Eksamensoppgaver etter tema

Vi setter inn farten \( {x = 50} \) i formelen for \( U(x)\text{.} \)

1. Sett inn farten Med \( {x = \textcolor{blue}{50}} \) regner vi ut leddene hver for seg: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{50}) &= \dfrac{5400}{\textcolor{blue}{50}} + 0{,}0074 \cdot \textcolor{blue}{50}^2 + 50 \\ U(50) &= 108 + 18{,}5 + 50 \\ U(50) &= 176{,}5 \end{aligned} \]Her er \( {0{,}0074 \cdot 2500 = 18{,}5}\text{.} \)

Vi leter etter farten mellom \( 30 \) og \( 110\,\text{km/h} \) der \( U(x) \) er minst. Med kalkulator lager vi en verditabell, og med GeoGebra finner vi bunnpunktet på grafen.

1. Lag en grov verditabell Vi regner ut \( U(x) \) for hver tiende km/h med kalkulatoren, for eksempel: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{40}) &= \dfrac{5400}{\textcolor{blue}{40}} + 0{,}0074 \cdot \textcolor{blue}{40}^2 + 50 \\ U(40) &= 135 + 11{,}84 + 50 = 196{,}84 \end{aligned} \]

Det gir tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 40 & 196{,}84 \\ 50 & 176{,}50 \\ 60 & 166{,}64 \\ \textcolor{red}{70} & \textcolor{red}{163{,}40} \\ 80 & 164{,}86 \\ 90 & 169{,}94 \\ 100 & 178{,}00 \end{array} \]Utslippet synker fram til \( \textcolor{red}{70\,\text{km/h}} \) og stiger etterpå, så det minste utslippet ligger mellom \( 60 \) og \( 80\,\text{km/h}\text{.} \)

2. Lag en finere tabell rundt 70 Vi regner ut \( U(x) \) for hver km/h rundt \( 70\text{,} \) med tre desimaler: \[ \begin{array}{r|r} x & U(x) \\ \hline 69 & 163{,}492 \\ 70 & 163{,}403 \\ \textcolor{red}{71} & \textcolor{red}{163{,}360} \\ 72 & 163{,}362 \\ 73 & 163{,}407 \end{array} \]Det minste utslippet er ved omtrent \( \textcolor{red}{71\,\text{km/h}}\text{,} \) og da er det omtrent \( \textcolor{red}{163{,}4} \) gram per kilometer.

1. Finn bunnpunktet på grafen Vi skriver inn funksjonen med definisjonsmengden og finner bunnpunktet mellom \( 30 \) og \( 110 \) med Min, slik toppunktet finnes med Maks i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: U(x) = 5400/x + 0.0074x^2 + 50, 30 < x < 110 B = Min(U, 30, 110)

Bunnpunktet er \( {B \approx (71{,}4569,\ 163{,}3551)}\text{.} \) Utslippet er minst ved omtrent \( 71\,\text{km/h}\text{,} \) og da er det omtrent \( 163{,}4 \) gram per kilometer.

Vi finner hvor langt bilen kjører på 20 minutter, og ganger strekningen med utslippet per kilometer ved \( 90\,\text{km/h}\text{.} \)

1. Finn strekningen 20 minutter er \( {\dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3}} \) time. Strekningen er fart ganger tid, \( {s = v \cdot t}\text{:} \) \[ s = \textcolor{blue}{90}\,\text{km/h} \cdot \dfrac{1}{3}\,\text{h} = \textcolor{red}{30\,\text{km}} \]

2. Finn utslippet Ved \( \textcolor{blue}{90}\,\text{km/h} \) er utslippet per kilometer: \[ \begin{aligned} U(\textcolor{blue}{90}) &= \dfrac{5400}{\textcolor{blue}{90}} + 0{,}0074 \cdot \textcolor{blue}{90}^2 + 50 \\ U(90) &= 60 + 59{,}94 + 50 = \textcolor{green}{169{,}94} \end{aligned} \]

På \( \textcolor{red}{30} \) kilometer blir det: \[ \textcolor{green}{169{,}94}\,\text{g/km} \cdot \textcolor{red}{30\,\text{km}} = 5098{,}2\,\text{g} \]

Kvadratene gjør platen kortere og smalere, og sidekantene som brettes opp, blir høyden. Vi regner i desimeter, fordi \( 1\,\text{dm}^3 \) er \( 1 \) liter.

