4. Sett inn tallene Plugger vi inn tallene fra svaret i a), er brøken \[ \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48} - 100}{100 \cdot \textcolor{blue}{27{,}33}} = \dfrac{123{,}48}{2733} \]

Så regner vi ut \( t \) med kalkulatoren, uten å runde av brøken først: \[ t \approx -\dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}0478}} \ln\left(\dfrac{123{,}48}{2733}\right) \approx 64{,}79 \]Farten er \( 100\,\text{m/s} \) etter omtrent \( 64{,}8 \) sekunder.

1. Finn skjæringspunktet med linja I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}4774}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}3272} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

Vi tegner linja \( {y = 100} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter på grafen og linja, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g: y = 100

Skjæringspunktet er \( {A \approx (64{,}7903,\ 100)}\text{.} \) Farten er \( 100\,\text{m/s} \) etter omtrent \( 64{,}8 \) sekunder.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Fartsøkningen er den deriverte \( V'(t)\text{.} \) Den er størst i toppunktet til \( V'\text{,} \) der den andrederiverte \( V''(t) \) er \( 0 \) og skifter fortegn fra pluss til minus.

1. Deriver modellen med kjerneregelen I a) fant vi modellen: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}33} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]Vi regner med \( \textcolor{red}{C}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) og setter inn tallene til slutt.

Vi skriver modellen som \( {V(t) = \textcolor{red}{C} \cdot \textcolor{darkorange}{u}^{-1}} \) med kjernen \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{darkorange}{u}^{-1}\right)' = -\textcolor{darkorange}{u}^{-2} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Siden \( {(e^{-\textcolor{green}{k}t})' = -\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er: \[ \textcolor{darkorange}{u'} = -\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} V'(t) &= \textcolor{red}{C} \cdot \left(-\textcolor{darkorange}{u}^{-2}\right) \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \\ V'(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}{(1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t})^2} \end{aligned} \]

2. Innfør en hjelpevariabel Uttrykket blir enklere med en hjelpevariabel \( w\text{:} \) \[ \begin{aligned} w &= \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} \\ V'(t) &= \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot \dfrac{w}{(1 + w)^2} \end{aligned} \]Her er \( {w > 0}\text{,} \) og siden \( {w' = -\textcolor{green}{k} \cdot w < 0}\text{,} \) avtar \( w \) fra \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{27{,}33}} \) mot \( 0 \) når \( t \) øker.

3. Deriver én gang til Vi kaller brøken \( {h(w) = \dfrac{w}{(1 + w)^2}}\text{,} \) så \( {V'(t) = \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot h(w)}\text{.} \) Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{p}{q}\right)' = \dfrac{p' \cdot q - p \cdot q'}{q^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} p &= w & p' &= 1 \\ q &= (1 + w)^2 & q' &= 2(1 + w) \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og forkorter med \( {1 + w}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} h'(w) &= \dfrac{(1 + w)^2 - w \cdot 2(1 + w)}{(1 + w)^4} \\ h'(w) &= \dfrac{(1 + w) - 2w}{(1 + w)^3} \\ h'(w) &= \dfrac{1 - w}{(1 + w)^3} \end{aligned} \]

Med kjerneregelen ganger vi med \( {w' = -\textcolor{green}{k} \cdot w}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V''(t) &= \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot h'(w) \cdot (-\textcolor{green}{k} \cdot w) \\ V''(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k}^2 \cdot w \cdot (w - 1)}{(1 + w)^3} \end{aligned} \]

4. Finn toppunktet til den deriverte Alt i \( V''(t) \) er positivt bortsett fra \( {w - 1}\text{,} \) og \( w \) avtar når \( t \) øker: \[ \begin{array}{r|ccc} w & > 1 & 1 & < 1 \\ \hline V''(t) & + & 0 & - \\ V'(t) & \nearrow & \text{maks} & \searrow \end{array} \]

