Eksamensoppgaver etter tema

Høyden deler trekanten i to rettvinklede trekanter. Vi viser at trekanten er likesidet, så vi kjenner alle sidene i den høyre halvdelen, og bruker definisjonene av sinus og cosinus.

1. Vis at trekanten er likesidet Trekanten har to sider som er 4, så den er symmetrisk om høyden. Vinkelen på venstre side av høyden er derfor også \( 30^\circ\text{,} \) og toppvinkelen er: \[ 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \]

Vinklene ved grunnlinja er like store: \[ \dfrac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ \]Alle vinklene er \( 60^\circ\text{,} \) så trekanten er likesidet, og grunnlinja er også 4.

2. Finn sidene i den halve trekanten Høyden deler grunnlinja på midten, så den korte kateten i den høyre halvdelen er \( \textcolor{red}{2}\text{.} \) Hypotenusen er \( \textcolor{blue}{4}\text{,} \) og høyden \( h \) finner vi med Pytagoras' setning: \[ \begin{aligned} h^2 + \textcolor{red}{2}^2 &= \textcolor{blue}{4}^2 \\ h^2 &= 16 - 4 = 12 \\ h &= \sqrt{12} = \textcolor{green}{2\sqrt{3}} \end{aligned} \]

3. Bruk definisjonene av sinus og cosinus Definisjonene forteller oss at for en spiss vinkel \( \theta \) i en rettvinklet trekant er: \[ \begin{aligned} \sin \theta &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \\ \cos \theta &= \dfrac{\textcolor{green}{\text{hosliggende katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \end{aligned} \]Vi gjør det samme som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, der trekanten gir \( \sin 45^\circ\text{.} \)

Mot vinkelen \( 30^\circ \) står kateten \( \textcolor{red}{2}\text{,} \) og inntil den står høyden \( \textcolor{green}{2\sqrt{3}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \sin 30^\circ &= \dfrac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{4}} = \dfrac{1}{2} \\ \cos 30^\circ &= \dfrac{\textcolor{green}{2\sqrt{3}}}{\textcolor{blue}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Da finner vi arealet med arealsetningen.

1. Bruk arealsetningen Arealsetningen forteller oss at arealet av en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{\theta} \) mellom dem er: \[ A = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{\theta} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{4}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{10\sqrt{3}}} \) og \( {\textcolor{green}{\theta} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{,} \) og fra a) vet vi at \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{10\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} \\ A &= \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} = 10\sqrt{3} \end{aligned} \]

Vi bruker \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Vi mangler den tredje siden. Den står mot vinkelen \( 30^\circ\text{,} \) som ligger mellom de to sidene vi kjenner, så vi finner den med cosinussetningen.

1. Finn den tredje siden Cosinussetningen forteller oss at siden \( a\text{,} \) som står mot vinkelen \( \textcolor{green}{A} \) mellom sidene \( \textcolor{blue}{b} \) og \( \textcolor{red}{c}\text{,} \) er gitt ved: \[ a^2 = \textcolor{blue}{b}^2 + \textcolor{red}{c}^2 - 2\textcolor{blue}{b}\textcolor{red}{c} \cdot \cos \textcolor{green}{A} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{4}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{c} = \textcolor{red}{10\sqrt{3}}} \) og \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a^2 &= \textcolor{blue}{4}^2 + (\textcolor{red}{10\sqrt{3}})^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{10\sqrt{3}} \cdot \cos \textcolor{green}{30^\circ} \end{aligned} \]

Fra a) vet vi at \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{.} \) Siden \( {(10\sqrt{3})^2 = 100 \cdot 3 = 300} \) og \( {\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} a^2 &= 16 + 300 - 80\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ a^2 &= 316 - 120 = 196 \\ a &= \sqrt{196} = 14 \end{aligned} \]

2. Legg sammen sidene Omkretsen er summen av de tre sidene: \[ O = 4 + 10\sqrt{3} + 14 = 18 + 10\sqrt{3} \]

I trekant \( ABC \) kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem. Da finner vi den tredje siden \( AB \) med cosinussetningen.

