Eksamensoppgaver etter tema

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og banefarten er lengden av fartsvektoren. Posisjonen finner vi ved å sette inn tiden.

1. Finn fartsvektoren Posisjonsvektoren har førstekoordinaten \( {\textcolor{blue}{6t + 120}} \) og andrekoordinaten \( {\textcolor{red}{\dfrac{5}{3}t + 50}}\text{:} \) \[ \vec{r}(t) = \left[\textcolor{blue}{6t + 120},\ \textcolor{red}{\dfrac{5}{3}t + 50}\right] \]Fartsvektoren er den deriverte av den, \( {\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)}\text{,} \) som i videoen Posisjon, fart & akselerasjon.

Vi deriverer hver koordinat for seg. Konstantene \( 120 \) og \( 50 \) har derivert \( 0\text{:} \) \[ \vec{v}(t) = \left[\textcolor{blue}{6},\ \textcolor{red}{\dfrac{5}{3}}\right] \]Fartsvektoren er den samme hele tiden, så skøyteløperen beveger seg langs en rett linje med konstant fart.

2. Regn ut banefarten Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} |\vec{v}| &= \sqrt{\textcolor{blue}{6}^2 + \left(\textcolor{red}{\dfrac{5}{3}}\right)^2} \\ |\vec{v}| &= \sqrt{36 + \dfrac{25}{9}} = \sqrt{\dfrac{349}{9}} = \dfrac{\sqrt{349}}{3} \\ |\vec{v}| &\approx 6{,}23 \end{aligned} \]

3. Finn posisjonen etter et halvt minutt Et halvt minutt er \( 30 \) sekunder. Vi setter inn \( {t = 30} \) i begge koordinatene: \[ \begin{aligned} x &= \textcolor{blue}{6 \cdot 30 + 120} = 300 \\ y &= \textcolor{red}{\dfrac{5}{3} \cdot 30 + 50} = 100 \end{aligned} \]

Skøyteløperen treffer hunden bare hvis de er på samme sted til samme tid. Da må begge koordinatene være like for den samme \( t\text{.} \)

1. Sett førstekoordinatene like Skal de treffe hverandre, må førstekoordinaten til skøyteløperen, \( {\textcolor{blue}{6t + 120}}\text{,} \) og til hunden, \( {\textcolor{red}{\dfrac{13}{2}t + 250}}\text{,} \) være like for den samme \( t \in [0, 200]\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{6t + 120} &= \textcolor{red}{\dfrac{13}{2}t + 250} \\ 6t - \dfrac{13}{2}t &= 250 - 120 \\ -\dfrac{1}{2}t &= 130 \\ t &= -260 \end{aligned} \]Hvis du er usikker på parameterframstillinger, kan du se kapittelet Parametrisering.

Førstekoordinatene er like bare for \( {t = -260}\text{,} \) og den er ikke med i tidsintervallet: \[ t = -260 \notin [0, 200] \]Da kan skøyteløperen og hunden aldri være på samme sted til samme tid, uansett hva andrekoordinatene er.

Ingen av dem endrer retning, så de kan bare møtes der banene krysser hverandre. Vi finner når hunden er der, og deler strekningen skøyteløperen har igjen på tiden som er igjen.

1. Finn hvor banene krysser hverandre I krysningspunktet er de på samme sted, men ikke nødvendigvis til samme tid. Vi kaller tiden til skøyteløperen \( \textcolor{blue}{u} \) og tiden til hunden \( \textcolor{red}{w}\text{,} \) og setter koordinatene like: \[ \begin{aligned} 6\textcolor{blue}{u} + 120 &= \dfrac{13}{2}\textcolor{red}{w} + 250 \\ \dfrac{5}{3}\textcolor{blue}{u} + 50 &= -\dfrac{9}{5}\textcolor{red}{w} + 520 \end{aligned} \]

Vi løser den første likningen for \( \textcolor{blue}{u}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{u} = \dfrac{13}{12}\textcolor{red}{w} + \dfrac{65}{3} \]

Setter vi det inn i den andre og ganger begge sider med \( 180\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{65}{36}\textcolor{red}{w} + \dfrac{325}{9} + 50 &= -\dfrac{9}{5}\textcolor{red}{w} + 520 \\ 325\textcolor{red}{w} + 15500 &= -324\textcolor{red}{w} + 93600 \\ 649\textcolor{red}{w} &= 78100 \\ \textcolor{red}{w} &= \dfrac{7100}{59} \end{aligned} \]Hunden er i krysningspunktet \( K \) etter omtrent \( 120{,}34 \) sekunder, innenfor \( [0, 200]\text{.} \)

2. Finn krysningspunktet og hvor skøyteløperen er Vi setter \( {\textcolor{red}{w} = \dfrac{7100}{59}} \) inn i koordinatene til hunden: \[ \begin{aligned} x_K &= \dfrac{13}{2} \cdot \dfrac{7100}{59} + 250 = \dfrac{60900}{59} \\ y_K &= -\dfrac{9}{5} \cdot \dfrac{7100}{59} + 520 = \dfrac{17900}{59} \end{aligned} \]

Skøyteløperen oppdager hunden etter \( 1 \) minutt, når \( {t = 60}\text{,} \) i punktet \( P\text{:} \) \[ \begin{aligned} x_P &= 6 \cdot 60 + 120 = 480 \\ y_P &= \dfrac{5}{3} \cdot 60 + 50 = 150 \end{aligned} \]

3. Regn ut strekningen som er igjen Vektoren fra \( P \) til \( K \) finner vi ved å trekke koordinatene til \( P \) fra koordinatene til \( K\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{PK} &= \left[\dfrac{32580}{59},\ \dfrac{9050}{59}\right] \\ \overrightarrow{PK} &= \dfrac{1810}{59} \cdot [18, 5] \end{aligned} \]Siden \( {[18, 5] = 3 \cdot \left[6, \dfrac{5}{3}\right]}\text{,} \) peker den samme vei som fartsvektoren, så \( K \) ligger rett fram.

Lengden finner vi med Pythagoras, \( {|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}}\text{.} \) Den positive faktoren kan stå utenfor roten: \[ \begin{aligned} |\overrightarrow{PK}| &= \dfrac{1810}{59} \cdot \sqrt{18^2 + 5^2} \\ |\overrightarrow{PK}| &= \dfrac{1810}{59} \cdot \sqrt{349} \approx 573{,}11 \end{aligned} \]Skøyteløperen har omtrent \( 573{,}11\,\text{m} \) igjen.