Fartsøkningen er derfor størst når \( {w = 1}\text{,} \) altså når \( {\textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} = 1}\text{.} \) Vi ganger med \( e^{\textcolor{green}{k}t} \) og tar \( \ln \) på begge sider: \[ \begin{aligned} e^{\textcolor{green}{k}t} &= \textcolor{blue}{a} \\ t &= \dfrac{\ln \textcolor{blue}{a}}{\textcolor{green}{k}} \approx \dfrac{\ln \textcolor{blue}{27{,}33}}{\textcolor{green}{0{,}0478}} \approx 69{,}20 \end{aligned} \]

Setter vi \( {w = 1} \) inn i \( V'(t)\text{,} \) får vi den største fartsøkningen: \[ \begin{aligned} V'(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k}}{4} \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48} \cdot \textcolor{green}{0{,}0478}}{4} \\ V'(t) &\approx 2{,}67 \end{aligned} \]Fartsøkningen er størst etter omtrent \( 69{,}2 \) sekunder, og da er den omtrent \( 2{,}67\,\text{m/s}^2\text{.} \)

1. Finn toppunktet til den deriverte I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}4774}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}3272} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

Vi lar GeoGebra derivere modellen og tegne grafen til \( V'\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Toppunktet mellom \( {t = 0} \) og \( {t = 150} \) finner vi med Ekstremalpunkt:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(V) Ekstremalpunkt(V', 0, 150)

Toppunktet er \( {B \approx (69{,}2022,\ 2{,}6706)}\text{.} \) Fartsøkningen er størst etter omtrent \( 69{,}2 \) sekunder, og da er den omtrent \( 2{,}67\,\text{m/s}^2\text{.} \)

Vi bruker modellen fra a) og uttrykket for \( V'(t) \) fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Farten øker med mer enn \( 2\,\text{m/s}^2 \) når \( {V'(t) > 2}\text{.} \) Vi finner de to tidspunktene der \( {V'(t) = 2}\text{,} \) og tiden mellom dem.

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}48}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}33} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

I c) fant vi, med \( {w = \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{,} \) at: \[ V'(t) = \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot \dfrac{w}{(1 + w)^2} \]Den vokser til omtrent \( 2{,}67 \) og avtar igjen, så farten øker med mer enn \( 2\,\text{m/s}^2 \) mellom de to tidspunktene der \( {V'(t) = 2}\text{.} \)

Vi setter \( {V'(t) = 2}\text{,} \) ganger med \( {(1 + w)^2} \) og samler alt på én side: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot w &= 2(1 + w)^2 \\ 0 &= 2w^2 + (4 - \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k}) \cdot w + 2 \end{aligned} \]

2. Løs andregradslikningen Med tallene fra svaret i a) er \[ \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \approx \textcolor{red}{223{,}48} \cdot \textcolor{green}{0{,}0478} = 10{,}682344 \]Vi setter inn og deler med \( 2\text{:} \) \[ w^2 - 3{,}341172 \cdot w + 1 = 0 \]

Bokstaven \( a \) er brukt i modellen, så vi skriver likningen som \( {p \cdot w^2 + q \cdot w + r = 0}\text{.} \) Løsningene finner vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ w = \dfrac{-q \pm \sqrt{q^2 - 4pr}}{2p} \]

Plugger vi inn \( {p = 1}\text{,} \) \( {q = -3{,}341172} \) og \( {r = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} w &= \dfrac{3{,}341172 \pm \sqrt{3{,}341172^2 - 4}}{2} \\ w_1 &\approx 3{,}0088 \\ w_2 &\approx 0{,}3324 \end{aligned} \]Begge ligger mellom \( 0 \) og \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) så begge gir en tid etter start.

