Hopp til hovedinnholdet
Spar 15 % på abonnementet · kode LOCKIN15

Eksamensoppgaver etter tema

Øv på ett tema om gangen. Velg fag og tema, så henter vi oppgavene fra alle eksamenene vi har lagt ut. Prøv selv først – løsningen ligger under oppgaven når du står fast.

Fag

Del

Velger du flere tema, får du oppgavene som har alle sammen.

83 oppgaver i 1P · viser 31–40

Oppgavene

1P høst 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 7

6 poeng

Selma og Sofie vil lage et blomsterbed med gjerde rundt. Blomsterbedet skal ha form som et rektangel med en halvsirkel i enden. Se skissen nedenfor.
Formler for omkrets og areal av en sirkel
O=2⋅π⋅rA=π⋅r2 \begin{aligned} O &= 2 \cdot \pi \cdot r \\ A &= \pi \cdot r^2 \end{aligned}

Oppgave 7a)

Forklar at omkretsen O O av blomsterbedet kan skrives som
O=2⋅y+x+π⋅x2 O = 2 \cdot y + x + \dfrac{\pi \cdot x}{2}
Vis løsning på oppgave 7a
Svar
Gjerdet er to sider y, y\text{,} én side x x og en halvsirkel med diameter x: x\text{:}
O=2⋅y+x+π⋅x2‾‾ \underline{\underline{O = 2 \cdot y + x + \dfrac{\pi \cdot x}{2}}}
Gjerdet går rundt hele bedet: langs to lange sider, én kort side og halvsirkelen. Vi legger sammen lengdene.
Metode: For hånd
1. Se hva x og y er Skissen har ingen mål, men formelen viser at \( \textcolor{red}{y} \) er de to lange sidene og \( \textcolor{blue}{x} \) den korte siden. Den korte siden er like lang som diameteren i halvsirkelen:
2. Legg sammen sidene og halvsirkelen Omkretsen er summen av alle sidene, som i videoen Areal og Omkrets. Rektangelet gir to sider \( \textcolor{red}{y} \) og én side \( \textcolor{blue}{x}\text{.} \) Den fjerde siden ligger inni bedet, der halvsirkelen begynner, så den har ikke gjerde: \[ \textcolor{red}{y} + \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} = 2 \cdot \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} \]
Halvsirkelen er halve omkretsen av en sirkel med radius \( {r = \dfrac{x}{2}}\text{.} \) Med \( {O = 2 \cdot \pi \cdot r} \) fra oppgaven blir den: \[ \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \pi \cdot \dfrac{x}{2} = \textcolor{green}{\dfrac{\pi \cdot x}{2}} \]
Slår vi dette sammen, får vi: \[ O = 2 \cdot \textcolor{red}{y} + \textcolor{blue}{x} + \textcolor{green}{\dfrac{\pi \cdot x}{2}} \]
Jentene har kjøpt inn materialer slik at de kan lage et gjerde som er 12 meter.
Selma foreslår at x x skal være 1 meter.

Oppgave 7b)

Vis at y y da må være ca. 4,7 4{,}7 meter.
Vis løsning på oppgave 7b
Svar
Med x=1 {x = 1} er y≈4,7146, {y \approx 4{,}7146}\text{,} altså:
y≈4,7 m‾‾ \underline{\underline{y \approx 4{,}7\,\text{m}}}
Formelen for omkretsen står i oppgaveteksten til a), så du kan løse denne selv om du ikke fikk til a).
Gjerdet er 12 meter, så omkretsen er 12. Vi setter inn \( {x = 1} \) i formelen og løser for \( y\text{.} \)
Metode: For hånd
1. Sett inn i formelen Med \( {O = 12} \) og \( {x = \textcolor{blue}{1}} \) gir formelen fra a): \[ 2 \cdot y + \textcolor{blue}{1} + \dfrac{\pi \cdot \textcolor{blue}{1}}{2} = 12 \]
2. Løs for y Vi trekker fra \( 1 \) og \( \dfrac{\pi}{2} \) på begge sider, og deler så med 2: \[ \begin{aligned} 2y &= 11 - \dfrac{\pi}{2} \approx 9{,}4292 \\ y &\approx \dfrac{9{,}4292}{2} \approx 4{,}7146 \end{aligned} \]Avrundet til én desimal er \( {y \approx 4{,}7} \) meter.