1. Finn målene på kassen Det går \( 100\,\text{mm} \) på \( 1\,\text{dm}\text{,} \) så platen er \( 12\,\text{dm} \) lang og \( 8\,\text{dm} \) bred, og kvadratene har side \( 1\,\text{dm}\text{.} \) Et kvadrat skjæres bort i hver ende, så lengden og bredden blir \( {2 \cdot 1\,\text{dm}} \) kortere: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{l} &= 12\,\text{dm} - 2\,\text{dm} = \textcolor{blue}{10\,\text{dm}} \\ \textcolor{red}{b} &= 8\,\text{dm} - 2\,\text{dm} = \textcolor{red}{6\,\text{dm}} \\ \textcolor{green}{h} &= \textcolor{green}{1\,\text{dm}} \end{aligned} \]

2. Regn ut volumet Volumet av en kasse er lengde ganger bredde ganger høyde: \[ V = \textcolor{blue}{l} \cdot \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{h} \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Volum og Overflate.

Vi ganger tallene for seg og enhetene for seg, og \( {\text{dm} \cdot \text{dm} \cdot \text{dm} = \text{dm}^3}\text{:} \) \[ \begin{aligned} V &= \textcolor{blue}{10\,\text{dm}} \cdot \textcolor{red}{6\,\text{dm}} \cdot \textcolor{green}{1\,\text{dm}} \\ V &= 60\,\text{dm}^3 = 60\,\text{L} \end{aligned} \]

Vi regner ut volumet på samme måte som i a).

Vi lager en tabell der sidene i kvadratene øker med \( 0{,}5\,\text{dm}\text{,} \) og regner ut volumet for hver av dem. Der volumet er størst i tabellen, ser vi omtrent hvor lange sidene bør være.

1. Sett opp volumet Med kvadrater med side \( \textcolor{green}{x} \) dm blir kassen \( {\textcolor{blue}{12 - 2x}} \) dm lang, \( {\textcolor{red}{8 - 2x}} \) dm bred og \( \textcolor{green}{x} \) dm høy. Volumet i liter er lengde ganger bredde ganger høyde, som i videoen Volum og Overflate: \[ V = (\textcolor{blue}{12 - 2x}) \cdot (\textcolor{red}{8 - 2x}) \cdot \textcolor{green}{x} \]

2. Lag tabellen For \( {\textcolor{green}{x} = 1{,}5} \) er kassen \( 9 \) dm lang og \( 5 \) dm bred, så \( {V = 9 \cdot 5 \cdot 1{,}5 = 67{,}5}\text{.} \) Slik regner vi ut hver rad: \[ \begin{array}{r|r|r|r} \textcolor{green}{x} & \textcolor{blue}{12 - 2x} & \textcolor{red}{8 - 2x} & V \\ \hline 0{,}5 & 11 & 7 & 38{,}5 \\ 1{,}0 & 10 & 6 & 60{,}0 \\ \underline{1{,}5} & 9 & 5 & \underline{67{,}5} \\ 2{,}0 & 8 & 4 & 64{,}0 \\ 2{,}5 & 7 & 3 & 52{,}5 \\ 3{,}0 & 6 & 2 & 36{,}0 \\ 3{,}5 & 5 & 1 & 17{,}5 \end{array} \]Volumet øker fram til \( {x = 1{,}5} \) og minker etterpå, så det største volumet får vi når sidene i kvadratene er omtrent \( {1{,}5\,\text{dm} = 150\,\text{mm}}\text{.} \)

Vi bruker uttrykket for volumet og tabellen fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Alle de tre målene på kassen avhenger av sidene \( x \) i kvadratene. Volumet som funksjon av \( x \) er uttrykket fra b), og grafen tegner vi fra tabellen eller i GeoGebra.