1. Bruk cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss hvor lang en side er, når vi kjenner de to andre sidene og vinkelen mellom dem. I trekant \( ABC \) står \( AB \) mot vinkelen \( \textcolor{green}{C} \) mellom \( \textcolor{blue}{AC} \) og \( \textcolor{red}{CB}\text{:} \) \[ \begin{aligned} AB^2 &= \textcolor{blue}{AC}^2 + \textcolor{red}{CB}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{AC} \cdot \textcolor{red}{CB} \cdot \cos \textcolor{green}{C} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{AC} &= \textcolor{blue}{\sqrt{2}} & \textcolor{red}{CB} &= \textcolor{red}{1} & \textcolor{green}{C} &= \textcolor{green}{105^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i cosinussetningen, får vi: \[ \begin{aligned} AB^2 &= (\textcolor{blue}{\sqrt{2}})^2 + \textcolor{red}{1}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{2}} \cdot \textcolor{red}{1} \cdot \cos \textcolor{green}{105^\circ} \\ AB^2 &\approx 2 + 1 + 0{,}7321 = 3{,}7321 \end{aligned} \]Siden \( \cos 105^\circ \) er negativ, blir det siste leddet positivt.

Vi tar kvadratroten, fordi en lengde er positiv: \[ AB \approx \sqrt{3{,}7321} \approx 1{,}93 \]

1. Regn ut i CAS Vi skriver cosinussetningen inn i CAS, med gradtegn på vinkelen, og regner ut med knappen ≈:

Skriv inn i GeoGebra: AB := sqrt(sqrt(2)^2 + 1^2 - 2*sqrt(2)*1*cos(105°)) AB

CAS gir \( {AB = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx 1{,}9319}\text{,} \) altså \( {AB \approx 1{,}93}\text{.} \)

Linja \( AC \) deler trekant \( ABD \) i trekantene \( ACD \) og \( ACB\text{.} \) Vi finner \( DC \) med sinussetningen og legger sammen arealene av de to trekantene.

1. Finn vinklene i trekant ACD Vinklene \( ACD \) og \( ACB \) ligger inntil hverandre langs linja \( DB\text{,} \) så de er til sammen \( 180^\circ\text{:} \) \[ \angle ACD = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \]I trekant \( ACD \) er vinklene da \( 45^\circ\text{,} \) \( 60^\circ \) og \( 75^\circ\text{.} \)

2. Finn DC med sinussetningen Sinussetningen forteller oss at forholdet mellom en side og sinus til vinkelen den står mot, er det samme for alle sidene i en trekant. I trekant \( ACD \) står \( \textcolor{red}{DC} \) mot vinkelen \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{AC} \) står mot vinkelen \( \textcolor{blue}{D}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{DC}}{\sin \textcolor{red}{A}} = \dfrac{\textcolor{blue}{AC}}{\sin \textcolor{blue}{D}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{A} &= \textcolor{red}{45^\circ} & \textcolor{blue}{AC} &= \textcolor{blue}{\sqrt{2}} & \textcolor{blue}{D} &= \textcolor{blue}{60^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn i sinussetningen, får vi: \[ \begin{aligned} \dfrac{\textcolor{red}{DC}}{\sin \textcolor{red}{45^\circ}} &= \dfrac{\textcolor{blue}{\sqrt{2}}}{\sin \textcolor{blue}{60^\circ}} \\ DC &= \dfrac{\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 1{,}1547 \end{aligned} \]

3. Legg sammen arealene Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( a \) og \( b \) og vinkelen \( \theta \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \theta \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Vi deler figuren i to trekanter og legger sammen, som i videoen Oppgave 3B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025.

I trekant \( ACD \) er vinkelen mellom \( AC \) og \( DC \) lik \( 75^\circ\text{,} \) og i trekant \( ACB \) er vinkelen mellom \( AC \) og \( CB \) lik \( 105^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ACD} &\approx \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1{,}1547 \cdot \sin 75^\circ \\ T_{ACD} &\approx 0{,}7887 \\ T_{ACB} &= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \sin 105^\circ \\ T_{ACB} &\approx 0{,}6830 \end{aligned} \]

Til sammen: \[ T_{ABD} \approx 0{,}7887 + 0{,}6830 \approx 1{,}47 \]

1. Regn ut i CAS Vinkelen \( ACD \) er \( {180^\circ - 105^\circ = 75^\circ}\text{.} \) Vi regner ut \( DC \) med sinussetningen og legger sammen arealene med arealsetningen i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: DC := sqrt(2)*sin(45°)/sin(60°) T := 1/2*sqrt(2)*DC*sin(75°) + 1/2*sqrt(2)*1*sin(105°) T

CAS gir \( {DC = \dfrac{2}{3}\sqrt{3}} \) og \( {T \approx 1{,}4717}\text{,} \) så arealet av trekant \( ABD \) er omtrent \( 1{,}47\text{.} \)

Trekanten er rettvinklet og har to like lange kateter. Vi finner vinklene og hypotenusen, og bruker definisjonen av sinus.

