Eksamensoppgaver i 2P om prosent

2P høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

Alex lager hårspenner og annen hodepynt. I februar 2025 åpnet han en liten nettbutikk. Tabellen nedenfor viser omsetningen de første fem månedene etter at nettbutikken åpnet.

\begin{array}{r|r} \text{Måned} & \text{Omsetning} \\ & \text{(kroner)} \\ \hline \text{Februar} & 1267 \\ \text{Mars} & 1431 \\ \text{April} & 1619 \\ \text{Mai} & 1788 \\ \text{Juni} & 2032 \end{array}

Oppgave 1a)

Lag en modell på formen

f(x) = a \cdot b^x

for omsetningen

f(x)

kroner

x

måneder etter februar 2025.

Vis løsning

Svar

Med

a

avrundet til to desimaler og

b

til fire desimaler:

\underline{\underline{f(x) \approx 1271{,}12 \cdot 1{,}1238^x}}

Tabellen har fem måneder, og modellen skal ha formen \( {a \cdot b^x}\text{.} \) Vi gjør eksponentiell regresjon i GeoGebra, med februar som \( {x = 0}\text{.} \)

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b) og c) med modellen i svaret, med kalkulator. Du kan også se at \( b \) må være litt over 1,1: fra februar til mars ganges omsetningen med \( {\dfrac{1431}{1267} \approx 1{,}13}\text{.} \)

Metode: Med GeoGebra

1. Gjør eksponentiell regresjon Februar er \( {x = 0}\text{,} \) mars \( {x = 1} \) og så videre til juni, \( {x = 4}\text{.} \) Vi legger punktene i en liste og bruker RegEksp, som i GeoGebra på bokmål gir formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x}\text{.} \) Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(0, 1267), (1, 1431), (2, 1619), (3, 1788), (4, 2032)} f(x) = RegEksp(l1)

2. Les av a og b Med fire desimaler gir GeoGebra: \[ f(x) \approx \textcolor{blue}{1271{,}1197} \cdot \textcolor{red}{1{,}1238}^x \]Her er \( \textcolor{blue}{a} \) omsetningen i februar ifølge modellen, og \( \textcolor{red}{b} \) er vekstfaktoren per måned.

I c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {b \approx 1{,}12}\text{.} \) Regner vi videre med det, blir økningen i b) \( 12\,\% \) i stedet for \( 12{,}4\,\%\text{,} \) og i c) når modellen målet først i mars 2027 i stedet for februar 2027. Vis derfor flere desimaler i GeoGebra.

Oppgave 1b)

Omtrent hvor mange prosent øker omsetningen med per måned, ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Avrundet til én desimal øker omsetningen per måned med:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 12{,}4\,\%}}

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

I modellen ganges omsetningen med \( b \) for hver måned som går. Vi leser prosenten av vekstfaktoren \( b\text{.} \)

Metode: For hånd

1. Les prosenten av vekstfaktoren Når noe øker med \( p\,\% \) per måned, er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

I a) fant vi \( {f(x) \approx 1271{,}12 \cdot \textcolor{red}{1{,}1238}^x}\text{,} \) så vekstfaktoren er: \[ \textcolor{red}{1{,}1238} = 1 + 0{,}1238 = 1 + \dfrac{12{,}38}{100} \]Omsetningen øker altså med omtrent \( 12{,}4\,\% \) hver måned.

Alex har som mål å omsette for

20\,000

kroner per måned.

Oppgave 1c)

Når kommer Alex til å nå målet, ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Modellen passerer

20\,000

kroner ved

{x \approx 23{,}6}\text{,}

og den første måneden over målet er

{x = 24}\text{:}

\underline{\underline{\text{I februar 2027}}}

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi finner \( x \) der \( {f(x) = 20\,000}\text{.} \) Med kalkulator regner vi ut \( f(x) \) for noen måneder, og med GeoGebra finner vi skjæringspunktet med linja \( {y = 20\,000}\text{.} \)

Metode: Med kalkulator

1. Regn ut omsetningen for noen måneder I a) fant vi modellen: \[ f(x) \approx 1271{,}12 \cdot 1{,}1238^x \]

Med kalkulatoren prøver vi ett år, \( {x = 12}\text{,} \) to år, \( {x = \textcolor{red}{24}}\text{,} \) og så én måned tilbake. For eksempel er: \[ \begin{aligned} f(\textcolor{red}{24}) &\approx 1271{,}12 \cdot 1{,}1238^{\textcolor{red}{24}} \\ f(\textcolor{red}{24}) &\approx \textcolor{red}{20\,928} \end{aligned} \]

Det gir tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & f(x) \\ \hline 12 & 5\,158 \\ \textcolor{blue}{23} & \textcolor{blue}{18\,622} \\ \textcolor{red}{24} & \textcolor{red}{20\,928} \end{array} \]

2. Finn måneden Siden \( {f(\textcolor{blue}{23}) < 20\,000 < f(\textcolor{red}{24})}\text{,} \) når modellen målet mellom \( {x = 23} \) og \( {x = 24}\text{.} \) Februar 2025 er \( {x = 0}\text{,} \) så \( {x = \textcolor{red}{24}} \) er februar 2027. Det er den første måneden der omsetningen er minst \( 20\,000 \) kroner.

Metode: Med GeoGebra

1. Finn skjæringspunktet Med \( f \) fra a) i GeoGebra tegner vi linja \( {y = 20\,000} \) og finner skjæringspunktet med grafen til \( f\text{,} \) som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: h: y = 20000 S = Skjæring(f, h)

Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (23{,}6054,\ 20\,000)}\text{,} \) så modellen passerer \( 20\,000 \) kroner etter omtrent \( 23{,}6 \) måneder. Måned \( {x = 23} \) er under målet, og måned \( {x = 24}\text{,} \) februar 2027, er over.

Oppgave 1d)

Hvor mange prosent må omsetningen øke med per måned etter juni 2025 dersom Alex skal nå målet i løpet av desember 2025?