3. Finn de to tidspunktene Vi løser \( {\textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} = w} \) for \( t \) som i b): vi deler med \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) tar \( \ln \) på begge sider og bruker at \( {\ln(e^u) = u}\text{:} \) \[ t = -\dfrac{1}{\textcolor{green}{k}} \cdot \ln\left(\dfrac{w}{\textcolor{blue}{a}}\right) \]

Plugger vi inn \( w_1 \) og \( w_2 \) med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ \begin{aligned} t_1 &\approx -\dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}0478}} \ln\left(\dfrac{3{,}0088}{\textcolor{blue}{27{,}33}}\right) \approx 46{,}16 \\ t_2 &\approx -\dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}0478}} \ln\left(\dfrac{0{,}3324}{\textcolor{blue}{27{,}33}}\right) \approx 92{,}25 \end{aligned} \]

Farten øker med mer enn \( 2\,\text{m/s}^2 \) fra \( t_1 \) til \( t_2\text{.} \) Med alle desimalene er \[ t_2 - t_1 \approx 46{,}09 \]Det er omtrent \( 46{,}1 \) sekunder.

1. Finn skjæringspunktene med linja I a) lagret vi modellen som \( V \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ V(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{223{,}4774}}{1 + \textcolor{blue}{27{,}3272} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}0478}t}} \]

Vi tegner grafen til \( V' \) og linja \( {y = 2}\text{,} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter ved hvert skjæringspunkt, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Til slutt regner vi ut avstanden mellom førstekoordinatene:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(V) h: y = 2 d = x(Q) - x(P)

Skjæringspunktene er \( {P \approx (46{,}1577,\ 2)} \) og \( {Q \approx (92{,}2467,\ 2)}\text{,} \) og \( {d \approx 46{,}0891}\text{.} \) Farten øker med mer enn \( 2\,\text{m/s}^2 \) i omtrent \( 46{,}1 \) sekunder.

\( AB \) er vannrett, så lengden er forskjellen mellom førstekoordinatene. \( AD \) er loddrett, så lengden er forskjellen mellom andrekoordinatene.

1. Finn lengdene \( A \) har førstekoordinat \( a\text{,} \) og \( B \) har førstekoordinat \( 5\text{.} \) Siden \( {a < 5}\text{,} \) er: \[ AB = \textcolor{red}{5 - a} \]

\( A \) har andrekoordinat \( {f(a) = 100 \cdot 0{,}8^a}\text{,} \) og \( D \) har andrekoordinat \( 200\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a \le 1} \) når \( {a \ge 0}\text{,} \) er \( {f(a) \le 100}\text{,} \) så \( D \) ligger over \( A\text{:} \) \[ AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a} \]

Vi bruker lengdene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Arealet er \( {AB \cdot AD}\text{,} \) en funksjon av \( a\text{.} \) Vi finner der den deriverte er \( 0\text{,} \) viser at det er et toppunkt, og sammenligner med endepunktet \( {a = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen der den deriverte er \( 0\text{,} \) kan ikke løses for hånd. Øv heller på å sette opp arealet og den deriverte for hånd, med produktregelen og \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{,} \) og på å avgjøre fortegnet til den deriverte.

1. Sett opp arealet som en funksjon I a) fant vi \( {AB = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Navnet \( A \) er brukt på et punkt, så vi kaller arealet \( T(a)\text{:} \) \[ T(a) = (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \]der \( a \in [0, 5\rangle\text{.} \)

2. Deriver og løs med CAS Oppgaven krever derivasjon, fordi en annen metode, som å lese av en graf, bare gir noe uttelling. Arealet er et produkt, og produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er \( {\textcolor{red}{u} = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {\textcolor{blue}{v} = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a = e^{a \cdot \ln 0{,}8}}\text{,} \) gir kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, at \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= \textcolor{red}{-1} \cdot (\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \\ &{}+ (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \ln 0{,}8}) \end{aligned} \]

Vi lar CAS kontrollere den deriverte og løse \( {T'(a) = 0}\text{.} \) Likningen kan ikke løses eksakt, så vi bruker NLøs med startverdien \( {a = 0{,}2}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 100*0.8^x T(a) := (5 - a)*(200 - f(a)) T'(a) NLøs(T'(a) = 0, a = 0.2)

