Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

44 oppgaver i 2P · viser 31–40

Oppgavene

2P høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

4 poeng

Eva og Per Ivar skal legge grus på en sti fra parkeringsplassen og opp til hytta.
Stien er 25 m 25\,\text{m} lang og 60 cm 60\,\text{cm} bred. De vil legge et 75 mm 75\,\text{mm} tykt lag med grus på stien.

Oppgave 6a)

Hvor mange kubikkmeter grus må de bestille?
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
De må bestille:
1,125 m3‾‾ \underline{\underline{1{,}125\,\text{m}^3}}
Gruslaget er en lang, flat kasse. Vi gjør alle målene om til meter, så blir volumet i kubikkmeter.
Metode: For hånd
1. Gjør om til meter Det er 100 cm og 1000 mm på en meter, som på måletrappa i videoen Introduksjon til Måleenheter: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{l} &= \textcolor{blue}{25\,\text{m}} \\ \textcolor{red}{b} &= 60\,\text{cm} = \textcolor{red}{0{,}60\,\text{m}} \\ \textcolor{green}{h} &= 75\,\text{mm} = \textcolor{green}{0{,}075\,\text{m}} \end{aligned} \]
2. Regn ut volumet Volumet av en kasse er lengde ganger bredde ganger høyde, som i videoen Volum og Overflate: \[ V = \textcolor{blue}{l} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{h} \]
Vi ganger tallene for seg og enhetene for seg, og \( {\text{m} \cdot \text{m} \cdot \text{m} = \text{m}^3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{25\,\text{m}} \cdot \textcolor{red}{0{,}60\,\text{m}} \cdot \textcolor{green}{0{,}075\,\text{m}} \\ V &= 15\,\text{m}^2 \cdot 0{,}075\,\text{m} = 1{,}125\,\text{m}^3 \end{aligned} \]
Når de kommer til hytta, ligger grusen de har bestilt, i en kjegleformet haug på parkeringsplassen. Kjeglen har en diameter på 2,5 m 2{,}5\,\text{m} og er 1,0 m 1{,}0\,\text{m} høy.

Oppgave 6b)

Gjør beregninger og avgjør om de har fått levert nok grus.
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Kjeglen har omtrent 1,64 m3, 1{,}64\,\text{m}^3\text{,} mer enn de 1,125 m3 1{,}125\,\text{m}^3 stien trenger:
De har fa˚tt nok grus‾‾ \underline{\underline{\text{De har fått nok grus}}}
Vi bruker volumet fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi regner ut volumet av kjeglen og sammenligner det med volumet de trenger.
Metode: For hånd
1. Regn ut volumet av kjeglen Volumet av en kjegle er en tredjedel av grunnflaten ganger høyden: \[ V = \dfrac{\pi \cdot \textcolor{red}{r}^2 \cdot \textcolor{blue}{h}}{3} \]Grunnflaten er en sirkel med arealet \( \pi r^2\text{,} \) som toppen av sylinderen i videoen Volum og Overflate.
Radien er halve diameteren, \( {\textcolor{red}{r} = \dfrac{2{,}5\,\text{m}}{2} = \textcolor{red}{1{,}25\,\text{m}}}\text{,} \) og høyden er \( {\textcolor{blue}{h} = \textcolor{blue}{1{,}0\,\text{m}}}\text{:} \) \[ V = \dfrac{\pi \cdot \textcolor{red}{1{,}25}^2 \cdot \textcolor{blue}{1{,}0}}{3}\,\text{m}^3 \approx 1{,}64\,\text{m}^3 \]
2. Sammenlign med a) I a) fant vi at stien trenger \( 1{,}125\,\text{m}^3\text{:} \) \[ 1{,}64\,\text{m}^3 > 1{,}125\,\text{m}^3 \]De har fått levert omtrent \( 0{,}5\,\text{m}^3 \) mer enn de trenger.