Vis løsning

Svar

Avrundet til én desimal må omsetningen øke per måned med:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 46{,}4\,\%}}

Fra juni til desember 2025 er det seks måneder. Omsetningen i juni, 2032 kroner, skal ganges med den samme vekstfaktoren seks ganger og bli \( 20\,000\text{.} \)

Metode: Med kalkulator

1. Sett opp likningen Vi kaller vekstfaktoren per måned \( \textcolor{red}{k}\text{.} \) Omsetningen ganges med \( \textcolor{red}{k} \) i juli, august, september, oktober, november og desember, altså seks ganger. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{2032} \cdot \textcolor{red}{k}^6 = 20\,000 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{2032} \) på begge sider og tar sjette rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^6 &= \dfrac{20\,000}{\textcolor{blue}{2032}} \approx 9{,}8425 \\ \textcolor{red}{k} &= \left(\dfrac{20\,000}{\textcolor{blue}{2032}}\right)^{1/6} \approx \textcolor{red}{1{,}4639} \end{aligned} \]Siden \( {\textcolor{red}{1{,}4639} = 1 + 0{,}4639}\text{,} \) må omsetningen øke med omtrent \( 46{,}4\,\% \) per måned.

Kontroll: \( {2032 \cdot 1{,}4639^6 \approx 19\,998}\text{,} \) altså nesten \( 20\,000\text{.} \) Det lille avviket kommer av at \( k \) er avrundet.

Metode: Med GeoGebra

1. Løs likningen i CAS Vi skriver likningen inn i CAS og trykker på \( {\approx} \) for å få desimaltall, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: Løs(2032*k^6 = 20000, k)

En vekstfaktor kan ikke være negativ, så \( {k \approx 1{,}4639}\text{.} \) Omsetningen må øke med omtrent \( 46{,}4\,\% \) per måned.

2P høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 3

4 poeng

Tabellen nedenfor viser hvor mange minutter nordmenn i ulike aldersgrupper brukte på internett en gjennomsnittsdag i årene 2020 til 2024.

Tid brukt en gjennomsnittsdag (minutter)

\footnotesize \begin{array}{l|c|c|c|c|c} & 2020 & 2021 & 2022 & 2023 & 2024 \\ \hline \text{9–15 år} & 180 & 198 & 256 & 273 & 245 \\ \text{16–24 år} & 318 & 340 & 408 & 388 & 440 \\ \text{25–44 år} & 245 & 269 & 294 & 312 & 338 \\ \text{45–64 år} & 177 & 181 & 226 & 218 & 260 \\ \text{65–79 år} & 60 & 77 & 111 & 109 & 127 \end{array}

Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din.

Gjør beregninger og sammenligninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonen skal inneholde både beregninger, diagrammer og forklarende kommentarer.

Lag en oppsummering der du trekker fram to interessante funn ut fra beregningene du har gjort, og diagrammene du har laget.

Vis løsning

Svar

To funn i tallene fra 2020 til 2024:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{16–24 år bruker mest tid}}} \\ &\underline{\underline{\text{65–79 år: mer enn doblet}}} \end{aligned}

Oppgaven er åpen, så mange presentasjoner er riktige. Vi regner ut hvor mye hver aldersgruppe har økt fra 2020 til 2024, lager et linjediagram og et søylediagram, og trekker fram to funn.

Metode: For hånd

1. Regn ut økningen i prosent Hvor mange prosent noe øker med, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{endring}}{\text{gammel}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Endringen er minuttene i 2024 minus minuttene i 2020, for eksempel \( {440 - 318 = 122} \) for 16–24 år. For hver aldersgruppe får vi: \[ \begin{aligned} \text{9–15 år: } & \dfrac{65}{180} \cdot 100\,\% \approx 36{,}1\,\% \\ \text{16–24 år: } & \dfrac{122}{318} \cdot 100\,\% \approx \textcolor{blue}{38{,}4\,\%} \\ \text{25–44 år: } & \dfrac{93}{245} \cdot 100\,\% \approx 38{,}0\,\% \\ \text{45–64 år: } & \dfrac{83}{177} \cdot 100\,\% \approx 46{,}9\,\% \\ \text{65–79 år: } & \dfrac{67}{60} \cdot 100\,\% \approx \textcolor{red}{111{,}7\,\%} \end{aligned} \]

2. Lag et linjediagram Et linjediagram viser utviklingen over tid. Vi tegner én linje for hver aldersgruppe og gir diagrammet en tittel, som i videoen Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023:

Alle gruppene brukte mer tid på internett i 2024 enn i 2020. Med PC kan du lage linjediagrammet i et regneark, som i videoen Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

3. Lag et søylediagram Et søylediagram passer når vi sammenligner gruppene. Søylene viser økningen i prosent fra første steg, og også dette diagrammet får en tittel:

De fire yngste gruppene økte med mellom \( 36\,\% \) og \( 47\,\%\text{,} \) mens 65–79 år skiller seg ut.

4. Trekk fram to funn Funn 1: 16–24 år bruker mest tid på internett hvert år. I 2024 brukte de \( \textcolor{blue}{440} \) minutter, altså over 7 timer per dag.

Funn 2: 65–79 år bruker minst tid, men har mer enn doblet tiden, fra 60 til 127 minutter. Det er en økning på omtrent \( \textcolor{red}{112\,\%}\text{,} \) mye mer enn de andre gruppene.

Andre funn er også riktige, for eksempel at 9–15 år er den eneste gruppen som brukte mindre tid i 2024 enn i 2023.

Metode: Med regneark

1. Regn ut økningen Vi skriver årstallene som tekst, med en apostrof foran ('2020), så Excel bruker dem som navn langs aksen. Økningen i minutter er 2024 minus 2020, og økningen i prosent er den delt på 2020, med prosentformat og én desimal i kolonne H: \[ \begin{aligned} \text{G2:}\quad & \texttt{=F2-B2} \\ \text{H2:}\quad & \texttt{=G2/B2} \end{aligned} \]Vi drar G2 og H2 ned til rad 6:

2. Lag diagrammene Vi markerer A1 til F6 og velger Sett inn, Linjediagram, som i videoen Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Til søylediagrammet markerer vi A1 til A6, holder inne Ctrl (cmd på Mac), markerer H1 til H6 og velger Sett inn, Stående stolpediagram. Søylediagrammet får dataetiketter, og hvert diagram får en tittel:

Tabellen og diagrammene viser de samme to funnene som for hånd: 16–24 år bruker mest tid hvert år, \( 440 \) minutter i 2024, og 65–79 år har økt med \( 111{,}7\,\%\text{.} \)

2P høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

3 poeng

I januar 2020 hadde Fatima, Adrian og Vegard

100\,000

kroner hver.

Fatima plasserte pengene sine i et aksjefond. I januar 2025 hadde verdien steget med

36\,\%\text{.}

Adrian satte pengene sine inn på en sparekonto med en årlig rente på

5{,}7\,\%\text{.}

Vegard investerte pengene sine i ulike aksjer hvert år.

