Eksamensoppgaver etter tema

Vi skal finne \( 20\,\% \) av \( 5200\text{.} \) «Av» betyr ganget med, så vi skriver prosenten som en brøk og ganger den med antall egg.

1. Skriv prosenten som en brøk Formelen for prosent av et tall forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}\,\% \text{ av } \textcolor{red}{\text{tall}} = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{100} \cdot \textcolor{red}{\text{tall}} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{20}} \) og \( {\textcolor{red}{\text{tall}} = \textcolor{red}{5200}}\text{.} \) Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \textcolor{blue}{20}\,\% \text{ av } \textcolor{red}{5200} = \dfrac{\textcolor{blue}{20}}{100} \cdot \textcolor{red}{5200} \]

Vi forkorter brøken med \( 20\text{:} \) \[ \dfrac{20}{100} = \dfrac{20 : 20}{100 : 20} = \dfrac{1}{5} \]

2. Gang brøken med antall egg Å gange med \( \dfrac{1}{5} \) er det samme som å dele på \( 5\text{:} \) \[ \dfrac{1}{5} \cdot \textcolor{red}{5200} = \dfrac{\textcolor{red}{5200}}{5} = 1040 \]

Vekstfaktoren er det en verdi ganges med når den endres med en prosent. Vi bruker sammenhengen mellom vekstfaktoren og prosenten begge veier.

1. Skriv opp sammenhengen Når noe endres med \( \textcolor{blue}{p}\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{\textcolor{blue}{p}}{100} \]Ved en nedgang er \( \textcolor{blue}{p} \) negativ. Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Går vi den andre veien, er den prosentvise endringen: \[ \textcolor{blue}{p} = (V - 1) \cdot 100 \]

2. Fyll inn tabellen Rad for rad, ovenfra: \[ \begin{aligned} 1{,}4 - 1 &= 0{,}4 = \textcolor{blue}{+40\,\%} \\ 1 + \textcolor{blue}{0{,}175} &= 1{,}175 \\ 1 - \textcolor{blue}{0{,}28} &= 0{,}72 \\ 0{,}67 - 1 &= -0{,}33 = \textcolor{blue}{-33\,\%} \\ 2 - 1 &= 1 = \textcolor{blue}{+100\,\%} \end{aligned} \]Vekstfaktoren \( 2 \) betyr at verdien dobles, altså øker med \( 100\,\%\text{.} \)

Prisen endres to ganger med en prosent, så vi bruker vekstfaktorer. Ganger vi dem sammen, ser vi hvor stor del av den opprinnelige prisen varen koster nå.

1. Finn vekstfaktorene Vekstfaktoren er det prisen ganges med: \[ \begin{aligned} \text{Nedgang: } V &= 1 - \dfrac{p}{100} \\ \text{Økning: } V &= 1 + \dfrac{p}{100} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor, der prisen synker med akkurat \( 20\,\%\text{.} \)

Her er \( {p = 20} \) begge gangene: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{V_1} &= 1 - 0{,}20 = \textcolor{red}{0{,}80} \\ \textcolor{blue}{V_2} &= 1 + 0{,}20 = \textcolor{blue}{1{,}20} \end{aligned} \]

2. Gang vekstfaktorene sammen Vi kaller den opprinnelige prisen \( P\text{.} \) Etter begge endringene er prisen: \[ P \cdot \textcolor{red}{0{,}80} \cdot \textcolor{blue}{1{,}20} = P \cdot 0{,}96 \]Varen koster nå \( 96\,\% \) av den opprinnelige prisen, altså \( 4\,\% \) mindre.

Grunnen er at økningen er \( 20\,\% \) av en lavere pris enn nedgangen var: \( 100 \) kroner blir \( 80 \) kroner, og \( 20\,\% \) av \( 80 \) er \( 16\text{,} \) så prisen ender på \( 96 \) kroner.