2P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

1 poeng

88 % 88\,\% av elevene i en klasse deltar i en undersøkelse. Det er 3 elever som ikke deltar i undersøkelsen.
Hvor mange elever er det i klassen?
Vis løsning på oppgave 1

Svar

25 elever‾‾ \underline{\underline{25 \text{ elever}}}
Vi vet hvor mange elever som ikke deltar. Vi finner derfor hvor mange prosent de er av klassen, og regner oss fram til hele klassen.
1. Finn andelen som ikke deltar Hele klassen er \( 100\,\%\text{,} \) så andelen som ikke deltar, er: \[ 100\,\% - 88\,\% = \textcolor{blue}{12}\,\% \]Det er de \( \textcolor{red}{3} \) elevene som ikke deltar.
2. Finn antall elever i klassen Formelen for prosent av et tall forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}\,\% \text{ av tall} = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{100} \cdot \text{tall} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.
Vi kaller antall elever i klassen \( x\text{.} \) Siden \( \textcolor{blue}{12}\,\% \) av \( x \) er \( \textcolor{red}{3}\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{12}}{100} \cdot x = \textcolor{red}{3} \]
Vi ganger med \( 100 \) på begge sider og deler så med \( \textcolor{blue}{12}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{12}x &= 300 \\ x &= \dfrac{300}{\textcolor{blue}{12}} = 25 \end{aligned} \]
Kontroll: \( 88\,\% \) av \( 25 \) er \( {\dfrac{88}{100} \cdot 25 = 22}\text{,} \) og \( {25 - 22 = 3} \) elever deltar ikke.

2P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

4 poeng

Trine og Truls står i kø for å ta en skiheis. De teller hvor mange personer som blir med i hver av vognene som kjører forbi før det blir deres tur. Resultatet ser du nedenfor.
6324462788 6 \quad 3 \quad 2 \quad 4 \quad 4 \quad 6 \quad 2 \quad 7 \quad 8 \quad 8

Oppgave 2a)

Bestem medianen og gjennomsnittet.
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Median: 5 personer‾‾Gjennomsnitt: 5 personer‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Median: } 5 \text{ personer}}} \\ &\underline{\underline{\text{Gjennomsnitt: } 5 \text{ personer}}} \end{aligned}
Medianen er tallet i midten når tallene står i stigende rekkefølge, og gjennomsnittet er summen delt på antallet. Vi sorterer derfor tallene først.
1. Finn medianen Vi sorterer de \( 10 \) tallene i stigende rekkefølge: \[ 2 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad \textcolor{blue}{4} \quad \textcolor{blue}{6} \quad 6 \quad 7 \quad 8 \quad 8 \]
Medianen er tallet i midten. Med \( 10 \) tall er det ikke ett tall i midten, men to: tall nummer \( 5 \) og \( 6\text{.} \) Da er medianen gjennomsnittet av de to, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{median} = \dfrac{\textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{6}}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \]
2. Finn gjennomsnittet Gjennomsnittet er summen av alle tallene delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{summen}}}{\textcolor{green}{\text{antallet}}} \]
Vi legger sammen de \( \textcolor{green}{10} \) tallene: \[ \begin{aligned} &6 + 3 + 2 + 4 + 4 \\ &{}+ 6 + 2 + 7 + 8 + 8 = \textcolor{red}{50} \end{aligned} \]
Det gir: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{50}}{\textcolor{green}{10}} = 5 \]

Oppgave 2b)

Bestem den kumulative frekvensen for 6 personer, og gi en praktisk tolkning av svaret.
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
I 7 7 av de 10 10 vognene var det 6 6 personer eller færre:
Kumulativ frekvens: 7‾‾ \underline{\underline{\text{Kumulativ frekvens: } 7}}
Den kumulative frekvensen for 6 personer er hvor mange vogner som hadde 6 personer eller færre. Vi lager en frekvenstabell og legger sammen frekvensene til og med 6.
1. Lag en frekvenstabell Frekvensen er hvor mange ganger et tall forekommer, og den kumulative frekvensen er summen av frekvensene til og med det tallet. Sortert er tallene: \[ 2 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 4 \quad 6 \quad 6 \quad 7 \quad 8 \quad 8 \]
Vi teller og summerer nedover i tabellen: \[ \small \begin{array}{c|c|c} \text{Personer} & \text{Frekvens} & \begin{gathered} \text{Kumulativ} \\ \text{frekvens} \end{gathered} \\ \hline 2 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 5 \\ \textcolor{blue}{6} & 2 & \textcolor{blue}{7} \\ 7 & 1 & 8 \\ 8 & 2 & 10 \end{array} \]
2. Les av og tolk svaret For \( \textcolor{blue}{6} \) personer er den kumulative frekvensen: \[ 2 + 1 + 2 + 2 = \textcolor{blue}{7} \]Det betyr at \( \textcolor{blue}{7} \) av de \( 10 \) vognene hadde med seg \( 6 \) personer eller færre.