• I 2020 steg verdien av aksjene med

20\,\%

• I 2021 falt verdien med

11\,\%

• I 2022 falt verdien med

10\,\%

• I 2023 steg verdien med

23\,\%

• I 2024 steg verdien med

17\,\%

Gjør beregninger og lag en oversikt som viser hvor mye penger hver av de tre har ved starten av 2025.

Vis løsning

Svar

Avrundet til hele kroner har de ved starten av 2025:

\begin{array}{l|r} \text{Person} & \text{Kroner} \\ \hline \text{Fatima} & \underline{\underline{136\,000}} \\ \text{Adrian} & \underline{\underline{131\,940}} \\ \text{Vegard} & \underline{\underline{138\,326}} \end{array}

Hver endring i prosent gir en vekstfaktor. Vi ganger de \( 100\,000 \) kronene med vekstfaktorene for hver av de tre.

Metode: For hånd

1. Skriv opp vekstfaktorene Når noe øker med \( p\,\%\text{,} \) eller minker med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ \begin{aligned} \text{Økning: } V &= 1 + \dfrac{p}{100} \\ \text{Nedgang: } V &= 1 - \dfrac{p}{100} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

2. Regn ut for Fatima og Adrian Fatimas verdi steg med \( 36\,\% \) til sammen: \[ 100\,000 \cdot \textcolor{blue}{1{,}36} = 136\,000 \]

Adrian får \( 5{,}7\,\% \) rente hvert av de fem årene fra 2020 til 2024. Å gange med vekstfaktoren fem ganger er det samme som å gange med den opphøyd i 5, som for sparekontoen i videoen Vekstfaktor: \[ 100\,000 \cdot \textcolor{red}{1{,}057}^5 \approx 131\,940 \]

3. Regn ut for Vegard Vegard har én vekstfaktor for hvert år. To av dem er under 1, fordi verdien falt, som når prisen synker i videoen Vekstfaktor. Vi ganger dem sammen først: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{1{,}20 \cdot 0{,}89 \cdot 0{,}90 \cdot 1{,}23 \cdot 1{,}17} \\ &\approx \textcolor{green}{1{,}383263} \end{aligned} \]

Så ganger vi de \( 100\,000 \) kronene med produktet: \[ 100\,000 \cdot \textcolor{green}{1{,}383263} \approx 138\,326 \]Vegard har mest ved starten av 2025, selv om verdien hans falt to av årene.

Metode: Med regneark

1. Lag en tabell år for år Vi skriver årene 2020 til 2025 i kolonne A og \( 100\,000 \) i rad 2 for alle tre. Vegards fem vekstfaktorer skriver vi i D2 til D6, på året de gjelder for. Fatima har én vekstfaktor for alle fem årene, så hun får bare en verdi i 2025: \[ \begin{aligned} \text{B7:}\quad & \textcolor{blue}{\texttt{=B2*1,36}} \\ \text{C3:}\quad & \textcolor{red}{\texttt{=C2*1,057}} \\ \text{E3:}\quad & \textcolor{green}{\texttt{=E2*D2}} \end{aligned} \]Vi drar C3 og E3 ned til rad 7, så hver rad er året før ganget med vekstfaktoren:

Ved starten av 2025 har Fatima \( 136\,000 \) kroner, Adrian \( 131\,939{,}53 \) og Vegard \( 138\,326{,}29\text{,} \) altså \( 131\,940 \) og \( 138\,326 \) avrundet til hele kroner, det samme som for hånd.

2P høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

5 poeng

Tabellen nedenfor viser aldersfordelingen i Åseral kommune i 2024.

\begin{array}{r|r} \text{Alder} & \text{Antall personer} \\ \text{(år)} & \\ \hline [0, 18\rangle & 188 \\ [18, 50\rangle & 347 \\ [50, 67\rangle & 237 \\ [67, 80\rangle & 103 \\ [80, 90\rangle & 33 \\ [90, 100\rangle & 15 \end{array}

Oppgave 5a)

Hvilke antagelser må du gjøre for å kunne bruke tabellen til å bestemme ulike sentralmål for innbyggerne i Åseral kommune i 2024?

Vis løsning

Svar

Vi må anta at alderen er jevnt fordelt i hver aldersgruppe, slik at alle i en gruppe kan regnes som klassemidtpunktet, og at ingen er 100 år eller eldre:

\underline{\underline{\text{Jevnt fordelt alder}}}

Tabellen sier hvor mange som er i hver aldersgruppe, men ikke hvor gamle de er. For å regne med den må vi anta noe om hvordan alderen fordeler seg inne i hver gruppe.

Metode: For hånd

1. Skriv opp antagelsene Vi må anta at alderen er jevnt fordelt innenfor hver aldersgruppe. Da ligger gjennomsnittsalderen i en gruppe midt mellom grensene, i klassemidtpunktet. For gruppen \( [0, 18\rangle \) er det: \[ \dfrac{0 + 18}{2} = \textcolor{green}{9} \text{ år} \]

Med denne antagelsen kan vi regne alle i en gruppe som klassemidtpunktet når vi finner gjennomsnittet, og vi kan finne medianen inne i en gruppe ved å dele gruppen jevnt. Vi antar også at tabellen tar med alle innbyggerne, og at ingen er 100 år eller eldre.

Oppgave 5b)

Bestem gjennomsnittsalderen for innbyggerne i Åseral kommune i 2024.

Vis løsning

Svar

Avrundet til én desimal var gjennomsnittsalderen:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 42{,}4 \text{ år}}}

Vi bruker antagelsen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Med alderen jevnt fordelt regner vi alle i en gruppe som klassemidtpunktet. Gjennomsnittet er summen av alle aldrene delt på antall innbyggere.

Metode: Med kalkulator

1. Finn klassemidtpunktene Klassemidtpunktet \( \textcolor{green}{m} \) i gruppen \( [a, b\rangle \) er midt mellom grensene: \[ \textcolor{green}{m} = \dfrac{a + b}{2} \]For gruppen \( [18, 50\rangle \) er \( {\textcolor{green}{m} = \dfrac{18 + 50}{2} = \textcolor{green}{34}}\text{.} \) Alle de seks gruppene gir 9, 34, 58,5, 73,5, 85 og 95 år.