1. Sett opp funksjonsuttrykket Med kvadrater med side \( \textcolor{green}{x} \) dm er kassen \( {\textcolor{blue}{12 - 2x}} \) dm lang, \( {\textcolor{red}{8 - 2x}} \) dm bred og \( \textcolor{green}{x} \) dm høy. Volumet i liter er: \[ V(x) = \textcolor{green}{x} \cdot (\textcolor{blue}{12 - 2x}) \cdot (\textcolor{red}{8 - 2x}) \]

2. Tegn grafen Vi setter av punktene fra tabellen i b) og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Grafen starter i \( 0\text{,} \) stiger til en topp nær \( {x = 1{,}5} \) og synker til \( 0 \) igjen ved \( {x = 4}\text{.} \)

1. Tegn grafen Vi skriver inn funksjonen med en start og en slutt for \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x), 0 < x < 4

Grafen viser volumet for alle sidelengder mellom \( 0 \) og \( 4 \) dm, med toppen mellom \( {x = 1} \) og \( {x = 2}\text{.} \)

Vi bruker funksjonen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Vi leter etter toppunktet på grafen til \( V\text{.} \) Med kalkulator lager vi finere tabeller rundt \( {x = 1{,}5}\text{,} \) og med GeoGebra finner vi toppunktet direkte.

1. Lag en finere tabell I c) fant vi: \[ V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x) \]I b) var volumet størst ved \( {x = 1{,}5}\text{.} \) Vi regner ut \( V(x) \) for hver tiendedel rundt \( 1{,}5\text{:} \) \[ \begin{array}{r|r} x & V(x) \\ \hline 1{,}4 & 66{,}976 \\ 1{,}5 & 67{,}500 \\ \textcolor{red}{1{,}6} & \textcolor{red}{67{,}584} \\ 1{,}7 & 67{,}252 \end{array} \]Toppunktet ligger altså mellom \( 1{,}5 \) og \( 1{,}7\text{.} \)

2. Lag en enda finere tabell Vi regner ut \( V(x) \) for hver hundredel fra \( 1{,}55 \) og ser hvor volumet snur: \[ \begin{array}{r|r} x & V(x) \\ \hline 1{,}55 & 67{,}5955 \\ 1{,}56 & 67{,}6017 \\ \textcolor{red}{1{,}57} & \textcolor{red}{67{,}6036} \\ 1{,}58 & 67{,}6012 \\ 1{,}59 & 67{,}5947 \end{array} \]Volumet er størst ved omtrent \( {\textcolor{red}{x = 1{,}57}}\text{,} \) altså kvadrater med sider på omtrent \( 157\,\text{mm}\text{.} \) Da er volumet omtrent \( \textcolor{red}{67{,}6} \) liter.

1. Finn toppunktet Vi finner toppunktet med Ekstremalpunkt mellom \( 0 \) og \( 4\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023:

Skriv inn i GeoGebra: V(x) = x(12 - 2x)(8 - 2x), 0 < x < 4 T = Ekstremalpunkt(V, 0, 4)

Toppunktet er \( {T \approx (1{,}5695,\ 67{,}6036)}\text{.} \) Sidene i kvadratene skal være omtrent \( 1{,}57 \) dm, altså \( 157\,\text{mm}\text{,} \) og volumet blir omtrent \( 67{,}6 \) liter.

Vi bruker funksjonen fra c). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Modellen gir bare mening for de sidene i kvadratene som gir en kasse. Vi ser hvilke verdier av \( x \) som gir en positiv høyde, lengde og bredde.

