Eksamensoppgaver etter tema

Vi sorterer de \( 15 \) tallene først. Gjennomsnittet og medianen finner vi for hånd, og standardavviket med formelen eller i et regneark.

1. Finn gjennomsnittet og medianen Gjennomsnittet er summen delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023, og medianen er tallet i midten når tallene er sortert. Sortert: \[ 0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 0 \;\, 1 \;\, 1 \;\, 1 \;\, \textcolor{blue}{1} \;\, 1 \;\, 2 \;\, 2 \;\, 4 \;\, 5 \;\, 12 \;\, 15 \]

Tall nummer \( 8 \) av \( 15 \) står i midten, så medianen er \( \textcolor{blue}{1}\text{.} \) Vi samler like tall i summen, og nullene gir ingenting: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{\bar{x}} &= \dfrac{\text{sum}}{\text{antall}} \\ &= \dfrac{5 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 4 + 5 + 12 + 15}{15} \\ &= \dfrac{45}{15} = \textcolor{red}{3} \end{aligned} \]

2. Finn standardavviket Standardavviket måler hvor langt tallene typisk ligger fra gjennomsnittet \( \textcolor{red}{\bar{x}}\text{:} \) \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{(x_1 - \textcolor{red}{\bar{x}})^2 + \ldots + (x_n - \textcolor{red}{\bar{x}})^2}{n}} \]Vi deler på \( n\text{,} \) fordi vi bruker hele datasettet, alle de \( 15 \) ansatte i bedriften. Det er standardavvik p i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

Vi samler like tall. Med \( {\textcolor{red}{\bar{x}} = \textcolor{red}{3}} \) blir summen over brøkstreken: \[ \begin{aligned} &4 \cdot (0 - \textcolor{red}{3})^2 + 5 \cdot (1 - \textcolor{red}{3})^2 \\ &{} + 2 \cdot (2 - \textcolor{red}{3})^2 + (4 - \textcolor{red}{3})^2 \\ &{} + (5 - \textcolor{red}{3})^2 + (12 - \textcolor{red}{3})^2 + (15 - \textcolor{red}{3})^2 \\ &= 36 + 20 + 2 + 1 + 4 + 81 + 144 \\ &= 288 \end{aligned} \]

Det gir: \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{288}{15}} = \sqrt{19{,}2} \approx 4{,}38 \]

1. Bruk funksjonene i regnearket Vi skriver de \( 15 \) tallene i A2 til A16 og bruker GJENNOMSNITT, MEDIAN og STDAV.P: \[ \begin{aligned} \text{D1:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=GJENNOMSNITT(A2:A16)}} \\ \text{D2:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=MEDIAN(A2:A16)}} \\ \text{D3:}\quad & \texttt{=STDAV.P(A2:A16)} \end{aligned} \]STDAV.P deler på \( n\text{,} \) og den bruker vi fordi vi har alle de ansatte, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. STDAV.S deler på \( {n - 1}\text{.} \)

Regnearket gir gjennomsnittet \( \textcolor{red}{3}\text{,} \) medianen \( \textcolor{blue}{1} \) og standardavviket \( 4{,}38\text{,} \) det samme som med kalkulator.

Den kumulative frekvensen for \( 5 \) dager er antall ansatte som hadde \( 5 \) fraværsdager eller færre.

1. Legg sammen frekvensene Vi legger sammen frekvensene for alle verdiene opp til og med \( 5\text{.} \) I den sorterte lista i a) har \( 4 \) ansatte \( 0 \) dager, \( 5 \) har \( 1 \) dag og \( 2 \) har \( 2 \) dager, og én har \( 4 \) og én har \( 5\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{5} + \textcolor{blue}{2} + \textcolor{blue}{1} + \textcolor{blue}{1} = 13 \]Bare de to med \( 12 \) og \( 15 \) dager hadde mer enn \( 5\text{.} \)

2. Tolk svaret \( 13 \) av de \( 15 \) ansatte hadde \( 5 \) fraværsdager eller færre i 2025, altså \( {\dfrac{13}{15} \approx 87\,\%} \) av de ansatte.

1. Lag en frekvenstabell Vi skriver fraværet i A2 til A16 og de ulike verdiene i C2 til C8. ANTALL.HVIS teller hvor mange ganger hver verdi forekommer, så i D2 skriver vi: \[ \textcolor{blue}{\texttt{=ANTALL.HVIS(\$A\$2:\$A\$16;C2)}} \]Den kumulative frekvensen er summen av frekvensene til og med raden, så i E2 skriver vi \( {\texttt{=D2}} \) og i E3 \( {\texttt{=E2+D3}}\text{.} \) Vi drar D2 ned til D8 og E3 ned til E8:

I raden for \( 5 \) dager er den kumulative frekvensen \( 13\text{,} \) altså hadde \( 13 \) av de \( 15 \) ansatte \( 5 \) fraværsdager eller færre.