4. Regn ut den nye banefarten Den nye banefarten er strekningen delt på tiden fra \( {t = 60} \) til hunden er i \( K\text{.} \) Vi regner med de eksakte verdiene og runder av til slutt: \[ \begin{aligned} v &= \dfrac{|\overrightarrow{PK}|}{\textcolor{red}{w} - 60} \\ v &= \dfrac{1810 \cdot \sqrt{349}}{59} : \left(\dfrac{7100}{59} - 60\right) \\ v &= \dfrac{1810 \cdot \sqrt{349}}{59} : \dfrac{3560}{59} \\ v &= \dfrac{181 \cdot \sqrt{349}}{356} \approx 9{,}50 \end{aligned} \]Skøyteløperen må holde en banefart på omtrent \( 9{,}50\,\text{m/s}\text{.} \)

1. Løs likningene i CAS Vi skriver posisjonene inn i CAS og løser likningssystemet for krysningspunktet med Løs, som i videoen Oppgave 2B (GEOGEBRA / CAS) - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Den nye banefarten er avstanden fra \( P\text{,} \) der skøyteløperen er etter \( 60 \) sekunder, til krysningspunktet \( K\text{,} \) delt på tiden som er igjen, der \( w \) er tiden da hunden er i \( K\text{:} \) \[ v = \dfrac{|\overrightarrow{PK}|}{w - 60} \]Den siste raden regner vi ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: r(t) := (6t + 120, 5/3*t + 50) s(t) := (13/2*t + 250, -9/5*t + 520) Løs({6u + 120 = 13/2*w + 250, 5/3*u + 50 = -9/5*w + 520}, {u, w}) Avstand(r(60), s(7100/59)) / (7100/59 - 60)

CAS gir \( {u = \dfrac{8970}{59}} \) og \( {w = \dfrac{7100}{59}}\text{,} \) og den nye banefarten er omtrent \( 9{,}4982\,\text{m/s}\text{,} \) altså omtrent \( 9{,}50\,\text{m/s}\text{.} \)

\( AB \) er vannrett, så lengden er forskjellen mellom førstekoordinatene. \( AD \) er loddrett, så lengden er forskjellen mellom andrekoordinatene.

1. Finn lengdene \( A \) har førstekoordinat \( a\text{,} \) og \( B \) har førstekoordinat \( 5\text{.} \) Siden \( {a < 5}\text{,} \) er: \[ AB = \textcolor{red}{5 - a} \]

\( A \) har andrekoordinat \( {f(a) = 100 \cdot 0{,}8^a}\text{,} \) og \( D \) har andrekoordinat \( 200\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a \le 1} \) når \( {a \ge 0}\text{,} \) er \( {f(a) \le 100}\text{,} \) så \( D \) ligger over \( A\text{:} \) \[ AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a} \]

Vi bruker lengdene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Arealet er \( {AB \cdot AD}\text{,} \) en funksjon av \( a\text{.} \) Vi finner der den deriverte er \( 0\text{,} \) viser at det er et toppunkt, og sammenligner med endepunktet \( {a = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Likningen der den deriverte er \( 0\text{,} \) kan ikke løses for hånd. Øv heller på å sette opp arealet og den deriverte for hånd, med produktregelen og \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{,} \) og på å avgjøre fortegnet til den deriverte.

1. Sett opp arealet som en funksjon I a) fant vi \( {AB = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {AD = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Navnet \( A \) er brukt på et punkt, så vi kaller arealet \( T(a)\text{:} \) \[ T(a) = (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \]der \( a \in [0, 5\rangle\text{.} \)

2. Deriver og løs med CAS Oppgaven krever derivasjon, fordi en annen metode, som å lese av en graf, bare gir noe uttelling. Arealet er et produkt, og produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

Her er \( {\textcolor{red}{u} = \textcolor{red}{5 - a}} \) og \( {\textcolor{blue}{v} = \textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}}\text{.} \) Siden \( {0{,}8^a = e^{a \cdot \ln 0{,}8}}\text{,} \) gir kjerneregelen for \( e \) opphøyd i en kjerne, som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, at \( {(0{,}8^a)' = 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \cdot \ln 0{,}8} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= \textcolor{red}{-1} \cdot (\textcolor{blue}{200 - 100 \cdot 0{,}8^a}) \\ &{}+ (\textcolor{red}{5 - a})(\textcolor{blue}{-100 \cdot 0{,}8^a \ln 0{,}8}) \end{aligned} \]

Vi lar CAS kontrollere den deriverte og løse \( {T'(a) = 0}\text{.} \) Likningen kan ikke løses eksakt, så vi bruker NLøs med startverdien \( {a = 0{,}2}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: f(x) := 100*0.8^x T(a) := (5 - a)*(200 - f(a)) T'(a) NLøs(T'(a) = 0, a = 0.2)

CAS gir \( {T'(a) = 0} \) når \( {a \approx 0{,}1707}\text{.} \)

3. Vis at det er et toppunkt Faktoriserer vi ut \( {100 \cdot 0{,}8^a} \) fra leddene som har den, får vi: \[ \begin{aligned} T'(a) &= 100 \cdot 0{,}8^a \cdot g(a) - 200 \\ g(a) &= 1 - (5 - a) \cdot \ln 0{,}8 \end{aligned} \]Siden \( {\ln 0{,}8 < 0}\text{,} \) er \( g(a) \) positiv og blir mindre når \( a \) øker, og \( 0{,}8^a \) blir også mindre. Derfor avtar \( T'(a)\text{,} \) og den er \( 0 \) bare én gang.

Vi sjekker fortegnet på hver side og regner ut arealet i CAS, radene 5 til 7 med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: T'(0) T'(1) T(0.1707) T(0)

CAS gir i rad 5 og 6: \[ \begin{aligned} T'(0) &\approx 11{,}57 > 0 \\ T'(1) &\approx -48{,}59 < 0 \end{aligned} \]Arealet vokser før \( {a \approx 0{,}1707} \) og avtar etter, så der har \( T \) et toppunkt.