CAS gir \( {T'(a) = 0} \) når \( {a \approx 0{,}1707}\text{.} \)

3. Vis at det er et toppunkt Faktoriserer vi ut \( {100 \cdot 0{,}8^a} \) fra leddene som har den, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= 100 \cdot 0{,}8^a \cdot g(a) - 200 \\ g(a) &= 1 - (5 - a) \cdot \ln 0{,}8 \end{aligned} \]Siden \( {\ln 0{,}8 < 0}\text{,} \) er \( g(a) \) positiv og blir mindre når \( a \) øker, og \( 0{,}8^a \) blir også mindre. Derfor avtar \( T'(a)\text{,} \) og den er \( 0 \) bare én gang.

Vi sjekker fortegnet på hver side og regner ut arealet i CAS, radene 5 til 7 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: T'(0) T'(1) T(0.1707) T(0)

CAS gir i rad 5 og 6: \[ \begin{aligned} T'(0) &\approx 11{,}57 > 0 \\ T'(1) &\approx -48{,}59 < 0 \end{aligned} \]Arealet vokser før \( {a \approx 0{,}1707} \) og avtar etter, så der har \( T \) et toppunkt.

Vi sammenligner med endepunktet \( {a = 0} \) i rad 7 og 8: \[ \begin{aligned} T(0{,}1707) &\approx 500{,}98 \\ T(0) &= 500 \end{aligned} \]Når \( a \) nærmer seg \( 5\text{,} \) går arealet mot \( 0\text{.} \) Det største arealet er derfor omtrent \( 501\text{.} \)

Vi ser at funksjonen består av tre ledd, og at roten er vanskelig å derivere slik den står. Vi skriver den derfor som en potens og deriverer ledd for ledd.

1. Skriv roten som en potens 0:15 En rot kan skrives som en potens: \[ \sqrt[n]{x} = x^{\tfrac{1}{n}} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Potenser og røtter.

Kvadratroten er andreroten, så \( {n = 2}\text{:} \) \[ f(x) = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}x^3} + \textcolor{red}{x^{\tfrac{1}{2}}} + 2 \]

2. Deriver ledd for ledd 1:04 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}x^3} \) derivert blir \( {\dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 = \textcolor{blue}{\underline{x^2}}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{x^{\tfrac{1}{2}}} \) derivert blir \( {\dfrac{1}{2} \cdot x^{\tfrac{1}{2} - 1} = \textcolor{red}{\underline{\dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}}}}\text{.} \)

\( 2 \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden det er en konstant.

3. Skriv svaret med rot 1:42 Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}} \]

En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Det gir \( {x^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{x^{\tfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}}\text{.} \) Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så for \( {x > 0} \) er: \[ f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]

Funksjonen er en brøk, så vi deriverer den med kvotientregelen. Så setter vi inn \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \)

1. Skriv opp kvotientregelen 0:19 Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x - 3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle 1:13 Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{e^x} - (\textcolor{red}{2x - 3}) \cdot \textcolor{blue}{e^x}}{(\textcolor{blue}{e^x})^2} \]

Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) i telleren og skriver \( {(e^x)^2 = \textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x}\text{,} \) får vi: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^x}\bigl(2 - (2x - 3)\bigr)}{\textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x} \]

Vi forkorter \( \textcolor{darkorange}{e^x}\text{.} \) Minus foran parentesen gjelder begge leddene, så \( {-(2x - 3) = -2x + 3}\text{:} \) \[ g'(x) = \dfrac{2 - 2x + 3}{e^x} = \dfrac{5 - 2x}{e^x} \]

3. Regn ut de to verdiene 2:46 Vi setter inn \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(2) &= \dfrac{5 - 2 \cdot 2}{e^2} = \dfrac{1}{e^2} \\ g'(3) &= \dfrac{5 - 2 \cdot 3}{e^3} = -\dfrac{1}{e^3} \end{aligned} \]

Vi bruker \( g'(2) \) og \( g'(3) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den deriverte er stigningstallet til grafen. Fortegnet til \( g'(2) \) og \( g'(3) \) forteller derfor om grafen stiger eller synker der.

