2P eksamen våren 2023 – løsningsforslag

Alle oppgavene fra Udir-eksamenen, med svar og løsningsforslag steg for steg. Prøv selv først – løsningen ligger under hver oppgave.

Last ned PDF

Del 1

Uten hjelpemidler · 4 oppgaver

Oppgave 1

Tabellen nedenfor viser prisindeksen for brød i perioden 2015–2021.

\begin{array}{r|r} \text{År} & \text{Prisindeks for brød} \\ \hline 2015 & 100{,}0 \\ 2016 & 102{,}5 \\ 2017 & 104{,}5 \\ 2018 & 107{,}3 \\ 2019 & 109{,}2 \\ 2020 & 111{,}8 \\ 2021 & 113{,}3 \end{array}

Oppgave 1a)

Hvor mange prosent steg prisen for brød med fra 2015 til 2021?

Vis løsning

Svar

Fra 2015 til 2021 steg prisen for brød med:

\underline{\underline{13{,}3\,\%}}

Vi tenker på indekstallene som priser og regner ut hvor mange prosent prisen steg fra 2015 til 2021.

1. Tenk på indeksen som en pris Det er lettere å tenke på indekstallene som priser enn som prosent, som i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Det som kostet $ \textcolor{blue}{100} $ kroner i 2015, kostet $ 113{,}30 $ kroner i 2021, altså $ {113{,}3 - 100 = \textcolor{red}{13{,}3}} $ kroner mer.

2. Regn ut prosenten Hvor mange prosent noe øker med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Her er endringen $ \textcolor{red}{13{,}3} $ og den gamle verdien $ \textcolor{blue}{100}\text{:} $ \[ \dfrac{\textcolor{red}{13{,}3}}{\textcolor{blue}{100}} \cdot 100\,\% = 13{,}3\,\% \]2015 er basisåret, så indeksen viser rett hvor mange prosent prisen har steget siden da.

Prisen for ett bestemt brød steg fra 40 kroner i 2017 til 42 kroner i 2019.

Oppgave 1b)

Gjør beregninger og finn ut om prisen for dette brødet steg mer enn prisindeksen for brød.

Vis løsning

Svar

Brødet steg med

5\,\%\text{,}

mens prisindeksen steg med mindre enn

4{,}7\,\%\text{:}

\underline{\underline{\text{Ja, brødet steg mer}}}

Vi finner hvor mange prosent brødet og prisindeksen steg fra 2017 til 2019, og sammenligner prosentene. Kronene og indekstallene kan ikke sammenlignes direkte.

1. Finn økningen for brødet Hvor mange prosent noe øker med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Brødet steg fra $ \textcolor{blue}{40} $ til 42 kroner, altså med $ {42 - 40 = \textcolor{red}{2}} $ kroner: \[ \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{40}} \cdot 100\,\% = \dfrac{1}{20} \cdot 100\,\% = 5\,\% \]

2. Finn økningen for indeksen Vi tenker på indekstallene som priser, som i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Indeksen gikk fra $ \textcolor{blue}{104{,}5} $ i 2017 til $ 109{,}2 $ i 2019, altså opp $ {109{,}2 - 104{,}5 = \textcolor{red}{4{,}7}}\text{:} $ \[ \dfrac{\textcolor{red}{4{,}7}}{\textcolor{blue}{104{,}5}} \cdot 100\,\% \]

Vi deler på et tall som er større enn $ 100\text{,} $ så prosenten blir mindre enn $ 4{,}7\,\%\text{:} $ \[ \begin{aligned} \dfrac{4{,}7}{104{,}5} \cdot 100\,\% &< \dfrac{4{,}7}{100} \cdot 100\,\% \\ &= 4{,}7\,\% \end{aligned} \]

Kontroll: $ 5\,\% $ av $ 104{,}5 $ er $ {104{,}5 : 20 = 5{,}225}\text{,} $ mer enn de $ 4{,}7 $ indeksen steg.

3. Sammenlign prosentene Brødet steg med $ 5\,\%\text{,} $ og indeksen med mindre enn $ 4{,}7\,\%\text{.} $ Prisen for dette brødet steg altså mer enn prisindeksen for brød.

Oppgave 2

Du får vite følgende om

\triangle ABC

\triangle DEF

•

\triangle ABC

er likebeint •

\triangle DEF

er formlik med

\triangle ABC

• Arealet av

\triangle DEF

er fire ganger så stort som arealet av

\triangle ABC

Lag en skisse som viser hvordan trekantene kan se ut. Argumenter for at skissen er riktig.

Vis løsning

Svar

En likebeint trekant, og en med alle sidene dobbelt så lange, fordi målestokk 2 gir

{2^2 = 4}

ganger så stort areal:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\triangle ABC\text{: } 6\text{, } 5 \text{ og } 5}} \\ &\underline{\underline{\triangle DEF\text{: } 12\text{, } 10 \text{ og } 10}} \end{aligned}

Formlike trekanter har samme form, og alle sidene er ganget med det samme tallet. Vi finner det tallet som gjør arealet fire ganger så stort, og tegner trekantene.

1. Finn hvor mye sidene ganges med To figurer er formlike når vinklene er like store og alle sidene i den ene er ganget med det samme tallet $ \textcolor{red}{k}\text{,} $ målestokken, som i videoen Formlikhet. Arealet av en trekant er: \[ A = \dfrac{\textcolor{blue}{g} \cdot \textcolor{green}{h}}{2} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Areal og Omkrets.