2P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

2 poeng

Lotta har kjøpt fire små og to store sekker med hundemat. Sekkene veier til sammen 44 kg. 44\,\text{kg}\text{.} De store sekkene veier 7 kg 7\,\text{kg} mer enn de små.
Hvor mye veier en liten sekk, og hvor mye veier en stor sekk?
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Liten sekk: 5 kg‾‾Stor sekk: 12 kg‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Liten sekk: } 5\,\text{kg}}} \\ &\underline{\underline{\text{Stor sekk: } 12\,\text{kg}}} \end{aligned}
Vi har to ukjente, vekten av en liten og en stor sekk, og to opplysninger. Vi setter derfor opp et likningssett og løser det med innsettingsmetoden.
1. Sett opp likningssettet Vi kaller vekten av en liten sekk \( \textcolor{blue}{x} \) kg og vekten av en stor sekk \( \textcolor{red}{y} \) kg. Fire små og to store sekker veier \( 44 \) kg, og en stor sekk veier \( 7 \) kg mer enn en liten: \[ \begin{aligned} 4\textcolor{blue}{x} + 2\textcolor{red}{y} &= 44 \\ \textcolor{red}{y} &= \textcolor{blue}{x} + 7 \end{aligned} \]
2. Sett inn og løs Den andre likningen sier hva \( \textcolor{red}{y} \) er. Vi setter \( {\textcolor{red}{x + 7}} \) inn for \( \textcolor{red}{y} \) i den første likningen, som med innsettingsmetoden i videoen Likningssett – innsettingsmetoden og addisjonsmetoden: \[ 4\textcolor{blue}{x} + 2(\textcolor{red}{x + 7}) = 44 \]
Vi ganger ut parentesen og trekker sammen: \[ \begin{aligned} 4x + 2x + 14 &= 44 \\ 6x + 14 &= 44 \end{aligned} \]
Vi trekker fra \( 14 \) og deler med \( 6 \) på begge sider: \[ \begin{aligned} 6x &= 30 \\ \textcolor{blue}{x} &= \textcolor{blue}{5} \end{aligned} \]
3. Finn vekten av en stor sekk Vi setter \( {\textcolor{blue}{x} = \textcolor{blue}{5}} \) inn i den andre likningen: \[ \textcolor{red}{y} = \textcolor{blue}{5} + 7 = \textcolor{red}{12} \]
Kontroll: \( {4 \cdot 5 + 2 \cdot 12 = 20 + 24 = 44}\text{,} \) som i oppgaven.

2P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

3 poeng

Et område har form som en halvsirkel med radius r=1,0 m. {r = 1{,}0\,\text{m}}\text{.} Et annet område har form som en likebeint trekant ABC, ABC\text{,} der AB=3,0 m {AB = 3{,}0\,\text{m}} og høyden h=1,0 m. {h = 1{,}0\,\text{m}}\text{.} Se figurene ovenfor.
Gjør beregninger og avgjør • hvilket av de to områdene som har størst areal • hvilket av de to områdene som har størst omkrets
Vis løsning på oppgave 4