1. Tolk fortegnene 3:37 I b) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g'(2)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{e^2}} > 0 \\ \textcolor{red}{g'(3)} &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{e^3}} < 0 \end{aligned} \]

Den deriverte er stigningstallet til tangenten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Grafen stiger altså i \( {\textcolor{blue}{x = 2}} \) og synker i \( {\textcolor{red}{x = 3}}\text{.} \)

Siden \( g \) er kontinuerlig og deriverbar, må grafen snu et sted mellom \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Der er \( {g'(x) = 0}\text{,} \) og grafen har et toppunkt.

\( \ln x \) er bare definert for \( {x > 0}\text{,} \) og der er \( f \) deriverbar, så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen er et produkt, så vi deriverer med produktregelen.

1. Deriver med produktregelen 0:10 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{4x^2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \\ f'(x) &= 8x \ln x + 4x \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null 2:12 Vi setter \( {f'(x) = 0}\text{:} \) \[ 8x \ln x + 4x = 0 \]

Vi trekker fra \( 4x \) og deler på \( 8x\text{,} \) som går fordi \( {x > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 8x \ln x &= -4x \\ \ln x &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

For å få \( x \) alene opphøyer vi \( e \) i begge sider. Siden \( {e^{\ln x} = x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026, får vi: \[ x = e^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{e}} \]

3. Finn y-koordinaten 4:05 Vi setter \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Her er \( {\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 = \dfrac{1}{e}} \) og \( {\ln\left(e^{-\tfrac{1}{2}}\right) = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ f\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right) = 4 \cdot \dfrac{1}{e} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{2}{e} \]

4. Avgjør hva slags punkt det er 6:07 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = \dfrac{1}{e}} \) og \( {x = 1}\text{,} \) siden \( {\dfrac{1}{e} < \dfrac{1}{\sqrt{e}} < 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{e}\right) &= 4 \cdot \dfrac{1}{e^2} \cdot (-1) = -\dfrac{4}{e^2} \\ f(1) &= 4 \cdot 1^2 \cdot \ln 1 = 0 \end{aligned} \]

Siden \( {e > 2}\text{,} \) er \( {\dfrac{2}{e} < 1}\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{4}{e^2} &= \dfrac{2}{e} \cdot \dfrac{2}{e} < \dfrac{2}{e} \\ -\dfrac{4}{e^2} &> -\dfrac{2}{e} \end{aligned} \]

Begge verdiene er altså større enn \( {-\dfrac{2}{e}}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & \dfrac{1}{e} & \dfrac{1}{\sqrt{e}} & 1 \\ \hline f(x) & -\dfrac{4}{e^2} & -\dfrac{2}{e} & 0 \end{array} \]Grafen går ned til \( {-\dfrac{2}{e}} \) og opp igjen, så punktet er et bunnpunkt. Grafen snur ikke noe annet sted, så den har ingen toppunkter.

Alternativ metode: Fortegnslinje Vi faktoriserer \( {f'(x) = \textcolor{darkorange}{4x}(\textcolor{magenta}{2\ln x + 1})}\text{.} \) For \( {x > 0} \) er \( {\textcolor{darkorange}{4x} > 0}\text{,} \) så \( f'(x) \) har samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{2\ln x + 1}}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [0.6065306597126334], "labels": ["\\tfrac{1}{\\sqrt{e}}"], "start": 0, "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{4x}", "expr": "4x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2\\ln x + 1}", "expr": "2ln(x) + 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "4x(2ln(x) + 1)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så punktet er et bunnpunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør, og ser hva som får løkka til å stoppe.