I $ \triangle DEF $ er både grunnlinja $ \textcolor{blue}{g} $ og høyden $ \textcolor{green}{h} $ ganget med $ \textcolor{red}{k}\text{:} $ \[ \begin{aligned} A_{DEF} &= \dfrac{\textcolor{red}{k}\textcolor{blue}{g} \cdot \textcolor{red}{k}\textcolor{green}{h}}{2} \\ &= \textcolor{red}{k}^2 \cdot \dfrac{\textcolor{blue}{g} \cdot \textcolor{green}{h}}{2} = \textcolor{red}{k}^2 \cdot A_{ABC} \end{aligned} \]

Arealet skal bli fire ganger så stort, så $ {\textcolor{red}{k}^2 = 4} $ og $ {\textcolor{red}{k} = \textcolor{red}{2}}\text{.} $ Alle sidene i $ \triangle DEF $ er altså dobbelt så lange som i $ \triangle ABC\text{.} $

2. Tegn trekantene Vi velger $ \triangle ABC $ med grunnlinja $ {AB = \textcolor{blue}{6}} $ og høyden $ \textcolor{green}{4}\text{,} $ med $ C $ rett over midten av $ AB\text{.} $ Da er beina like lange. Halve grunnlinja $ 3 $ og høyden $ \textcolor{green}{4} $ er katetene, og beinet er hypotenusen, så Pytagoras' setning gir, som i videoen Pytagoras setning: \[ AC = BC = \sqrt{3^2 + \textcolor{green}{4}^2} = \sqrt{25} = 5 \]I $ \triangle DEF $ er alle målene dobbelt så store:

3. Sjekk at skissen er riktig $ \triangle ABC $ er likebeint, fordi $ {AC = BC = 5}\text{.} $ Sidene i $ \triangle DEF $ er $ 12\text{,} $ $ 10 $ og $ 10\text{,} $ dobbelt så lange, så trekantene er formlike. Arealene er: \[ \begin{aligned} A_{ABC} &= \dfrac{\textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{green}{4}}{2} = 12 \\ A_{DEF} &= \dfrac{\textcolor{blue}{12} \cdot \textcolor{green}{8}}{2} = 48 = 4 \cdot 12 \end{aligned} \]Andre skisser er også riktige, så lenge $ \triangle ABC $ er likebeint og alle sidene i $ \triangle DEF $ er dobbelt så lange.

Oppgave 3

Truls og Thea diskuterer økonomi.

Truls: «I løpet av de seks siste årene har lønnen min økt med

16\,\%\text{.}

Er ikke det bra?»

Thea: «Er det den nominelle lønnen eller reallønnen du mener?»

Truls: «Hva mener du? Hva er reallønn?»

Hjelp Thea med å svare Truls og forklare hva han må ta hensyn til når han vurderer om han skal være fornøyd med hvor mye lønnen har økt.

Vis løsning

Svar

Reallønnen er lønnen justert for prisstigningen, så Truls må sammenligne økningen på

16\,\%

med hvor mye KPI har steget de samme seks årene:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Prisene opp mindre: } \text{reallønn opp}}} \\ &\underline{\underline{\text{Prisene opp mer: } \text{reallønn ned}}} \end{aligned}

Truls har bare sett på hvor mange kroner han får. Vi forklarer forskjellen på nominell lønn og reallønn, og sammenligner lønnsøkningen med hvor mye prisene har steget.

1. Forklar nominell lønn og reallønn Den nominelle lønnen er lønnen i kroner, det som blir utbetalt. Reallønnen er den nominelle lønnen regnet om med konsumprisindeksen (KPI), som måler prisene: \[ \text{reallønn} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{nominell lønn}}}{\textcolor{blue}{\text{KPI}}} \cdot 100 \]Reallønnen måler kjøpekraften, altså hvor mye lønnen kan kjøpe. Tenker vi på KPI som prisen på en handlekurv, som i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023, sier reallønnen hvor mange handlekurver lønnen rekker til.

2. Sammenlign med prisstigningen Lønnen til Truls er ganget med vekstfaktoren $ {1 + 0{,}16 = \textcolor{red}{1{,}16}}\text{,} $ som i videoen Vekstfaktor. Er KPI ganget med vekstfaktoren $ \textcolor{blue}{V} $ de samme seks årene, blir reallønnen ganget med: \[ \dfrac{\textcolor{red}{1{,}16}}{\textcolor{blue}{V}} \]

Har prisene også steget med $ 16\,\%\text{,} $ er $ {\textcolor{blue}{V} = \textcolor{blue}{1{,}16}}\text{,} $ og reallønnen er den samme som før. Har prisene steget med for eksempel $ 20\,\%\text{,} $ blir brøken mindre enn 1: \[ \dfrac{\textcolor{red}{1{,}16}}{\textcolor{blue}{1{,}20}} = \dfrac{116}{120} = \dfrac{29}{30} \]Da har reallønnen gått ned med $ \dfrac{1}{30}\text{,} $ litt over $ 3\,\%\text{,} $ selv om Truls får flere kroner.

3. Svar Truls Truls må altså vite hvor mye prisene har steget de seks årene. Har KPI steget mindre enn $ 16\,\%\text{,} $ har reallønnen økt, og han kan kjøpe mer enn før. Da kan han være fornøyd.

Oppgave 4

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafene til tre funksjoner

f\text{,}

g

h\text{.}

\begin{aligned} f(x) &= x + 1 \\ g(x) &= x^2 - 4x + 5 \\ h(x) &= -x + 5 \end{aligned}

Oppgave 4a)

Bruk en eller flere av funksjonene til å lage en likning som har to løsninger. Bruk den grafiske framstillingen til å løse likningen.