Svar

Arealene er omtrent 1,57 1{,}57 og 1,5 m2, 1{,}5\,\text{m}^2\text{,} og omkretsene omtrent 5,14 5{,}14 og 6,6 m: 6{,}6\,\text{m}\text{:}
Størst areal: halvsirkelen‾‾Størst omkrets: trekanten‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Størst areal: }\text{halvsirkelen}}} \\ &\underline{\underline{\text{Størst omkrets: }\text{trekanten}}} \end{aligned}
Vi regner ut arealet og omkretsen av begge områdene. Uten kalkulator regner vi med \( {\pi \approx 3{,}14}\text{.} \)
1. Sammenlign arealene En sirkel har arealet \( \pi r^2 \) og omkretsen \( 2\pi r\text{,} \) som i videoen Volum og Overflate. En halvsirkel har halvparten av arealet: \[ \begin{aligned} A_{\text{halvsirkel}} &= \dfrac{\pi \cdot (1\,\text{m})^2}{2} = \dfrac{\textcolor{blue}{\pi}}{2}\,\text{m}^2 \\ &\approx \dfrac{\textcolor{blue}{3{,}14}}{2}\,\text{m}^2 = 1{,}57\,\text{m}^2 \end{aligned} \]
Arealet av en trekant er grunnlinje ganger høyde delt på \( 2\text{,} \) som i videoen Areal og Omkrets: \[ \begin{aligned} A_{\text{trekant}} &= \dfrac{3\,\text{m} \cdot 1\,\text{m}}{2} \\ &= \dfrac{\textcolor{red}{3}}{2}\,\text{m}^2 = 1{,}5\,\text{m}^2 \end{aligned} \]
Vi sammenligner: \[ 1{,}57\,\text{m}^2 > 1{,}5\,\text{m}^2 \]Halvsirkelen har størst areal, fordi \( \textcolor{blue}{\pi} \) er litt større enn \( \textcolor{red}{3}\text{.} \)
2. Finn den skrå siden i trekanten Høyden deler trekanten i to rettvinklede trekanter. Hver av dem har katetene \( \textcolor{blue}{1{,}5} \) m, halve grunnlinjen, og \( \textcolor{red}{1} \) m, høyden. Den skrå siden \( \textcolor{green}{s} \) er hypotenusen. Pytagoras' setning forteller oss at: \[ \textcolor{green}{c}^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{red}{b}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Pytagoras setning.
Plugger vi inn katetene, får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{s}^2 &= \textcolor{blue}{1{,}5}^2 + \textcolor{red}{1}^2 = 2{,}25 + 1 = 3{,}25 \\ \textcolor{green}{s} &= \sqrt{3{,}25} \end{aligned} \]Siden \( {1{,}8^2 = 3{,}24}\text{,} \) er \( {\textcolor{green}{s} \approx 1{,}8} \) m.
3. Sammenlign omkretsene Omkretsen er summen av alle sidene, som i videoen Areal og Omkrets. Halvsirkelen har halve sirkelomkretsen \( 2\pi r \) og diameteren \( 2r\text{:} \) \[ \begin{aligned} O_{\text{halvsirkel}} &= \dfrac{2\pi \cdot 1\,\text{m}}{2} + 2 \cdot 1\,\text{m} \\ &= (\pi + 2)\,\text{m} \approx 5{,}14\,\text{m} \end{aligned} \]
Trekanten har grunnlinjen og to skrå sider: \[ \begin{aligned} O_{\text{trekant}} &= (3 + 2\textcolor{green}{s})\,\text{m} \\ &\approx (3 + 2 \cdot 1{,}8)\,\text{m} = 6{,}6\,\text{m} \end{aligned} \]
Vi sammenligner: \[ 6{,}6\,\text{m} > 5{,}14\,\text{m} \]Trekanten har størst omkrets.

2P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

2 poeng

Marco har tatt opp et lån med fast årlig rente. Lånet skal betales tilbake i løpet av 10 år, med én termin i året. Figuren ovenfor viser nedbetalingsplanen.

Oppgave 5a)

Hvor stort lån har Marco tatt opp?
Vis løsning på oppgave 5a
Svar
100 000 kroner‾‾ \underline{\underline{100\,000 \text{ kroner}}}
Avdraget er den delen av det Marco betaler som går til å betale ned lånet. Lånet er derfor summen av alle avdragene.
1. Les av avdragene Hver søyle er det Marco betaler i en termin. Den grå delen er rentene, det han betaler banken for å ha lånet. Den blå delen er avdraget, den summen som faktisk trekkes fra lånet, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.
Alle de \( \textcolor{green}{10} \) blå delene når opp til \( \textcolor{blue}{10\,000} \) kroner.
2. Legg sammen avdragene Etter \( 10 \) terminer er hele lånet betalt ned, så lånet er summen av avdragene: \[ \textcolor{green}{10} \cdot \textcolor{blue}{10\,000} \text{ kr} = 100\,000 \text{ kr} \]Rentene er det lånet koster, og ikke en del av lånet.

Oppgave 5b)

Er dette et annuitetslån eller et serielån? Husk å begrunne svaret.
Vis løsning på oppgave 5b
Svar
Avdraget er det samme i hver termin, mens terminbeløpet synker:
Seriela˚n‾‾ \underline{\underline{\text{Serielån}}}
De to lånetypene skiller seg i hva som er likt fra termin til termin. Vi ser derfor på hvordan avdraget og terminbeløpet endrer seg i diagrammet.
1. Skriv opp hva som er likt Terminbeløpet er det Marco betaler i hver termin, som i videoen Oppgave 4 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{red}{\text{terminbeløp}} = \textcolor{blue}{\text{avdrag}} + \text{renter} \]Rentene regnes av det som er igjen av lånet, så de blir mindre etter hvert som lånet betales ned.
I et serielån er \( \textcolor{blue}{\text{avdraget}} \) like stort i hver termin. Da blir terminbeløpet mindre for hver termin.
I et annuitetslån er \( \textcolor{red}{\text{terminbeløpet}} \) like stort i hver termin. Da blir avdraget større når rentene blir mindre.
2. Les av diagrammet Avdraget er \( \textcolor{blue}{10\,000} \) kroner i alle terminene, mens \( \textcolor{red}{\text{terminbeløpet}}\text{,} \) hele søylen, synker fra \( \textcolor{red}{14\,000} \) til \( \textcolor{red}{10\,400} \) kroner. Avdraget er likt hver gang, så dette er et serielån.