1. Finn grensene Gyldighetsområdet er de verdiene av \( x \) der modellen beskriver kassene, som i videoen Oppgave 5B (Del 2) - S1 Eksamen Høst 2023, der sidelengdene ikke kan være negative. I c) fant vi: \[ V(x) = \textcolor{green}{x} \cdot (\textcolor{blue}{12 - 2x}) \cdot (\textcolor{red}{8 - 2x}) \]

Høyden \( \textcolor{green}{x} \) må være større enn \( 0\text{.} \) Bredden \( {\textcolor{red}{8 - 2x}} \) må også være større enn \( 0\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{8 - 2x} &> 0 \\ 8 &> 2x \\ x &< 4 \end{aligned} \]Da er også lengden \( {\textcolor{blue}{12 - 2x}} \) positiv.

For \( {x = 0} \) og \( {x = 4} \) er volumet \( 0\text{,} \) og da blir det ingen kasse. Ved \( {x = 4}\text{,} \) altså \( 400\,\text{mm}\text{,} \) skjæres hele bredden bort.

Vi sammenligner modellen med tallene i tabellen. Med kalkulator regner vi ut \( O(x) \) for antallene i tabellen, og med GeoGebra bruker vi andregradsregresjon på punktene.

1. Regn ut modellverdiene For \( \textcolor{blue}{100} \) bagetter er \( {-0{,}09 \cdot \textcolor{blue}{100}^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot \textcolor{blue}{100} = 5104}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{100}) &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{red}{1427{,}02} \end{aligned} \]

Slik regner vi ut \( \textcolor{red}{O(x)} \) for alle sju antallene, avrundet til hele kroner, og setter dem ved siden av overskuddet i tabellen: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \text{Overskudd} & \textcolor{red}{O(x)} \\ \hline 100 & 1450 & \textcolor{red}{1427} \\ 130 & 2300 & \textcolor{red}{2337} \\ 160 & 3050 & \textcolor{red}{3085} \\ 175 & 3365 & \textcolor{red}{3399} \\ 190 & 3720 & \textcolor{red}{3672} \\ 220 & 4140 & \textcolor{red}{4096} \\ 235 & 4175 & \textcolor{red}{4247} \end{array} \]

2. Vurder modellen Modellverdiene bommer med høyst \( 72 \) kroner, ved \( 235 \) bagetter, og det er under \( 2\,\% \) av overskuddet. Modellen følger tabellen godt for alle de sju ukene, så \( O \) er en god modell.

1. Bruk andregradsregresjon Andregradsregresjon finner den andregradsfunksjonen som går så nær punktene som mulig. Vi legger punktene i en liste og bruker RegPoly med grad \( 2\text{,} \) som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(100, 1450), (130, 2300), (160, 3050), (175, 3365), (190, 3720), (220, 4140), (235, 4175)} f(x) = RegPoly(l1, 2)

GeoGebra gir: \[ \begin{aligned} f(x) &\approx \textcolor{blue}{-0{,}0903}x^2 + \textcolor{red}{51{,}0367}x \\ &\quad \textcolor{green}{{}- 2776{,}9766} \end{aligned} \]Avrundet til to desimaler blir \( {\textcolor{blue}{-0{,}0903}} \) til \( {\textcolor{blue}{-0{,}09}}\text{,} \) \( \textcolor{red}{51{,}0367} \) til \( \textcolor{red}{51{,}04} \) og \( {\textcolor{green}{-2776{,}9766}} \) til \( {\textcolor{green}{-2776{,}98}}\text{.} \) Det er akkurat \( O(x)\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Derfor er \( O \) en god modell.

Vi leter etter antallet bagetter der \( O(x) \) er størst. Med kalkulator lager vi en verditabell, og med GeoGebra finner vi toppunktet på grafen.

