Eksamensoppgaver etter tema

Formen \( {a \cdot x^b} \) er en potensfunksjon, så vi bruker potensregresjon i GeoGebra.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på b), c) og d) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Lag en liste med punktene Vi skriver lengdene i kolonne A og vektene i kolonne B i regnearket, markerer tallene og lager en liste med punkt, som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. Lista får navnet \( l_1\text{.} \)

2. Kjør potensregresjon Potensregresjon finner de tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen går så nær punktene som mulig:

Skriv inn i GeoGebra: F(x) = RegPot(l1)

Tallene står på de samme plassene som i formen fra oppgaven: \[ F(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{b}} \]Det gir \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}009657}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{2{,}999583}}\text{.} \) Grafen til \( F \) går nær alle de seks punktene.

I b), c) og d) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, med alle desimalene. Med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {a \approx 0{,}01} \) og \( {b \approx 3}\text{.} \) Regner vi videre med dem, blir stigningstallet i b) omtrent 218 i stedet for 210, og vekstfarten i c) 300 i stedet for 289.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Stigningstallet til linja gjennom to punkter på grafen er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( F(75) \) og \( F(95) \) først.

1. Regn ut funksjonsverdiene I a) fant vi modellen: \[ F(x) \approx 0{,}009657 \cdot x^{2{,}9996} \]

Vi setter inn \( {x = \textcolor{blue}{75}} \) og \( {x = \textcolor{red}{95}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} F(\textcolor{blue}{75}) &\approx 0{,}009657 \cdot \textcolor{blue}{75}^{2{,}9996} \\ &\approx \textcolor{blue}{4067{,}0} \\ F(\textcolor{red}{95}) &\approx 0{,}009657 \cdot \textcolor{red}{95}^{2{,}9996} \\ &\approx \textcolor{red}{8264{,}6} \end{aligned} \]

2. Regn ut stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Definisjonen til den deriverte: \[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\approx \dfrac{\textcolor{red}{8264{,}6} - \textcolor{blue}{4067{,}0}}{\textcolor{red}{95} - \textcolor{blue}{75}} \\ &\approx 209{,}9\,\text{g/cm} \end{aligned} \]

Vekten er i gram og lengden i centimeter, så stigningstallet er gram per centimeter. Fra 75 cm til 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram for hver centimeter fisken blir lengre.

1. Regn ut stigningstallet I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra, med alle desimalene. Vi skriver stigningstallet inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: s = (F(95) - F(75)) / (95 - 75)

GeoGebra gir \( {s \approx 209{,}8548}\text{.} \) Fra 75 cm til 95 cm øker vekten i gjennomsnitt med omtrent 210 gram per centimeter.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Den momentane vekstfarten er den deriverte. Vi deriverer modellen med potensregelen og setter inn \( {x = 100}\text{.} \)

1. Deriver modellen Den momentane vekstfarten er stigningstallet til tangenten, altså den deriverte, som i videoen Definisjonen til den deriverte. Potensregelen forteller oss at: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n - 1} \]Den gjelder for alle tall \( n\text{.} \) Hvis du er usikker på den, kan du se videoen Derivasjonsregler/​Formler.

I a) fant vi \( {F(x) \approx \textcolor{blue}{a} \cdot x^{\textcolor{red}{b}}} \) med \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{0{,}009657}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{2{,}9996}}\text{.} \) Konstanten \( \textcolor{blue}{a} \) blir stående, så: \[ F'(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot x^{\textcolor{red}{b} - 1} \]

2. Sett inn lengden Vi ganger først sammen konstantene og setter så inn \( {x = 100}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b} &\approx \textcolor{blue}{0{,}009657} \cdot \textcolor{red}{2{,}9996} \\ &\approx 0{,}028967 \\ F'(100) &\approx 0{,}028967 \cdot 100^{1{,}9996} \\ &\approx 289{,}1\,\text{g/cm} \end{aligned} \]

Når fisken er 100 cm lang, øker vekten med omtrent 289 gram per centimeter den blir lengre.

1. Regn ut den deriverte I a) lagret vi modellen som \( F \) i GeoGebra. Vi skriver den deriverte i \( {x = 100} \) inn i Algebrafeltet:

Skriv inn i GeoGebra: d = F'(100)

GeoGebra gir \( {F'(100) \approx 289{,}1038}\text{.} \) Når fisken er 100 cm lang, øker vekten med omtrent 289 gram per centimeter.

Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Når lengden øker med 20 %, ganges den med \( 1{,}2\text{.} \) Vi ser hva det gjør med vekten i modellen.

1. Sett inn den nye lengden En økning på 20 % gir vekstfaktoren \( {1 + 0{,}20 = \textcolor{green}{1{,}2}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. En fisk som er \( x \) cm lang, blir altså \( \textcolor{green}{1{,}2}x \) cm lang.

I a) fant vi \( {F(x) \approx a \cdot x^b}\text{.} \) Siden \( {(\textcolor{green}{1{,}2} \cdot x)^b = \textcolor{green}{1{,}2}^b \cdot x^b}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} F(\textcolor{green}{1{,}2}x) &= a \cdot (\textcolor{green}{1{,}2}x)^b \\ F(\textcolor{green}{1{,}2}x) &= \textcolor{green}{1{,}2}^b \cdot a \cdot x^b = \textcolor{green}{1{,}2}^b \cdot F(x) \end{aligned} \]Vekten ganges med \( \textcolor{green}{1{,}2}^b\text{,} \) uansett hvor lang fisken er.

2. Regn ut økningen Med \( {b \approx 2{,}9996} \) fra a) er vekstfaktoren for vekten: \[ 1{,}2^{2{,}9996} \approx 1{,}7279 \]

Økningen er vekstfaktoren minus 1: \[ 1{,}7279 - 1 = 0{,}7279 = 72{,}79\,\% \]Vekten øker altså med omtrent 72,8 %.

1. Sammenlign to vekter Vi tar en fisk som er 100 cm, og en som er 20 % lengre, og deler vektene på hverandre:

Skriv inn i GeoGebra: k = F(1.2*100) / F(100)

GeoGebra gir \( {k \approx 1{,}7279}\text{,} \) så vekten øker med omtrent 72,8 %. Kalkulatorruten viser at det gjelder for alle lengder.