Eksamensoppgaver etter tema

Hver sidekant er \( 90\,\% \) av den forrige. Vi finner de tre sidekantene og legger sammen omkretsene.

1. Finn sidekantene 1:00 \( 10\,\% \) kortere betyr at sidekanten blir \( 90\,\% \) av den forrige, så vi ganger med vekstfaktoren \( {1 - 0{,}10 = \textcolor{red}{0{,}9}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor: \[ \begin{aligned} s_1 &= 10 \\ s_2 &= 10 \cdot \textcolor{red}{0{,}9} = 9 \\ s_3 &= 9 \cdot \textcolor{red}{0{,}9} = 8{,}1 \end{aligned} \]Sidekantene er altså \( 10\,\text{cm}\text{,} \) \( 9\,\text{cm} \) og \( 8{,}1\,\text{cm}\text{.} \)

2. Legg sammen omkretsene 2:09 Omkretsen er veien rundt figuren, som i videoen Areal og Omkrets. Et kvadrat har fire like lange sider, så omkretsen er \( {4 \cdot s}\text{:} \) \[ \begin{aligned} O &= 4 \cdot 10 + 4 \cdot 9 + 4 \cdot 8{,}1 \\ O &= 40 + 36 + 32{,}4 = 108{,}4 \end{aligned} \]Den samlede omkretsen av de tre første kvadratene er \( 108{,}4\,\text{cm}\text{.} \)

Vi bruker mønsteret fra omkretsene i a).

Omkretsene følger et mønster: hvert kvadrat har \( \textcolor{red}{0{,}9} \) ganger omkretsen til det forrige. Et program kan legge sammen så mange omkretser vi vil.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke kjøre programmet. Øv heller på å skrive og lese slike løkker på papir, linje for linje.

1. Finn mønsteret 0:09 I a) var omkretsene \( 4\textcolor{blue}{s}\text{,} \) \( {4\textcolor{blue}{s} \cdot \textcolor{red}{p}} \) og \( {4\textcolor{blue}{s} \cdot \textcolor{red}{p} \cdot \textcolor{red}{p}}\text{,} \) med \( {\textcolor{blue}{s} = \textcolor{blue}{10}} \) og \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{0{,}9}}\text{.} \) Omkretsen til kvadrat nummer \( {i + 1} \) er derfor: \[ 4 \cdot \textcolor{blue}{s} \cdot \textcolor{red}{p}^{\,i}, \quad i = 0, 1, 2, \ldots \]Her er \( {\textcolor{red}{p}^0 = 1}\text{,} \) så det første kvadratet får omkretsen \( 4\textcolor{blue}{s}\text{.} \)

2. Skriv programmet 1:40 Programmet står i svaret. Linje 1 lager funksjonen med antall kvadrater, sidekanten \( \textcolor{blue}{\texttt{side}} \) og faktoren \( {\textcolor{red}{\texttt{prosent}} = 0{,}9}\text{.} \) Linje 3 til 5 er en løkke som går gjennom \( {i = 0, 1, 2, \ldots}\text{,} \) regner ut omkretsen \( {4 \cdot \textcolor{blue}{s} \cdot \textcolor{red}{p}^{\,i}} \) i linje 4 og legger den til summen i linje 5, som løkka i videoen Oppgave 4B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

3. Kjør med mange kvadrater 7:23 Vi kjører programmet med 3, 30, 300 og 5000 kvadrater. Med 3 kvadrater får vi \( 108{,}4\text{,} \) som i a). Jo flere kvadrater, desto nærmere 400 kommer summen, men den blir aldri større enn 400. Den samlede omkretsen av veldig mange kvadrater er altså omtrent \( 400\,\text{cm}\text{.} \)

Vi bruker programmet og summen 400 cm fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi ser hva som skjer med den samlede omkretsen \( T \) når sidekanten \( \textcolor{blue}{s} \) i det største kvadratet endres, og ser etter et mønster.

1. Se hva som skjer med T Alle sidekantene i serien er \( \textcolor{blue}{s} \) ganget med \( 0{,}9 \) noen ganger. Dobler vi \( \textcolor{blue}{s}\text{,} \) dobles derfor alle sidekantene, alle omkretsene og summen av dem. \( T \) er altså proporsjonal med \( \textcolor{blue}{s}\text{:} \) \[ T = k \cdot \textcolor{blue}{s} \]

2. Skriv sammenhengen 1:38 I b) fant vi at summen nærmer seg \( 400\,\text{cm} \) når \( {\textcolor{blue}{s} = 10\,\text{cm}}\text{,} \) så \( {k = \dfrac{400}{10} = 40}\text{:} \) \[ T = 40 \cdot \textcolor{blue}{s} \]Med \( {\textcolor{blue}{s} = 20\,\text{cm}} \) blir \( {T = 800\,\text{cm}}\text{,} \) og med \( {\textcolor{blue}{s} = 50\,\text{cm}} \) blir \( {T = 2000\,\text{cm}}\text{.} \)

1. Kjør programmet med flere sidekanter 0:37 Vi bruker programmet fra b) med 5000 kvadrater og sidekantene 10, 20 og 50 cm, og runder av summen:

Summen er hver gang 40 ganger sidekanten: \( {400 = 40 \cdot 10}\text{,} \) \( {800 = 40 \cdot 20} \) og \( {2000 = 40 \cdot 50}\text{.} \)

Vi bruker sammenhengen \( {T = 40s} \) fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi undersøker om formelen gir det samme som c) når \( {p = 10}\text{,} \) og om den stemmer for andre verdier av \( p\text{.} \)

1. Sjekk formelen med c) Med \( {\textcolor{red}{p} = \textcolor{red}{10}} \) gir Oles formel: \[ T = \dfrac{4 \cdot \textcolor{blue}{s}}{\textcolor{red}{10}} \cdot 100 = 40 \cdot \textcolor{blue}{s} \]Det er sammenhengen vi fant i c).

2. Prøv med en annen prosent Er hver sidekant \( \textcolor{red}{50}\,\% \) kortere enn den forrige, blir hver omkrets halvparten av den forrige: \[ T = 4\textcolor{blue}{s} + 2\textcolor{blue}{s} + \textcolor{blue}{s} + 0{,}5\textcolor{blue}{s} + \ldots \]Hver ny omkrets er halvparten av det som mangler opp til \( 8\textcolor{blue}{s}\text{,} \) så summen nærmer seg \( 8\textcolor{blue}{s}\text{.} \) Oles formel gir det samme: \[ T = \dfrac{4 \cdot \textcolor{blue}{s}}{\textcolor{red}{50}} \cdot 100 = 8 \cdot \textcolor{blue}{s} \]Formelen stemmer for begge verdiene vi har prøvd, så sammenhengen kan gjelde.

1. Gjør om programmet 0:30 I programmet fra b) er \( \texttt{prosent} \) faktoren \( 0{,}9\text{,} \) men hos Ole er \( p \) hvor mange prosent sidekanten blir kortere. Linje 2 regner derfor ut faktoren \( {\texttt{pr} = \dfrac{100 - p}{100}}\text{.} \) Linje 9 til 14 regner ut både programmets sum og Oles formel for fire valg av \( s \) og \( p\text{:} \)

2. Sammenlign 3:12 Programmet og Oles formel gir det samme hver gang, også med \( {p = 1} \) og \( {p = 99}\text{.} \) Formelen ser ut til å stemme.