2P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 6

4 poeng

I tabellen nedenfor finner du informasjon om alderen til 100 personer som er medlemmer på et treningssenter.
AlderAntall medlemmer[16,20⟩20[20,40⟩40[40,60⟩30[60,90⟩10 \begin{array}{r|r} \text{Alder} & \text{Antall medlemmer} \\ \hline {[16, 20\rangle} & 20 \\ {[20, 40\rangle} & 40 \\ {[40, 60\rangle} & 30 \\ {[60, 90\rangle} & 10 \end{array}
Trine påstår at gjennomsnittsalderen er ca. 38 år, og at medianalderen er ca. 35 år.
Gjør beregninger og vis at påstandene kan være riktige.
Trine må ha gjort en antakelse for å kunne regne seg fram til disse verdiene. Gjør rede for en mulig antakelse hun kan ha gjort.
Vis løsning på oppgave 6

Svar

Antakelsen: alderen er jevnt fordelt innenfor hver aldersklasse. Da blir:
Gjennomsnitt: 38,1≈38 a˚r‾‾Median: 35 a˚r‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Gjennomsnitt: } 38{,}1 \approx 38 \text{ år}}} \\ &\underline{\underline{\text{Median: } 35 \text{ år}}} \end{aligned}
Tabellen sier bare hvor mange som er i hver aldersklasse, ikke hvor gamle de er. Vi må derfor anta noe om hvordan alderen er fordelt innenfor klassene.
1. Gjør en antakelse Vi antar at alderen er jevnt fordelt innenfor hver klasse. Da er gjennomsnittsalderen i en klasse lik klassemidtpunktet, tallet midt mellom grensene: \[ \begin{aligned} \dfrac{16 + 20}{2} &= \textcolor{blue}{18} & \dfrac{20 + 40}{2} &= \textcolor{blue}{30} \\ \dfrac{40 + 60}{2} &= \textcolor{blue}{50} & \dfrac{60 + 90}{2} &= \textcolor{blue}{75} \end{aligned} \]
2. Regn ut gjennomsnittet Gjennomsnittet er summen av alle aldrene delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Summen av aldrene i en klasse er klassemidtpunktet ganget med antall medlemmer: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{18} \cdot 20 &= 360 \\ \textcolor{blue}{30} \cdot 40 &= 1200 \\ \textcolor{blue}{50} \cdot 30 &= 1500 \\ \textcolor{blue}{75} \cdot 10 &= 750 \end{aligned} \]
Summen av alle aldrene er: \[ 360 + 1200 + 1500 + 750 = \textcolor{red}{3810} \]
Vi deler på de \( 100 \) medlemmene: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{3810}}{100} = 38{,}1 \]Det er ca. \( 38 \) år, som Trine påstår.
3. Finn medianen Medianen er alderen i midten når alle står sortert etter alder, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Med \( 100 \) medlemmer er halvparten, \( 50 \) medlemmer, yngre enn medianen, så vi ser på medlem nummer \( 50\text{.} \) Vi legger sammen antallene klasse for klasse: \[ \begin{aligned} {[16, 20\rangle}\text{: } & \text{nr. } 1 \text{ til } 20 \\ {[20, 40\rangle}\text{: } & \text{nr. } 21 \text{ til } 60 \end{aligned} \]
Medlem nummer \( 50 \) er altså i klassen \( [20, 40\rangle\text{,} \) som nummer \( {50 - 20 = \textcolor{green}{30}} \) av de \( \textcolor{green}{40} \) i klassen. Med alderen jevnt fordelt over de \( 20 \) årene fra \( 20 \) til \( 40 \) er det \( \dfrac{\textcolor{green}{30}}{\textcolor{green}{40}} \) av veien: \[ \begin{aligned} \text{median} &= 20 + \dfrac{\textcolor{green}{30}}{\textcolor{green}{40}} \cdot 20 \\ &= 20 + 15 = 35 \end{aligned} \]Det er de ca. \( 35 \) årene Trine påstår.