Vi sammenligner med endepunktet \( {a = 0} \) i rad 7 og 8: \[ \begin{aligned} T(0{,}1707) &\approx 500{,}98 \\ T(0) &= 500 \end{aligned} \]Når \( a \) nærmer seg \( 5\text{,} \) går arealet mot \( 0\text{.} \) Det største arealet er derfor omtrent \( 501\text{.} \)

Vi ser på hva husholdningen betaler når spotprisen er under og over \( 75 \) øre/kWh, og hva som skjer når spotprisen er akkurat \( 75\text{.} \)

1. Forklar hvorfor forskriften er delt Når spotprisen er \( 75 \) øre/kWh eller lavere, gir ordningen ingen støtte, og husholdningen betaler hele spotprisen: \[ \textcolor{blue}{f(x) = x} \]

Når spotprisen er over \( 75 \) øre/kWh, dekker støtten \( 90 \) prosent av det som er over \( 75\text{,} \) altså \( {0{,}9 \cdot (x - 75)}\text{.} \) Da følger prisen en annen regel: \[ \textcolor{red}{f(x) = x - 0{,}9 \cdot (x - 75)} \]En funksjon som følger ulike regler på ulike deler av definisjonsmengden, har delt forskrift, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon.

2. Begrunn at funksjonen er kontinuerlig Hver del er en rett linje, så grafen kan bare gjøre et sprang i skjøten \( {x = 75}\text{.} \) Der er \( f \) kontinuerlig når grenseverdiene fra begge sider er lik funksjonsverdien: \[ \lim_{x \to 75^-} f(x) = \lim_{x \to 75^+} f(x) = f(75) \]

Støtten er \( 0 \) når \( {x = 75}\text{,} \) så begge delene gir \( 75\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 75^-} f(x) &= \textcolor{blue}{75} = f(75) \\ \lim_{x \to 75^+} f(x) &= \textcolor{red}{75 - 0{,}9 \cdot (75 - 75)} \\ \lim_{x \to 75^+} f(x) &= 75 \end{aligned} \]Delene møtes, så \( f \) er kontinuerlig.

Det er ordningen som gjør at den må være det: støtten dekker bare det som er over \( 75\text{,} \) så den starter på \( 0\text{.} \) Hadde støtten dekket \( 90 \) prosent av hele prisen, ville prisen falt fra \( 75 \) til \( 7{,}6 \) øre/kWh når spotprisen gikk fra \( 75 \) til \( 76\text{.} \)

Opp til \( 75 \) øre/kWh betaler husholdningen hele spotprisen. Over \( 75 \) trekker vi fra støtten, som er \( 90 \) prosent av det som er over \( 75\text{.} \)

1. Finn prisen på begge sider Når \( {x \le 75}\text{,} \) får husholdningen ingen støtte og betaler hele spotprisen: \[ \textcolor{blue}{f(x) = x} \]

Når \( {x > 75}\text{,} \) er det som er over \( 75 \) lik \( {x - 75}\text{,} \) og støtten er \( {0{,}9 \cdot (x - 75)}\text{.} \) Husholdningen betaler spotprisen minus støtten: \[ \begin{aligned} f(x) &= x - 0{,}9 \cdot (x - 75) \\ f(x) &= x - 0{,}9x + 67{,}5 \\ f(x) &= \textcolor{red}{0{,}1x + 67{,}5} \end{aligned} \]

2. Skriv opp funksjonsuttrykket Vi setter de to delene sammen til en delt forskrift med klamme, som i videoen Hva er en kontinuerlig funksjon. Begge gir \( 75 \) når \( {x = 75}\text{:} \) \[ f(x) = \begin{cases} \textcolor{blue}{x}, & x \le 75 \\ \textcolor{red}{0{,}1x + 67{,}5}, & x > 75 \end{cases} \]

Merk – Tolkning: Oppgaven sier ikke hvilke spotpriser som er mulige, så vi skriver bare \( {x \le 75} \) i den første delen. Å skrive \( {0 \le x \le 75} \) er også en rimelig tolkning, og \( {x = 75} \) kan stå i hvilken som helst av delene, fordi begge gir \( 75\text{.} \) Eksamensveiledningen sier at sensorene skal være åpne for rimelige tolkninger.

Vi ser at funksjonen består av tre ledd, og at roten er vanskelig å derivere slik den står. Vi skriver den derfor som en potens og deriverer ledd for ledd.

1. Skriv roten som en potens 0:15 En rot kan skrives som en potens: \[ \sqrt[n]{x} = x^{\tfrac{1}{n}} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Potenser og røtter.

Kvadratroten er andreroten, så \( {n = 2}\text{:} \) \[ f(x) = \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}x^3} + \textcolor{red}{x^{\tfrac{1}{2}}} + 2 \]

2. Deriver ledd for ledd 1:04 Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

\( \textcolor{blue}{\dfrac{1}{3}x^3} \) derivert blir \( {\dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 = \textcolor{blue}{\underline{x^2}}}\text{.} \)

\( \textcolor{red}{x^{\tfrac{1}{2}}} \) derivert blir \( {\dfrac{1}{2} \cdot x^{\tfrac{1}{2} - 1} = \textcolor{red}{\underline{\dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}}}}\text{.} \)

\( 2 \) derivert blir \( \underline{0}\text{,} \) siden det er en konstant.

3. Skriv svaret med rot 1:42 Slår vi dette sammen, får vi: \[ f'(x) = \textcolor{blue}{x^2} + \textcolor{red}{\dfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}} \]

En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Det gir \( {x^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{x^{\tfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}}\text{.} \) Vi kan ikke dele på \( 0\text{,} \) så for \( {x > 0} \) er: \[ f'(x) = x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]

Funksjonen er en brøk, så vi deriverer den med kvotientregelen. Så setter vi inn \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \)

1. Skriv opp kvotientregelen 0:19 Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{\textcolor{red}{u}}{\textcolor{blue}{v}}\right)' = \dfrac{\textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} - \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'}}{\textcolor{blue}{v}^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(e^x)' = e^x}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{2x - 3} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{2} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{e^x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{e^x} \end{aligned} \]

2. Sett inn og forenkle 1:13 Plugger vi dette inn i kvotientregelen, får vi: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{e^x} - (\textcolor{red}{2x - 3}) \cdot \textcolor{blue}{e^x}}{(\textcolor{blue}{e^x})^2} \]

Faktoriserer vi ut \( \textcolor{darkorange}{e^x} \) i telleren og skriver \( {(e^x)^2 = \textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x}\text{,} \) får vi: \[ g'(x) = \dfrac{\textcolor{darkorange}{e^x}\bigl(2 - (2x - 3)\bigr)}{\textcolor{darkorange}{e^x} \cdot e^x} \]

Vi forkorter \( \textcolor{darkorange}{e^x}\text{.} \) Minus foran parentesen gjelder begge leddene, så \( {-(2x - 3) = -2x + 3}\text{:} \) \[ g'(x) = \dfrac{2 - 2x + 3}{e^x} = \dfrac{5 - 2x}{e^x} \]

3. Regn ut de to verdiene 2:46 Vi setter inn \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} g'(2) &= \dfrac{5 - 2 \cdot 2}{e^2} = \dfrac{1}{e^2} \\ g'(3) &= \dfrac{5 - 2 \cdot 3}{e^3} = -\dfrac{1}{e^3} \end{aligned} \]

Vi bruker \( g'(2) \) og \( g'(3) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den deriverte er stigningstallet til grafen. Fortegnet til \( g'(2) \) og \( g'(3) \) forteller derfor om grafen stiger eller synker der.