1. Finn vinklene 0:30 Katetene er like lange, så de to andre vinklene er like store. Vi kaller dem \( \textcolor{green}{v}\text{.} \) Summen av vinklene i en trekant er \( 180^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} 90^\circ + \textcolor{green}{v} + \textcolor{green}{v} &= 180^\circ \\ 2\textcolor{green}{v} &= 90^\circ \\ \textcolor{green}{v} &= 45^\circ \end{aligned} \]

2. Finn hypotenusen 2:00 Pytagoras' setning forteller oss at: \[ \textcolor{red}{k_1}^2 + \textcolor{red}{k_2}^2 = \textcolor{blue}{h}^2 \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Oppgave 3B (Pytagoras).

Begge katetene er \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{1}^2 + \textcolor{red}{1}^2 &= \textcolor{blue}{h}^2 \\ \textcolor{blue}{h}^2 &= 2 \\ \textcolor{blue}{h} &= \sqrt{2} \end{aligned} \]

3. Bruk definisjonen av sinus 2:46 Definisjonen av sinus forteller oss at: \[ \sin \textcolor{green}{v} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Mot vinkelen \( \textcolor{green}{45^\circ} \) står en katet som er \( \textcolor{red}{1}\text{,} \) og hypotenusen er \( \textcolor{blue}{\sqrt{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \sin \textcolor{green}{45^\circ} = \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{\sqrt{2}}} \]

Vi bruker \( {\sin 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Da finner vi arealet med arealsetningen.

1. Bruk arealsetningen 1:00 Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{3\sqrt{2}}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{b} = \textcolor{red}{8}} \) og \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{45^\circ}}\text{,} \) og fra a) vet vi at \( {\sin 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{3\sqrt{2}} \cdot \textcolor{red}{8} \cdot \sin \textcolor{green}{45^\circ} \\ T &= \dfrac{1}{2} \cdot 3\textcolor{darkorange}{\sqrt{2}} \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{\textcolor{darkorange}{\sqrt{2}}} \end{aligned} \]

Vi stryker \( \textcolor{darkorange}{\sqrt{2}} \) mot \( \textcolor{darkorange}{\sqrt{2}}\text{:} \) \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 = 12 \]

Vi bruker arealsetningen og arealet \( 12 \) fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Trekantene har like lange sider rundt vinkelen. Da er det sinus til vinkelen som avgjør hvilken som har størst areal.

1. Sammenlign arealene 1:13 Arealsetningen gir begge arealene med de samme to sidene, \( 3\sqrt{2} \) og \( 8\text{:} \) \[ \begin{aligned} T_{ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin \textcolor{blue}{45^\circ} \\ T_{PQR} &= \dfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin \textcolor{red}{140^\circ} \end{aligned} \]Alt er likt bortsett fra sinusverdien, så trekanten med størst sinusverdi har størst areal.

2. Sammenlign sinusverdiene 2:21 Grafen til sinus fra \( 0^\circ \) til \( 180^\circ \) er symmetrisk om \( 90^\circ\text{,} \) og jo lenger fra \( 90^\circ \) vi går, desto mindre blir sinusverdien:

Vinklene ligger så langt fra \( 90^\circ\text{:} \) \[ \begin{aligned} 90^\circ - \textcolor{blue}{45^\circ} &= 45^\circ \\ \textcolor{red}{140^\circ} - 90^\circ &= 50^\circ \end{aligned} \]\( \textcolor{red}{140^\circ} \) ligger lengst fra \( 90^\circ\text{,} \) så \( {\sin \textcolor{red}{140^\circ} < \sin \textcolor{blue}{45^\circ}}\text{.} \) Dermed er \( {T_{PQR} < T_{ABC} = 12}\text{.} \)

Alternativ metode: Sinus til en stump vinkel Mange lærebøker bruker at \( {\sin(180^\circ - v) = \sin v}\text{.} \) Da er: \[ \begin{aligned} \sin 140^\circ &= \sin(180^\circ - 140^\circ) \\ \sin 140^\circ &= \sin 40^\circ \end{aligned} \]Sinus vokser fra \( 0^\circ \) til \( 90^\circ\text{,} \) så \( {\sin 40^\circ < \sin 45^\circ}\text{.} \) Regelen er rask når du husker den, og grafen viser hvorfor den stemmer.

