Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

derivasjon

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

36 oppgaver i R1 om derivasjon · viser 21–30

Oppgavene

R1 høst 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

2 poeng

Bruk en egnet strategi til å bestemme verdien som skrives ut når programmet nedenfor kjøres.
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Programmet stopper i toppunktet til O O og skriver ut
10 000‾‾ \underline{\underline{10\,000}}
Løkka øker \( x \) så lenge neste funksjonsverdi er større, altså så lenge grafen til \( O \) stiger. Programmet stopper derfor i toppunktet, som vi finner med den deriverte.
1. Les hva programmet gjør Linje 1 og 2 definerer funksjonen: \[ O(x) = -0{,}1x^2 + 2000x - 50\,000 \]
Linje 4 starter med \( {x = 0}\text{.} \) Løkka i linje 6 og 7 øker \( x \) med \( 1 \) så lenge \( {O(x + 1) > O(x)}\text{,} \) altså så lenge grafen stiger. Når den ikke stiger lenger, stopper løkka, og linje 9 skriver ut \( x\text{.} \)
2. Finn toppunktet med den deriverte Topp- og bunnpunkter finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Vi deriverer ledd for ledd: \[ O'(x) = -0{,}2x + 2000 \]
Vi setter den deriverte lik \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}2x + 2000 &= 0 \\ x &= \dfrac{2000}{0{,}2} = 10\,000 \end{aligned} \]For \( {x < 10\,000} \) er \( {\textcolor{blue}{O'(x) > 0}}\text{,} \) og grafen stiger. For \( {x > 10\,000} \) er \( {\textcolor{red}{O'(x) < 0}}\text{,} \) og grafen synker.
3. Finn verdien som skrives ut Løkka tar ett steg om gangen. Når \( {x = 9999}\text{,} \) er \( {\textcolor{blue}{O(10\,000) > O(9999)}}\text{,} \) fordi grafen stiger fram til toppunktet. Da blir \( {x = 10\,000}\text{.} \)
Når \( {x = 10\,000}\text{,} \) er \( {\textcolor{red}{O(10\,001) < O(10\,000)}}\text{,} \) fordi grafen synker etter toppunktet. Da stopper løkka, og programmet skriver ut \( 10\,000\text{.} \)

R1 høst 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 6

2 poeng

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafene til tre funksjoner, f, f\text{,} g g og h. h\text{.} En av funksjonene har gjennomsnittlig vekstfart lik 12 \dfrac{1}{2} i intervallet [0,4], [0, 4]\text{,} og derivert lik 1 1 når x=1. {x = 1}\text{.}
Hvilken av funksjonene er dette? Husk å begrunne svaret ditt.
Vis løsning på oppgave 6

Svar

f f har gjennomsnittlig vekstfart 12 \dfrac{1}{2} på [0,4], [0, 4]\text{,} og f′(1)=1: {f'(1) = 1}\text{:}
Funksjonen er f‾‾ \underline{\underline{\text{Funksjonen er } f}}
Gjennomsnittlig vekstfart på \( [0, 4] \) er stigningstallet til linja mellom grafens punkter i \( {x = 0} \) og \( {x = 4}\text{.} \) Vi leser av grafene og ser hvilken funksjon som oppfyller begge kravene.
1. Regn ut den gjennomsnittlige vekstfarten Gjennomsnittlig vekstfart fra \( {x = 0} \) til \( {x = 4} \) er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Med \( {x_1 = 0} \) og \( {x_2 = 4} \) leser vi av \( y_1 \) og \( y_2 \) i figuren: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{f}\text{:} \quad \dfrac{2 - 0}{4 - 0} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{blue}{g}\text{:} \quad \dfrac{4 - 2}{4 - 0} &= \dfrac{1}{2} \\ \textcolor{red}{h}\text{:} \quad \dfrac{4 - 4}{4 - 0} &= 0 \end{aligned} \]Bare \( \textcolor{green}{f} \) og \( \textcolor{blue}{g} \) har gjennomsnittlig vekstfart \( \dfrac{1}{2}\text{.} \)
2. Sjekk den deriverte Den deriverte er stigningstallet til tangenten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Grafen til \( \textcolor{blue}{g} \) er en rett linje, så tangenten er linja selv, og stigningstallet er \( \dfrac{1}{2} \) overalt: \[ \textcolor{blue}{g'(1)} = \dfrac{1}{2} \neq 1 \]Da står bare \( \textcolor{green}{f} \) igjen.
3. Kontroller med funksjonsuttrykket Grafen til \( \textcolor{green}{f} \) ser ut som en parabel med nullpunkter i \( {x = 0} \) og \( {x = 6}\text{,} \) altså \( {f(x) = a \cdot x(x - 6)}\text{.} \) Punktet \( (2, 2) \) gir: \[ \begin{aligned} a \cdot 2 \cdot (2 - 6) &= 2 \\ a &= -\dfrac{1}{4} \end{aligned} \]
Det gir \( {f(x) = -\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{3}{2}x}\text{.} \) Potensregelen \( {(x^n)' = n \cdot x^{n - 1}} \) gir: \[ \begin{aligned} f'(x) &= -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2} \\ f'(1) &= -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 1 \end{aligned} \]

R1 høst 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

Et gammelt vannreservoar lekker vann. Mengden vann i reservoaret V V er gitt ved
V(t)=10000⋅e−0,07t+500 V(t) = 10000 \cdot e^{-0{,}07t} + 500
Her er t t antall timer etter lekkasjen startet, og mengden vann er målt i antall liter.

Oppgave 1a)

Hvor lang tid vil det gå før vannmengden er halvert?
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Avrundet til én desimal er vannmengden halvert etter
omtrent 10,6 timer‾‾ \underline{\underline{\text{omtrent } 10{,}6 \text{ timer}}}
Vannmengden ved start er \( V(0)\text{.} \) Vi finner når \( V(t) \) er halvparten av den, og får \( t \) ned fra eksponenten med \( \ln\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Finn vannmengden ved start Ved start er \( {t = 0}\text{,} \) og \( {e^0 = 1}\text{:} \) \[ V(0) = 10000 \cdot e^{0} + 500 = 10\,500 \]Halvparten er \( 5250 \) liter.
2. Løs likningen med ln Vi setter \( {V(t) = 5250}\text{,} \) trekker fra \( 500 \) og deler på \( 10000\text{:} \) \[ \begin{aligned} 10000 \cdot e^{\textcolor{green}{-0{,}07t}} + 500 &= 5250 \\ e^{\textcolor{green}{-0{,}07t}} &= 0{,}475 \end{aligned} \]
Vi tar \( \ln \) på begge sider. Siden \( {\ln\left(e^{\textcolor{green}{u}}\right) = \textcolor{green}{u}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{-0{,}07t} &= \ln 0{,}475 \\ t &= \dfrac{\ln 0{,}475}{-0{,}07} \approx 10{,}63 \end{aligned} \]Det tar omtrent \( 10{,}6 \) timer, altså omtrent \( 10 \) timer og \( 38 \) minutter.
Metode: Med GeoGebra
1. Løs likningen i CAS Vi definerer \( V(t) \) i CAS og løser \( {V(t) = \dfrac{1}{2} \cdot V(0)} \) med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: V(t) := 10000*e^(-0.07t) + 500 V(0) Løs(V(t) = V(0)/2, t)
CAS gir \( {V(0) = 10\,500} \) og \( {t \approx 10{,}6349}\text{.} \) Det tar omtrent \( 10{,}6 \) timer.