1. Tolk fortegnene 3:37 I b) fant vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{g'(2)} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{e^2}} > 0 \\ \textcolor{red}{g'(3)} &= \textcolor{red}{-\dfrac{1}{e^3}} < 0 \end{aligned} \]

Den deriverte er stigningstallet til tangenten, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Grafen stiger altså i \( {\textcolor{blue}{x = 2}} \) og synker i \( {\textcolor{red}{x = 3}}\text{.} \)

Siden \( g \) er kontinuerlig og deriverbar, må grafen snu et sted mellom \( {x = 2} \) og \( {x = 3}\text{.} \) Der er \( {g'(x) = 0}\text{,} \) og grafen har et toppunkt.

Vi ser at \( \lg x \) står både i andre potens og alene. Vi gir den et nytt navn, \( k\text{,} \) og får en andregradslikning.

1. Skriv om med en ny variabel 0:39 Det står \( (\lg x)^2\text{,} \) ikke \( \lg(x^2)\text{,} \) så det er hele \( \lg x \) som er opphøyd i andre. Vi setter \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\lg x}} \) og flytter \( 8 \) over: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{k}^2 - 2\textcolor{darkorange}{k} &= 8 \\ \textcolor{darkorange}{k}^2 - 2\textcolor{darkorange}{k} - 8 &= 0 \end{aligned} \]

2. Løs med abc-formelen 1:09 Med abc-formelen har \( {\textcolor{blue}{a}k^2 + \textcolor{red}{b}k + \textcolor{green}{c} = 0} \) løsningene: \[ k = \dfrac{-\textcolor{red}{b} \pm \sqrt{\textcolor{red}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{c}}}{2 \cdot \textcolor{blue}{a}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Andregradslikninger & abc-formelen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{1}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{-2}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-8}}\text{.} \) Plugger vi dette inn og bruker at \( {-(\textcolor{red}{-2}) = 2}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} k &= \dfrac{2 \pm \sqrt{(\textcolor{red}{-2})^2 - 4 \cdot \textcolor{blue}{1} \cdot (\textcolor{green}{-8})}}{2 \cdot \textcolor{blue}{1}} \\ k &= \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {k = 4} \) eller \( {k = -2}\text{.} \)

3. Finn x 3:19 Vi setter tilbake \( {\textcolor{darkorange}{k} = \textcolor{darkorange}{\lg x}} \) og opphøyer \( 10 \) i begge sider. Fra definisjonen av logaritmen er \( \lg x \) tallet vi må opphøye \( 10 \) i for å få \( x\text{,} \) så: \[ 10^{\lg x} = x \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Det gir oss to løsninger: \[ \begin{aligned} 10^{\textcolor{darkorange}{\lg x}} = 10^4 \quad &\Rightarrow \quad x = 10^4 \\ 10^{\textcolor{darkorange}{\lg x}} = 10^{-2} \quad &\Rightarrow \quad x = 10^{-2} \end{aligned} \]Begge er positive, så begge er løsninger.

Her er det grunntallet \( a \) som er ukjent. Vi skriver om likningen med definisjonen av logaritmen og finner \( a\text{.} \)

1. Bruk definisjonen av logaritmen 0:13 Fra definisjonen av logaritmen vet vi at: \[ \log_{\textcolor{blue}{a}} \textcolor{red}{b} = \textcolor{green}{c} \quad \text{betyr at} \quad \textcolor{blue}{a}^{\textcolor{green}{c}} = \textcolor{red}{b} \]Hvis du er usikker på definisjonen, kan du se videoen Hva er en Logaritme?.

Her er \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{64}}} \) og \( {\textcolor{green}{c} = \textcolor{green}{-3}}\text{,} \) så: \[ \textcolor{blue}{a}^{\textcolor{green}{-3}} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{64}} \]

2. Skriv om den negative eksponenten 1:00 En negativ eksponent betyr én delt på potensen: \[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Regneregler med Potenser.

Det gir oss: \[ \begin{aligned} \dfrac{1}{a^3} &= \dfrac{1}{64} \\ a^3 &= 64 \end{aligned} \]

3. Prøv deg fram 1:20 Uten kalkulator prøver vi med hele tall. \( {3^3 = 27} \) er for lite, men: \[ 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \]Altså er \( {a = 4}\text{,} \) som er et gyldig grunntall, siden \( {a > 0} \) og \( {a \neq 1}\text{.} \)

Grensen finnes bare hvis brøken nærmer seg et tall. Vi ser derfor hva telleren og nevneren går mot hver for seg.

1. Sett inn i teller og nevner 0:10 Vi setter inn \( {x = -2} \) i telleren og nevneren hver for seg: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{Teller: }} & (-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 2 = \textcolor{red}{14} \\ \textcolor{blue}{\text{Nevner: }} & (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 8 = \textcolor{blue}{0} \end{aligned} \]

2. Avgjør om grensen finnes 1:11 Telleren går mot \( \textcolor{red}{14}\text{,} \) mens nevneren går mot \( \textcolor{blue}{0}\text{.} \) Et tall som ikke er \( 0\text{,} \) delt på noe som går mot \( 0\text{,} \) blir større og større i tallverdi, som i videoen Dele på null: \[ \dfrac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8} \to \pm\infty \]Brøken nærmer seg ikke noe tall, så grenseverdien eksisterer ikke.