Ingen av trekantene er rettvinklet. Vi lager derfor to rettvinklede trekanter ved å trekke en linje fra \( D \) vinkelrett ned på \( AC\text{.} \)

1. Lag to rettvinklede trekanter 0:30 Vi kaller punktet der linja fra \( D \) treffer \( AC\text{,} \) for \( M\text{.} \) I trekant \( DMC \) er vinklene \( 90^\circ \) og \( 30^\circ\text{,} \) så vinkelen ved \( D \) er: \[ 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]Hele vinkelen ved \( D \) er \( 120^\circ\text{,} \) så vinkelen \( ADM \) er \( {120^\circ - 60^\circ = 60^\circ}\text{,} \) og vinkelen ved \( A \) er \( 30^\circ\text{.} \)

Trekantene \( AMD \) og \( CMD \) har de samme vinklene og den felles siden \( DM\text{,} \) så de er like store, som speilbilder av hverandre. Derfor er \( {AM = MC}\text{.} \)

2. Finn MC med cosinus 2:10 Definisjonen av cosinus forteller oss at: \[ \cos v = \dfrac{\textcolor{green}{\text{hosliggende katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

I trekant \( DMC \) er \( \textcolor{green}{MC} \) hosliggende katet til vinkelen \( 30^\circ\text{,} \) og hypotenusen er \( {\textcolor{blue}{DC} = \textcolor{blue}{\sqrt{3}}}\text{.} \) Vi løser for \( \textcolor{green}{MC} \) og bruker at \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{MC} &= \cos 30^\circ \cdot \textcolor{blue}{\sqrt{3}} \\ \textcolor{green}{MC} &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{3}{2} \end{aligned} \]

3. Legg sammen de to delene 3:20 Siden \( {AM = \textcolor{green}{MC} = \dfrac{3}{2}}\text{,} \) er: \[ AC = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} = 3 \]

Alternativ metode: Sinussetningen I trekant \( ACD \) er vinkelen ved \( A \) lik \( {180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ}\text{.} \) Sinussetningen gir, som i videoen Sinussetningen: \[ \begin{aligned} \dfrac{AC}{\sin 120^\circ} &= \dfrac{DC}{\sin 30^\circ} \\ AC &= \dfrac{\sqrt{3} \cdot \sin 120^\circ}{\sin 30^\circ} \\ AC &= \dfrac{\sqrt{3} \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{1}{2}} = 3 \end{aligned} \]Den er raskest når du kjenner sinussetningen godt.

Vi bruker \( {AC = 3} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Diagonalen \( AC \) deler firkanten i trekantene \( ACD \) og \( ABC\text{.} \) Vi finner arealet av hver med arealsetningen og legger sammen.

1. Finn vinkel B med sinussetningen 0:49 Sinussetningen forteller oss at forholdet mellom en side og sinus til vinkelen den står mot, er det samme for alle sidene i en trekant. I trekant \( ABC \) står \( \textcolor{red}{CB} \) mot vinkelen \( \textcolor{red}{A}\text{,} \) og \( \textcolor{blue}{AC} \) står mot vinkelen \( \textcolor{blue}{B}\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{CB}}{\sin \textcolor{red}{A}} = \dfrac{\textcolor{blue}{AC}}{\sin \textcolor{blue}{B}} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Sinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{CB} &= \textcolor{red}{\sqrt{6}} & \textcolor{red}{A} &= \textcolor{red}{45^\circ} & \textcolor{blue}{AC} &= \textcolor{blue}{3} \end{aligned} \]

Løser vi for \( \sin \textcolor{blue}{B} \) og bruker at \( {\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} \sin \textcolor{blue}{B} &= \dfrac{\textcolor{blue}{3} \cdot \sin \textcolor{red}{45^\circ}}{\textcolor{red}{\sqrt{6}}} \\ \sin B &= \dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \]Det gir \( {B = 60^\circ}\text{.} \)

Merk – To mulige trekanter: \( \sin 120^\circ \) er også \( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{,} \) så målene passer med to trekanter. Med \( {B = 120^\circ} \) blir \( {AB = \dfrac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}}\text{,} \) og firkanten får arealet \( \dfrac{9}{4}\text{.} \) Figuren viser at vinkelen ved \( B \) er spiss, så vi bruker \( {B = 60^\circ}\text{.} \)

2. Finn arealet av trekant ACD 4:27 Arealsetningen forteller oss at en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom dem har arealet: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.