Oppgave 1b)

Bestem V′(12) V'(12) og V′′(12). V''(12)\text{.} Gi en praktisk tolkning av svarene.
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til én desimal. Etter 12 timer minker vannmengden med omtrent 302 liter per time, og lekkasjen avtar med omtrent 21 liter per time, per time:
V′(12)≈−302,2‾‾V′′(12)≈21,2‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{V'(12) \approx -302{,}2}} \\ &\underline{\underline{V''(12) \approx 21{,}2}} \end{aligned}
\( V'(12) \) er hvor fort vannmengden endrer seg etter 12 timer, og \( V''(12) \) er hvor fort selve endringen endrer seg. Med kalkulator deriverer vi for hånd først.
Metode: Med kalkulator
1. Deriver med kjerneregelen Kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne forteller oss at: \[ \left(e^{\textcolor{green}{u}}\right)' = e^{\textcolor{green}{u}} \cdot \textcolor{green}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Her er kjernen \( {\textcolor{green}{u} = \textcolor{green}{-0{,}07t}}\text{,} \) så \( {\textcolor{green}{u'} = \textcolor{green}{-0{,}07}}\text{.} \) Konstanten \( 500 \) har derivert \( 0\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} V'(t) &= 10000 \cdot e^{\textcolor{green}{-0{,}07t}} \cdot (\textcolor{green}{-0{,}07}) \\ V'(t) &= -700 \cdot e^{-0{,}07t} \end{aligned} \]
Vi deriverer én gang til på samme måte: \[ \begin{aligned} V''(t) &= -700 \cdot e^{\textcolor{green}{-0{,}07t}} \cdot (\textcolor{green}{-0{,}07}) \\ V''(t) &= 49 \cdot e^{-0{,}07t} \end{aligned} \]
2. Regn ut verdiene Med \( {t = 12} \) er \( {e^{-0{,}07 \cdot 12} = e^{-0{,}84}}\text{.} \) Med alle desimalene fra kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} V'(12) &= -700 \cdot e^{-0{,}84} \approx -302{,}2 \\ V''(12) &= 49 \cdot e^{-0{,}84} \approx 21{,}2 \end{aligned} \]
3. Tolk svarene \( V'(12) \) er endringen i vannmengden per time etter 12 timer. Den er negativ, så vannmengden minker med omtrent \( 302 \) liter per time.
\( V'' \) forteller hvor fort \( V' \) endrer seg, slik akselerasjonen er den dobbeltderiverte av posisjonen i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. \( {V''(12) > 0}\text{,} \) så \( V' \) øker: lekkasjen avtar, og vannmengden minker omtrent \( 21 \) liter per time saktere for hver time som går.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut i CAS Vi definerer \( V(t) \) i CAS og regner ut de deriverte i \( {t = 12} \) med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: V(t) := 10000*e^(-0.07t) + 500 V'(12) V''(12)
CAS gir \( {V'(12) \approx -302{,}1974} \) og \( {V''(12) \approx 21{,}1538}\text{.} \) Etter 12 timer minker vannmengden altså med omtrent \( 302 \) liter per time, og lekkasjen avtar med omtrent \( 21 \) liter per time, per time.

Oppgave 1c)

Undersøk om V V har asymptoter, og gi en praktisk tolkning av verdien til eventuelle asymptoter.
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
V V har ingen loddrette asymptoter. På lang sikt er det omtrent 500 liter igjen i reservoaret:
Vannrett asymptote V=500‾‾ \underline{\underline{\text{Vannrett asymptote } V = 500}}
Vi ser hva \( V(t) \) går mot når \( t \) vokser, og om \( V \) kan gå mot uendelig for en bestemt \( t\text{.} \)
Metode: For hånd
1. La tiden gå mot uendelig Når \( t \to \infty\text{,} \) går \( {\textcolor{blue}{e^{-0{,}07t}} = \dfrac{1}{e^{0{,}07t}} \to 0}\text{,} \) fordi nevneren vokser uten grense. Det gir: \[ \lim_{t \to \infty} V(t) = 10000 \cdot \textcolor{blue}{0} + 500 = 500 \]
Grafen nærmer seg linja \( {V = 500}\text{,} \) så \( {V = 500} \) er en vannrett asymptote, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Leddet \( {10000 \cdot e^{-0{,}07t}} \) er alltid positivt, så \( {V(t) > 500} \) for alle \( t\text{.} \)
2. Se etter loddrette asymptoter En loddrett asymptote krever at funksjonen går mot uendelig når \( t \) nærmer seg et bestemt tall. \( V \) har ingen brøk med \( t \) i nevneren og ingen logaritme, så den er definert og kontinuerlig for alle \( t\text{.} \) Den har derfor ingen loddrette asymptoter.
3. Tolk asymptoten Vannmengden nærmer seg \( 500 \) liter, men blir aldri mindre. Etter lang tid er det altså omtrent \( 500 \) liter igjen i reservoaret, for eksempel fordi lekkasjen sitter et stykke opp fra bunnen.

R1 høst 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

6 poeng

Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

Oppgave 2a)

Påstand: Hvis
lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞g(x) \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x)
og
lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞g(x) \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} g(x)
så er f(x)=g(x). {f(x) = g(x)}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
f(x)=1x2+1 {f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}} og g(x)=0 {g(x) = 0} har de samme grenseverdiene, men er ikke like:
Pa˚standen er usann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er usann}}}
Påstanden skal gjelde for alle funksjoner, så ett moteksempel er nok til å vise at den er usann. Grenseverdiene sier bare hva som skjer langt ute til venstre og til høyre.
Metode: For hånd
1. Let etter et moteksempel Finner vi to funksjoner som har de samme grenseverdiene, men som ikke er like, er påstanden usann. Det kalles et moteksempel, som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026.
Vi velger: \[ \textcolor{blue}{f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}} \qquad \textcolor{red}{g(x) = 0} \]
2. Sjekk grenseverdiene Når \( x \to \infty \) eller \( {x \to -\infty}\text{,} \) vokser nevneren \( {x^2 + 1} \) uten grense, så brøken går mot \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \textcolor{blue}{f(x)} &= 0 = \lim_{x \to \infty} \textcolor{red}{g(x)} \\ \lim_{x \to -\infty} \textcolor{blue}{f(x)} &= 0 = \lim_{x \to -\infty} \textcolor{red}{g(x)} \end{aligned} \]
Begge kravene i påstanden er oppfylt, men funksjonene er ikke like: \[ \textcolor{blue}{f(0)} = \dfrac{1}{0 + 1} = 1 \neq 0 = \textcolor{red}{g(0)} \]Påstanden er derfor usann. Andre moteksempler er også riktige, for eksempel \( {f(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}} \) og \( {g(x) = 2}\text{.} \)

Oppgave 2b)