Nevneren er \( 0 \) i \( {x = -2}\text{.} \) Skal grensen finnes, må telleren også være \( 0 \) der, slik at vi får formen \( \dfrac{0}{0}\text{.} \)

1. Sett telleren lik null 0:00 Setter vi inn \( {x = -2}\text{,} \) blir nevneren \( {(-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 8 = 0}\text{.} \) Går telleren mot et tall som ikke er \( 0\text{,} \) eksisterer ikke grensen, som i a). Telleren må derfor også bli \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} (-2)^2 + a \cdot (-2) + 2 &= 0 \\ 6 - 2a &= 0 \\ a &= 3 \end{aligned} \]

2. Bruk L'Hôpitals regel 1:46 Med \( {a = 3} \) gir innsetting formen \( \dfrac{0}{0}\text{.} \) Da kan vi bruke L'Hôpitals regel. Den forteller oss at når vi får formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) er: \[ \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{f(x)}}{\textcolor{blue}{g(x)}} = \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{f'(x)}}{\textcolor{blue}{g'(x)}} \]Hvis du er usikker på regelen, kan du se videoen L'Hôpitals regel.

Her er \( {\textcolor{red}{f(x)} = \textcolor{red}{x^2 + 3x + 2}} \) og \( {\textcolor{blue}{g(x)} = \textcolor{blue}{x^2 - 2x - 8}}\text{.} \) Deriverer vi telleren og nevneren hver for seg, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{f'(x)} &= \textcolor{red}{2x + 3} \\ \textcolor{blue}{g'(x)} &= \textcolor{blue}{2x - 2} \end{aligned} \]

3. Sett inn og regn ut 3:21 Det nye uttrykket gir ikke lenger formen \( \dfrac{0}{0}\text{,} \) så vi setter inn \( {x = -2}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{x^2 + 3x + 2}}{\textcolor{blue}{x^2 - 2x - 8}} &= \lim_{x \to -2} \dfrac{\textcolor{red}{2x + 3}}{\textcolor{blue}{2x - 2}} \\ &= \dfrac{2 \cdot (-2) + 3}{2 \cdot (-2) - 2} \\ &= \dfrac{-1}{-6} = \dfrac{1}{6} \end{aligned} \]

Alternativ metode: Faktoriser og forkort 2:05 Begge polynomene er \( 0 \) i \( {x = -2}\text{,} \) så begge har \( {(x + 2)} \) som faktor: \[ \begin{aligned} \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 8} &= \dfrac{(x + 1)\textcolor{darkorange}{(x + 2)}}{(x - 4)\textcolor{darkorange}{(x + 2)}} \\ &= \dfrac{x + 1}{x - 4} \end{aligned} \]Når \( {x \to -2}\text{,} \) går brøken mot \( {\dfrac{-2 + 1}{-2 - 4} = \dfrac{1}{6}}\text{,} \) som i videoen Grenseverdier. Metoden lønner seg når faktorene er lette å se.

Linjestykket \( AB \) er like langt som vektoren \( \overrightarrow{AB}\text{.} \) Vi finner vektoren og bruker Pythagoras.

1. Finn vektoren fra A til B 0:35 En vektor mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet, som i videoen Hva er en Vektor?: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= [x_B - x_A,\ y_B - y_A] \\ \overrightarrow{AB} &= [3 - (-2),\ 2 - 3] = [\textcolor{blue}{5}, \textcolor{red}{-1}] \end{aligned} \]

2. Bruk Pythagoras 1:25 Lengden av en vektor finner vi med Pythagoras: \[ |[\textcolor{blue}{x}, \textcolor{red}{y}]| = \sqrt{\textcolor{blue}{x}^2 + \textcolor{red}{y}^2} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Lengden til en Vektor.

Plugger vi inn koordinatene, får vi: \[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 + (\textcolor{red}{-1})^2} \\ AB &= \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \end{aligned} \]

Vi bruker vektoren \( {\overrightarrow{AB} = [5, -1]} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner likningen \( {y = ax + b} \) for linja gjennom \( A \) og \( B\text{.} \) \( C \) ligger på \( x \)-aksen, så der er \( {y = 0}\text{.} \)

1. Finn stigningstallet 0:35 En rett linje har likningen: \[ y = \textcolor{blue}{a}x + \textcolor{red}{b} \]der \( \textcolor{blue}{a} \) er stigningstallet og \( \textcolor{red}{b} \) er der linja skjærer \( y \)-aksen.

Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte. I a) fant vi \( {\overrightarrow{AB} = [5, -1]}\text{:} \) når vi går \( 5 \) bortover, går linja \( 1 \) ned. Det gir: \[ \textcolor{blue}{a} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-1}{5} = \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{5}} \]

2. Finn konstantleddet 1:52 Linja går gjennom \( {A(-2, 3)}\text{.} \) Vi setter inn \( {x = -2} \) og \( {y = 3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 3 &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{5}} \cdot (-2) + \textcolor{red}{b} \\ 3 &= \dfrac{2}{5} + \textcolor{red}{b} \\ \textcolor{red}{b} &= \dfrac{15}{5} - \dfrac{2}{5} = \textcolor{red}{\dfrac{13}{5}} \end{aligned} \]

3. Sett y lik null 3:44 \( C \) ligger på \( x \)-aksen, der \( {y = 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 0 &= \textcolor{blue}{-\dfrac{1}{5}}x + \textcolor{red}{\dfrac{13}{5}} \\ \dfrac{1}{5}x &= \dfrac{13}{5} \\ x &= 13 \end{aligned} \]

Vinkelen \( \angle ABD \) ligger i \( B\text{,} \) mellom vektorene \( \overrightarrow{BA} \) og \( \overrightarrow{BD}\text{.} \) Den er \( 90^\circ \) når skalarproduktet av dem er \( 0\text{.} \)

1. Skriv opp kravet 1:10 Skalarproduktet av to vektorer er: \[ \vec{u} \cdot \vec{w} = |\vec{u}| \cdot |\vec{w}| \cdot \cos v \]der \( v \) er vinkelen mellom dem. Når \( {v = 90^\circ}\text{,} \) er \( {\cos v = 0}\text{,} \) så skalarproduktet er \( 0\text{,} \) som i videoen Oppgave 7A - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026.

Med koordinater ganger vi sammen førstekoordinatene og andrekoordinatene, og legger sammen: \[ [\textcolor{blue}{x_1}, \textcolor{red}{y_1}] \cdot [\textcolor{blue}{x_2}, \textcolor{red}{y_2}] = \textcolor{blue}{x_1 \cdot x_2} + \textcolor{red}{y_1 \cdot y_2} \]

2. Finn vektorene fra B 2:14 Begge vektorene starter i \( B(3, 2)\text{:} \) \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BA} &= [-2 - 3,\ 3 - 2] = [\textcolor{blue}{-5}, \textcolor{red}{1}] \\ \overrightarrow{BD} &= [2 - 3,\ t - 2] = [\textcolor{blue}{-1}, \textcolor{red}{t - 2}] \end{aligned} \]

3. Sett skalarproduktet lik null 3:17 Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} (\textcolor{blue}{-5}) \cdot (\textcolor{blue}{-1}) + \textcolor{red}{1} \cdot (\textcolor{red}{t - 2}) &= 0 \\ 5 + t - 2 &= 0 \\ t &= -3 \end{aligned} \]

\( \ln x \) er bare definert for \( {x > 0}\text{,} \) og der er \( f \) deriverbar, så topp- og bunnpunkter kan bare ligge der \( {f'(x) = 0}\text{.} \) Funksjonen er et produkt, så vi deriverer med produktregelen.