I trekant \( ACD \) er vinkelen \( \textcolor{green}{30^\circ} \) ved \( C \) mellom \( {\textcolor{blue}{AC} = \textcolor{blue}{3}} \) og \( {\textcolor{red}{DC} = \textcolor{red}{\sqrt{3}}}\text{:} \) \[ T_{ACD} = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{\sqrt{3}} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \]

3. Finn AB med høyden fra C Vi trekker en linje fra \( C \) vinkelrett ned på \( AB\text{,} \) slik vi gjorde i a), og kaller fotpunktet \( E\text{.} \) I de to rettvinklede trekantene er \( {AC = 3} \) og \( {CB = \sqrt{6}} \) hypotenusene. Med \( {\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}} \) og \( {\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}} \) blir: \[ \begin{aligned} AE &= 3 \cdot \cos 45^\circ = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\ EB &= \sqrt{6} \cdot \cos 60^\circ = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \end{aligned} \]Det gir: \[ AB = AE + EB = \dfrac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \]

4. Legg sammen arealene 5:27 I trekant \( ABC \) er vinkelen \( 45^\circ \) ved \( A \) mellom \( AC \) og \( AB\text{.} \) Arealsetningen gir: \[ \begin{aligned} T_{ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \dfrac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ T_{ABC} &= \dfrac{3(6 + 2\sqrt{3})}{8} = \dfrac{9 + 3\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]

Til sammen: \[ \begin{aligned} T_{ABCD} &= \dfrac{3\sqrt{3}}{4} + \dfrac{9 + 3\sqrt{3}}{4} \\ T_{ABCD} &= \dfrac{9 + 6\sqrt{3}}{4} \end{aligned} \]

1. Regn ut i CAS 6:00 Sinussetningen i trekant \( ABC \) gir \( {\sin B = \dfrac{3 \cdot \sin 45^\circ}{\sqrt{6}}}\text{.} \) Med \( {B = 60^\circ} \) er vinkelen ved \( C \) lik \( {180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ}\text{.} \) Vi regner ut \( \sin B \) og de to arealene med arealsetningen i CAS:

Skriv inn i GeoGebra: s := 3*sin(45°)/sqrt(6) A1 := 1/2*3*sqrt(3)*sin(30°) A2 := 1/2*3*sqrt(6)*sin(75°) A := A1 + A2

CAS gir \( {s = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}\text{,} \) så \( {B = 60^\circ}\text{,} \) og arealet \( {\dfrac{3}{4}(2\sqrt{3} + 3)}\text{,} \) som er det samme som \( {\dfrac{9 + 6\sqrt{3}}{4}}\text{.} \)

Høyden deler den likesidede trekanten i to rettvinklede trekanter. Vi finner vinklene og sidene i den ene halvdelen og bruker definisjonene av sinus og cosinus.

1. Finn vinklene og sidene Alle vinklene i en likesidet trekant er like store, og vinkelsummen er \( 180^\circ\text{:} \) \[ \dfrac{180^\circ}{3} = 60^\circ \]Trekanten er symmetrisk om høyden, så høyden deler toppvinkelen i to. Hver halvdel har derfor vinklene \( 60^\circ\text{,} \) \( 30^\circ \) og \( 90^\circ\text{.} \)

Høyden deler også grunnlinja på midten, så den korte kateten er \( \textcolor{red}{1}\text{.} \) Hypotenusen er en side i den likesidede trekanten, \( \textcolor{blue}{2}\text{.} \)

2. Bruk definisjonene av sinus og cosinus Definisjonene forteller oss at for en spiss vinkel \( v \) i en rettvinklet trekant er: \[ \begin{aligned} \sin v &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{motstående katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \\ \cos v &= \dfrac{\textcolor{red}{\text{hosliggende katet}}}{\textcolor{blue}{\text{hypotenus}}} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på dem, kan du se videoen Introduksjon til Trigonometri.