2P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 7

2 poeng

Et av FNs bærekraftsmål er å redusere matsvinn.
Sofie har lest at en familie på fire kaster ca. 160 kg 160\,\text{kg} mat hvert år. Hun har laget programmet nedenfor.
Når Sofie kjører programmet, blir disse verdiene skrevet ut:
Forklar hva Sofie ønsker å finne ut. Hva forteller verdiene som blir skrevet ut når Sofie kjører programmet?
Vis løsning på oppgave 7

Svar

Sofie vil finne ut når matsvinnet er halvert, hvis det minker med 13 % 13\,\% per år. Avrundet til én desimal:
Halvert i 2030‾‾Da er matsvinnet ≈79,7 kg‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Halvert i 2030}}} \\ &\underline{\underline{\text{Da er matsvinnet } \approx 79{,}7\,\text{kg}}} \end{aligned}
Vi går gjennom programmet linje for linje, slik datamaskinen gjør. Så ser vi når løkka stopper, og hva som da skrives ut.
1. Les startverdiene Programmet kjøres linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 1 til 5 gir startverdiene: familien kaster \( \textcolor{blue}{160} \) kg mat i 2025, og målet er halvparten, \( {\dfrac{160}{2} = \textcolor{red}{80}} \) kg.
I linje 3 er \( \textcolor{green}{\texttt{vf}} \) vekstfaktoren. Når noe minker med \( p\,\% \) per år, er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er \( {\textcolor{green}{0{,}87} = 1 - 0{,}13 = 1 - \dfrac{13}{100}}\text{,} \) så matsvinnet skal minke med \( 13\,\% \) per år.
2. Les løkka Linje 7 til 9 gjentas så lenge matsvinnet er større enn målet. Hver gang ganges matsvinnet med \( \textcolor{green}{0{,}87}\text{,} \) og året øker med \( 1\text{.} \) Etter \( n \) år er matsvinnet: \[ \textcolor{blue}{160} \cdot \textcolor{green}{0{,}87}^n \]
Løkka stopper første gang matsvinnet er \( \textcolor{red}{80} \) kg eller mindre. Sofie vil altså finne ut hvilket år familien har halvert matsvinnet, hvis det minker med \( 13\,\% \) hvert år.
3. Tolk utskriften Linje 11 og 12 skriver ut året og matsvinnet da løkka stoppet: \[ \begin{aligned} \text{år} &= 2030 \\ \text{matsvinn} &\approx 79{,}7 \end{aligned} \]I 2030, fem år etter 2025, er matsvinnet for første gang under målet på \( \textcolor{red}{80} \) kg. Da kaster familien omtrent \( 79{,}7 \) kg mat.

2P vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

5 poeng

Ledelsen ved en bedrift ønsker å redusere utslippet av miljøskadelige stoffer de neste årene.
I dag har bedriften to produksjonsprosesser. Utslippet fra den ene prosessen er 5000 tonn per år. Utslippet fra den andre prosessen er 1000 tonn per år.
Ledelsen mener funksjonen U U gitt ved
U(x)=5000⋅0,95x+1000 U(x) = 5000 \cdot 0{,}95^x + 1000
vil være en god modell for utslippet U(x) U(x) tonn per år etter x x år.

Oppgave 1a)

Forklar hva modellen forteller om ledelsens plan for å redusere utslippet.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Utslippet synker fra 6000 6000 tonn per år i dag og nærmer seg 1000 1000 tonn:
5000 tonn: minker 5 % per a˚r‾‾1000 tonn: uendret‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{5000 \text{ tonn: minker } 5\,\% \text{ per år}}} \\ &\underline{\underline{1000 \text{ tonn: uendret}}} \end{aligned}
Modellen har to ledd, ett for hver produksjonsprosess. Vi ser på hva hvert ledd gjør når \( x \) øker.
Metode: For hånd
1. Tolk leddene Det første leddet, \( {\textcolor{blue}{5000} \cdot \textcolor{red}{0{,}95}^x}\text{,} \) er prosessen som slipper ut \( \textcolor{blue}{5000} \) tonn i dag. Hvert år ganges det med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{0{,}95}\text{.} \) Når noe minker med \( p\,\% \) per år, er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er \( {\textcolor{red}{0{,}95} = 1 - \dfrac{5}{100}}\text{,} \) så utslippet fra denne prosessen skal minke med \( 5\,\% \) hvert år.
Det andre leddet, \( \textcolor{green}{1000}\text{,} \) avhenger ikke av \( x\text{.} \) Utslippet fra den andre prosessen skal altså være \( \textcolor{green}{1000} \) tonn hvert år.
Til sammen synker utslippet fra \( {U(0) = 6000} \) tonn per år i dag, og det nærmer seg \( 1000 \) tonn per år.