1. Deriver med produktregelen 0:10 Produktregelen forteller oss at: \[ (\textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v})' = \textcolor{red}{u'} \cdot \textcolor{blue}{v} + \textcolor{red}{u} \cdot \textcolor{blue}{v'} \]Hvis du er usikker på produktregelen, kan du se videoen Produktregelen.

For å unngå slurvefeil skriver vi opp hva \( \textcolor{red}{u}\text{,} \) \( \textcolor{red}{u'}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{v} \) og \( \textcolor{blue}{v'} \) er. Siden \( {(\ln x)' = \dfrac{1}{x}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{u} &= \textcolor{red}{4x^2} & \textcolor{red}{u'} &= \textcolor{red}{8x} \\ \textcolor{blue}{v} &= \textcolor{blue}{\ln x} & \textcolor{blue}{v'} &= \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i produktregelen, får vi: \[ \begin{aligned} f'(x) &= \textcolor{red}{8x} \cdot \textcolor{blue}{\ln x} + \textcolor{red}{4x^2} \cdot \textcolor{blue}{\dfrac{1}{x}} \\ f'(x) &= 8x \ln x + 4x \end{aligned} \]

2. Sett den deriverte lik null 2:12 Vi setter \( {f'(x) = 0}\text{:} \) \[ 8x \ln x + 4x = 0 \]

Vi trekker fra \( 4x \) og deler på \( 8x\text{,} \) som går fordi \( {x > 0}\text{:} \) \[ \begin{aligned} 8x \ln x &= -4x \\ \ln x &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned} \]

For å få \( x \) alene opphøyer vi \( e \) i begge sider. Siden \( {e^{\ln x} = x}\text{,} \) som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - R1 Eksamen Vår 2026, får vi: \[ x = e^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{e}} \]

3. Finn y-koordinaten 4:05 Vi setter \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) inn i \( f(x)\text{.} \) Her er \( {\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 = \dfrac{1}{e}} \) og \( {\ln\left(e^{-\tfrac{1}{2}}\right) = -\dfrac{1}{2}}\text{:} \) \[ f\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right) = 4 \cdot \dfrac{1}{e} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{2}{e} \]

4. Avgjør hva slags punkt det er 6:07 Den deriverte er \( 0 \) bare i \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}}\text{,} \) så grafen kan bare snu der. Vi sammenligner med ett punkt på hver side, \( {x = \dfrac{1}{e}} \) og \( {x = 1}\text{,} \) siden \( {\dfrac{1}{e} < \dfrac{1}{\sqrt{e}} < 1}\text{:} \) \[ \begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{e}\right) &= 4 \cdot \dfrac{1}{e^2} \cdot (-1) = -\dfrac{4}{e^2} \\ f(1) &= 4 \cdot 1^2 \cdot \ln 1 = 0 \end{aligned} \]

Siden \( {e > 2}\text{,} \) er \( {\dfrac{2}{e} < 1}\text{.} \) Det gir: \[ \begin{aligned} \dfrac{4}{e^2} &= \dfrac{2}{e} \cdot \dfrac{2}{e} < \dfrac{2}{e} \\ -\dfrac{4}{e^2} &> -\dfrac{2}{e} \end{aligned} \]

Begge verdiene er altså større enn \( {-\dfrac{2}{e}}\text{:} \) \[ \begin{array}{c|ccc} x & \dfrac{1}{e} & \dfrac{1}{\sqrt{e}} & 1 \\ \hline f(x) & -\dfrac{4}{e^2} & -\dfrac{2}{e} & 0 \end{array} \]Grafen går ned til \( {-\dfrac{2}{e}} \) og opp igjen, så punktet er et bunnpunkt. Grafen snur ikke noe annet sted, så den har ingen toppunkter.

Alternativ metode: Fortegnslinje Vi faktoriserer \( {f'(x) = \textcolor{darkorange}{4x}(\textcolor{magenta}{2\ln x + 1})}\text{.} \) For \( {x > 0} \) er \( {\textcolor{darkorange}{4x} > 0}\text{,} \) så \( f'(x) \) har samme fortegn som \( {\textcolor{magenta}{2\ln x + 1}}\text{:} \) :::fortegnsskjema {"points": [0.6065306597126334], "labels": ["\\tfrac{1}{\\sqrt{e}}"], "start": 0, "rows": [{"label": "\\textcolor{darkorange}{4x}", "expr": "4x"}, {"label": "\\textcolor{magenta}{2\\ln x + 1}", "expr": "2ln(x) + 1"}, {"label": "f'(x)", "expr": "4x(2ln(x) + 1)"}]} En strek viser hvor en linje er \( 0\text{.} \) I \( {x = \dfrac{1}{\sqrt{e}}} \) går \( f'(x) \) fra minus til pluss: grafen synker og så stiger, så punktet er et bunnpunkt. Fortegnslinja virker også når vi ikke kjenner funksjonsverdier på hver side av punktet.

Vi går gjennom programmet linje for linje, som datamaskinen gjør, og ser hva som får løkka til å stoppe.

1. Finn ut hva programmet leter etter 2:32 Linje 8 og 9 definerer \( {f(x) = 4x^2 \cdot \ln x}\text{.} \) Løkka i linje 13 går så lenge \( {|f(m)| \ge 0{,}0001}\text{,} \) og linje 22 skriver ut \( m\text{.} \) Programmet stopper altså først når \( f(m) \) er nesten \( 0\text{.} \) Eleven vil finne nullpunktet til \( f\text{.} \)

2. Forklar linje 11 til 20 3:39 Linje 11 setter \( \textcolor{green}{m} \) midt mellom \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{:} \) \[ \textcolor{green}{m} = \dfrac{\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}}{2} \]

Linje 15 tester om \( {f(\textcolor{blue}{a}) \cdot f(\textcolor{green}{m}) < 0}\text{,} \) altså om \( f(\textcolor{blue}{a}) \) og \( f(\textcolor{green}{m}) \) har ulikt fortegn. Da krysser grafen \( x \)-aksen mellom \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{m}\text{,} \) og linje 16 flytter \( \textcolor{red}{b} \) til \( \textcolor{green}{m}\text{.} \)

Ellers ligger nullpunktet mellom \( \textcolor{green}{m} \) og \( \textcolor{red}{b}\text{,} \) og linje 18 flytter \( \textcolor{blue}{a} \) til \( \textcolor{green}{m}\text{.} \) Linje 20 finner det nye midtpunktet.