Påstand: Funksjonen f(x)=∣x∣ {f(x) = |x|} er deriverbar for alle x∈R, x \in \mathbb{R}\text{,} bortsett fra i x=0. {x = 0}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
f′(x)=1 {f'(x) = 1} for x>0, {x > 0}\text{,} f′(x)=−1 {f'(x) = -1} for x<0, {x < 0}\text{,} og i x=0 {x = 0} har f f ingen derivert:
Pa˚standen er sann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er sann}}}
Vi skriver \( |x| \) uten absoluttverdi på hver side av \( 0\text{.} \) I \( {x = 0} \) bruker vi definisjonen av den deriverte og ser på stigningstallet fra hver side.
Metode: For hånd
1. Deriver på hver side av null For \( {x \ge 0} \) er \( {|x| = x}\text{,} \) og for \( {x < 0} \) er \( {|x| = -x}\text{:} \) \[ f(x) = \begin{cases} \textcolor{blue}{-x}, & x < 0 \\ \textcolor{red}{x}, & x \ge 0 \end{cases} \]Det gir \( {\textcolor{red}{f'(x) = 1}} \) for \( {x > 0} \) og \( {\textcolor{blue}{f'(x) = -1}} \) for \( {x < 0}\text{,} \) så \( f \) er deriverbar for alle \( {x \neq 0}\text{.} \)
2. Bruk definisjonen i null Definisjonen av den deriverte forteller oss at: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Definisjonen til den deriverte.
Her er \( {f(0 + h) - f(0) = |h|}\text{.} \) Fra høyre er \( {h > 0}\text{,} \) og fra venstre er \( {h < 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} h > 0\text{:} \quad \dfrac{|h|}{h} &= \dfrac{h}{h} = \textcolor{red}{1} \\ h < 0\text{:} \quad \dfrac{|h|}{h} &= \dfrac{-h}{h} = \textcolor{blue}{-1} \end{aligned} \]Grenseverdiene fra høyre og fra venstre er ulike, så grenseverdien finnes ikke, og \( f \) er ikke deriverbar i \( {x = 0}\text{.} \) Grafen har en knekk i origo.
Påstanden stemmer derfor: \( f \) er deriverbar overalt unntatt i \( {x = 0}\text{.} \)

Oppgave 2c)

Påstand: For likningen ax=ay, {a^x = a^y}\text{,} der a∈R, a \in \mathbb{R}\text{,} er løsningen alltid x=y. {x = y}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
For a=1 {a = 1} er 12=13, {1^2 = 1^3}\text{,} selv om 2≠3: {2 \neq 3}\text{:}
Pa˚standen er usann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er usann}}}
Påstanden sier «alltid», så den skal gjelde for alle \( a \in \mathbb{R}\text{.} \) Finner vi én verdi av \( a \) der likningen også har andre løsninger, er påstanden usann.
Metode: For hånd
1. Let etter et moteksempel Vi prøver \( {\textcolor{green}{a = 1}}\text{.} \) En potens er et produkt der grunntallet er faktor like mange ganger som eksponenten sier, som i videoen Hva er en Potens, så for eksempel er: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{1}^{\textcolor{blue}{2}} &= 1 \cdot 1 = 1 \\ \textcolor{green}{1}^{\textcolor{red}{3}} &= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \end{aligned} \]Da er \( {\textcolor{green}{1}^{\textcolor{blue}{2}} = \textcolor{green}{1}^{\textcolor{red}{3}}}\text{,} \) så \( {x = \textcolor{blue}{2}} \) og \( {y = \textcolor{red}{3}} \) er en løsning av likningen, selv om \( {2 \neq 3}\text{.} \) Dette er et moteksempel, og påstanden er usann.
Påstanden gjelder når \( {a > 0} \) og \( {a \neq 1}\text{,} \) fordi \( a^x \) da enten vokser hele tiden eller avtar hele tiden, og tar hver verdi bare én gang.

R1 høst 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

8 poeng

Forskere har registrert en ny fiskeart i en innsjø. I tabellen nedenfor ser du hvor mange fisk av arten det var i innsjøen noen måneder etter at arten først ble registrert.
Ma˚nederetter førsteregistreringAntalltusen fisk0112,525,539414522632745860 \begin{array}{r|r} \begin{array}{c} \text{Måneder} \\ \text{etter første} \\ \text{registrering} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Antall} \\ \text{tusen fisk} \end{array} \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2{,}5 \\ 2 & 5{,}5 \\ 3 & 9 \\ 4 & 14 \\ 5 & 22 \\ 6 & 32 \\ 7 & 45 \\ 8 & 60 \end{array}
Fiskepopulasjonen kan beskrives med en modell på formen
A(t)=A0⋅kt A(t) = A_0 \cdot k^t
der A(t) A(t) er antall tusen fisk t t måneder etter første registrering.

Oppgave 3a)

Bestem A0 A_0 og k, k\text{,} og gi en praktisk tolkning av disse verdiene.
Vis løsning på oppgave 3a
Svar
Med A0 A_0 avrundet til to desimaler og k k til tre. Modellen starter på omtrent 1600 fisk, og antallet øker med omtrent 63 % per måned:
A0≈1,60‾‾k≈1,634‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{A_0 \approx 1{,}60}} \\ &\underline{\underline{k \approx 1{,}634}} \end{aligned}
Formen \( {A_0 \cdot k^t} \) er en eksponentiell modell, så vi bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra på alle punktene i tabellen.
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre regresjon. Øv heller på å tolke \( A_0 \) og \( k\text{,} \) og på c) og d) med modellene i svarene, med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Legg punktene inn i GeoGebra Vi skriver månedene i kolonne A og antall tusen fisk i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)
2. Kjør eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{A_0} \) og \( \textcolor{blue}{k} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Kommandoen heter RegEksp, og GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: A(x) = RegEksp(l1)
Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ A(t) = \textcolor{red}{A_0} \cdot \textcolor{blue}{k}^t \]Det gir \( {\textcolor{red}{A_0} \approx \textcolor{red}{1{,}6012}} \) og \( {\textcolor{blue}{k} \approx \textcolor{blue}{1{,}6341}}\text{.} \)
3. Tolk tallene \( \textcolor{red}{A_0} \) er antall tusen fisk ved \( {t = 0}\text{,} \) da arten først ble registrert. Ifølge modellen var det omtrent \( 1600 \) fisk. Tabellen sier \( 1000\text{:} \) regresjonen går nær alle punktene, men ikke nødvendigvis gjennom det første.
\( \textcolor{blue}{k} \) er vekstfaktoren per måned. Siden \( {\textcolor{blue}{k} \approx 1{,}634 = 1 + 0{,}634}\text{,} \) øker antall fisk med omtrent \( 63\,\% \) hver måned.
Fiskepopulasjonen kan også beskrives med en logistisk modell på formen
N(t)=B1+B−N0N0e−r⋅t N(t) = \dfrac{B}{1 + \dfrac{B - N_0}{N_0} e^{-r \cdot t}}
B B er bæreevnen, N0 N_0 er antall tusen fisk ved t=0 {t = 0} og r r er vekstparameteren.