1. Finn ut hva programmet leter etter 2:32 Linje 8 og 9 definerer \( {f(x) = 4x^2 \cdot \ln x}\text{.} \) Løkka i linje 13 går så lenge \( {|f(m)| \ge 0{,}0001}\text{,} \) og linje 22 skriver ut \( m\text{.} \) Programmet stopper altså først når \( f(m) \) er nesten \( 0\text{.} \) Eleven vil finne nullpunktet til \( f\text{.} \)

2. Forklar linje 11 til 20 3:39 Linje 11 setter \( \textcolor{green}{m} \) midt mellom \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{m} = \dfrac{\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}}{2} \]

Linje 15 tester om \( {f(\textcolor{blue}{a}) \cdot f(\textcolor{green}{m}) < 0}\text{,} \) altså om \( f(\textcolor{blue}{a}) \) og \( f(\textcolor{green}{m}) \) har ulikt fortegn. Da krysser grafen \( x \)-aksen mellom \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{m}\text{,} \) og linje 16 flytter \( \textcolor{red}{b} \) til \( \textcolor{green}{m}\text{.} \)

Ellers ligger nullpunktet mellom \( \textcolor{green}{m} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{,} \) og linje 18 flytter \( \textcolor{blue}{a} \) til \( \textcolor{green}{m}\text{.} \) Linje 20 finner det nye midtpunktet.

Intervallet som nullpunktet ligger i, blir altså halvert for hver runde i løkka. Dette er halveringsmetoden, som i videoen Halveringsmetoden/​Midtpunktsmetoden.

3. Finn verdien som skrives ut 9:07 Vi finner nullpunktet selv. Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) For \( {x > 0} \) er \( {4x^2 \neq 0}\text{,} \) så \( {\ln x = 0}\text{.} \) Fra definisjonen er \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) så: \[ x = 1 \]Det ligger mellom \( 0{,}1 \) og \( 3\text{,} \) og \( {f(0{,}1) < 0 < f(3)}\text{,} \) siden \( {\ln 0{,}1 < 0 < \ln 3}\text{.} \) Halveringsmetoden finner det derfor.

Løkka stopper så snart \( {|f(m)| < 0{,}0001}\text{,} \) så programmet skriver ut en tilnærming til \( 1\text{:} \) et tall så nær \( 1 \) at \( f(m) \) er nesten \( 0\text{,} \) men ikke nødvendigvis nøyaktig \( 1\text{.} \)

Formen i oppgaven er en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra. Først gjør vi årene om til år etter 1960.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Gjør årene om til t 0:23 \( t \) er antall år etter 1960, så 1960 blir \( {t = 0}\text{,} \) 1961 blir \( {t = 1}\text{,} \) 1963 blir \( {t = 3} \) og så videre, til 1980, som blir \( {t = 20}\text{.} \)

Vi skriver \( t \) i kolonne A og folketallet i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør logistisk regresjon 2:19 Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{B}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegLogist(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ F(t) = \dfrac{\textcolor{red}{B}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]Det gir \( {\textcolor{red}{B} \approx \textcolor{red}{2840{,}8992}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{5{,}0748}} \) og \( {\textcolor{green}{k} \approx \textcolor{green}{0{,}2470}}\text{.} \)

I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {k \approx 0{,}25}\text{,} \) som i videoen. Regner vi videre med \( 0{,}25\text{,} \) starter perioden i c) etter omtrent \( 3{,}2 \) år i stedet for \( 3{,}3\text{.} \)

3. Vurder gyldighetsområdet 3:04 Tabellen har tall fra 1960 til 1980, altså for \( {0 \le t \le 20}\text{.} \) Der går grafen nær punktene.

Bakover i tid går modellen mot \( 0\text{,} \) og framover flater den ut mot omtrent \( 2841 \) personer. Vi har ingen tall som viser om det stemmer, så modellen gjelder bare for årene vi har data for.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( F'(12) \) er hvor fort folketallet vokser i 1972, og \( F''(12) \) er hvor fort veksten selv endrer seg. Med kalkulator deriverer vi modellen for hånd først.

1. Deriver modellen med kjerneregelen I a) fant vi modellen: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{2841}}{1 + \textcolor{blue}{5{,}07} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}247}t}} \]Vi regner med \( \textcolor{red}{B}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) og setter inn tallene til slutt.