Vis løsning

Svar

Likningen

{g(x) = f(x)}

har to løsninger:

\underline{\underline{x = 1 \quad \text{eller} \quad x = 4}}

Parabelen skjærer hver av linjene to ganger. Vi velger likningen $ {g(x) = f(x)} $ og leser av førstekoordinatene der grafene skjærer hverandre.

1. Velg likningen Grafen til $ \textcolor{green}{f} $ er den grønne linja, fordi den går gjennom $ (0, 1)\text{,} $ og grafen til $ g $ er parabelen. Vi velger likningen: \[ g(x) = \textcolor{green}{f(x)} \]Der grafene skjærer hverandre, har $ g $ og $ f $ samme verdi. Løsningene er derfor førstekoordinatene til skjæringspunktene.

2. Les av skjæringspunktene Grafene skjærer hverandre i $ (\textcolor{red}{1}, 2) $ og $ (\textcolor{red}{4}, 5)\text{,} $ så løsningene er $ {x = \textcolor{red}{1}} $ og $ {x = \textcolor{red}{4}}\text{:} $

3. Sjekk løsningene Vi setter inn $ {x = 1} $ og $ {x = 4} $ på begge sider, som når en løsning sjekkes i videoen Oppgave 4 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} g(\textcolor{red}{1}) &= 1 - 4 + 5 = 2 = \textcolor{green}{f(}\textcolor{red}{1}\textcolor{green}{)} \\ g(\textcolor{red}{4}) &= 16 - 16 + 5 = 5 = \textcolor{green}{f(}\textcolor{red}{4}\textcolor{green}{)} \end{aligned} \]Begge stemmer. Likningen er en andregradslikning, så den har ikke flere enn to løsninger. Andre likninger er også riktige, for eksempel $ {g(x) = h(x)} $ med $ {x = 0} $ eller $ {x = 3}\text{.} $

Oppgave 4b)

Bruk en eller flere av funksjonene til å lage en ulikhet som bare har positive løsninger. Bruk den grafiske framstillingen til å løse ulikheten.

Vis løsning

Svar

Ulikheten

{f(x) > h(x)}

har bare positive løsninger:

\underline{\underline{x > 2}}

Vi velger ulikheten $ {f(x) > h(x)} $ og leser av hvor den grønne linja ligger over den blå.

1. Velg ulikheten Grafen til $ \textcolor{green}{f} $ er den grønne linja, og grafen til $ \textcolor{blue}{h} $ er den blå, fordi den går gjennom $ (0, 5)\text{.} $ Vi velger ulikheten: \[ \textcolor{green}{f(x)} > \textcolor{blue}{h(x)} \]Løsningene er førstekoordinatene der den grønne linja ligger over den blå.

2. Les av grafen Linjene skjærer hverandre i $ (2, 3)\text{.} $ Til høyre for $ {x = 2} $ ligger den grønne linja over den blå, og til venstre ligger den under:

For eksempel er $ {\textcolor{green}{f(3) = 4} > \textcolor{blue}{h(3) = 2}}\text{,} $ mens $ {\textcolor{green}{f(1) = 2} < \textcolor{blue}{h(1) = 4}}\text{.} $ Løsningen er altså alle tall større enn 2, $ {\textcolor{red}{x > 2}}\text{,} $ den røde streken, som på tallinja i videoen Introduksjon til Ulikheter. De er alle positive.

3. Sjekk løsningen Vi setter inn $ {x = 2} $ i begge funksjonene: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{f(2)} &= 2 + 1 = 3 \\ \textcolor{blue}{h(2)} &= -2 + 5 = 3 \end{aligned} \]Linjene skjærer hverandre altså nøyaktig i $ {x = 2}\text{.} $ Regnet ut gir ulikheten det samme: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{x + 1} &> \textcolor{blue}{-x + 5} \\ 2x &> 4 \\ x &> 2 \end{aligned} \]Andre ulikheter er også riktige, for eksempel $ {g(x) < f(x)} $ med $ {1 < x < 4}\text{.} $

Husk å argumentere for at løsningene dine er riktige.

Del 2

Med hjelpemidler · 7 oppgaver

Oppgave 1

Flere oppgaver om likningssett

Hvor mye koster en T-skjorte? Hvor mye koster en bukse?

Vis løsning

Svar

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{T-skjorte: } 149 \text{ kroner}}} \\ &\underline{\underline{\text{Bukse: } 599 \text{ kroner}}} \end{aligned}

Vi har to ukjente priser, og hvert bilde gir én likning. Vi setter opp et likningssett og løser det med innsetting.

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp likningssettet Vi kaller prisen for en T-skjorte $ \textcolor{blue}{t} $ og prisen for en bukse $ \textcolor{red}{b}\text{.} $ Hvert bilde gir én likning, som i videoen Oppgave 1 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \begin{aligned} 2\textcolor{blue}{t} + 2\textcolor{red}{b} &= 1496 \\ 3\textcolor{blue}{t} + \textcolor{red}{b} &= 1046 \end{aligned} \]

2. Løs med innsetting Den nederste likningen gir $ {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{1046 - 3t}}\text{.} $ Vi setter det inn i den øverste, som i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ 2\textcolor{blue}{t} + 2(\textcolor{red}{1046 - 3t}) = 1496 \]

Vi ganger ut parentesen og samler leddene med $ t\text{:} $ \[ \begin{aligned} 2t + 2092 - 6t &= 1496 \\ -4t &= -596 \\ t &= 149 \end{aligned} \]

Vi setter $ {t = 149} $ inn i uttrykket for $ \textcolor{red}{b}\text{:} $ \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{b} &= 1046 - 3 \cdot 149 \\ &= 1046 - 447 = 599 \end{aligned} \]

Kontroll: $ {2 \cdot 149 + 2 \cdot 599 = 1496} $ og $ {3 \cdot 149 + 599 = 1046}\text{.} $

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningssettet i CAS Vi skriver begge likningene inn i Løs, som i videoen Oppgave 1 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: Løs({2t + 2b = 1496, 3t + b = 1046}, {t, b})

CAS gir $ {t = 149} $ og $ {b = 599}\text{.} $ En T-skjorte koster 149 kroner, og en bukse 599 kroner.