Oppgave 3b)

Bestem N0, N_0\text{,} B B og r. r\text{.}
Vis løsning på oppgave 3b
Svar
Med B B avrundet til én desimal, N0 N_0 til to og r r til tre. Bæreevnen er omtrent 111 400 fisk, og modellen er N(t)≈111,41+57,20⋅e−0,524t: {N(t) \approx \dfrac{111{,}4}{1 + 57{,}20 \cdot e^{-0{,}524t}}}\text{:}
N0≈1,91‾‾B≈111,4‾‾r≈0,524‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{N_0 \approx 1{,}91}} \\ &\underline{\underline{B \approx 111{,}4}} \\ &\underline{\underline{r \approx 0{,}524}} \end{aligned}
Formen er en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra. \( N_0 \) er verdien modellen gir ved \( {t = 0}\text{.} \)
Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på c) og d) med modellen i svaret, med kalkulator.
Metode: Med GeoGebra
1. Kjør logistisk regresjon Lista med punkt fra a) heter \( l_1\text{.} \) Logistisk regresjon finner de tallene som gjør at grafen går så nær punktene som mulig, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Til slutt regner vi ut \( N(0)\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: N(x) = RegLogist(l1) N_0 = N(0)
2. Les av de tre tallene GeoGebra gir modellen på formen \( {\dfrac{\textcolor{red}{B}}{1 + \textcolor{green}{b} \cdot e^{-\textcolor{blue}{r}x}}}\text{.} \) Sammenligner vi med formen i oppgaven, er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{B} &\approx \textcolor{red}{111{,}3734} \\ \textcolor{blue}{r} &\approx \textcolor{blue}{0{,}5244} \\ \textcolor{green}{\dfrac{B - N_0}{N_0}} &\approx \textcolor{green}{57{,}2048} \end{aligned} \]
\( N_0 \) er antall tusen fisk ved \( {t = 0} \) i modellen, altså \( {N(0) \approx 1{,}9135}\text{,} \) som GeoGebra regnet ut. Tabellen sier \( 1\text{:} \) RegLogist tilpasser kurven til alle punktene, så modellens verdi ved \( {t = 0} \) er ikke den første verdien i tabellen, som i a).
Kontroll: \( {\dfrac{111{,}3734 - 1{,}9135}{1{,}9135} \approx 57{,}20}\text{,} \) som er tallet foran \( e \) i modellen.

Oppgave 3c)

Bestem den deriverte til funksjonene du fant i oppgavene a) og b). Forklar hvordan vekstfarten endrer seg ifølge hver av de to modellene.
Vis løsning på oppgave 3c
Svar
Den eksponentielle vekstfarten øker hele tiden. Den logistiske øker til omtrent 14,6 tusen fisk per måned etter omtrent 7,7 måneder, og avtar så mot 0:
A′(t)≈0,786⋅1,634t‾‾N′(t)≈3340⋅e−0,524t(1+57,20⋅e−0,524t)2‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{A'(t) \approx 0{,}786 \cdot 1{,}634^t}} \\ &\underline{\underline{N'(t) \approx \dfrac{3340 \cdot e^{-0{,}524t}}{(1 + 57{,}20 \cdot e^{-0{,}524t})^2}}} \end{aligned}
Vi bruker modellene fra a) og b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vekstfarten er den deriverte. Vi deriverer begge modellene og ser om vekstfarten øker hele tiden, eller om den har et toppunkt.
Metode: Med kalkulator
1. Deriver den eksponentielle modellen I a) fant vi modellen: \[ A(t) \approx 1{,}60 \cdot \textcolor{blue}{1{,}634}^t \]Den deriverte av \( \textcolor{blue}{k}^t \) er: \[ \left(\textcolor{blue}{k}^t\right)' = \textcolor{blue}{k}^t \cdot \ln \textcolor{blue}{k} \]Den følger av kjerneregelen, siden \( {\textcolor{blue}{k}^t = e^{t \cdot \ln \textcolor{blue}{k}}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler.
Det gir: \[ \begin{aligned} A'(t) &= 1{,}60 \cdot \textcolor{blue}{1{,}634}^t \cdot \ln \textcolor{blue}{1{,}634} \\ A'(t) &\approx 0{,}786 \cdot 1{,}634^t \end{aligned} \]Dette er \( A(t) \) ganget med \( \ln 1{,}634\text{,} \) så vekstfarten øker med samme prosent som antall fisk, \( 63\,\% \) per måned. Den øker hele tiden, og fortere og fortere.
2. Deriver den logistiske modellen I b) fant vi modellen, som vi skriver med \( {\textcolor{darkorange}{w} = \textcolor{darkorange}{57{,}20 \cdot e^{-0{,}524t}}}\text{:} \) \[ N(t) \approx \dfrac{111{,}4}{1 + \textcolor{darkorange}{w}} = 111{,}4 \cdot (1 + \textcolor{darkorange}{w})^{-1} \]
Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(u^{-1}\right)' = -u^{-2} \cdot u' \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.
Her er kjernen \( {u = 1 + \textcolor{darkorange}{w}}\text{.} \) Siden \( {(e^{-0{,}524t})' = -0{,}524 \cdot e^{-0{,}524t}}\text{,} \) er \( {u' = \textcolor{darkorange}{w'} = -0{,}524 \cdot \textcolor{darkorange}{w}}\text{.} \) De to minustegnene gir pluss: \[ N'(t) = \dfrac{111{,}4 \cdot 0{,}524 \cdot \textcolor{darkorange}{w}}{(1 + \textcolor{darkorange}{w})^2} \]
Setter vi inn \( \textcolor{darkorange}{w}\text{,} \) og bruker at \( {111{,}4 \cdot 0{,}524 \cdot 57{,}20 \approx 3340}\text{,} \) avrundet til tre gjeldende sifre, får vi: \[ N'(t) \approx \dfrac{3340 \cdot e^{-0{,}524t}}{(1 + 57{,}20 \cdot e^{-0{,}524t})^2} \]
3. Finn ut når vekstfarten er størst Siden \( {N = \dfrac{111{,}4}{1 + w}} \) og \( {1 - \dfrac{N}{111{,}4} = \dfrac{w}{1 + w}}\text{,} \) kan den deriverte skrives: \[ N'(t) = 0{,}524 \cdot N \cdot \left(1 - \dfrac{N}{111{,}4}\right) \]
Dette er et andregradsuttrykk i \( N \) med nullpunkter \( {N = 0} \) og \( {N = 111{,}4}\text{.} \) Det er størst midt mellom dem, når \( {N = 55{,}7}\text{.} \) Antallet \( N \) vokser hele tiden mot \( 111{,}4\text{,} \) så vekstfarten øker til \( {N = 55{,}7} \) og avtar etterpå. Det skjer når \( {\textcolor{darkorange}{w} = 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{57{,}20 \cdot e^{-0{,}524t}} &= 1 \\ t &= \dfrac{\ln 57{,}20}{0{,}524} \approx 7{,}7 \end{aligned} \]Da er vekstfarten: \[ N'(t) = 0{,}524 \cdot 55{,}7 \cdot \dfrac{1}{2} \approx 14{,}6 \]Vekstfarten øker altså til omtrent \( 14{,}6 \) tusen fisk per måned etter omtrent \( 7{,}7 \) måneder, og avtar så mot \( 0 \) når antallet nærmer seg bæreevnen.
Metode: Med GeoGebra
1. Deriver i CAS I a) og b) lagret vi modellene som \( A \) og \( N \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi deriverer dem i CAS med knappen ≈:
Skriv inn i GeoGebra: A'(x) N'(x)
Nevneren i \( N'(x) \) er \( {(1 + 57{,}2048 \cdot e^{-0{,}5244x})^2} \) ganget ut, og \( {e^{0{,}4911} \approx 1{,}6341}\text{.} \) CAS gir altså: \[ \begin{aligned} A'(t) &\approx 0{,}7863 \cdot 1{,}6341^t \\ N'(t) &\approx \dfrac{3340{,}95 \cdot e^{-0{,}5244t}}{(1 + 57{,}2048 \cdot e^{-0{,}5244t})^2} \end{aligned} \]
2. Finn toppunktet til den deriverte Vi tegner grafene til \( A' \) og \( N'\text{,} \) og finner toppunktet til \( N' \) med Ekstremalpunkt:
Skriv inn i GeoGebra: Derivert(A) Derivert(N) T = Ekstremalpunkt(N', 0, 14)
Grafen til \( A' \) stiger stadig brattere, og grafen til \( N' \) har toppunktet \( {T \approx (7{,}7168,\ 14{,}6008)}\text{.} \) Med den eksponentielle modellen øker vekstfarten hele tiden. Med den logistiske er den størst etter omtrent \( 7{,}7 \) måneder, omtrent \( 14{,}6 \) tusen fisk per måned, og avtar så mot \( 0\text{.} \)