Vi kaller \( {w = \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{.} \) Siden \( {(e^{-\textcolor{green}{k}t})' = -\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er: \[ \begin{aligned} F(t) &= \textcolor{red}{B} \cdot {\textcolor{darkorange}{(1 + w)}}^{-1} \\ w' &= -\textcolor{green}{k} \cdot w \end{aligned} \]

Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{darkorange}{u}^{-1}\right)' = -\textcolor{darkorange}{u}^{-2} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{u} &= \textcolor{darkorange}{1 + w} & \textcolor{darkorange}{u'} &= w' = -\textcolor{green}{k}w \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} F'(t) &= \textcolor{red}{B} \cdot \left(-(1 + w)^{-2}\right) \cdot (-\textcolor{green}{k}w) \\ F'(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k} \cdot w}{(1 + w)^2} \end{aligned} \]

2. Deriver én gang til \( F'(t) \) er \( \textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k} \) ganget med brøken \( {h = \dfrac{w}{(1 + w)^2}}\text{,} \) så vi deriverer brøken med kvotientregelen.

Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{p}{q}\right)' = \dfrac{p' \cdot q - p \cdot q'}{q^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er, med kjerneregelen for \( q'\text{:} \) \[ \begin{aligned} p &= w & p' &= w' \\ q &= (1 + w)^2 & q' &= 2(1 + w) \cdot w' \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og forkorter med \( {1 + w}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} h' &= \dfrac{w'(1 + w)^2 - w \cdot 2(1 + w)w'}{(1 + w)^4} \\ h' &= \dfrac{w'(1 - w)}{(1 + w)^3} \end{aligned} \]

Med \( {w' = -\textcolor{green}{k}w} \) og faktoren \( \textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k} \) foran blir det: \[ \begin{aligned} F''(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k}^2 \cdot w(w - 1)}{(1 + w)^3} \\ F''(t) &= \textcolor{green}{k} \cdot F'(t) \cdot \dfrac{w - 1}{w + 1} \end{aligned} \]

3. Sett inn tallene Med tallene fra svaret i a) er: \[ w = \textcolor{blue}{5{,}07} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}247} \cdot 12} \approx 0{,}2617 \]

Med alle desimalene fra kalkulatoren gir det: \[ \begin{aligned} F'(12) &\approx \dfrac{\textcolor{red}{2841} \cdot \textcolor{green}{0{,}247} \cdot 0{,}2617}{1{,}2617^2} \\ &\approx 115{,}4 \\ F''(12) &\approx \textcolor{green}{0{,}247} \cdot 115{,}4 \cdot \dfrac{-0{,}7383}{1{,}2617} \\ &\approx -16{,}7 \end{aligned} \]

4. Tolk svarene 0:30 \( F'(12) \) er vekstfarten 12 år etter 1960: i 1972 økte folketallet med omtrent \( 115 \) personer per år.

\( F'' \) forteller hvor fort vekstfarten endrer seg, slik akselerasjonen er den dobbeltderiverte av posisjonen i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. \( {F''(12) \approx -16{,}7 < 0}\text{,} \) så veksten avtok: vekstfarten ble omtrent \( 17 \) personer per år mindre for hvert år. Folketallet økte fortsatt, men saktere.

1. Regn ut de deriverte 0:09 I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{2840{,}8992}}{1 + \textcolor{blue}{5{,}0748} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}2470}t}} \]

Vi skriver de deriverte i \( {t = 12} \) inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: d_1 = F'(12) d_2 = F''(12)

GeoGebra gir \( {F'(12) \approx 115{,}4053} \) og \( {F''(12) \approx -16{,}6769}\text{.} \) I 1972 økte folketallet altså med omtrent \( 115 \) personer per år, og veksten avtok med omtrent \( 17 \) personer per år, per år.