Oppgave 2

En morgen spør Tore 12 kolleger om hvor mange kopper kaffe de drakk dagen før. Resultatene ser du nedenfor. Dessverre har Tore sølt kaffe på arket sitt, men han antar at gjennomsnittet er mer enn fire.

Gjør beregninger og kommenter antakelsen til Tore.

Vis løsning

Svar

Summen av de elleve tallene vi ser, er 46, så gjennomsnittet er mer enn 4 bare hvis tallet under flekken er minst 3:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Minst 3 kopper: riktig}}} \\ &\underline{\underline{0\text{, } 1 \text{ eller } 2 \text{ kopper: feil}}} \end{aligned}

Vi kjenner elleve av de tolv tallene. Vi finner hvor stor summen av alle tolv må være for at gjennomsnittet skal bli mer enn fire, og hva det sier om tallet under flekken.

Metode: For hånd

1. Finn summen som trengs Gjennomsnittet er summen av alle tallene delt på antallet. Når vi vet noe om gjennomsnittet, kan vi finne summen, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{sum}}}{\textcolor{blue}{\text{antall}}} \]

Med $ \textcolor{blue}{12} $ kolleger er gjennomsnittet mer enn $ 4 $ når summen er mer enn: \[ 4 \cdot \textcolor{blue}{12} = 48 \]

2. Legg sammen tallene vi ser De elleve tallene vi ser, har summen: \[ \begin{aligned} &4 + 5 + 0 + 4 + 2 + 6 \\ &+ 5 + 7 + 5 + 5 + 3 = \textcolor{red}{46} \end{aligned} \]

Kaller vi tallet under flekken $ \textcolor{green}{x}\text{,} $ er summen av alle tolv $ {\textcolor{red}{46} + \textcolor{green}{x}}\text{.} $ Den må være mer enn 48: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{46} + \textcolor{green}{x} &> 48 \\ \textcolor{green}{x} &> 2 \end{aligned} \]

3. Kommenter antakelsen For at Tore skal ha rett, må kollegaen under flekken altså ha drukket minst 3 kopper. Med 3 kopper er gjennomsnittet $ {\dfrac{49}{12} \approx 4{,}08}\text{,} $ men med 2 kopper er det nøyaktig $ {\dfrac{48}{12} = 4}\text{,} $ og med 0 eller 1 kopp er det under 4.

Vi kan derfor ikke vite om Tore har rett. Antakelsen er rimelig, fordi 9 av de 11 kollegaene vi ser, drakk 3 kopper eller mer, men den kan være feil.

Oppgave 3

Malin og Gunnvor arbeider med en oppgave. De har fått opplysningene nedenfor.

• I mai kostet to varer, A og B, like mye.

• Prisen for vare A har økt med

7\,\%

hver måned siden januar, og vi antar at den vil fortsette å øke med

7\,\%

hver måned framover.

• Prisen for vare B har gått ned med

7\,\%

hver måned siden januar, og vi antar at den vil fortsette å gå ned med

7\,\%

hver måned framover.

Malin påstår at dette betyr at vare A vil koste det samme om tre måneder som vare B kostet for tre måneder siden. Gunnvor er ikke enig.

Gjør beregninger og undersøk om Malins påstand er riktig.

Vis løsning

Svar

Med 100 kroner i mai koster A omtrent 122,50 kroner i august, mens B kostet omtrent 124,32 kroner i februar:

\underline{\underline{\text{Påstanden er ikke riktig}}}

Vi lar begge varene koste 100 kroner i mai. Så regner vi prisen på A tre måneder fram, til august, og prisen på B tre måneder tilbake, til februar, med vekstfaktorene.

Metode: For hånd

1. Finn vekstfaktorene Når noe øker eller minker med $ p\,\%\text{,} $ er vekstfaktoren: \[ \begin{aligned} \text{Økning: } V &= 1 + \dfrac{p}{100} \\ \text{Nedgang: } V &= 1 - \dfrac{p}{100} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor. Her er vekstfaktoren $ \textcolor{red}{1{,}07} $ for A og $ \textcolor{blue}{0{,}93} $ for B.

2. Finn prisen på A i august Fra mai til august ganges prisen på A med $ \textcolor{red}{1{,}07} $ tre ganger, som i videoen Vekstfaktor. Med kalkulatoren: \[ 100 \cdot \textcolor{red}{1{,}07}^3 \approx 122{,}50 \]

3. Finn prisen på B i februar Fra februar til mai ble prisen på B ganget med $ \textcolor{blue}{0{,}93} $ tre ganger. Kaller vi prisen i februar $ x\text{,} $ er: \[ x \cdot \textcolor{blue}{0{,}93}^3 = 100 \]

Vi deler med $ \textcolor{blue}{0{,}93}^3 $ på begge sider: \[ x = \dfrac{100}{\textcolor{blue}{0{,}93}^3} \approx 124{,}32 \]

4. Sammenlign prisene A koster omtrent 122,50 kroner i august, mens B kostet omtrent 124,32 kroner i februar. Prisene er ikke like, så Malins påstand er ikke riktig, og Gunnvor har rett.