2. Regn ut gjennomsnittet Gjennomsnittet er summen av alle tallene delt på antallet, som i videoen Oppgave 3 - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{sum}}}{\textcolor{blue}{\text{antall}}} \]

Alle i en gruppe regnes som klassemidtpunktet, så summen av aldrene er hvert klassemidtpunkt ganget med antall personer i gruppen: \[ \begin{aligned} &\textcolor{green}{9} \cdot 188 + \textcolor{green}{34} \cdot 347 + \textcolor{green}{58{,}5} \cdot 237 \\ &+ \textcolor{green}{73{,}5} \cdot 103 + \textcolor{green}{85} \cdot 33 + \textcolor{green}{95} \cdot 15 \\ &= \textcolor{red}{39\,155} \end{aligned} \]

Antall innbyggere er: \[ \begin{aligned} &188 + 347 + 237 + 103 + 33 + 15 \\ &= \textcolor{blue}{923} \end{aligned} \]

Det gir oss: \[ \bar{x} = \dfrac{\textcolor{red}{39\,155}}{\textcolor{blue}{923}} \approx 42{,}42 \]

Metode: Med regneark

1. Regn ut gjennomsnittet i regnearket Vi skriver grensene i A og B og antall personer i C. Klassemidtpunktet og produktet regner vi ut i rad 2: \[ \begin{aligned} \text{D2:}\quad & \textcolor{green}{\texttt{=(A2+B2)/2}} \\ \text{E2:}\quad & \texttt{=D2*C2} \end{aligned} \]Vi drar D2 og E2 ned til rad 7. I C8 og E8 summerer vi med \( {\textcolor{blue}{\texttt{=SUMMER(C2:C7)}}} \) og \( {\textcolor{red}{\texttt{=SUMMER(E2:E7)}}}\text{,} \) og i E9 skriver vi \( {\texttt{=E8/C8}}\text{:} \)

Regnearket gir summen \( \textcolor{red}{39\,155}\text{,} \) antallet \( \textcolor{blue}{923} \) og \( {\bar{x} \approx 42{,}42}\text{,} \) det samme som med kalkulator.

Oppgave 5c)

Hvor mange prosent av befolkningen i Åseral kommune var eldre enn gjennomsnittsalderen i kommunen i 2024?

Vis løsning

Svar

Med alderen jevnt fordelt i gruppen fra 18 til 50 år, avrundet til hele prosent:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 51\,\%}}

Vi bruker antagelsen fra a) og gjennomsnittsalderen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Gjennomsnittsalderen, 42,4 år, ligger i gruppen \( [18, 50\rangle\text{.} \) Alle i gruppene over er eldre, og i denne gruppen bruker vi at alderen er jevnt fordelt.

Metode: For hånd

1. Tell dem over 50 år Alle i de fire eldste gruppene, fra 50 år og opp, er eldre enn gjennomsnittsalderen: \[ 237 + 103 + 33 + 15 = \textcolor{blue}{388} \]

2. Del opp gruppen 18–50 år Gruppen \( [18, 50\rangle \) er 32 år bred og har 347 personer. Fra gjennomsnittsalderen 42,4 år i b) og opp til 50 år er det \( {50 - 42{,}4 = 7{,}6} \) år. Med jevnt fordelt alder er det: \[ \dfrac{7{,}6}{32} \cdot 347 \approx \textcolor{red}{82{,}4} \text{ personer} \]

3. Regn ut prosenten Til sammen er omtrent \( {\textcolor{blue}{388} + \textcolor{red}{82{,}4} = \textcolor{green}{470{,}4}} \) personer eldre enn gjennomsnittsalderen. Hvor mange prosent en del er av det hele, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{green}{\text{del}}}{\text{hel}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Det hele er alle de 923 innbyggerne: \[ \dfrac{\textcolor{green}{470{,}4}}{923} \cdot 100\,\% \approx 51\,\% \]

2P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

1 poeng

Flere oppgaver om prosent

88\,\%

av elevene i en klasse deltar i en undersøkelse. Det er 3 elever som ikke deltar i undersøkelsen.

Hvor mange elever er det i klassen?

Vis løsning

Svar

\underline{\underline{25 \text{ elever}}}

Vi vet hvor mange elever som ikke deltar. Vi finner derfor hvor mange prosent de er av klassen, og regner oss fram til hele klassen.

1. Finn andelen som ikke deltar Hele klassen er \( 100\,\%\text{,} \) så andelen som ikke deltar, er: \[ 100\,\% - 88\,\% = \textcolor{blue}{12}\,\% \]Det er de \( \textcolor{red}{3} \) elevene som ikke deltar.

2. Finn antall elever i klassen Formelen for prosent av et tall forteller oss at: \[ \textcolor{blue}{a}\,\% \text{ av tall} = \dfrac{\textcolor{blue}{a}}{100} \cdot \text{tall} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.

Vi kaller antall elever i klassen \( x\text{.} \) Siden \( \textcolor{blue}{12}\,\% \) av \( x \) er \( \textcolor{red}{3}\text{,} \) får vi: \[ \dfrac{\textcolor{blue}{12}}{100} \cdot x = \textcolor{red}{3} \]

Vi ganger med \( 100 \) på begge sider og deler så med \( \textcolor{blue}{12}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{12}x &= 300 \\ x &= \dfrac{300}{\textcolor{blue}{12}} = 25 \end{aligned} \]

Kontroll: \( 88\,\% \) av \( 25 \) er \( {\dfrac{88}{100} \cdot 25 = 22}\text{,} \) og \( {25 - 22 = 3} \) elever deltar ikke.

2P vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

5 poeng

Ledelsen ved en bedrift ønsker å redusere utslippet av miljøskadelige stoffer de neste årene.

I dag har bedriften to produksjonsprosesser. Utslippet fra den ene prosessen er 5000 tonn per år. Utslippet fra den andre prosessen er 1000 tonn per år.

Ledelsen mener funksjonen

U

gitt ved

U(x) = 5000 \cdot 0{,}95^x + 1000

vil være en god modell for utslippet

U(x)

tonn per år etter

x

år.

Oppgave 1a)

Forklar hva modellen forteller om ledelsens plan for å redusere utslippet.

Vis løsning

Svar

Utslippet synker fra

6000

tonn per år i dag og nærmer seg

1000

tonn:

\begin{aligned} &\underline{\underline{5000 \text{ tonn: minker } 5\,\% \text{ per år}}} \\ &\underline{\underline{1000 \text{ tonn: uendret}}} \end{aligned}

Modellen har to ledd, ett for hver produksjonsprosess. Vi ser på hva hvert ledd gjør når \( x \) øker.