Kateten \( \textcolor{red}{1} \) er motstående katet til \( 30^\circ \) og hosliggende katet til \( 60^\circ\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} \sin 30^\circ &= \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}} \\ \cos 60^\circ &= \dfrac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}} \end{aligned} \]Begge er \( \dfrac{1}{2}\text{.} \) Vi gjør det samme som i videoen Oppgave 5A - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025, der trekanten gir \( \sin 45^\circ\text{.} \)

Vi bruker \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem. Da finner vi arealet med arealsetningen.

1. Bruk arealsetningen Arealsetningen forteller oss at arealet av en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{b} \) og \( \textcolor{red}{c} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{A} \) mellom dem er: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{c} \cdot \sin \textcolor{green}{A} \]Vi kaller arealet \( T\text{,} \) fordi \( A \) er et hjørne. Hvis du er usikker på arealsetningen, kan du se videoen Arealsetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{b} = AC = \textcolor{blue}{6}}\text{,} \) \( {\textcolor{red}{c} = AB = \textcolor{red}{10}} \) og \( {\textcolor{green}{A} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{,} \) og fra a) vet vi at \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} T &= \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{6} \cdot \textcolor{red}{10} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} \\ T &= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 15 \end{aligned} \]

Vi bruker \( {\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}} \) fra a), som står i oppgaveteksten, så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).

Vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem, og skal finne siden som står mot vinkelen. Da bruker vi cosinussetningen.

1. Bruk cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss hvor lang en side er når vi kjenner de to andre sidene og vinkelen mellom dem. I trekant \( PQR \) står \( QR \) mot vinkelen \( \textcolor{green}{P} \) mellom \( \textcolor{blue}{PQ} \) og \( \textcolor{red}{PR}\text{:} \) \[ \begin{aligned} QR^2 &= \textcolor{blue}{PQ}^2 + \textcolor{red}{PR}^2 \\ &\quad - 2 \cdot \textcolor{blue}{PQ} \cdot \textcolor{red}{PR} \cdot \cos \textcolor{green}{P} \end{aligned} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{PQ} &= \textcolor{blue}{8} & \textcolor{red}{PR} &= \textcolor{red}{3} & \textcolor{green}{P} &= \textcolor{green}{60^\circ} \end{aligned} \]

Plugger vi dette inn og bruker \( {\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}} \) fra a), får vi: \[ \begin{aligned} QR^2 &= \textcolor{blue}{8}^2 + \textcolor{red}{3}^2 - 2 \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot \textcolor{red}{3} \cdot \cos \textcolor{green}{60^\circ} \\ QR^2 &= 64 + 9 - 48 \cdot \dfrac{1}{2} = 49 \\ QR &= \sqrt{49} = 7 \end{aligned} \]

Hver av de tolv trekantene har to sider lik radien \( r \) og vinkelen \( 30^\circ \) mellom dem. Vi skriver arealet med arealsetningen, setter det lik 120 og løser for \( r\text{.} \)

1. Sett opp arealet med arealsetningen Arealsetningen forteller oss at arealet av en trekant med sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b} \) og vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom dem er: \[ T = \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot \sin \textcolor{green}{v} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Arealsetningen.

I hver trekant er begge sidene radien, \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}}\text{,} \) og \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{.} \) Tolv slike trekanter har til sammen arealet \( 120\text{:} \) \[ 12 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \textcolor{blue}{r} \cdot \sin \textcolor{green}{30^\circ} = 120 \]

2. Finn radien og diameteren Siden \( {\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}} \) og \( {12 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = 3}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 3r^2 &= 120 \\ r^2 &= 40 \\ r &= \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \end{aligned} \]Radien er positiv, så vi tar bare den positive roten, og \( {\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}}\text{.} \)

Diameteren er to ganger radien: \[ d = 2r = 2 \cdot 2\sqrt{10} = 4\sqrt{10} \]

1. Løs i CAS Vi skriver arealet av tolvkanten som en funksjon av \( r \) og løser likningen med Løs:

Skriv inn i GeoGebra: A(r) := 12*1/2*r*r*sin(30°) Løs(A(r) = 120, r)

CAS gir \( {r = \pm 2\sqrt{10}}\text{.} \) Radien er positiv, så \( {r = 2\sqrt{10}} \) og \( {d = 2r = 4\sqrt{10}}\text{.} \)

Vi bruker radien fra a), \( {r = 2\sqrt{10}}\text{,} \) altså \( {r^2 = 40}\text{.} \) Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Hver side i tolvkanten står mot vinkelen \( 30^\circ \) i en av trekantene. Vi finner siden med cosinussetningen og ganger med 12.