Grunnen er at vi deler på $ \textcolor{blue}{0{,}93} $ når vi går bakover, og $ {\dfrac{1}{0{,}93} \approx 1{,}075}\text{.} $ Bakover stiger prisen på B altså med omtrent $ 7{,}5\,\% $ per måned, ikke $ 7\,\%\text{.} $ Det gjelder uansett hva varene kostet i mai.

Oppgave 4

Hver morgen venter Madelen noen minutter på skolebussen. En uke undersøkte hun hvor mange syklister som brukte sykkelhjelm. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.

\begin{array}{r|r|r} \text{Ukedag} & \text{Syklister} & \begin{array}{c} \text{Syklister} \\ \text{med hjelm} \end{array} \\ \hline \text{Mandag} & 10 & 7 \\ \text{Tirsdag} & 15 & 9 \\ \text{Onsdag} & 11 & 6 \\ \text{Torsdag} & 12 & 7 \\ \text{Fredag} & 15 & 12 \end{array}

Madelen skal fortelle klassen sin om resultatene fra undersøkelsen.

Gjør beregninger og vis Madelen hvordan hun kan presentere datamaterialet. Presentasjonen skal inneholde både beregninger og diagrammer.

Vis løsning

Svar

Et søylediagram for hver dag og et sektordiagram for hele uka, med disse funnene, avrundet til én desimal:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Med hjelm: } 41 \text{ av } 63 \approx 65{,}1\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{Høyest fredag: } 80\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{Lavest onsdag: } 54{,}5\,\%}} \end{aligned}

Vi regner ut andelen med hjelm hver dag og hele uka, og lager et søylediagram og et sektordiagram. Oppgaven er åpen, så andre valg er også riktige, for eksempel søyler med andelen hver dag.

Metode: Med kalkulator

1. Regn ut andelen med hjelm Andelen med hjelm er en del av en helhet, som i videoen Regler og Formler med Prosent: \[ \text{andel} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{med hjelm}}}{\textcolor{blue}{\text{syklister}}} \cdot 100\,\% \]

For hver dag får vi: \[ \begin{aligned} \text{Mandag: } & \dfrac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{10}} \cdot 100\,\% = 70\,\% \\ \text{Tirsdag: } & \dfrac{\textcolor{red}{9}}{\textcolor{blue}{15}} \cdot 100\,\% = 60\,\% \\ \text{Onsdag: } & \dfrac{\textcolor{red}{6}}{\textcolor{blue}{11}} \cdot 100\,\% \approx 54{,}5\,\% \\ \text{Torsdag: } & \dfrac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{12}} \cdot 100\,\% \approx 58{,}3\,\% \\ \text{Fredag: } & \dfrac{\textcolor{red}{12}}{\textcolor{blue}{15}} \cdot 100\,\% = 80\,\% \end{aligned} \]

2. Regn ut for hele uka Til sammen så Madelen $ {10 + 15 + 11 + 12 + 15 = \textcolor{blue}{63}} $ syklister, og $ {7 + 9 + 6 + 7 + 12 = \textcolor{red}{41}} $ av dem hadde hjelm: \[ \dfrac{\textcolor{red}{41}}{\textcolor{blue}{63}} \cdot 100\,\% \approx 65{,}1\,\% \]Omtrent to av tre syklister brukte hjelm. I snitt så hun $ {\dfrac{63}{5} = 12{,}6} $ syklister per dag.

3. Tegn et søylediagram To søyler for hver dag viser hvor mange syklister det var, og hvor mange av dem som hadde hjelm. Diagrammet får en tittel, som i videoen Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Fredag hadde flest syklister med hjelm og den høyeste andelen, og onsdag den laveste andelen.

4. Tegn et sektordiagram For hele uka er de 63 syklistene en helhet, delt i med og uten hjelm, så de passer i et sektordiagram. En hel sirkel er $ 360^\circ\text{:} $ \[ \begin{aligned} \text{Med hjelm: } \dfrac{\textcolor{red}{41}}{\textcolor{blue}{63}} \cdot 360^\circ &\approx 234{,}3^\circ \\ \text{Uten hjelm: } \dfrac{22}{\textcolor{blue}{63}} \cdot 360^\circ &\approx 125{,}7^\circ \end{aligned} \]

Vi tegner sektorene med gradskive:

Metode: Med regneark

1. Regn ut andelene Vi skriver ukedagene i A, syklistene i B og syklistene med hjelm i C. I rad 7 summerer vi med $ {\textcolor{blue}{\texttt{=SUMMER(B2:B6)}}} $ og $ {\textcolor{red}{\texttt{=SUMMER(C2:C6)}}}\text{.} $ Andelen med hjelm er en del av en helhet, så i D2 skriver vi $ {\texttt{=C2/B2}} $ og velger prosentformat med én desimal. Vi drar D2 ned til rad 7.