Prisen etter endringene er prisen før ganget med en vekstfaktor for hver endring. Vi snur det og leser av hva tallene i uttrykket betyr.

1. Sammenlign med vekstfaktorene Når prisen endres tre ganger, ganger vi prisen før med vekstfaktoren for hver endring, som i videoen Vekstfaktor: \[ \text{pris før} \cdot V_1 \cdot V_2 \cdot V_3 = \text{pris etter} \]

Deler vi med vekstfaktorene på begge sider, får vi prisen før: \[ \text{pris før} = \dfrac{\text{pris etter}}{V_1 \cdot V_2 \cdot V_3} \]

Uttrykket har samme form. Prisen etter de tre endringene er altså \( \textcolor{green}{40\,000} \) kroner, og vekstfaktorene er \( \textcolor{blue}{1{,}05} \) én gang og \( \textcolor{red}{0{,}85} \) to ganger: \[ \dfrac{\textcolor{green}{40\,000}}{\textcolor{blue}{1{,}05} \cdot \textcolor{red}{0{,}85}^2} = \dfrac{\textcolor{green}{40\,000}}{\textcolor{blue}{1{,}05} \cdot \textcolor{red}{0{,}85} \cdot \textcolor{red}{0{,}85}} \]

2. Les av prisendringene Når prisen endres med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Ved en nedgang er \( p \) negativ.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1{,}05} &= 1 + 0{,}05 && \text{opp } 5\,\% \\ \textcolor{red}{0{,}85} &= 1 - 0{,}15 && \text{ned } 15\,\% \end{aligned} \]Prisen er satt opp med \( 5\,\% \) én gang og ned med \( 15\,\% \) to ganger. Et produkt blir det samme uansett rekkefølge, så uttrykket sier ikke hvilken endring som kom først.

Indeksen er \( 100 \) i basisåret. Har prisen fulgt indeksen, har den økt like mye som indeksen, fra \( 100 \) til \( 125\text{.} \)

1. Tenk på indeksen som en pris Vi kan tenke på indeksen som prisen på en vare som kostet \( 100 \) kroner i basisåret, som i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Den koster \( 125 \) kroner i dag, så prisen er ganget med \( \dfrac{125}{100}\text{.} \) Det samme gjelder vår vare: \[ \text{pris} = \textcolor{blue}{\text{basispris}} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{\text{indeks}}}{100} \]

2. Regn ut prisen Her er basisprisen \( \textcolor{blue}{160} \) kroner og indeksen \( \textcolor{red}{125}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \text{pris} &= \textcolor{blue}{160} \cdot \dfrac{\textcolor{red}{125}}{100} \\ &= \textcolor{blue}{160} \cdot 1{,}25 = 200 \end{aligned} \]

Kontroll: Indeksen har økt med \( 25\,\%\text{,} \) og \( 25\,\% \) av \( 160 \) er \( 40\text{,} \) så prisen er \( {160 + 40 = 200} \) kroner.

Vi sammenligner 2019 med 2025 i prosentpoeng og i prosent, og viser tallene i et søylediagram og et sektordiagram. Andre valg kan også være riktige, for eksempel søyler for endringene.

1. Regn ut endringene Endringen i prosentpoeng er forskjellen mellom de to prosenttallene. Hvor mange prosent noe har endret seg, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Smarttelefon gikk fra \( \textcolor{blue}{32\,\%} \) i 2019 til \( 50\,\% \) i 2025: \[ \begin{aligned} 50 - \textcolor{blue}{32} &= \textcolor{red}{18} \text{ prosentpoeng} \\ \dfrac{\textcolor{red}{18}}{\textcolor{blue}{32}} \cdot 100\,\% &= 56{,}25\,\% \end{aligned} \]

Papiravis gikk fra \( \textcolor{blue}{7\,\%} \) til \( 2\,\%\text{:} \) \[ \begin{aligned} 2 - \textcolor{blue}{7} &= \textcolor{red}{-5} \text{ prosentpoeng} \\ \dfrac{\textcolor{red}{-5}}{\textcolor{blue}{7}} \cdot 100\,\% &\approx -71{,}4\,\% \end{aligned} \]Radio gikk også ned \( 5 \) prosentpoeng, men det er bare \( {\dfrac{5}{19} \approx 26\,\%} \) av radioandelen.