Oppgave 1b)

Hvor lang tid vil det gå før bedriften har halvert det årlige utslippet ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
Avrundet til én desimal:
Omtrent 17,9 a˚r‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 17{,}9 \text{ år}}}
I dag er utslippet \( 6000 \) tonn per år, så halvert utslipp er \( 3000 \) tonn. Vi finner når \( {U(x) = 3000}\text{,} \) med en verditabell og med GeoGebra.
Metode: Med kalkulator
1. Finn halvert utslipp I dag er \( {x = 0}\text{,} \) og \( {0{,}95^0 = 1}\text{:} \) \[ U(0) = 5000 \cdot 1 + 1000 = 6000 \]Halvert utslipp er \( {\dfrac{6000}{2} = \textcolor{red}{3000}} \) tonn per år.
2. Lag en verditabell Vi regner ut \( U(x) \) for hele år med kalkulatoren, for eksempel: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{17}) &= 5000 \cdot 0{,}95^{\textcolor{blue}{17}} + 1000 \\ &\approx 3090{,}6 \end{aligned} \]
Med én desimal gir det tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 15 & 3316{,}5 \\ 16 & 3200{,}6 \\ \textcolor{blue}{17} & 3090{,}6 \\ \textcolor{blue}{18} & 2986{,}1 \\ 19 & 2886{,}8 \end{array} \]Utslippet går under \( \textcolor{red}{3000} \) tonn mellom \( {x = 17} \) og \( {x = 18}\text{.} \)
3. Finn tiendedelen Vi regner ut \( U(x) \) rundt overgangen: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 17{,}8 & 3006{,}6 \\ 17{,}9 & 2996{,}3 \end{array} \]Utslippet kommer ned til \( \textcolor{red}{3000} \) tonn mellom \( {x = 17{,}8} \) og \( {x = 17{,}9}\text{,} \) nærmest \( 17{,}9\text{.} \) Utslippet er altså halvert etter omtrent \( 17{,}9 \) år.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn skjæringspunktet med linja Vi skriver modellen inn i Algebrafeltet, tegner linja \( {y = 3000} \) og finner skjæringspunktet med verktøyet «Skjæring mellom to objekter», som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: U(x) = 5000*0.95^x + 1000 h: y = 3000 S = Skjæring(U, h)
Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (17{,}8638,\ 3000)}\text{.} \) Utslippet er halvert etter omtrent \( 17{,}9 \) år.

Oppgave 1c)

Hvor mange prosent er det årlige utslippet redusert med etter 10 år ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Avrundet til én desimal er det årlige utslippet redusert med:
Omtrent 33,4 %‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 33{,}4\,\%}}
Vi regner ut utslippet etter 10 år og finner hvor mange prosent det har gått ned fra \( 6000 \) tonn i dag.
Metode: For hånd
1. Regn ut utslippet etter 10 år Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{10}} \) i modellen: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{10}) &= 5000 \cdot 0{,}95^{\textcolor{blue}{10}} + 1000 \\ &\approx \textcolor{red}{3993{,}7} \end{aligned} \]
2. Finn nedgangen i prosent Hvor mange prosent noe har gått ned, er endringen delt på det vi startet med, som i videoen Oppgave 1B - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{endring}}{\textcolor{green}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]
Utslippet har gått ned med \( {\textcolor{green}{6000} - \textcolor{red}{3993{,}7} = 2006{,}3} \) tonn: \[ \dfrac{2006{,}3}{\textcolor{green}{6000}} \cdot 100\,\% \approx 33{,}4\,\% \]
Myndighetene har krevd at bedriften skal redusere det årlige utslippet til 800 tonn per år.

Oppgave 1d)

Vurder om det ifølge modellen U U vil være mulig å oppfylle dette kravet.
Vis løsning på oppgave 1d
Svar
Ifølge modellen blir utslippet aldri lavere enn 1000 1000 tonn per år:
Kravet kan ikke oppfylles‾‾ \underline{\underline{\text{Kravet kan ikke oppfylles}}}
Vi finner ut hvor lavt utslippet kan bli ifølge modellen, og sammenligner med kravet på \( 800 \) tonn.
Metode: For hånd
1. Finn hvor lavt utslippet kan bli Leddet \( {5000 \cdot 0{,}95^x} \) blir mindre og mindre, men det er alltid positivt: et positivt tall opphøyd i en potens blir aldri \( 0\text{.} \) Derfor er: \[ U(x) = 5000 \cdot 0{,}95^x + \textcolor{blue}{1000} > \textcolor{blue}{1000} \]
2. Sammenlign med kravet Vi sammenligner det modellen gir, med kravet, som i videoen Oppgave 8B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Ifølge modellen kommer utslippet aldri under \( \textcolor{blue}{1000} \) tonn per år, og \( {\textcolor{blue}{1000} > \textcolor{red}{800}}\text{.} \) Kravet kan altså ikke oppfylles uten at bedriften også kutter utslippet fra den andre prosessen.