Vi bruker modellen fra a) og uttrykket for \( F'(t) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Økningen per år er \( F'(t)\text{.} \) Vi finner de to tidspunktene der \( {F'(t) = 150}\text{,} \) og mellom dem er \( {F'(t) > 150}\text{.} \)

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{2841}}{1 + \textcolor{blue}{5{,}07} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}247}t}} \]

I b) fant vi den deriverte, med \( {w = \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{:} \) \[ F'(t) = \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k} \cdot w}{(1 + w)^2} \]

Vi setter \( {F'(t) = 150}\text{,} \) ganger med \( {(1 + w)^2}\text{,} \) deler på \( 150 \) og samler alt på én side: \[ w^2 + \left(2 - \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k}}{150}\right) \cdot w + 1 = 0 \]

2. Løs andregradslikningen Med tallene fra svaret i a) er: \[ \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k}}{150} \approx \dfrac{\textcolor{red}{2841} \cdot \textcolor{green}{0{,}247}}{150} = 4{,}67818 \]Det gir likningen: \[ w^2 - 2{,}67818 \cdot w + 1 = 0 \]

Bokstaven \( a \) er brukt i modellen, så vi skriver likningen som \( {p \cdot w^2 + q \cdot w + r = 0}\text{.} \) Løsningene finner vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ w = \dfrac{-q \pm \sqrt{q^2 - 4pr}}{2p} \]

Plugger vi inn \( {p = 1}\text{,} \) \( {q = -2{,}67818} \) og \( {r = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} w &= \dfrac{2{,}67818 \pm \sqrt{2{,}67818^2 - 4}}{2} \\ w_1 &\approx 2{,}2297 \\ w_2 &\approx 0{,}4485 \end{aligned} \]

3. Finn de to tidspunktene Vi løser \( {\textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} = w} \) for \( t\text{:} \) vi deler med \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) tar \( \ln \) på begge sider og bruker at \( {\ln(e^u) = u}\text{.} \) Til slutt deler vi med \( {-\textcolor{green}{k}}\text{,} \) og minustegnet snur brøken inne i logaritmen: \[ \begin{aligned} e^{-\textcolor{green}{k}t} &= \dfrac{w}{\textcolor{blue}{a}} \\ -\textcolor{green}{k}t &= \ln\left(\dfrac{w}{\textcolor{blue}{a}}\right) \\ t &= \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}} \cdot \ln\left(\dfrac{\textcolor{blue}{a}}{w}\right) \end{aligned} \]

Plugger vi inn \( w_1 \) og \( w_2 \) med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ \begin{aligned} t_1 &\approx \dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}247}} \ln\left(\dfrac{\textcolor{blue}{5{,}07}}{2{,}2297}\right) \approx 3{,}33 \\ t_2 &\approx \dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}247}} \ln\left(\dfrac{\textcolor{blue}{5{,}07}}{0{,}4485}\right) \approx 9{,}82 \end{aligned} \]

Mellom de to tidspunktene er \( {F'(t) > 150}\text{,} \) for eksempel er \( {F'(6) \approx 175}\text{.} \) Folketallet økte altså med mer enn 150 personer per år fra \( {t \approx 3{,}3} \) til \( {t \approx 9{,}8}\text{.} \) Det er fra 1963,3 til 1969,8, altså fra våren 1963 til høsten 1969.

1. Finn skjæringspunktene med linja 0:30 I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{2840{,}8992}}{1 + \textcolor{blue}{5{,}0748} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}2470}t}} \]

Vi lar GeoGebra derivere den, tegner linja \( {y = 150} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter ved hvert skjæringspunkt:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(F) g: y = 150

Skjæringspunktene er \( {K \approx (3{,}3286,\ 150)} \) og \( {L \approx (9{,}8222,\ 150)}\text{,} \) og grafen til \( F' \) ligger over linja mellom dem. Folketallet økte altså med mer enn 150 personer per år fra \( {t \approx 3{,}3} \) til \( {t \approx 9{,}8}\text{.} \) Det er fra 1963,3 til 1969,8, altså fra våren 1963 til høsten 1969.