Vi bruker gjennomsnittet, medianen og standardavviket fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi tar for oss ett mål om gangen og ser hva det sier om hvordan fraværet er fordelt på de ansatte.

1. Sammenlign gjennomsnittet Begge bedriftene har \( \textcolor{blue}{15} \) ansatte og samme gjennomsnitt, \( \textcolor{red}{3} \) dager. Gjennomsnittet er summen delt på antallet, så summen er også den samme: \[ \text{sum} = \textcolor{blue}{15} \cdot \textcolor{red}{3} = 45 \text{ fraværsdager} \]

2. Sammenlign median og standardavvik I a) fant vi at medianen i A er \( 1 \) dag, mens gjennomsnittet er \( 3\text{.} \) De fleste i A har lite fravær, og noen få med mye fravær, \( 12 \) og \( 15 \) dager, trekker gjennomsnittet opp, slik medianen og gjennomsnittet sammenlignes i videoen Oppgave 3C - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

I B er medianen høyere, så den midterste ansatte har mer fravær enn i A. Medianen er et helt antall dager, så minst \( 8 \) av de \( 15 \) i B har \( 2 \) fraværsdager eller mer, mot \( 6 \) i A. Standardavviket er lavere, så fraværet varierer mindre fra ansatt til ansatt.

Vi bruker gjennomsnittet, medianen og standardavviket fra a) og den kumulative frekvensen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Påstanden sier at noe må gjelde. Finner vi ett tenkt fravær for B som passer med alle tre opplysningene, men der den kumulative frekvensen ikke er høyere enn \( 13\text{,} \) er påstanden feil.

1. Lag et moteksempel Vi prøver med \( 12 \) ansatte som har \( \textcolor{blue}{2} \) fraværsdager, og \( 3 \) som har \( \textcolor{red}{7}\text{.} \) Gjennomsnittet er: \[ \dfrac{12 \cdot \textcolor{blue}{2} + 3 \cdot \textcolor{red}{7}}{15} = \dfrac{45}{15} = 3 \]Medianen er tall nummer \( 8\text{,} \) som er \( \textcolor{blue}{2}\text{,} \) høyere enn \( 1\text{,} \) som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023.

2. Sjekk standardavviket Alle ligger \( 1 \) eller \( 4 \) dager fra gjennomsnittet \( 3\text{:} \) \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{12 \cdot 1^2 + 3 \cdot 4^2}{15}} = \sqrt{\dfrac{60}{15}} = 2 \]Det er lavere enn \( 4{,}38 \) i A, så alle tre opplysningene stemmer.

3. Sammenlign den kumulative frekvensen Bare de \( 12 \) med \( \textcolor{blue}{2} \) dager har \( 5 \) fraværsdager eller færre, så den kumulative frekvensen for \( 5 \) dager er \( 12\text{.} \) I b) fant vi \( 13 \) for A, og \( {12 < 13}\text{.} \) Dette kalles et moteksempel: B kan ha alle tre egenskapene og likevel lavere kumulativ frekvens enn A.

Vi har ti tall som allerede står i rekkefølge, fra størst til minst. Vi finner de fire målene med formlene, og med funksjonene i regnearket.

1. Finn medianen og gjennomsnittet Medianen er tallet i midten når tallene står i rekkefølge, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Med ti tall er det to tall i midten, nummer 5 og 6, og medianen er gjennomsnittet av dem: \[ \begin{aligned} \text{median} &= \dfrac{124\,540 + 121\,679}{2} \\ \text{median} &= 123\,109{,}5 \end{aligned} \]

Gjennomsnittet er summen delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{sum}}}{\textcolor{blue}{\text{antall}}} \]

Legger vi sammen de ti innbyggertallene, får vi \( \textcolor{red}{2\,329\,927}\text{:} \) \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{2\,329\,927}}{\textcolor{blue}{10}} = \textcolor{green}{232\,992{,}7} \]

2. Finn standardavviket Standardavviket måler hvor langt tallene ligger fra gjennomsnittet: \[ \sigma = \sqrt{\dfrac{(x_1 - \textcolor{green}{\bar{x}})^2 + \ldots + (x_n - \textcolor{green}{\bar{x}})^2}{\textcolor{blue}{n}}} \]Vi deler på \( \textcolor{blue}{n}\text{,} \) fordi de ti tettstedene er hele datasettet vi skal beskrive, ikke et utvalg, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

For Oslo er avstanden til gjennomsnittet: \[ 1\,098\,061 - \textcolor{green}{232\,992{,}7} = 865\,068{,}3 \]