Oppgave 3d)

Hvilken modell mener du beskriver den praktiske situasjonen best? Hvor mange fisk vil det være 12 måneder etter første registrering, ifølge denne modellen?
Vis løsning på oppgave 3d
Svar
Den logistiske modellen beskriver situasjonen best, fordi innsjøen har en bæreevne. Ifølge den er det etter 12 måneder, avrundet til nærmeste hundre:
omtrent 100 700 fisk‾‾ \underline{\underline{\text{omtrent } 100\,700 \text{ fisk}}}
Vi bruker modellene fra a) og b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
En innsjø har bare plass og mat til et begrenset antall fisk. Den logistiske modellen har en bæreevne, så vi velger den og regner ut \( N(12)\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Velg modell Vi sammenligner modellene med tabellen og ser hvordan de oppfører seg etter det siste punktet, som når vi vurderer gyldighetsområdet i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den eksponentielle modellen gir for mye allerede ved \( {t = 8}\text{,} \) og den vokser uten grense: \[ A(8) \approx 1{,}60 \cdot 1{,}634^8 \approx 81 \]mens tabellen sier \( 60 \) tusen fisk.
Den logistiske modellen går nær alle punktene i tabellen og flater ut mot bæreevnen, omtrent \( 111\,400 \) fisk. Den beskriver situasjonen best.
2. Regn ut antallet etter 12 måneder I b) fant vi modellen: \[ N(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{111{,}4}}{1 + \textcolor{green}{57{,}20} \cdot e^{-\textcolor{blue}{0{,}524}t}} \]
Vi setter inn \( {t = 12}\text{:} \) \[ \begin{aligned} N(12) &\approx \dfrac{\textcolor{red}{111{,}4}}{1 + \textcolor{green}{57{,}20} \cdot e^{-\textcolor{blue}{0{,}524} \cdot 12}} \\ &\approx 100{,}7 \end{aligned} \]Det er omtrent \( 100\,700 \) fisk.
Metode: Med GeoGebra
1. Regn ut antallet i GeoGebra I a) og b) lagret vi modellene som \( A \) og \( N \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi tegner begge sammen med punktene og regner ut \( N(12)\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: n = N(12)
Grafen til \( A \) stiger forbi det siste punktet, mens \( N \) følger punktene og flater ut. GeoGebra gir \( {N(12) \approx 100{,}7163}\text{,} \) altså omtrent \( 100\,700 \) fisk.

R1 vår 2024 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

2 poeng

Deriver funksjonen.
f(x)=4x2⋅ln⁡(3x) f(x) = 4x^2 \cdot \ln(3x)
Vis løsning på oppgave 1

Svar

For x>0 {x > 0} er
f′(x)=8xln⁡(3x)+4x‾‾ \underline{\underline{f'(x) = 8x\ln(3x) + 4x}}
Funksjonen er et produkt av to faktorer, så vi deriverer med produktregelen. Faktoren \( \ln(3x) \) deriverer vi med kjerneregelen.
1. Skriv opp produktregelen Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Kjerneregelen for \( \ln \) gir \( {\left(\ln(\textcolor{green}{3x})\right)' = \dfrac{1}{\textcolor{green}{3x}} \cdot \textcolor{green}{3} = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln(3x)} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]
2. Sett inn og forenkle Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{\ln(3x)} + \textcolor{red}{4x^2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \\ f'(x) &= 8x\ln(3x) + 4x \end{aligned} \]Vi kan bare ta \( \ln \) av positive tall, så funksjonen er definert for \( {x > 0}\text{.} \)

R1 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

En influensaepidemi bryter ut på en videregående skole med 1000 elever. I starten er det få smittede, men antallet øker raskt. Antallet smittede elever S(t) S(t) etter t t dager er tilnærmet gitt ved
S(t)=3001+28⋅e−0,3t S(t) = \dfrac{300}{1 + 28 \cdot e^{-0{,}3t}}

Oppgave 1a)

Hvor lang tid tar det før 100 elever er smittet?
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Avrundet til én desimal:
Det tar omtrent 8,8 dager‾‾ \underline{\underline{\text{Det tar omtrent } 8{,}8 \text{ dager}}}
Vi skal finne \( t \) når \( {S(t) = 100}\text{.} \) Med kalkulator får vi potensen \( {e^{-0{,}3t}} \) alene og tar \( \ln \) på begge sider.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp likningen Vi setter \( {S(t) = 100}\text{:} \) \[ \dfrac{300}{1 + 28 \cdot \textcolor{green}{e^{-0{,}3t}}} = 100 \]
2. Få potensen alene Vi ganger begge sider med nevneren og deler på \( 100\text{.} \) Så trekker vi fra \( 1 \) og deler på \( 28\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 &= 1 + 28 \cdot \textcolor{green}{e^{-0{,}3t}} \\ 2 &= 28 \cdot \textcolor{green}{e^{-0{,}3t}} \\ \textcolor{green}{e^{-0{,}3t}} &= \dfrac{1}{14} \end{aligned} \]
3. Ta ln på begge sider Vi tar \( \ln \) på begge sider og bruker at \( {\ln(e^u) = u \cdot \ln e = u}\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer, og at \( {\ln\dfrac{1}{14} = -\ln 14}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -0{,}3t &= -\ln 14 \\ t &= \dfrac{\ln 14}{0{,}3} \approx 8{,}80 \end{aligned} \]Det tar omtrent \( 8{,}8 \) dager.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn skjæringspunktet med linja Vi skriver modellen inn i Algebrafeltet, tegner linja \( {y = 100} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter på grafen og linja, som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: S(x) = 300 / (1 + 28 e^(-0.3x)) g: y = 100
Skjæringspunktet er \( {A \approx (8{,}7969,\ 100)}\text{.} \) Det tar omtrent \( 8{,}8 \) dager.

Oppgave 1b)