1. Finn siden med cosinussetningen Cosinussetningen forteller oss at siden \( s \) som står mot vinkelen \( \textcolor{green}{v} \) mellom sidene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) er gitt ved: \[ s^2 = \textcolor{blue}{a}^2 + \textcolor{blue}{b}^2 - 2\textcolor{blue}{a}\textcolor{blue}{b} \cdot \cos \textcolor{green}{v} \]Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Cosinussetningen.

Her er \( {\textcolor{blue}{a} = \textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{r}} \) med \( {r^2 = 40}\text{,} \) og \( {\textcolor{green}{v} = \textcolor{green}{30^\circ}}\text{.} \) Med \( {\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}} \) får vi: \[ \begin{aligned} s^2 &= \textcolor{blue}{40} + \textcolor{blue}{40} - 2 \cdot \textcolor{blue}{40} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ s^2 &= 80 - 40\sqrt{3} \\ s &= \sqrt{80 - 40\sqrt{3}} \end{aligned} \]

2. Finn omkretsen Tolvkanten har tolv like sider: \[ O = 12s = 12\sqrt{80 - 40\sqrt{3}} \approx 39{,}29 \]

1. Regn ut i CAS Vi setter inn radien fra a), finner siden med cosinussetningen og ganger med 12:

Skriv inn i GeoGebra: r := 2*sqrt(10) s := sqrt(r^2 + r^2 - 2*r*r*cos(30°)) O := 12*s O

CAS skriver omkretsen som \( {24\sqrt{15} - 24\sqrt{5} \approx 39{,}29}\text{.} \) Det er det samme tallet som \( {12\sqrt{80 - 40\sqrt{3}}}\text{,} \) fordi \( {s = 2\sqrt{15} - 2\sqrt{5}} \) og \( {\sqrt{75} = 5\sqrt{3}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} (2\sqrt{15} - 2\sqrt{5})^2 &= 60 - 8\sqrt{75} + 20 \\ &= 80 - 40\sqrt{3} \end{aligned} \]

På en sirkel med radius 1 er \( x \)-koordinaten til punktet cosinus til vinkelen og \( y \)-koordinaten sinus. Tangens er sinus delt på cosinus.

1. Les av sinus og cosinus Radien er 1, så katetene i trekanten under \( P \) er koordinatene til \( P\text{,} \) som i videoen Introduksjon til Trigonometri. Det gir oss: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{\cos 50^\circ} &\approx \textcolor{blue}{0{,}64} \\ \textcolor{red}{\sin 50^\circ} &\approx \textcolor{red}{0{,}77} \end{aligned} \]

2. Regn ut tangens Tangens er motstående katet delt på hosliggende katet, altså sinus delt på cosinus: \[ \tan 50^\circ = \dfrac{\textcolor{red}{\sin 50^\circ}}{\textcolor{blue}{\cos 50^\circ}} \approx \dfrac{\textcolor{red}{0{,}77}}{\textcolor{blue}{0{,}64}} \]Telleren er større enn nevneren, og begge er positive, så brøken er større enn \( 1\text{.} \)

Punktet for \( 130^\circ \) er speilbildet av \( P \) om \( y \)-aksen. Der er \( x \)-koordinaten negativ, mens \( y \)-koordinaten er positiv.

1. Speil punktet om y-aksen Vinkelen \( 130^\circ \) er \( {180^\circ - 50^\circ}\text{.} \) Punktet på sirkelen ligger derfor like høyt som \( P\text{,} \) men like langt på den andre siden av \( y \)-aksen. Bare \( x \)-koordinaten skifter fortegn: \[ (\textcolor{blue}{\cos 130^\circ}, \textcolor{red}{\sin 130^\circ}) \approx (\textcolor{blue}{-0{,}64}, \textcolor{red}{0{,}77}) \]

Cosinus er negativ for vinkler mellom \( 90^\circ \) og \( 180^\circ\text{,} \) som i tabellen i videoen Introduksjon til Trigonometri.

2. Regn ut tangens Tangens er sinus delt på cosinus: \[ \tan 130^\circ = \dfrac{\textcolor{red}{\sin 130^\circ}}{\textcolor{blue}{\cos 130^\circ}} \approx \dfrac{\textcolor{red}{0{,}77}}{\textcolor{blue}{-0{,}64}} \]Positivt delt på negativt gir negativt, så \( \tan 130^\circ \) er mindre enn \( 0\text{.} \)