Kvadratet er \( {865\,068{,}3^2 \approx 748{,}34 \cdot 10^9}\text{,} \) altså 748,34 milliarder. Vi regner ut de ni andre på samme måte med kalkulatoren. Det gir tabellen, med kvadratene i milliarder: \[ \small \begin{array}{r|r} x - \textcolor{green}{\bar{x}} & (x - \textcolor{green}{\bar{x}})^2 \\ \hline 865\,068{,}3 & 748{,}34 \\ 39\,132{,}3 & 1{,}53 \\ 6\,062{,}3 & 0{,}04 \\ -34\,215{,}7 & 1{,}17 \\ -108\,452{,}7 & 11{,}76 \\ -111\,313{,}7 & 12{,}39 \\ -136\,297{,}7 & 18{,}58 \\ -165\,620{,}7 & 27{,}43 \\ -177\,053{,}7 & 31{,}35 \\ -177\,308{,}7 & 31{,}44 \\ \hline \text{Sum} & 884{,}03 \end{array} \]

Summen er \( {884{,}03 \cdot 10^9}\text{,} \) og vi deler på \( \textcolor{blue}{10}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \sigma &\approx \sqrt{\dfrac{884{,}03 \cdot 10^9}{\textcolor{blue}{10}}} \\ \sigma &\approx 297\,326 \end{aligned} \]Deler vi på \( {n - 1 = 9}\text{,} \) som for et utvalg, blir standardavviket omtrent \( 313\,409\text{.} \)

3. Finn variasjonsbredden Variasjonsbredden er det største tallet minus det minste, som i videoen Oppgave 3A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ 1\,098\,061 - 55\,684 = 1\,042\,377 \]

1. Bruk funksjonene i regnearket Vi skriver de ti innbyggertallene i A2 til A11 og bruker MEDIAN, GJENNOMSNITT og STDAV.P: \[ \begin{aligned} \text{D1:}\quad & \texttt{=MEDIAN(A2:A11)} \\ \text{D2:}\quad & \textcolor{green}{\texttt{=GJENNOMSNITT(A2:A11)}} \\ \text{D3:}\quad & \texttt{=STDAV.P(A2:A11)} \end{aligned} \]STDAV.P deler på \( n\text{,} \) som vi gjorde med kalkulator, og den bruker vi fordi vi har alle de ti tettstedene, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. STDAV.S deler på \( {n - 1}\text{.} \)

Variasjonsbredden er det største tallet minus det minste, så i D4 skriver vi: \[ \texttt{=STØRST(A2:A11)-MIN(A2:A11)} \]

Regnearket gir medianen \( 123\,109{,}5\text{,} \) gjennomsnittet \( \textcolor{green}{232\,992{,}7}\text{,} \) standardavviket \( 297\,326{,}14 \) og variasjonsbredden \( 1\,042\,377\text{,} \) det samme som med kalkulator.

Vi bruker medianen og gjennomsnittet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Oslo er mye større enn alle de andre tettstedene. Vi ser hvordan Oslo påvirker gjennomsnittet og medianen.

1. Se hva Oslo gjør med målene I a) fant vi: \[ \begin{aligned} \text{Gjennomsnitt} &= \textcolor{green}{232\,992{,}7} \\ \text{Median} &= \textcolor{red}{123\,109{,}5} \end{aligned} \]

Oslo har \( 1\,098\,061 \) innbyggere, fire ganger så mange som Bergen. Et så stort tall drar gjennomsnittet opp, mens medianen bare ser på tallene i midten, som i videoen Oppgave 3C - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Derfor har bare tre av de ti tettstedene flere innbyggere enn gjennomsnittet, mens medianen har fem over seg og fem under.

2. Velg sentralmål Medianen \( \textcolor{red}{123\,109{,}5} \) beskriver altså et vanlig tettsted blant de ti bedre enn gjennomsnittet \( \textcolor{green}{232\,992{,}7}\text{.} \) Vi er derfor mest enig med Kine.

Vi bruker tallene fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi sammenligner gjennomsnittet, medianen og standardavviket for de to landene, ett mål om gangen.

1. Sett målene ved siden av hverandre Fra a) og tabellen, avrundet til hele innbyggere: \[ \small \begin{array}{l|r|r} & \text{Norge} & \text{Danmark} \\ \hline \text{Gjennomsnitt} & \textcolor{green}{232\,993} & \textcolor{green}{235\,549} \\ \text{Median} & \textcolor{red}{123\,110} & \textcolor{red}{67\,832} \\ \text{Standardavvik} & \textcolor{blue}{297\,326} & \textcolor{blue}{388\,000} \end{array} \]

2. Tolk forskjellene Gjennomsnittene er nesten like, så de ti største tettstedene har omtrent like mange innbyggere til sammen i de to landene.

Medianen er mye lavere i Danmark. Halvparten av de ti danske tettstedene har under \( \textcolor{red}{67\,832} \) innbyggere, mens halvparten av de norske har over \( \textcolor{red}{123\,110}\text{.} \) De fleste danske tettstedene er altså mindre enn de norske. Når gjennomsnittet likevel er like stort, må de største danske tettstedene være så store at de drar gjennomsnittet enda mer opp enn Oslo gjør, slik de beste målscorerne gjør i videoen Oppgave 3C - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

Standardavviket er større i Danmark, så innbyggertallene sprer seg mer der enn i Norge.