Metode: For hånd

1. Tolk leddene Det første leddet, \( {\textcolor{blue}{5000} \cdot \textcolor{red}{0{,}95}^x}\text{,} \) er prosessen som slipper ut \( \textcolor{blue}{5000} \) tonn i dag. Hvert år ganges det med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{0{,}95}\text{.} \) Når noe minker med \( p\,\% \) per år, er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er \( {\textcolor{red}{0{,}95} = 1 - \dfrac{5}{100}}\text{,} \) så utslippet fra denne prosessen skal minke med \( 5\,\% \) hvert år.

Det andre leddet, \( \textcolor{green}{1000}\text{,} \) avhenger ikke av \( x\text{.} \) Utslippet fra den andre prosessen skal altså være \( \textcolor{green}{1000} \) tonn hvert år.

Til sammen synker utslippet fra \( {U(0) = 6000} \) tonn per år i dag, og det nærmer seg \( 1000 \) tonn per år.

Oppgave 1b)

Hvor lang tid vil det gå før bedriften har halvert det årlige utslippet ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Avrundet til én desimal:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 17{,}9 \text{ år}}}

I dag er utslippet \( 6000 \) tonn per år, så halvert utslipp er \( 3000 \) tonn. Vi finner når \( {U(x) = 3000}\text{,} \) med en verditabell og med GeoGebra.

Metode: Med kalkulator

1. Finn halvert utslipp I dag er \( {x = 0}\text{,} \) og \( {0{,}95^0 = 1}\text{:} \) \[ U(0) = 5000 \cdot 1 + 1000 = 6000 \]Halvert utslipp er \( {\dfrac{6000}{2} = \textcolor{red}{3000}} \) tonn per år.

2. Lag en verditabell Vi regner ut \( U(x) \) for hele år med kalkulatoren, for eksempel: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{17}) &= 5000 \cdot 0{,}95^{\textcolor{blue}{17}} + 1000 \\ &\approx 3090{,}6 \end{aligned} \]

Med én desimal gir det tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 15 & 3316{,}5 \\ 16 & 3200{,}6 \\ \textcolor{blue}{17} & 3090{,}6 \\ \textcolor{blue}{18} & 2986{,}1 \\ 19 & 2886{,}8 \end{array} \]Utslippet går under \( \textcolor{red}{3000} \) tonn mellom \( {x = 17} \) og \( {x = 18}\text{.} \)

3. Finn tiendedelen Vi regner ut \( U(x) \) rundt overgangen: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 17{,}8 & 3006{,}6 \\ 17{,}9 & 2996{,}3 \end{array} \]Utslippet kommer ned til \( \textcolor{red}{3000} \) tonn mellom \( {x = 17{,}8} \) og \( {x = 17{,}9}\text{,} \) nærmest \( 17{,}9\text{.} \) Utslippet er altså halvert etter omtrent \( 17{,}9 \) år.

Metode: Med GeoGebra

1. Finn skjæringspunktet med linja Vi skriver modellen inn i Algebrafeltet, tegner linja \( {y = 3000} \) og finner skjæringspunktet med verktøyet «Skjæring mellom to objekter», som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: U(x) = 5000*0.95^x + 1000 h: y = 3000 S = Skjæring(U, h)

Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (17{,}8638,\ 3000)}\text{.} \) Utslippet er halvert etter omtrent \( 17{,}9 \) år.

Oppgave 1c)

Hvor mange prosent er det årlige utslippet redusert med etter 10 år ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Avrundet til én desimal er det årlige utslippet redusert med:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 33{,}4\,\%}}

Vi regner ut utslippet etter 10 år og finner hvor mange prosent det har gått ned fra \( 6000 \) tonn i dag.

Metode: For hånd

1. Regn ut utslippet etter 10 år Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{10}} \) i modellen: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{10}) &= 5000 \cdot 0{,}95^{\textcolor{blue}{10}} + 1000 \\ &\approx \textcolor{red}{3993{,}7} \end{aligned} \]

2. Finn nedgangen i prosent Hvor mange prosent noe har gått ned, er endringen delt på det vi startet med, som i videoen Oppgave 1B - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{endring}}{\textcolor{green}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]

Utslippet har gått ned med \( {\textcolor{green}{6000} - \textcolor{red}{3993{,}7} = 2006{,}3} \) tonn: \[ \dfrac{2006{,}3}{\textcolor{green}{6000}} \cdot 100\,\% \approx 33{,}4\,\% \]

Myndighetene har krevd at bedriften skal redusere det årlige utslippet til 800 tonn per år.

Oppgave 1d)

Vurder om det ifølge modellen

U

vil være mulig å oppfylle dette kravet.

Vis løsning

Svar

Ifølge modellen blir utslippet aldri lavere enn

1000

tonn per år:

\underline{\underline{\text{Kravet kan ikke oppfylles}}}

Vi finner ut hvor lavt utslippet kan bli ifølge modellen, og sammenligner med kravet på \( 800 \) tonn.

Metode: For hånd

1. Finn hvor lavt utslippet kan bli Leddet \( {5000 \cdot 0{,}95^x} \) blir mindre og mindre, men det er alltid positivt: et positivt tall opphøyd i en potens blir aldri \( 0\text{.} \) Derfor er: \[ U(x) = 5000 \cdot 0{,}95^x + \textcolor{blue}{1000} > \textcolor{blue}{1000} \]

2. Sammenlign med kravet Vi sammenligner det modellen gir, med kravet, som i videoen Oppgave 8B - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Ifølge modellen kommer utslippet aldri under \( \textcolor{blue}{1000} \) tonn per år, og \( {\textcolor{blue}{1000} > \textcolor{red}{800}}\text{.} \) Kravet kan altså ikke oppfylles uten at bedriften også kutter utslippet fra den andre prosessen.

2P vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 4

5 poeng

En fuglebestand i et område er blitt halvert i løpet av de fem siste årene. I dag er det

12\,000

fugler i bestanden.

Forskere mener bestanden vil fortsette å bli halvert hvert femte år framover.

Oppgave 4a)

Vis at funksjonen

F

gitt ved

{F(x) = 12000 \cdot 0{,}87^x}

er en god modell for antallet fugler i bestanden etter

x

år.