2P vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 2

3 poeng

I et rom er det 10 personer. Nedenfor ser du alderen til hver person.
121440427067552830 12 \enspace 14 \enspace 40 \enspace 42 \enspace 70 \enspace 67 \enspace 5 \enspace 5 \enspace 28 \enspace 30

Oppgave 2a)

Påstand 1 Dersom det kommer en ny person inn i rommet, vil medianalderen endres.
Er denne påstanden riktig? Husk å begrunne svaret.
Vis løsning på oppgave 2a
Svar
Kommer det inn en person på 29 29 år, er medianen fortsatt 29 29 år:
Pa˚standen er ikke riktig‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er ikke riktig}}}
Påstanden sier at medianen endres uansett hvem som kommer inn. Det holder derfor å finne én alder som gir den samme medianen, et moteksempel.
Metode: For hånd
1. Finn medianen nå Medianen er tallet i midten når tallene er sortert i stigende rekkefølge. Med et partall antall tall er den gjennomsnittet av de to i midten, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023. Sortert er aldrene: \[ 5 \enspace 5 \enspace 12 \enspace 14 \enspace \textcolor{blue}{28} \enspace \textcolor{blue}{30} \enspace 40 \enspace 42 \enspace 67 \enspace 70 \]
De to i midten er \( \textcolor{blue}{28} \) og \( \textcolor{blue}{30}\text{:} \) \[ \text{median} = \dfrac{\textcolor{blue}{28} + \textcolor{blue}{30}}{2} = \textcolor{red}{29} \]
2. Finn et moteksempel Med \( 11 \) personer er medianen alderen til person nummer \( 6\text{.} \) Kommer det inn en person som er \( \textcolor{red}{29} \) år, blir den nye personen nummer \( 6\text{:} \) \[ 5 \enspace 5 \enspace 12 \enspace 14 \enspace 28 \enspace \textcolor{red}{29} \enspace 30 \enspace 40 \enspace 42 \enspace 67 \enspace 70 \]Medianen er fortsatt \( \textcolor{red}{29} \) år, så påstanden er ikke riktig. For alle andre aldre endres medianen, men påstanden sier at den alltid endres.

Oppgave 2b)

Påstand 2 Dersom det kommer en ny person inn i rommet, kan gjennomsnittsalderen bli 30 år.
Er denne påstanden riktig? Husk å begrunne svaret.
Vis løsning på oppgave 2b
Svar
Kommer det inn en person på 17 17 år, blir gjennomsnittsalderen 30 30 år:
Pa˚standen er riktig‾‾ \underline{\underline{\text{Påstanden er riktig}}}
Vi finner hvor gammel den nye personen må være for at gjennomsnittet skal bli \( 30 \) år. Er det en mulig alder, er påstanden riktig.
Metode: For hånd
1. Finn summen gjennomsnittet krever Gjennomsnittet er summen av aldrene delt på antallet: \[ \text{gjennomsnitt} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{summen}}}{\textcolor{green}{\text{antallet}}} \]
Med \( \textcolor{green}{11} \) personer og gjennomsnittet \( 30 \) får vi: \[ \dfrac{\textcolor{red}{\text{summen}}}{\textcolor{green}{11}} = 30 \]
Vi ganger med \( 11 \) på begge sider, slik summen finnes fra gjennomsnittet i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{red}{\text{summen}} = 30 \cdot \textcolor{green}{11} = \textcolor{red}{330} \]
2. Finn alderen til den nye personen De \( 10 \) personene i rommet er til sammen: \[ \begin{aligned} &12 + 14 + 40 + 42 + 70 \\ &{}+ 67 + 5 + 5 + 28 + 30 = \textcolor{blue}{313} \end{aligned} \]
Den nye personen må da være: \[ \textcolor{red}{330} - \textcolor{blue}{313} = 17 \text{ år} \]En person på \( 17 \) år kan godt komme inn i rommet, så påstanden er riktig.
Kontroll: \( {\dfrac{313 + 17}{11} = \dfrac{330}{11} = 30}\text{.} \)