På hvilket tidspunkt blir flest elever smittet, og hvor raskt sprer smitten seg da?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til én desimal:
Etter omtrent 11,1 dager‾‾22,5 elever per dag‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Etter omtrent } 11{,}1 \text{ dager}}} \\ &\underline{\underline{22{,}5 \text{ elever per dag}}} \end{aligned}
Flest elever blir smittet når smitten sprer seg raskest, altså når \( S'(t)\text{,} \) antall nye smittede per dag, er størst. Det er i toppunktet til \( S'\text{,} \) der \( {S''(t) = 0}\text{.} \)
Metode: Med kalkulator
1. Deriver modellen med kjerneregelen Vi regner med bokstavene og setter inn tallene til slutt: \[ S(t) = \dfrac{\textcolor{red}{C}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]der \( {\textcolor{red}{C} = \textcolor{red}{300}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{28}} \) og \( {\textcolor{green}{k} = \textcolor{green}{0{,}3}}\text{.} \)
Vi skriver modellen som \( {S(t) = \textcolor{red}{C} \cdot \textcolor{darkorange}{u}^{-1}} \) med kjernen \( {\textcolor{darkorange}{u} = \textcolor{darkorange}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}}\text{.} \) Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{darkorange}{u}^{-1}\right)' = -\textcolor{darkorange}{u}^{-2} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.
Siden \( {(e^{-\textcolor{green}{k}t})' = -\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er: \[ \textcolor{darkorange}{u'} = -\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} \]
Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} S'(t) &= \textcolor{red}{C} \cdot \left(-\textcolor{darkorange}{u}^{-2}\right) \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \\ S'(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}{(1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t})^2} \end{aligned} \]
2. Innfør en hjelpevariabel Uttrykket blir enklere med en hjelpevariabel \( w\text{:} \) \[ \begin{aligned} w &= \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} \\ S'(t) &= \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot \dfrac{w}{(1 + w)^2} \end{aligned} \]Her er \( {w > 0}\text{,} \) og siden \( {w' = -\textcolor{green}{k} \cdot w < 0}\text{,} \) avtar \( w \) fra \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{28}} \) mot \( 0 \) når \( t \) øker.
3. Deriver én gang til Vi kaller brøken \( {h(w) = \dfrac{w}{(1 + w)^2}}\text{,} \) så \( {S'(t) = \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot h(w)}\text{.} \) Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{p}{q}\right)' = \dfrac{p' \cdot q - p \cdot q'}{q^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.
Her er: \[ \begin{aligned} p &= w & p' &= 1 \\ q &= (1 + w)^2 & q' &= 2(1 + w) \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn og forkorter med \( {1 + w}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} h'(w) &= \dfrac{(1 + w)^2 - w \cdot 2(1 + w)}{(1 + w)^4} \\ h'(w) &= \dfrac{(1 + w) - 2w}{(1 + w)^3} \\ h'(w) &= \dfrac{1 - w}{(1 + w)^3} \end{aligned} \]
Med kjerneregelen ganger vi med \( {w' = -\textcolor{green}{k} \cdot w}\text{:} \) \[ \begin{aligned} S''(t) &= \textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k} \cdot h'(w) \cdot (-\textcolor{green}{k} \cdot w) \\ S''(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k}^2 \cdot w \cdot (w - 1)}{(1 + w)^3} \end{aligned} \]
4. Finn toppunktet til den deriverte Alt i \( S''(t) \) er positivt bortsett fra \( {w - 1}\text{,} \) og \( w \) avtar når \( t \) øker: \[ \begin{array}{r|ccc} w & > 1 & 1 & < 1 \\ \hline S''(t) & + & 0 & - \\ S'(t) & \nearrow & \text{maks} & \searrow \end{array} \]
Smitten sprer seg derfor raskest når \( {w = 1}\text{,} \) altså når \( {\textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} = 1}\text{.} \) Vi ganger med \( e^{\textcolor{green}{k}t} \) og tar \( \ln \) på begge sider: \[ \begin{aligned} e^{\textcolor{green}{k}t} &= \textcolor{blue}{a} \\ t &= \dfrac{\ln \textcolor{blue}{a}}{\textcolor{green}{k}} = \dfrac{\ln \textcolor{blue}{28}}{\textcolor{green}{0{,}3}} \approx 11{,}11 \end{aligned} \]
Setter vi \( {w = 1} \) inn i \( S'(t)\text{,} \) får vi farten da: \[ S'(t) = \dfrac{\textcolor{red}{C}\textcolor{green}{k}}{4} = \dfrac{\textcolor{red}{300} \cdot \textcolor{green}{0{,}3}}{4} = 22{,}5 \]Flest elever blir smittet etter omtrent \( 11{,}1 \) dager, og da sprer smitten seg med \( 22{,}5 \) elever per dag.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet til den deriverte Vi skriver modellen inn i Algebrafeltet, lar GeoGebra derivere den og tegne grafen til \( S'\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Toppunktet mellom \( {t = 0} \) og \( {t = 30} \) finner vi med Ekstremalpunkt:
Skriv inn i GeoGebra: S(x) = 300 / (1 + 28 e^(-0.3x)) Derivert(S) Ekstremalpunkt(S', 0, 30)
Toppunktet er \( {B \approx (11{,}1073,\ 22{,}5)}\text{.} \) Flest elever blir smittet etter omtrent \( 11{,}1 \) dager, og da sprer smitten seg med \( 22{,}5 \) elever per dag.

Oppgave 1c)

Undersøk om S S har asymptoter, og forklar hvilken praktisk tolkning asymptotene eventuelt har.
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
S S har ingen loddrette asymptoter. På lang sikt blir omtrent 300 av de 1000 elevene smittet:
Vannrett asymptote S=300‾‾ \underline{\underline{\text{Vannrett asymptote } S = 300}}
Vi ser hva \( S(t) \) går mot når \( t \) vokser, og om nevneren kan bli \( 0\text{.} \)
Metode: For hånd
1. La tiden gå mot uendelig Når \( t \to \infty\text{,} \) går \( {\textcolor{blue}{e^{-0{,}3t}} = \dfrac{1}{e^{0{,}3t}}} \) mot \( 0\text{,} \) fordi nevneren vokser uten grense. Det gir: \[ \lim_{t \to \infty} S(t) = \dfrac{300}{1 + 28 \cdot \textcolor{blue}{0}} = 300 \]
Grafen nærmer seg linja \( {S = 300}\text{,} \) så \( {S = 300} \) er en vannrett asymptote, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Leddet \( {28 \cdot e^{-0{,}3t}} \) er alltid positivt, så \( {S(t) < 300} \) for alle \( t\text{.} \)
2. Se etter loddrette asymptoter Nevneren \( {1 + 28 \cdot e^{-0{,}3t}} \) er større enn \( 1 \) for alle \( t\text{,} \) fordi \( {e^{-0{,}3t} > 0}\text{.} \) Den blir aldri \( 0\text{,} \) så \( S \) har ingen loddrette asymptoter.
For negative \( t \) ville \( S \) gått mot \( 0\text{,} \) men \( t \) er antall dager etter at epidemien brøt ut, så \( {t \ge 0} \) her.
3. Tolk asymptoten Antallet smittede nærmer seg \( 300\text{,} \) men blir aldri større. Ifølge modellen blir altså omtrent \( 300 \) av de \( 1000 \) elevene smittet, og de andre \( 700 \) slipper unna.

R1 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

6 poeng

Avgjør om hver av påstandene nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

Oppgave 2a)

Påstand: Når x>0, {x > 0}\text{,} er ek⋅ln⁡(x)=xk. {e^{k \cdot \ln(x)} = x^k}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
For alle x>0 {x > 0} er ek⋅ln⁡(x)=eln⁡(xk)=xk: {e^{k \cdot \ln(x)} = e^{\ln(x^k)} = x^k}\text{:}
Pa˚standen er sann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er sann}}}
Vi skriver om eksponenten med logaritmeregelen for potenser, og bruker så definisjonen av \( \ln\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Skriv om eksponenten Logaritmeregelen for potenser forteller oss at: \[ \ln\left(a^{\textcolor{green}{b}}\right) = \textcolor{green}{b} \cdot \ln a \quad \text{for } a > 0 \]De samme regnereglene gjelder for \( \ln \) som for \( \lg\text{,} \) som i videoen Naturlige Logaritmer.
Vi bruker den baklengs, med \( {a = x > 0} \) og \( {\textcolor{green}{b} = \textcolor{green}{k}}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{k} \cdot \ln(x) = \ln\left(x^{\textcolor{green}{k}}\right) \]
2. Bruk definisjonen av ln Fra definisjonen av logaritmen er \( \ln u \) tallet vi må opphøye \( e \) i for å få \( u\text{,} \) så \( {e^{\ln u} = u} \) for \( {u > 0}\text{,} \) som i videoen Hva er en Logaritme?. Med \( {u = x^{\textcolor{green}{k}}}\text{,} \) som er positiv når \( {x > 0}\text{,} \) får vi: \[ e^{\textcolor{green}{k} \cdot \ln(x)} = e^{\ln\left(x^{\textcolor{green}{k}}\right)} = x^{\textcolor{green}{k}} \]Det er det påstanden sier, og det gjelder for alle \( {x > 0}\text{.} \)