Vis løsning

Svar

Halvering hvert femte år gir vekstfaktoren

{0{,}5^{1/5} \approx 0{,}87}\text{,}

og startverdien er

12\,000\text{:}

\underline{\underline{F(x) = 12\,000 \cdot 0{,}87^x}}

Bestanden er \( 12\,000 \) i dag og halveres hvert femte år. Vi finner vekstfaktoren per år som halverer bestanden på fem år, og sammenligner med \( 0{,}87\text{.} \)

Metode: For hånd

1. Sett opp likningen En eksponentiell modell er startverdien ganget med vekstfaktoren \( \textcolor{red}{k} \) én gang per år, som i videoen Vekstfaktor: \[ F(x) = \textcolor{blue}{12\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^x \]

Etter \( 5 \) år skal bestanden være halvert, altså \( 6000\text{.} \) Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{12\,000} \cdot \textcolor{red}{k}^5 = 6000 \]

2. Løs likningen Vi deler med \( \textcolor{blue}{12\,000} \) på begge sider og tar femte rot med kalkulatoren, altså opphøyer i \( \dfrac{1}{5}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{k}^5 &= 0{,}5 \\ \textcolor{red}{k} &= 0{,}5^{1/5} \approx \textcolor{red}{0{,}8706} \end{aligned} \]Avrundet til to desimaler er \( {\textcolor{red}{k} \approx \textcolor{red}{0{,}87}}\text{,} \) og startverdien er \( \textcolor{blue}{12\,000}\text{.} \) Da er \( {F(x) = 12\,000 \cdot 0{,}87^x} \) en god modell.

Kontroll: \( {0{,}87^5 \approx 0{,}498}\text{,} \) så modellen gir \( {F(5) \approx 5981}\text{,} \) nesten nøyaktig halvparten av \( 12\,000\text{.} \)

Oppgave 4b)

Hvor stor vil bestanden være etter 7 år ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Avrundet til hele fugler:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 4527 \text{ fugler}}}

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: modellen står i oppgaveteksten til a).

Vi setter inn \( {x = 7} \) i modellen.

Metode: For hånd

1. Sett inn sju år Vi ganger startverdien med vekstfaktoren opphøyd i antall år, som i videoen Vekstfaktor: \[ F(\textcolor{blue}{7}) = 12\,000 \cdot 0{,}87^{\textcolor{blue}{7}} \approx 4527{,}06 \]

Oppgave 4c)

Hvor mange år vil det gå før bestanden er redusert med

35\,\%

ifølge modellen?

Vis løsning

Svar

Avrundet til én desimal:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 3{,}1 \text{ år}}}

Selv om du ikke fikk til a), kan du løse denne: modellen står i oppgaveteksten til a).

Er bestanden redusert med \( 35\,\%\text{,} \) er \( 65\,\% \) igjen. Vi finner når \( F(x) \) er \( 65\,\% \) av \( 12\,000\text{,} \) med en verditabell og med GeoGebra.

Metode: Med kalkulator

1. Finn antall fugler som er igjen Redusert med \( 35\,\% \) betyr at \( {100\,\% - 35\,\% = 65\,\%} \) er igjen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ 0{,}65 \cdot 12\,000 = \textcolor{red}{7800} \]

2. Lag en verditabell Vi regner ut \( F(x) \) for hele år med kalkulatoren, for eksempel: \[ F(\textcolor{blue}{3}) = 12\,000 \cdot 0{,}87^{\textcolor{blue}{3}} \approx 7902{,}0 \]

Med én desimal gir det tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & F(x) \\ \hline 2 & 9082{,}8 \\ \textcolor{blue}{3} & 7902{,}0 \\ \textcolor{blue}{4} & 6874{,}8 \end{array} \]Bestanden går under \( \textcolor{red}{7800} \) mellom \( {x = 3} \) og \( {x = 4}\text{.} \)

3. Finn tiendedelen Vi regner ut \( F(x) \) rundt overgangen: \[ \begin{array}{r|r} x & F(x) \\ \hline 3{,}0 & 7902{,}0 \\ 3{,}1 & 7792{,}8 \end{array} \]Bestanden kommer ned til \( \textcolor{red}{7800} \) mellom \( {x = 3{,}0} \) og \( {x = 3{,}1}\text{,} \) nærmest \( 3{,}1\text{.} \) Den er altså redusert med \( 35\,\% \) etter omtrent \( 3{,}1 \) år.

Metode: Med GeoGebra

1. Finn skjæringspunktet med linja Vi skriver modellen inn i Algebrafeltet, tegner linja \( {y = 7800} \) og finner skjæringspunktet med verktøyet «Skjæring mellom to objekter», som i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = 12000*0.87^x h: y = 7800 S = Skjæring(F, h)

Startpunktet i kommandoen legger GeoGebra til selv. Skjæringspunktet er \( {S \approx (3{,}0933,\ 7800)}\text{.} \) Bestanden er redusert med \( 35\,\% \) etter omtrent \( 3{,}1 \) år.

2P vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 5

6 poeng

\begin{array}{r|r} \text{År} & \text{KPI for oktober} \\ \hline 2021 & 117{,}2 \\ 2022 & 126{,}0 \\ 2023 & 131{,}1 \\ 2024 & 134{,}5 \end{array}

Tabellen ovenfor viser konsumprisindeksen for oktober måned i perioden 2021–2024.

Felix leier en leilighet. I oktober 2023 gikk husleien opp og ble satt til 8500 kroner per måned.

Husleieloven sier at ny leie kan fastsettes én gang i året, tidligst ett år etter forrige leiefastsetting. Endringen kan ikke overstige endringen i konsumprisindeksen (KPI).

I oktober 2024 fikk Felix varsel fra huseieren om at leien igjen skulle settes opp, og at ny pris ville bli 9000 kroner per måned.

Oppgave 5a)

Gjør beregninger og avgjør om huseieren hadde lov til å sette opp leien til 9000 kroner per måned på dette tidspunktet.

Vis løsning

Svar

Leien kunne høyst øke med

2{,}6\,\%\text{,}

til omtrent

8720

kroner:

\underline{\underline{\text{Nei, ikke til 9000 kr}}}

Leien kan høyst øke like mye som KPI. Vi sammenligner den prosentvise økningen i KPI fra oktober 2023 til oktober 2024 med økningen i leien.