For sektordiagrammet skriver vi Hele uka og Syklister i A9 og B9, Med hjelm og Uten hjelm i A10 og A11, og antallene $ {\textcolor{red}{\texttt{=C7}}} $ og $ {\texttt{=B7-C7}} $ i B10 og B11:

2. Lag diagrammene Vi markerer A1 til C6 og velger Sett inn, Stående stolpediagram, og A9 til B11 med Sett inn, Sektordiagram. Vi slår på dataetiketter, så antallene står over søylene, og for sektorene velger vi Prosentverdi i stedet for Verdi, utenfor slutten. Så gir vi hvert diagram en tittel, som i videoen Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Regnearket gir de samme andelene som med kalkulator: $ 65{,}1\,\% $ med hjelm hele uka, høyest fredag med $ 80{,}0\,\% $ og lavest onsdag med $ 54{,}5\,\%\text{.} $

Oppgave 5

En bedrift vil gi ut en brosjyre som blant annet skal vise lønnsnivået til de ansatte. Nedenfor ser du en oversikt som viser årslønnen til de ansatte i bedriften.

\begin{array}{r|r} \text{Årslønn} & \text{Frekvens} \\ \text{(i tusen kroner)} & \\ \hline [250 - 350\rangle & 8 \\ [350 - 450\rangle & 42 \\ [450 - 500\rangle & 40 \\ [500 - 550\rangle & 20 \\ [550 - 600\rangle & 15 \\ [600 - 650\rangle & 3 \\ [650 - 750\rangle & 2 \\ [750 - 1000\rangle & 1 \\ [1000 - 2000\rangle & 15 \end{array}

Ledelsen diskuterer hvilket sentralmål som er best egnet til å beskrive bedriftens lønnsnivå.

Oppgave 5a)

Gjør nødvendige forutsetninger og bestem gjennomsnittet og medianen for datamaterialet.

Vis løsning

Svar

Med jevnt fordelte lønninger i hver klasse, avrundet til hele tusen kroner:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Gjennomsnitt} \approx 575\,000 \text{ kr}}} \\ &\underline{\underline{\text{Median} \approx 479\,000 \text{ kr}}} \end{aligned}

Tabellen sier bare hvor mange som er i hver lønnsklasse. Vi antar at lønningene er jevnt fordelt i hver klasse, regner med klassemidtpunktene og finner medianen inne i en klasse.

Metode: Med kalkulator

1. Skriv opp forutsetningene Vi vet ikke hva hver enkelt tjener. Vi må derfor anta at lønningene er jevnt fordelt innenfor hver klasse. Da ligger gjennomsnittet i en klasse midt mellom grensene, i klassemidtpunktet: \[ \textcolor{green}{m} = \dfrac{\text{nedre grense} + \text{øvre grense}}{2} \]For $ {[250 - 350\rangle} $ er $ {\textcolor{green}{m} = \dfrac{250 + 350}{2} = \textcolor{green}{300}}\text{.} $

Vi antar altså også at de 15 i den brede klassen $ {[1000 - 2000\rangle} $ i snitt tjener 1500 tusen kroner. Det er den mest usikre antakelsen.

2. Regn ut gjennomsnittet Gjennomsnittet er summen delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Alle i en klasse regnes som klassemidtpunktet, så summen av lønningene er hvert klassemidtpunkt ganget med frekvensen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{300} \cdot 8 + \textcolor{green}{400} \cdot 42 + \textcolor{green}{475} \cdot 40 \\ &+ \textcolor{green}{525} \cdot 20 + \textcolor{green}{575} \cdot 15 + \textcolor{green}{625} \cdot 3 \\ &+ \textcolor{green}{700} \cdot 2 + \textcolor{green}{875} \cdot 1 + \textcolor{green}{1500} \cdot 15 \\ &= \textcolor{red}{83\,975} \end{aligned} \]

Antall ansatte er summen av frekvensene: \[ \begin{aligned} &8 + 42 + 40 + 20 + 15 \\ &+ 3 + 2 + 1 + 15 = \textcolor{blue}{146} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{83\,975}}{\textcolor{blue}{146}} \approx 575{,}2 \]Gjennomsnittet er altså omtrent 575 tusen kroner.

3. Finn medianen Medianen er lønnen i midten når lønningene står i stigende rekkefølge, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Halvparten av de $ \textcolor{blue}{146} $ ansatte er $ 73\text{.} $ Vi legger sammen frekvensene ovenfra: \[ \begin{aligned} 8 + 42 &= 50 \text{ under } 450 \\ 50 + 40 &= 90 \text{ under } 500 \end{aligned} \]Nummer 73 er altså i klassen $ {[450 - 500\rangle}\text{,} $ som har 40 ansatte.

Vi trenger $ {73 - 50 = 23} $ av de 40 i klassen. Med jevnt fordelte lønninger er det $ \dfrac{23}{40} $ av klassebredden $ 50\text{:} $ \[ \begin{aligned} \text{median} &= 450 + \dfrac{23}{40} \cdot 50 \\ &= 450 + 28{,}75 = 478{,}75 \end{aligned} \]Medianen er omtrent 479 tusen kroner.

Metode: Med regneark

1. Regn ut gjennomsnittet og medianen Vi regner med klassemidtpunktene og jevnt fordelte lønninger, som med kalkulator. Grensene skriver vi i A og B og frekvensene i C. Klassemidtpunktet, produktet og den kumulative frekvensen regner vi ut i rad 2 og 3: \[ \begin{aligned} \text{D2:}\quad & \textcolor{green}{\texttt{=(A2+B2)/2}} \\ \text{E2:}\quad & \texttt{=D2*C2} \\ \text{F2:}\quad & \texttt{=C2} \\ \text{F3:}\quad & \texttt{=F2+C3} \end{aligned} \]Vi drar D2 og E2 ned til rad 10, og F3 ned til F10. I C11 og E11 summerer vi med $ {\textcolor{blue}{\texttt{=SUMMER(C2:C10)}}} $ og $ {\textcolor{red}{\texttt{=SUMMER(E2:E10)}}}\text{,} $ og gjennomsnittet i E12 er $ {\texttt{=E11/C11}}\text{,} $ som vi viser med to desimaler.