I 2025 unngikk \( 37\,\% \) aldri nyheter. Andelen som unngikk nyheter en gang iblant eller oftere, er: \[ 29\,\% + 23\,\% + 7\,\% = 59\,\% \]

2. Tegn et søylediagram Vi tegner to søyler for hver kilde, én for 2019 og én for 2025, så det er lett å sammenligne årene:

Diagrammet viser at smarttelefonen er den eneste kilden som har vokst.

3. Tegn et sektordiagram Svarene om nyhetsunngåelse er deler av en helhet, \( 100\,\%\text{,} \) så de passer i et sektordiagram. En hel sirkel er \( 360^\circ\text{,} \) så hver prosent er \( 3{,}6^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} \text{Aldri: } 37 \cdot 3{,}6^\circ &= 133{,}2^\circ \\ \text{En gang iblant: } 29 \cdot 3{,}6^\circ &= 104{,}4^\circ \\ \text{Noen ganger: } 23 \cdot 3{,}6^\circ &= 82{,}8^\circ \\ \text{Ofte: } 7 \cdot 3{,}6^\circ &= 25{,}2^\circ \\ \text{Vet ikke: } 4 \cdot 3{,}6^\circ &= 14{,}4^\circ \end{aligned} \]

Vi tegner sektorene etter hverandre med gradskive:

1. Regn ut endringene Vi skriver tabellene inn med prosenttallene som vanlige tall, og årstallene som tekst, med en apostrof foran, '2019 og '2025, så Excel bruker dem som navn på søylene. Endringen i prosentpoeng er forskjellen, og endringen i prosent er den delt på tallet for 2019, med prosentformat i kolonne E: \[ \begin{aligned} \text{D2:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=C2-B2}} \\ \text{E2:}\quad & \texttt{=D2/B2} \end{aligned} \]Vi drar D2 og E2 ned til rad 9. I B17 legger vi sammen dem som unngår nyheter en gang iblant eller oftere, med \( {\texttt{=SUMMER(B13:B15)}}\text{:} \)

2. Lag diagrammene Vi markerer A1 til C9 og velger Sett inn, Liggende stolpediagram, og A11 til B16 med Sett inn, Sektordiagram. Vi slår på dataetiketter, så tallene står ved søylene og sektorene, og i stolpediagrammet velger vi kategorier i motsatt rekkefølge, så smarttelefon står øverst, som i tabellen. Så gir vi hvert diagram en tittel, som i videoen Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Smarttelefon har gått opp \( 18 \) prosentpoeng, papiravis ned \( 71{,}43\,\%\text{,} \) og \( 59\,\% \) unngår nyheter en gang iblant eller oftere, det samme som med kalkulator.

Prisen går fra 300 til 315 kroner. Vi finner hvor mye den endres, og deler endringen på den gamle prisen.

1. Finn endringen Endringen er den nye prisen minus den gamle: \[ 315 - 300 = \textcolor{red}{15} \text{ kroner} \]

2. Del på den gamle prisen Hvor mange prosent noe øker med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Her er endringen \( \textcolor{red}{15} \) kroner og den gamle prisen \( \textcolor{blue}{300} \) kroner. Vi forkorter brøken med 15: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{15}}{\textcolor{blue}{300}} \cdot 100\,\% &= \dfrac{1}{20} \cdot 100\,\% \\ &= \dfrac{100}{20}\,\% = 5\,\% \end{aligned} \]

Kontroll: \( 5\,\% \) av 300 kroner er \( {\dfrac{300}{20} = 15} \) kroner, og \( {300 + 15 = 315}\text{.} \)