Metode: For hånd

1. Finn økningen i KPI Vi tenker på indekstallene som priser, slik det gjøres med prisindeksen i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Hvor mange prosent noe har økt, er: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{ny} - \textcolor{blue}{\text{gammel}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]

Fra oktober 2023 til oktober 2024 gikk KPI fra \( \textcolor{blue}{131{,}1} \) til \( 134{,}5\text{:} \) \[ \dfrac{134{,}5 - \textcolor{blue}{131{,}1}}{\textcolor{blue}{131{,}1}} \cdot 100\,\% \approx \textcolor{red}{2{,}6}\,\% \]

2. Finn økningen i leien Leien skulle gå fra \( \textcolor{blue}{8500} \) til \( 9000 \) kroner: \[ \dfrac{9000 - \textcolor{blue}{8500}}{\textcolor{blue}{8500}} \cdot 100\,\% \approx \textcolor{green}{5{,}9}\,\% \]

Det har gått ett år siden forrige fastsetting, så tidspunktet er lovlig. Men leien skulle øke med \( \textcolor{green}{5{,}9}\,\%\text{,} \) og KPI økte bare med \( \textcolor{red}{2{,}6}\,\%\text{.} \) Leien kunne høyst øke like mye som KPI: \[ 8500 \cdot \dfrac{134{,}5}{131{,}1} \approx 8720 \]

Oppgave 5b)

Lag en oversikt som viser hvor mange prosent konsumprisen økte med per år fra oktober 2021 til oktober 2024.

Vis løsning

Svar

Økningen i KPI fra oktober til oktober, avrundet til én desimal:

\begin{array}{c|c} \text{Periode} & \text{Økning} \\ \hline 2021\text{ til }2022 & \underline{\underline{7{,}5\,\%}} \\ 2022\text{ til }2023 & \underline{\underline{4{,}0\,\%}} \\ 2023\text{ til }2024 & \underline{\underline{2{,}6\,\%}} \end{array}

Vi regner ut den prosentvise økningen i KPI fra hvert år til det neste, og setter tallene opp i en tabell.

Metode: For hånd

1. Regn ut økningen hvert år Hvor mange prosent KPI økte, er endringen delt på KPI året før, som for prisindeksen i videoen Oppgave 2 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{ny} - \textcolor{blue}{\text{gammel}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]

Fra 2021 til 2022: \[ \dfrac{126{,}0 - \textcolor{blue}{117{,}2}}{\textcolor{blue}{117{,}2}} \cdot 100\,\% \approx \underline{7{,}5\,\%} \]

Fra 2022 til 2023: \[ \dfrac{131{,}1 - \textcolor{blue}{126{,}0}}{\textcolor{blue}{126{,}0}} \cdot 100\,\% \approx \underline{4{,}0\,\%} \]

Fra 2023 til 2024: \[ \dfrac{134{,}5 - \textcolor{blue}{131{,}1}}{\textcolor{blue}{131{,}1}} \cdot 100\,\% \approx \underline{2{,}6\,\%} \]Økningen ble mindre for hvert år.

Metode: Med regneark

1. Regn ut økningen i regnearket Vi skriver årene i A2 til A5 og KPI i B2 til B5. Økningen er endringen delt på KPI året før, så i C3 skriver vi \( {\texttt{=(B3-B2)/B2}}\text{.} \) Vi drar C3 ned til rad 5 og gir kolonne C prosentformat med %-knappen, som i videoen Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Én desimal får vi ved å trykke én gang på «Øk desimaler»:

Regnearket gir \( 7{,}5\,\% \) fra 2021 til 2022, \( 4{,}0\,\% \) fra 2022 til 2023 og \( 2{,}6\,\% \) fra 2023 til 2024, det samme som for hånd.

Oppgave 5c)

Gjør antakelser og beregninger, og finn ut hvor mye Felix må regne med å betale i husleie per måned fra og med oktober 2026.

Vis løsning

Svar

Med leien

8720

kroner fra oktober 2024 og KPI opp

2{,}6\,\%

per år, avrundet til nærmeste ti kroner:

\underline{\underline{\text{Omtrent } 9180 \text{ kr per måned}}}

Vi bruker den høyeste lovlige leien fra a) og økningen i KPI fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Oppgaven er åpen, så vi må anta noe om hva huseieren gjør og om hvordan KPI utvikler seg. Så regner vi oss fram til leien i oktober 2026.

Metode: For hånd

1. Gjør antakelser Vi antar at huseieren setter opp leien hver oktober så mye som loven tillater, altså like mye som KPI øker. I a) fant vi at leien da ble \( \textcolor{blue}{8720} \) kroner i oktober 2024.

Vi antar også at KPI fortsetter å øke med \( \textcolor{red}{2{,}6}\,\% \) per år, like mye som det siste året i b). Økningen har blitt mindre hvert år, så det siste året sier mest om årene framover.

2. Regn ut leien i oktober 2026 Når noe øker med \( \textcolor{red}{2{,}6}\,\% \) per år, er vekstfaktoren \( {1 + \dfrac{\textcolor{red}{2{,}6}}{100} = \textcolor{red}{1{,}026}}\text{.} \) Fra oktober 2024 til oktober 2026 øker leien to ganger, så vi ganger med vekstfaktoren opphøyd i \( 2\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor: \[ \textcolor{blue}{8720} \cdot \textcolor{red}{1{,}026}^2 \approx 9179 \]Felix må altså regne med omtrent \( 9180 \) kroner per måned.

Andre rimelige antakelser gir andre svar, som også er riktige. Øker KPI med \( 4{,}7\,\% \) per år, som i gjennomsnitt fra 2021 til 2024, blir leien \( {8720 \cdot 1{,}047^2 \approx 9560} \) kroner.

2P vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 6

4 poeng

\begin{array}{r|r|r} \text{År} & \begin{array}{c} \text{Antall} \\ \text{fødte} \end{array} & \text{Antall døde} \\ \hline 1983 & 49\,937 & 42\,224 \\ 1993 & 59\,678 & 46\,597 \\ 2003 & 56\,458 & 42\,478 \\ 2013 & 58\,995 & 41\,282 \\ 2023 & 51\,980 & 43\,803 \end{array}

\begin{array}{r|r|r} \text{År} & \text{Fødselsrate} & \text{Dødsrate} \\ \hline 1983 & 12{,}1 & 10{,}2 \\ 1993 & 13{,}8 & 10{,}8 \\ 2003 & 12{,}4 & 9{,}3 \\ 2013 & 11{,}6 & 8{,}1 \\ 2023 & 9{,}4 & 7{,}9 \end{array}

\begin{array}{r|r} \text{År} & \begin{array}{c} \text{Samlet} \\ \text{fruktbarhetstall} \end{array} \\ \hline 1983 & 1{,}66 \\ 1993 & 1{,}86 \\ 2003 & 1{,}80 \\ 2013 & 1{,}78 \\ 2023 & 1{,}40 \end{array}

Datamaterialet ovenfor er hentet fra nettsidene til Statistisk sentralbyrå.