Oppgave 2b)

En funksjon f f er gitt ved
f(x)={x3−2,x<23x2−4,x≥2 f(x) = \begin{cases} x^3 - 2, & x < 2 \\ 3x^2 - 4, & x \ge 2 \end{cases}
Påstand: Funksjonen er deriverbar i x=2. {x = 2}\text{.}
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
f f hopper fra 6 6 til 8 8 i x=2, {x = 2}\text{,} så den er ikke kontinuerlig og dermed ikke deriverbar der:
Pa˚standen er usann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er usann}}}
En funksjon som er deriverbar i et punkt, må også være kontinuerlig der. Vi sjekker derfor først om uttrykkene gir samme verdi i \( {x = 2}\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Sjekk om funksjonen er kontinuerlig Fra venstre gjelder \( {\textcolor{blue}{x^3 - 2}}\text{.} \) Fra høyre, og i \( {x = 2}\text{,} \) gjelder \( {\textcolor{red}{3x^2 - 4}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 2^-} f(x) &= \textcolor{blue}{2^3 - 2} = \textcolor{blue}{6} \\ f(2) &= \textcolor{red}{3 \cdot 2^2 - 4} = \textcolor{red}{8} \end{aligned} \]Uttrykkene gir \( \textcolor{blue}{6} \) og \( \textcolor{red}{8}\text{,} \) så grafen hopper i \( {x = 2}\text{,} \) som i det første eksempelet i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. \( f \) er altså ikke kontinuerlig i \( {x = 2}\text{.} \)
2. Avgjør om funksjonen er deriverbar Der funksjonen skifter uttrykk, er den deriverbar bare når uttrykkene gir samme verdi og har samme derivert, som i videoen Oppgave 2B - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Her har uttrykkene samme derivert i \( {x = 2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{x^3 - 2})' &= 3x^2\text{, som gir } 12 \\ (\textcolor{red}{3x^2 - 4})' &= 6x\text{, som gir } 12 \end{aligned} \]Men det holder ikke. Verdiene er ulike, så grafen har et sprang og ingen tangent i \( {x = 2}\text{.} \) Påstanden er derfor usann.

Oppgave 2c)

Påstand: En funksjon som er både minkende og voksende i definisjonsmengden sin, kan ha en omvendt funksjon.
Vis løsning på oppgave 2c
Svar
f(x)=x2 {f(x) = x^2} med Df=[−2,−1]∪[3,4] {D_f = [-2, -1] \cup [3, 4]} både minker og vokser og har en omvendt funksjon:
Pa˚standen er sann‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er sann}}}
Påstanden sier at en slik funksjon kan ha en omvendt funksjon. Da holder det med ett eksempel.
Metode: For hånd
1. Skriv opp kravet For å finne den omvendte funksjonen løser vi \( {y = f(x)} \) for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026. Det går bare når ulike verdier av \( x \) gir ulike verdier av \( y\text{:} \) \[ x_1 \neq x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \neq f(x_2) \]
En kontinuerlig funksjon som både minker og vokser på ett og samme intervall, snur et sted og får noen verdier to ganger. Men definisjonsmengden kan bestå av to deler.
2. Finn et eksempel Vi velger \( {f(x) = x^2} \) med \( {D_f = \textcolor{blue}{[-2, -1]} \cup \textcolor{red}{[3, 4]}}\text{.} \) På \( {\textcolor{blue}{[-2, -1]}} \) minker \( f \) fra 4 til 1, og på \( \textcolor{red}{[3, 4]} \) vokser den fra 9 til 16: \[ V_f = \textcolor{blue}{[1, 4]} \cup \textcolor{red}{[9, 16]} \]
De to delene av verdimengden har ingen felles verdier, så hver verdi av \( y \) kommer fra bare én \( x\text{.} \) Funksjonen har derfor en omvendt funksjon, selv om den både minker og vokser. Påstanden er sann.

R1 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

4 poeng

En funksjon f f er gitt ved
f(x)=−x2+4,0≤x≤2 f(x) = -x^2 + 4, \quad 0 \le x \le 2
Lars har tegnet grafen til f f med et innskrevet rektangel ABCD. ABCD\text{.} Lars har også skrevet et program.

Oppgave 6a)

Forklar hva Lars prøver å finne ut med programmet. Hva blir svaret hvis man kjører programmet?
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
Lars vil finne det største arealet rektangelet ABCD ABCD kan få. Programmet skriver ut 3,0791250000000003: 3{,}0791250000000003\text{:}
Største areal≈3,079‾‾ \underline{\underline{\text{Største areal} \approx 3{,}079}}
Vi leser programmet linje for linje og ser hva arealet og løkka står for. Så finner vi hvor løkka stopper.
Metode: Med kalkulator
1. Les hva programmet regner ut Linje 1 og 2 definerer \( {f(x) = -x^2 + 4}\text{.} \) Linje 4 og 5 regner ut arealet av rektangelet \( ABCD \) når \( B \) ligger i \( (x, 0)\text{:} \) bredden \( AB \) er \( \textcolor{blue}{x}\text{,} \) og høyden \( BC \) er \( \textcolor{red}{f(x)}\text{.} \) Vi kaller arealet \( T(x)\text{,} \) siden \( A \) er et hjørne: \[ \begin{aligned} T(x) &= \textcolor{blue}{x} \cdot \textcolor{red}{(-x^2 + 4)} \\ T(x) &= -x^3 + 4x \end{aligned} \]
Linje 7 til 9 regner ut den deriverte av arealet tilnærmet, med \( {h = 0{,}0001}\text{.} \) Det er brøken fra definisjonen av den deriverte, uten grenseverdien, som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \dfrac{T(x + h) - T(x)}{h} \approx T'(x) \]
Løkka i linje 13 og 14 øker \( x \) med \( {\texttt{dx} = 0{,}01} \) så lenge den deriverte i neste punkt er positiv, altså så lenge arealet vokser. Den stopper ved toppunktet, og linje 16 skriver ut arealet der. Lars vil altså finne det største arealet rektangelet kan få.
2. Finn hvor løkka stopper Toppunktet finner vi der den deriverte er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Med potensregelen er \( {T'(x) = -3x^2 + 4}\text{:} \) \[ \begin{aligned} -3x^2 + 4 &= 0 \\ x &= \dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1{,}1547 \end{aligned} \]
I \( {x = 1{,}14} \) er den deriverte i neste punkt, \( 1{,}15\text{,} \) positiv, så \( x \) blir \( 1{,}15\text{.} \) I \( {x = 1{,}15} \) er den deriverte i \( 1{,}16 \) negativ, fordi \( {1{,}16 > 1{,}1547}\text{.} \) Da stopper løkka, og programmet skriver ut: \[ \begin{aligned} T(1{,}15) &= 1{,}15 \cdot (-1{,}15^2 + 4) \\ T(1{,}15) &= 3{,}079125 \end{aligned} \]Det største arealet er \( {\dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{16\sqrt{3}}{9} \approx 3{,}0792}\text{,} \) så programmet treffer det med tre desimaler.
Metode: Med Python
1. Kjør programmet Vi kjører programmet slik det står. Det skriver ut:
Det siste sifferet kommer av at datamaskinen regner med avrundede desimaltall. Det største arealet er altså omtrent \( 3{,}079\text{.} \)