1. Lag en grov verditabell Tabellen i oppgaven viser at overskuddet fortsatt øker ved \( 235 \) bagetter. Vi regner derfor ut \( O(x) \) med kalkulatoren for hver tiende bagett fra \( 250\text{.} \) For eksempel er \( {-0{,}09 \cdot \textcolor{blue}{280}^2 = -7056} \) og \( {51{,}04 \cdot \textcolor{blue}{280} = 14\,291{,}2}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} O(\textcolor{blue}{280}) &= -7056 + 14\,291{,}2 \\ &\quad - 2776{,}98 \\ &= 4458{,}22 \end{aligned} \]

Det gir tabellen: \[ \begin{array}{r|r} x & O(x) \\ \hline 250 & 4358{,}02 \\ 260 & 4409{,}42 \\ 270 & 4442{,}82 \\ \textcolor{red}{280} & \textcolor{red}{4458{,}22} \\ 290 & 4455{,}62 \\ 300 & 4435{,}02 \\ 310 & 4396{,}42 \end{array} \]Overskuddet øker fram til \( \textcolor{red}{280} \) bagetter og synker etterpå. \( O(290) \) er nesten like stor som \( O(280)\text{,} \) mens \( O(270) \) er tydelig mindre, så toppen ligger mellom \( 280 \) og \( 290\text{.} \)

2. Lag en finere tabell Vi regner ut \( O(x) \) for hver bagett mellom \( 280 \) og \( 290\text{,} \) med to desimaler: \[ \begin{array}{r|r} x & O(x) \\ \hline 281 & 4458{,}77 \\ 282 & 4459{,}14 \\ 283 & 4459{,}33 \\ \textcolor{red}{284} & \textcolor{red}{4459{,}34} \\ 285 & 4459{,}17 \\ 286 & 4458{,}82 \\ 287 & 4458{,}29 \\ 288 & 4457{,}58 \\ 289 & 4456{,}69 \end{array} \]Det største overskuddet er ved \( \textcolor{red}{284} \) bagetter, og da er det omtrent \( \textcolor{red}{4459} \) kroner.

1. Finn toppunktet på grafen Vi skriver inn \( O \) og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: O(x) = -0.09x^2 + 51.04x - 2776.98 T = Maks(O, 0, 500)

Toppunktet er \( {T \approx (283{,}56,\ 4459{,}36)}\text{.} \) Kantinen selger hele bagetter, og nærmest \( 283{,}56 \) er \( 284 \) bagetter. Overskuddet er da omtrent \( 4459 \) kroner.

Stigningstallet er endringen i \( O \) delt på endringen i \( x\text{.} \) Vi regner ut \( O(100) \) og \( O(200)\text{,} \) og deler forskjellen på de 100 bagettene mellom dem.

1. Regn ut de to verdiene For \( {x = 100} \) er \( {-0{,}09 \cdot 100^2 = -900} \) og \( {51{,}04 \cdot 100 = 5104}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{O(100)} &= -900 + 5104 - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{blue}{1427{,}02} \end{aligned} \]

For \( {x = 200} \) er \( {-0{,}09 \cdot 200^2 = -3600} \) og \( {51{,}04 \cdot 200 = 10\,208}\text{,} \) så: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{O(200)} &= -3600 + 10\,208 \\ &\quad - 2776{,}98 \\ &= \textcolor{red}{3831{,}02} \end{aligned} \]

2. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \]

Det gir oss: \[ \begin{aligned} a &= \dfrac{\textcolor{red}{3831{,}02} - \textcolor{blue}{1427{,}02}}{200 - 100} \\ &= \dfrac{2404}{100} = 24{,}04 \end{aligned} \]

3. Tolk svaret \( O(x) \) er overskuddet i kroner og \( x \) antall bagetter, så stigningstallet er kroner per bagett. Når salget øker fra 100 til 200 bagetter i uka, øker overskuddet i gjennomsnitt med \( 24{,}04 \) kroner for hver ekstra bagett.