Eksamensoppgaver etter tema

Fleksikortet koster 415 kroner uansett hvor mange av reisene hun bruker. Det lønner seg når enkeltbillettene til sammen ville kostet mer, så vi setter opp en ulikhet.

1. Sett opp ulikheten 1:49 Med \( \textcolor{blue}{x} \) reiser koster enkeltbillettene \( {\textcolor{blue}{x} \cdot 25} \) kroner. Fleksikortet lønner seg når enkeltbillettene koster mer enn \( \textcolor{red}{415} \) kroner: \[ \textcolor{blue}{x} \cdot 25 > \textcolor{red}{415} \]

Vi deler med 25 på begge sider: \[ \textcolor{blue}{x} > \dfrac{\textcolor{red}{415}}{25} \]

2. Del 415 på 25 i hodet 3:13 Vi trenger bare å vite hvor mange ganger 25 går opp i \( \textcolor{red}{415}\text{,} \) ikke et kommatall. Vi bygger oss opp: \[ \begin{aligned} 10 \cdot 25 + 6 \cdot 25 &= 250 + 150 = 400 \\ 17 \cdot 25 &= 400 + 25 = 425 \end{aligned} \]

Med 16 reiser koster enkeltbillettene 400 kroner, mindre enn \( \textcolor{red}{415}\text{.} \) Med 17 reiser koster de 425 kroner, mer enn \( \textcolor{red}{415}\text{.} \) Fra 17 reiser lønner det seg altså å kjøpe fleksikortet.

Vi finner hvor mye 20 enkeltbilletter koster, og hvor mye hun sparer med fleksikortet. Så deler vi det hun sparer, på prisen for enkeltbillettene.

1. Finn prisen for enkeltbillettene 0:34 Vi skriver 20 som \( {2 \cdot 10} \) for å regne det i hodet: \[ 20 \cdot 25 = 2 \cdot 10 \cdot 25 = 2 \cdot 250 = \textcolor{blue}{500} \]

Fleksikortet koster 415 kroner, så hun sparer: \[ \textcolor{blue}{500} - 415 = \textcolor{red}{85} \text{ kroner} \]

2. Del på prisen for enkeltbillettene 2:07 Hvor mange prosent en del er av det hele, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{del}}}{\textcolor{blue}{\text{hel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Delen er de \( \textcolor{red}{85} \) kronene hun sparer, og det hele er prisen for 20 enkeltbilletter, \( \textcolor{blue}{500} \) kroner. Vi utvider brøken med 2, så nevneren blir 1000: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{85}}{\textcolor{blue}{500}} \cdot 100\,\% &= \dfrac{170}{1000} \cdot 100\,\% \\ &= 0{,}17 \cdot 100\,\% = 17\,\% \end{aligned} \]

Parabelen skjærer hver av linjene to ganger. Vi velger likningen \( {g(x) = f(x)} \) og leser av førstekoordinatene der grafene skjærer hverandre.

1. Velg likningen Grafen til \( \textcolor{green}{f} \) er den grønne linja, fordi den går gjennom \( (0, 1)\text{,} \) og grafen til \( g \) er parabelen. Vi velger likningen: \[ g(x) = \textcolor{green}{f(x)} \]Der grafene skjærer hverandre, har \( g \) og \( f \) samme verdi. Løsningene er derfor førstekoordinatene til skjæringspunktene.

2. Les av skjæringspunktene Grafene skjærer hverandre i \( (\textcolor{red}{1}, 2) \) og \( (\textcolor{red}{4}, 5)\text{,} \) så løsningene er \( {x = \textcolor{red}{1}} \) og \( {x = \textcolor{red}{4}}\text{:} \)

3. Sjekk løsningene Vi setter inn \( {x = 1} \) og \( {x = 4} \) på begge sider, som når en løsning sjekkes i videoen Oppgave 4 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} g(\textcolor{red}{1}) &= 1 - 4 + 5 = 2 = \textcolor{green}{f(}\textcolor{red}{1}\textcolor{green}{)} \\ g(\textcolor{red}{4}) &= 16 - 16 + 5 = 5 = \textcolor{green}{f(}\textcolor{red}{4}\textcolor{green}{)} \end{aligned} \]Begge stemmer. Likningen er en andregradslikning, så den har ikke flere enn to løsninger. Andre likninger er også riktige, for eksempel \( {g(x) = h(x)} \) med \( {x = 0} \) eller \( {x = 3}\text{.} \)

Vi velger ulikheten \( {f(x) > h(x)} \) og leser av hvor den grønne linja ligger over den blå.

1. Velg ulikheten Grafen til \( \textcolor{green}{f} \) er den grønne linja, og grafen til \( \textcolor{blue}{h} \) er den blå, fordi den går gjennom \( (0, 5)\text{.} \) Vi velger ulikheten: \[ \textcolor{green}{f(x)} > \textcolor{blue}{h(x)} \]Løsningene er førstekoordinatene der den grønne linja ligger over den blå.

2. Les av grafen Linjene skjærer hverandre i \( (2, 3)\text{.} \) Til høyre for \( {x = 2} \) ligger den grønne linja over den blå, og til venstre ligger den under:

For eksempel er \( {\textcolor{green}{f(3) = 4} > \textcolor{blue}{h(3) = 2}}\text{,} \) mens \( {\textcolor{green}{f(1) = 2} < \textcolor{blue}{h(1) = 4}}\text{.} \) Løsningen er altså alle tall større enn 2, \( {\textcolor{red}{x > 2}}\text{,} \) den røde streken, som på tallinja i videoen Introduksjon til Ulikheter. De er alle positive.

3. Sjekk løsningen Vi setter inn \( {x = 2} \) i begge funksjonene: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{f(2)} &= 2 + 1 = 3 \\ \textcolor{blue}{h(2)} &= -2 + 5 = 3 \end{aligned} \]Linjene skjærer hverandre altså nøyaktig i \( {x = 2}\text{.} \) Regnet ut gir ulikheten det samme: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{x + 1} &> \textcolor{blue}{-x + 5} \\ 2x &> 4 \\ x &> 2 \end{aligned} \]Andre ulikheter er også riktige, for eksempel \( {g(x) < f(x)} \) med \( {1 < x < 4}\text{.} \)