Intervallet som nullpunktet ligger i, blir altså halvert for hver runde i løkka. Dette er halveringsmetoden, som i videoen Halveringsmetoden/​Midtpunktsmetoden.

3. Finn verdien som skrives ut 9:07 Vi finner nullpunktet selv. Et produkt er \( 0 \) bare når en av faktorene er \( 0\text{.} \) For \( {x > 0} \) er \( {4x^2 \neq 0}\text{,} \) så \( {\ln x = 0}\text{.} \) Fra definisjonen er \( {\ln 1 = 0}\text{,} \) så: \[ x = 1 \]Det ligger mellom \( 0{,}1 \) og \( 3\text{,} \) og \( {f(0{,}1) < 0 < f(3)}\text{,} \) siden \( {\ln 0{,}1 < 0 < \ln 3}\text{.} \) Halveringsmetoden finner det derfor.

Løkka stopper så snart \( {|f(m)| < 0{,}0001}\text{,} \) så programmet skriver ut en tilnærming til \( 1\text{:} \) et tall så nær \( 1 \) at \( f(m) \) er nesten \( 0\text{,} \) men ikke nødvendigvis nøyaktig \( 1\text{.} \)

Formen i oppgaven er en logistisk modell, så vi bruker logistisk regresjon i GeoGebra. Først gjør vi årene om til år etter 1960.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan vi ikke gjøre logistisk regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Gjør årene om til t 0:23 \( t \) er antall år etter 1960, så 1960 blir \( {t = 0}\text{,} \) 1961 blir \( {t = 1}\text{,} \) 1963 blir \( {t = 3} \) og så videre, til 1980, som blir \( {t = 20}\text{.} \)

Vi skriver \( t \) i kolonne A og folketallet i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør logistisk regresjon 2:19 Logistisk regresjon finner de tallene for \( \textcolor{red}{B}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig. GeoGebra bruker \( x \) der vi bruker \( t\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegLogist(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ F(t) = \dfrac{\textcolor{red}{B}}{1 + \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}} \]Det gir \( {\textcolor{red}{B} \approx \textcolor{red}{2840{,}8992}}\text{,} \) \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{5{,}0748}} \) og \( {\textcolor{green}{k} \approx \textcolor{green}{0{,}2470}}\text{.} \)

I b) og c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {k \approx 0{,}25}\text{,} \) som i videoen. Regner vi videre med \( 0{,}25\text{,} \) starter perioden i c) etter omtrent \( 3{,}2 \) år i stedet for \( 3{,}3\text{.} \)

3. Vurder gyldighetsområdet 3:04 Tabellen har tall fra 1960 til 1980, altså for \( {0 \le t \le 20}\text{.} \) Der går grafen nær punktene.

Bakover i tid går modellen mot \( 0\text{,} \) og framover flater den ut mot omtrent \( 2841 \) personer. Vi har ingen tall som viser om det stemmer, så modellen gjelder bare for årene vi har data for.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

\( F'(12) \) er hvor fort folketallet vokser i 1972, og \( F''(12) \) er hvor fort veksten selv endrer seg. Med kalkulator deriverer vi modellen for hånd først.

1. Deriver modellen med kjerneregelen I a) fant vi modellen: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{2841}}{1 + \textcolor{blue}{5{,}07} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}247}t}} \]Vi regner med \( \textcolor{red}{B}\text{,} \) \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{green}{k} \) og setter inn tallene til slutt.

Vi kaller \( {w = \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{.} \) Siden \( {(e^{-\textcolor{green}{k}t})' = -\textcolor{green}{k} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{,} \) som i videoen Derivasjonsregler/​Formler, er: \[ \begin{aligned} F(t) &= \textcolor{red}{B} \cdot {\textcolor{darkorange}{(1 + w)}}^{-1} \\ w' &= -\textcolor{green}{k} \cdot w \end{aligned} \]

Kjerneregelen forteller oss at: \[ \left(\textcolor{darkorange}{u}^{-1}\right)' = -\textcolor{darkorange}{u}^{-2} \cdot \textcolor{darkorange}{u'} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Kjerneregelen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{darkorange}{u} &= \textcolor{darkorange}{1 + w} & \textcolor{darkorange}{u'} &= w' = -\textcolor{green}{k}w \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i kjerneregelen, får vi: \[ \begin{aligned} F'(t) &= \textcolor{red}{B} \cdot \left(-(1 + w)^{-2}\right) \cdot (-\textcolor{green}{k}w) \\ F'(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k} \cdot w}{(1 + w)^2} \end{aligned} \]

2. Deriver én gang til \( F'(t) \) er \( \textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k} \) ganget med brøken \( {h = \dfrac{w}{(1 + w)^2}}\text{,} \) så vi deriverer brøken med kvotientregelen.

Kvotientregelen forteller oss at: \[ \left(\dfrac{p}{q}\right)' = \dfrac{p' \cdot q - p \cdot q'}{q^2} \]Hvis du er usikker på kvotientregelen, kan du se videoen Kvotientregelen.

Her er, med kjerneregelen for \( q'\text{:} \) \[ \begin{aligned} p &= w & p' &= w' \\ q &= (1 + w)^2 & q' &= 2(1 + w) \cdot w' \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og forkorter med \( {1 + w}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} h' &= \dfrac{w'(1 + w)^2 - w \cdot 2(1 + w)w'}{(1 + w)^4} \\ h' &= \dfrac{w'(1 - w)}{(1 + w)^3} \end{aligned} \]

Med \( {w' = -\textcolor{green}{k}w} \) og faktoren \( \textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k} \) foran blir det: \[ \begin{aligned} F''(t) &= \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k}^2 \cdot w(w - 1)}{(1 + w)^3} \\ F''(t) &= \textcolor{green}{k} \cdot F'(t) \cdot \dfrac{w - 1}{w + 1} \end{aligned} \]

3. Sett inn tallene Med tallene fra svaret i a) er: \[ w = \textcolor{blue}{5{,}07} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}247} \cdot 12} \approx 0{,}2617 \]

Med alle desimalene fra kalkulatoren gir det: \[ \begin{aligned} F'(12) &\approx \dfrac{\textcolor{red}{2841} \cdot \textcolor{green}{0{,}247} \cdot 0{,}2617}{1{,}2617^2} \\ &\approx 115{,}4 \\ F''(12) &\approx \textcolor{green}{0{,}247} \cdot 115{,}4 \cdot \dfrac{-0{,}7383}{1{,}2617} \\ &\approx -16{,}7 \end{aligned} \]

4. Tolk svarene 0:30 \( F'(12) \) er vekstfarten 12 år etter 1960: i 1972 økte folketallet med omtrent \( 115 \) personer per år.