Halvparten av de ansatte, $ {\texttt{=C11/2}}\text{,} $ står i E13. Kolonne F passerer den i rad 4, klassen $ {[450 - 500\rangle}\text{.} $ Medianen er $ {450 + \dfrac{73 - 50}{40} \cdot 50} $ som med kalkulator, så i E14 skriver vi: \[ \texttt{=A4+(E13-F3)/C4*(B4-A4)} \]

Regnearket gir $ {\bar{x} \approx 575{,}17} $ og medianen $ 478{,}75\text{,} $ det samme som med kalkulator. Gjennomsnittet er omtrent 575 000 kroner og medianen omtrent 479 000 kroner.

Oppgave 5b)

Argumenter for hvilket sentralmål du mener er best egnet til å beskrive bedriftens lønnsnivå.

Vis løsning

Svar

Minst tre av fire tjener mindre enn gjennomsnittet, fordi de 15 høyeste lønningene drar det opp:

\underline{\underline{\text{Medianen er best egnet}}}

Vi bruker gjennomsnittet og medianen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Noen få ansatte tjener mye mer enn de andre. Vi ser hvordan de påvirker gjennomsnittet og medianen.

Metode: For hånd

1. Se hva de høyeste lønningene gjør I a) fant vi, i tusen kroner: \[ \begin{aligned} \text{Gjennomsnitt} &\approx \textcolor{green}{575} \\ \text{Median} &\approx \textcolor{red}{479} \end{aligned} \]

15 av de 146 ansatte tjener mellom 1 og 2 millioner kroner, langt mer enn de andre. De drar gjennomsnittet opp, mens medianen bare ser på lønnen i midten, som i videoen Oppgave 3C - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Hele $ {8 + 42 + 40 + 20 = 110} $ av de 146, omtrent $ 75\,\%\text{,} $ tjener under 550 tusen kroner, altså mindre enn gjennomsnittet.

2. Velg sentralmål Gjennomsnittet avhenger også av hva vi antok om klassen $ {[1000 - 2000\rangle}\text{.} $ Tjener de 15 en million hver, blir det omtrent 524 tusen kroner, og tjener de to millioner, omtrent 627 tusen. Medianen blir den samme.

Medianen, $ \textcolor{red}{479} $ tusen kroner, beskriver derfor lønnsnivået til en vanlig ansatt bedre enn gjennomsnittet, $ \textcolor{green}{575} $ tusen kroner.

Oppgave 6

En parkeringsplass har form som et rektangel. Parkeringsplassen skal endres. Bredden skal minskes med en gitt prosentandel, og lengden skal økes med den samme prosentandelen.

Avgjør hvilken av de tre påstandene nedenfor som er riktig. Husk å argumentere for hvorfor du mener påstanden er riktig.

1) Arealet av den nye parkeringsplassen vil bli mindre. 2) Arealet av den nye parkeringsplassen vil bli større. 3) Arealet av den nye parkeringsplassen kan bli større eller mindre. Det kommer an på hvilken prosentandel vi bruker.

Vis løsning

Svar

Arealet ganges med

{(1 + q)(1 - q) = 1 - q^2}\text{,}

som er mindre enn 1, der

q

er prosentandelen som desimaltall:

\underline{\underline{\text{Påstand 1 er riktig}}}

Bredden og lengden ganges med hver sin vekstfaktor. Vi ganger vekstfaktorene sammen og ser om produktet blir mindre enn eller større enn 1.

Metode: For hånd

1. Skriv opp vekstfaktorene Vi skriver prosentandelen som et desimaltall $ q\text{,} $ for eksempel $ {q = 0{,}2} $ for $ 20\,\%\text{.} $ Bredden minker og lengden øker med den samme andelen, så vekstfaktorene er, som i videoen Vekstfaktor: \[ \begin{aligned} \text{Bredden: } & \textcolor{blue}{1 - q} \\ \text{Lengden: } & \textcolor{red}{1 + q} \end{aligned} \]

2. Regn ut det nye arealet Arealet av et rektangel er lengden ganget med bredden, som i videoen Areal og Omkrets. Med lengden $ l $ og bredden $ b $ blir det nye arealet: \[ \begin{aligned} A_{\text{ny}} &= l \cdot \textcolor{red}{(1 + q)} \cdot b \cdot \textcolor{blue}{(1 - q)} \\ &= l \cdot b \cdot \textcolor{red}{(1 + q)}\textcolor{blue}{(1 - q)} \end{aligned} \]

Vi ganger ut parentesene ledd for ledd: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{(1 + q)}\textcolor{blue}{(1 - q)} &= 1 - q + q - q^2 \\ &= 1 - q^2 \end{aligned} \]

3. Avgjør påstanden Det nye arealet er altså det gamle arealet $ {l \cdot b} $ ganget med $ {1 - q^2}\text{.} $ Siden $ {q^2 > 0}\text{,} $ er $ {1 - q^2 < 1}\text{,} $ så arealet blir alltid mindre, uansett prosentandel.

For eksempel gir $ 20\,\% $ at arealet ganges med $ {0{,}8 \cdot 1{,}2 = 0{,}96}\text{,} $ altså blir det $ 4\,\% $ mindre. Påstand 1 er riktig.