Oppgave 6b)

Hvilken strategi bruker Lars i programmet sitt? Vil strategien fungere uavhengig av hvilken funksjon f f er?
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Lars går i steg på 0,01 så lenge den deriverte av arealet er positiv, og stopper i toppunktet. Med f(x)=4 {f(x) = 4} stopper løkka aldri:
Nei, ikke for alle f‾‾ \underline{\underline{\text{Nei, ikke for alle } f}}
Vi bruker fra a) at løkka går så lenge den deriverte av arealet er positiv.
Vi beskriver hva løkka gjør, og ser etter funksjoner der den ikke stopper i det største arealet.
Metode: For hånd
1. Beskriv strategien Lars starter i \( {x = 0} \) og går mot høyre i steg på \( {\texttt{dx} = 0{,}01}\text{.} \) Så lenge den deriverte av arealet er positiv, vokser arealet, og han tar et steg til. Når den deriverte i neste punkt ikke lenger er positiv, har arealet nådd et toppunkt, der den deriverte går fra pluss til minus, som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026. Der stopper han.
2. Avgjør om den alltid virker Nei. Strategien virker bare når arealet først vokser og så avtar, med ett toppunkt.
Er \( {f(x) = 4}\text{,} \) er arealet \( {\textcolor{blue}{x} \cdot 4 = 4x}\text{,} \) og den deriverte er hele tiden \( 4\text{.} \) Da stopper løkka aldri.
Har arealet flere toppunkter, stopper løkka ved det første, og det er ikke nødvendigvis det største. Avtar arealet fra start, stopper løkka med en gang, i \( {x = 0}\text{.} \)
Svaret blir heller ikke helt nøyaktig, fordi \( x \) bare går i steg på \( 0{,}01\text{.} \)

R1 vår 2024 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 7

2 poeng

En kule med radius r r deles i to like deler. Vi skal skjære ut en pyramide med rektangulær grunnflate av den ene halvkulen. Grunnflaten skal ligge i snittflaten til halvkulen.
Bestem et uttrykk for det største volumet en slik pyramide kan ha.
Volumet av en pyramide er gitt ved
V=h⋅G3 V = \dfrac{h \cdot G}{3}
der G G er grunnflaten og h h er høyden til pyramiden.
Vis løsning på oppgave 7

Svar

Med toppen øverst og en kvadratisk grunnflate med diagonal 2r: 2r\text{:}
V=23r3‾‾ \underline{\underline{V = \dfrac{2}{3}r^3}}
Pyramiden blir høyest med toppen øverst på halvkulen, og grunnflaten blir størst med hjørnene på randen av snittflaten. Den største grunnflaten finner vi med derivasjon.
Metode: For hånd
1. Finn den største høyden Toppen av pyramiden må ligge i halvkulen, så høyden er høyst lik radien. Den største høyden får vi med toppen øverst, rett over sentrum av snittflaten, som på figuren: \[ h = \textcolor{darkorange}{r} \]
2. Sett opp grunnflaten Snittflaten er en sirkel med radius \( r\text{.} \) Ligger et hjørne av grunnflaten innenfor randen, kan vi gjøre rektangelet større, så det største rektangelet har alle hjørnene på randen. Da er diagonalen en diameter, \( 2r\text{,} \) og med sidene \( \textcolor{red}{a} \) og \( b \) gir Pythagoras: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{a}^2 + b^2 &= (2r)^2 \\ b &= \sqrt{4r^2 - \textcolor{red}{a}^2} \end{aligned} \]
Grunnflaten er altså: \[ G(\textcolor{red}{a}) = \textcolor{red}{a} \cdot \sqrt{4r^2 - \textcolor{red}{a}^2} \]der \( {0 < \textcolor{red}{a} < 2r}\text{.} \)
3. Deriver grunnflaten \( G \) er et produkt, så vi deriverer med produktregelen. Den forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.
For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Roten deriverer vi med kjerneregelen, \( {\left(\sqrt{\textcolor{green}{w}}\right)' = \dfrac{\textcolor{green}{w'}}{2\sqrt{\textcolor{green}{w}}}}\text{,} \) med kjernen \( {\textcolor{green}{w} = \textcolor{green}{4r^2 - a^2}} \) og \( {\textcolor{green}{w'} = \textcolor{green}{-2a}}\text{,} \) som i videoen Kjerneregelen: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{a} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - a^2}} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{-2a}{2\sqrt{4r^2 - a^2}}} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} G'(a) &= \textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{4r^2 - a^2}} \\ &{}+ \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{-2a}{2\sqrt{4r^2 - a^2}}} \end{aligned} \]
Vi setter på felles brøkstrek, med \( {\sqrt{4r^2 - a^2}} \) som nevner: \[ \begin{aligned} G'(a) &= \dfrac{4r^2 - a^2 - a^2}{\sqrt{4r^2 - a^2}} \\ G'(a) &= \dfrac{4r^2 - 2a^2}{\sqrt{4r^2 - a^2}} \end{aligned} \]
4. Sett den deriverte lik null Den deriverte er \( 0 \) når telleren er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 2C - Del 1 - R1/S1 Eksamen Vår 2026: \[ \begin{aligned} 4r^2 - 2\textcolor{red}{a}^2 &= 0 \\ \textcolor{red}{a} &= \sqrt{2}\,r \end{aligned} \]Telleren er positiv for \( {a < \sqrt{2}\,r} \) og negativ for \( {a > \sqrt{2}\,r}\text{,} \) så grunnflaten har et toppunkt der.
5. Regn ut det største volumet Med \( {\textcolor{red}{a} = \sqrt{2}\,r} \) er \( {b = \sqrt{4r^2 - 2r^2} = \sqrt{2}\,r}\text{,} \) så grunnflaten er et kvadrat: \[ G = \sqrt{2}\,r \cdot \sqrt{2}\,r = 2r^2 \]
Plugger vi dette og \( {h = \textcolor{darkorange}{r}} \) inn i formelen for volumet, får vi: \[ V = \dfrac{\textcolor{darkorange}{r} \cdot 2r^2}{3} = \dfrac{2}{3}r^3 \]
Metode: Med GeoGebra
1. Finn det største volumet i CAS Med toppen øverst er \( {h = r}\text{,} \) og med sidene \( a \) og \( {\sqrt{4r^2 - a^2}} \) er grunnflaten \( {G(a) = a \cdot \sqrt{4r^2 - a^2}}\text{,} \) som i ruten for hånd. Vi skriver \( G \) inn i CAS og løser \( {G'(a) = 0}\text{:} \)
Skriv inn i GeoGebra: G(a) := a*sqrt(4r^2 - a^2) Løs(G'(a) = 0, a) G(sqrt(2) r) 1/3*r*G(sqrt(2) r)
Sidelengden er positiv, så \( {a = \sqrt{2}\,r}\text{.} \) CAS gir grunnflaten \( 2r|r| \) og volumet \( \dfrac{2}{3}r^2|r|\text{.} \) Siden \( {r > 0}\text{,} \) er \( {|r| = r}\text{,} \) så det største volumet er \( \dfrac{2}{3}r^3\text{.} \)