\( F'' \) forteller hvor fort vekstfarten endrer seg, slik akselerasjonen er den dobbeltderiverte av posisjonen i videoen Posisjon, fart & akselerasjon. \( {F''(12) \approx -16{,}7 < 0}\text{,} \) så veksten avtok: vekstfarten ble omtrent \( 17 \) personer per år mindre for hvert år. Folketallet økte fortsatt, men saktere.

1. Regn ut de deriverte 0:09 I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{2840{,}8992}}{1 + \textcolor{blue}{5{,}0748} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}2470}t}} \]

Vi skriver de deriverte i \( {t = 12} \) inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: d_1 = F'(12) d_2 = F''(12)

GeoGebra gir \( {F'(12) \approx 115{,}4053} \) og \( {F''(12) \approx -16{,}6769}\text{.} \) I 1972 økte folketallet altså med omtrent \( 115 \) personer per år, og veksten avtok med omtrent \( 17 \) personer per år, per år.

Vi bruker modellen fra a) og uttrykket for \( F'(t) \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Økningen per år er \( F'(t)\text{.} \) Vi finner de to tidspunktene der \( {F'(t) = 150}\text{,} \) og mellom dem er \( {F'(t) > 150}\text{.} \)

1. Sett opp likningen I a) fant vi modellen: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{2841}}{1 + \textcolor{blue}{5{,}07} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}247}t}} \]

I b) fant vi den deriverte, med \( {w = \textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t}}\text{:} \) \[ F'(t) = \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k} \cdot w}{(1 + w)^2} \]

Vi setter \( {F'(t) = 150}\text{,} \) ganger med \( {(1 + w)^2}\text{,} \) deler på \( 150 \) og samler alt på én side: \[ w^2 + \left(2 - \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k}}{150}\right) \cdot w + 1 = 0 \]

2. Løs andregradslikningen Med tallene fra svaret i a) er: \[ \dfrac{\textcolor{red}{B}\textcolor{green}{k}}{150} \approx \dfrac{\textcolor{red}{2841} \cdot \textcolor{green}{0{,}247}}{150} = 4{,}67818 \]Det gir likningen: \[ w^2 - 2{,}67818 \cdot w + 1 = 0 \]

Bokstaven \( a \) er brukt i modellen, så vi skriver likningen som \( {p \cdot w^2 + q \cdot w + r = 0}\text{.} \) Løsningene finner vi med abc-formelen, som i videoen Andregradslikninger & abc-formelen: \[ w = \dfrac{-q \pm \sqrt{q^2 - 4pr}}{2p} \]

Plugger vi inn \( {p = 1}\text{,} \) \( {q = -2{,}67818} \) og \( {r = 1}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} w &= \dfrac{2{,}67818 \pm \sqrt{2{,}67818^2 - 4}}{2} \\ w_1 &\approx 2{,}2297 \\ w_2 &\approx 0{,}4485 \end{aligned} \]

3. Finn de to tidspunktene Vi løser \( {\textcolor{blue}{a} \cdot e^{-\textcolor{green}{k}t} = w} \) for \( t\text{:} \) vi deler med \( \textcolor{blue}{a}\text{,} \) tar \( \ln \) på begge sider og bruker at \( {\ln(e^u) = u}\text{.} \) Til slutt deler vi med \( {-\textcolor{green}{k}}\text{,} \) og minustegnet snur brøken inne i logaritmen: \[ \begin{aligned} e^{-\textcolor{green}{k}t} &= \dfrac{w}{\textcolor{blue}{a}} \\ -\textcolor{green}{k}t &= \ln\left(\dfrac{w}{\textcolor{blue}{a}}\right) \\ t &= \dfrac{1}{\textcolor{green}{k}} \cdot \ln\left(\dfrac{\textcolor{blue}{a}}{w}\right) \end{aligned} \]

Plugger vi inn \( w_1 \) og \( w_2 \) med alle desimalene fra kalkulatoren, får vi: \[ \begin{aligned} t_1 &\approx \dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}247}} \ln\left(\dfrac{\textcolor{blue}{5{,}07}}{2{,}2297}\right) \approx 3{,}33 \\ t_2 &\approx \dfrac{1}{\textcolor{green}{0{,}247}} \ln\left(\dfrac{\textcolor{blue}{5{,}07}}{0{,}4485}\right) \approx 9{,}82 \end{aligned} \]

Mellom de to tidspunktene er \( {F'(t) > 150}\text{,} \) for eksempel er \( {F'(6) \approx 175}\text{.} \) Folketallet økte altså med mer enn 150 personer per år fra \( {t \approx 3{,}3} \) til \( {t \approx 9{,}8}\text{.} \) Det er fra 1963,3 til 1969,8, altså fra våren 1963 til høsten 1969.

1. Finn skjæringspunktene med linja 0:30 I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene: \[ F(t) \approx \dfrac{\textcolor{red}{2840{,}8992}}{1 + \textcolor{blue}{5{,}0748} \cdot e^{-\textcolor{green}{0{,}2470}t}} \]

Vi lar GeoGebra derivere den, tegner linja \( {y = 150} \) og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter ved hvert skjæringspunkt:

Skriv inn i GeoGebra: Derivert(F) g: y = 150

Skjæringspunktene er \( {K \approx (3{,}3286,\ 150)} \) og \( {L \approx (9{,}8222,\ 150)}\text{,} \) og grafen til \( F' \) ligger over linja mellom dem. Folketallet økte altså med mer enn 150 personer per år fra \( {t \approx 3{,}3} \) til \( {t \approx 9{,}8}\text{.} \) Det er fra 1963,3 til 1969,8, altså fra våren 1963 til høsten 1969.