• Fødselsrate og dødsrate er antallet fødte og døde per 1000 innbyggere. • Samlet fruktbarhetstall forteller hvor mange barn som i gjennomsnitt fødes per kvinne.

Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag.

Gjør relevante sammenlikninger og beregninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon.

Presentasjonen skal inneholde • diagrammer som illustrerer utviklingen gjennom perioden fra 1983 til 2023 • beregninger som viser prosentvise endringer fra 1983 til 2023

Vis løsning

Svar

Prosentvise endringer fra 1983 til 2023, avrundet til én desimal:

\begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Antall fødte: } {+4{,}1}\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{Antall døde: } {+3{,}7}\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{Fødselsrate: } {-22{,}3}\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{Dødsrate: } {-22{,}5}\,\%}} \\ &\underline{\underline{\text{Fruktbarhetstall: } {-15{,}7}\,\%}} \end{aligned}

Oppgaven er åpen, og mange presentasjoner er riktige. Vi lager diagrammer som viser utviklingen, regner ut de prosentvise endringene fra 1983 til 2023 og sammenligner tallene.

Metode: For hånd

1. Tegn diagrammene Antall fødte og døde er antall personer, mens ratene er per 1000 innbyggere. Et linjediagram viser utviklingen over tid, så vi tegner dem i hvert sitt linjediagram, med en tittel på hvert. Verdiaksene starter på \( 0\text{,} \) så endringene ikke ser større ut enn de er:

Samlet fruktbarhetstall er barn per kvinne, så det får sitt eget søylediagram:

Med PC kan du lage diagrammene i et regneark, som i videoen Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023.

2. Regn ut de prosentvise endringene Den prosentvise endringen er endringen delt på verdien i 1983, som i videoen Oppgave 1B - Del 1 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \text{prosent} = \dfrac{\text{ny} - \textcolor{blue}{\text{gammel}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]

Antall fødte: \[ \dfrac{51\,980 - \textcolor{blue}{49\,937}}{\textcolor{blue}{49\,937}} \cdot 100\,\% \approx \underline{4{,}1\,\%} \]

Antall døde: \[ \dfrac{43\,803 - \textcolor{blue}{42\,224}}{\textcolor{blue}{42\,224}} \cdot 100\,\% \approx \underline{3{,}7\,\%} \]

Fødselsrate og dødsrate: \[ \begin{aligned} \dfrac{9{,}4 - \textcolor{blue}{12{,}1}}{\textcolor{blue}{12{,}1}} \cdot 100\,\% &\approx \underline{-22{,}3\,\%} \\ \dfrac{7{,}9 - \textcolor{blue}{10{,}2}}{\textcolor{blue}{10{,}2}} \cdot 100\,\% &\approx \underline{-22{,}5\,\%} \end{aligned} \]

Samlet fruktbarhetstall: \[ \dfrac{1{,}40 - \textcolor{blue}{1{,}66}}{\textcolor{blue}{1{,}66}} \cdot 100\,\% \approx \underline{-15{,}7\,\%} \]

3. Sammenlign Antall fødte og døde har økt litt, mens begge ratene har falt med omtrent \( 22\,\%\text{.} \) Det betyr at folketallet har økt. Fødselsraten er fødte per 1000 innbyggere, så folketallet er antall fødte delt på fødselsraten, ganget med \( 1000\text{:} \) \[ \begin{aligned} 1983\text{: } \dfrac{49\,937}{12{,}1} \cdot 1000 &\approx 4{,}1 \text{ mill.} \\ 2023\text{: } \dfrac{51\,980}{9{,}4} \cdot 1000 &\approx 5{,}5 \text{ mill.} \end{aligned} \]

Hvert av årene ble det født flere enn det døde, og forskjellen var størst i 2013: \( {58\,995 - 41\,282 = 17\,713}\text{.} \) Samlet fruktbarhetstall var høyest i 1993 og er lavest i 2023, med \( 1{,}40 \) barn per kvinne.

Metode: Med regneark

1. Regn ut de prosentvise endringene Vi skriver årstallene i A2 til A6 som tekst, med en apostrof foran ('1983), så Excel bruker dem som navn langs aksen, og tallene i kolonne B til F, med to desimaler i F. Den prosentvise endringen er endringen delt på verdien i 1983, så i B8 skriver vi \( {\texttt{=(B6-B2)/B2}}\text{.} \) Vi drar B8 bortover til F8, gir rad 8 prosentformat med %-knappen og trykker én gang på «Øk desimaler»:

2. Lag diagrammene Vi markerer A1 til C6 og velger Sett inn, Linjediagram, Linje med indikatorer, som i videoen Oppgave 6 - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023. Ratene får det samme diagrammet: vi markerer A1 til A6, holder inne Ctrl (cmd på Mac) og markerer D1 til E6. Til fruktbarhetstallet markerer vi A1 til A6 og F1 til F6 på samme måte og velger Stående stolpediagram, med dataetiketter. Hvert diagram får en tittel:

Regnearket gir de samme endringene som for hånd: antall fødte \( {+4{,}1\,\%}\text{,} \) antall døde \( {+3{,}7\,\%}\text{,} \) fødselsraten \( {-22{,}3\,\%}\text{,} \) dødsraten \( {-22{,}5\,\%} \) og samlet fruktbarhetstall \( {-15{,}7\,\%}\text{.} \)

Oppgavene

Oppgave 1

Oppgave 1a)

Svar

Oppgave 1b)

Svar

Oppgave 1c)

Svar

Oppgave 1d)

Svar

Oppgave 3

Svar

Oppgave 4

Svar

Oppgave 5

Oppgave 5a)

Svar

Oppgave 5b)

Svar

Oppgave 5c)

Svar

Oppgave 1

Svar

Oppgave 1

Oppgave 1a)

Svar

Oppgave 1b)

Svar

Oppgave 1c)

Svar

Oppgave 1d)

Svar

Oppgave 4

Oppgave 4a)

Svar

Oppgave 4b)

Svar

Oppgave 4c)

Svar

Oppgave 5

Oppgave 5a)

Svar

Oppgave 5b)

Svar

Oppgave 5c)

Svar

Oppgave 6

Svar