Oppgave 7

Sofie har tatt opp et forbrukslån på

100\,000

kroner. Rentefoten er

2\,\%

per måned. Hun skal betale ned på lånet hver måned, og terminbeløpet skal være 6378 kroner.

Sofie vil ha en nedbetalingsplan for lånet og har laget programmet nedenfor.

Nedenfor ser du resultatet hun får når hun kjører programmet.

Oppgave 7a)

Du skal hjelpe Sofie med å endre programmet.

Sett inn formler i stedet for tallet null i linje 12, 13 og 14, og gjør endringer slik at hele den riktige nedbetalingsplanen skrives ut.

Vis løsning

Svar

Hver måned er rentene $ 2\,\% $ av restlånet, og resten av terminbeløpet er avdrag. Vi setter formlene inn i linje 12–14 og lar løkka gå gjennom alle månedene.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å lese og skrive slike løkker på papir, og på å regne ut de første månedene med kalkulator, som i første steg.

Metode: Med Python

1. Skriv formlene for én måned Rentene er restlånet ganget med rentefoten, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Avdraget er resten av terminbeløpet, og det trekkes fra restlånet: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\text{renter}} &= \textcolor{blue}{\text{restlån}} \cdot \dfrac{\text{rentefot}}{100} \\ \textcolor{green}{\text{avdrag}} &= \text{terminbeløp} - \textcolor{red}{\text{renter}} \\ \textcolor{blue}{\text{restlån}} &= \textcolor{blue}{\text{restlån}} - \textcolor{green}{\text{avdrag}} \end{aligned} \]Det er linje 12, 13 og 14 i svaret. I linje 14 er restlånet på høyre side det fra forrige måned, og det nye restlånet lagres i den samme variabelen.

Den første måneden er rentene $ {100\,000 \cdot \dfrac{2}{100} = \textcolor{red}{2000}} $ kroner og avdraget $ {6378 - \textcolor{red}{2000} = \textcolor{green}{4378}} $ kroner, så restlånet blir $ \textcolor{blue}{95\,622} $ kroner.

2. Endre løkka Linje 10 går bare gjennom måned 1 til 4, fordi $ \texttt{range(1, 5)} $ stopper før 5, som i videoen Oppgave 7B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Prøver vi med flere måneder, blir restlånet negativt i måned 20, så en 20. termin på 6378 kroner trengs ikke. Vi skriver derfor $ \texttt{range(1, 20)}\text{,} $ som gir måned 1 til 19.

3. Les utskriften Programmet skriver ut hele planen. Etter måned 19 står det igjen 4,03 kroner, fordi 6378 kroner er litt for lite til at lånet går nøyaktig opp: endrer vi terminbeløpet i linje 3 til 6378,18, blir restlånet $ {-0{,}08} $ kroner etter måned 19, så det nøyaktige terminbeløpet er omtrent 6378,18 kroner. Sofie betaler de 4,03 kronene med den siste terminen, som da blir 6382,03 kroner, så lånet er betalt ned med 19 terminer.

Oppgave 7b)

Hvor mange måneder vil det ta før lånet er betalt ned?

Vis løsning

Svar

Den 19. terminen blir 6382,03 kroner, 4,03 kroner mer enn de andre, så lånet er betalt ned etter:

\underline{\underline{19 \text{ måneder}}}

Vi bruker nedbetalingsplanen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi leser av i nedbetalingsplanen fra a) hvor mange terminer Sofie trenger for å betale ned lånet.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke regne ut alle månedene. Øv heller på å regne ut de første månedene med kalkulator og på å lese av en nedbetalingsplan.

Metode: Med Python

1. Les av planen Restlånet er det som står igjen av lånet etter hver termin, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. I planen fra a) er restlånet $ \textcolor{blue}{6256{,}90} $ kroner etter måned 18, og bare $ \textcolor{blue}{4{,}03} $ kroner etter måned 19, der planen slutter. Sofie betaler dem med den siste terminen, som da blir 6382,03 kroner, så lånet er betalt ned etter 19 måneder.

Betaler hun bare 6378 kroner også i måned 19, trengs en liten termin på 4,12 kroner i måned 20.

Metode: Med regneark

1. Lag planen i regnearket Vi skriver lånet, rentefoten og terminbeløpet i B1, B2 og B3, og overskriftene Måned, Renter, Avdrag og Restlån i rad 5. Rentefoten skriver vi som $ 2\,\%\text{,} $ ikke 2, så Excel regner med $ 0{,}02\text{.} $ Rad 6 er måned 0, der restlånet er hele lånet, så i D6 skriver vi $ {\texttt{=B1}}\text{.} $ Rad 7 er den første måneden: \[ \begin{aligned} \text{A7:}\quad & \texttt{=A6+1} \\ \text{B7:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=D6*\$B\$2}} \\ \text{C7:}\quad & \textcolor{green}{\texttt{=\$B\$3-B7}} \\ \text{D7:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=D6-C7}} \end{aligned} \]Dollartegnene holder rentefoten og terminbeløpet fast når vi drar rad 7 ned til rad 25, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. B6 til D25 viser vi med to desimaler og mellomrom mellom tusenene:

2. Les av planen Etter måned 18 står det igjen $ \textcolor{blue}{6256{,}90} $ kroner, og etter måned 19 bare $ \textcolor{blue}{4{,}03} $ kroner, det samme som med Python. Sofie betaler dem med den siste terminen, som da blir 6382,03 kroner, så lånet er betalt ned etter 19 måneder.

Ferdig med settet? Se de andre 2P-eksamenene, eller øv på ett tema om gangen.