Oppgave 7c)

Hvor stort blir arealet av blomsterbedet dersom x=1 {x = 1} og y=4,7? {y = 4{,}7}\text{?}
Vis løsning på oppgave 7c
Svar
Avrundet til to desimaler er arealet:
Omtrent 5,09 m2‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 5{,}09\,\text{m}^2}}
Bedet er et rektangel og en halvsirkel. Vi finner arealet av hver del og legger sammen.
Metode: For hånd
1. Finn arealet av rektangelet Arealet av et rektangel er lengde ganger bredde, som i videoen Areal og Omkrets: \[ \textcolor{red}{A_1} = 4{,}7\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} = \textcolor{red}{4{,}7}\,\text{m}^2 \]
2. Finn arealet av halvsirkelen Halvsirkelen har diameter 1 m, altså radius \( {r = 0{,}5\,\text{m}}\text{.} \) Med \( {A = \pi \cdot r^2} \) fra oppgaven er en halv sirkel: \[ \textcolor{green}{A_2} = \dfrac{\pi \cdot (0{,}5\,\text{m})^2}{2} \approx \textcolor{green}{0{,}3927}\,\text{m}^2 \]
Slår vi dette sammen, får vi: \[ \begin{aligned} A &= \textcolor{red}{A_1} + \textcolor{green}{A_2} \\ A &\approx \textcolor{red}{4{,}7} + \textcolor{green}{0{,}3927} \approx 5{,}09\,\text{m}^2 \end{aligned} \]
Sofie vil lage en systematisk oversikt som viser arealet av ulike blomsterbed de kan lage når gjerdet skal være 12 meter.

Oppgave 7d)

Lag en slik oversikt for Sofie.
Vis løsning på oppgave 7d
Svar
Arealet A A i m² for x x og y y i meter, avrundet til to desimaler:
xyA0,55,362,78‾‾14,715,11‾‾1,54,076,99‾‾23,438,43‾‾2,52,799,42‾‾32,149,97‾‾3,51,5010,06‾‾40,869,72‾‾4,50,228,92‾‾ \begin{array}{r|r|r} x & y & A \\ \hline 0{,}5 & 5{,}36 & \underline{\underline{2{,}78}} \\ 1 & 4{,}71 & \underline{\underline{5{,}11}} \\ 1{,}5 & 4{,}07 & \underline{\underline{6{,}99}} \\ 2 & 3{,}43 & \underline{\underline{8{,}43}} \\ 2{,}5 & 2{,}79 & \underline{\underline{9{,}42}} \\ 3 & 2{,}14 & \underline{\underline{9{,}97}} \\ 3{,}5 & 1{,}50 & \underline{\underline{10{,}06}} \\ 4 & 0{,}86 & \underline{\underline{9{,}72}} \\ 4{,}5 & 0{,}22 & \underline{\underline{8{,}92}} \end{array}
Vi bruker formelen for omkretsen fra a) og regner ut arealet som i c).
Gjerdet er alltid 12 meter, så når vi velger \( x\text{,} \) er \( y \) bestemt. Vi lager en tabell med ulike verdier av \( x\text{,} \) og regner ut \( y \) og arealet for hver av dem.
Metode: For hånd
1. Skriv y og arealet med x Med \( {O = 12} \) i formelen fra a) får vi: \[ \begin{aligned} 2y &= 12 - x - \dfrac{\pi x}{2} \\ \textcolor{red}{y} &= 6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4} \end{aligned} \]Lengden \( \textcolor{red}{y} \) må være positiv, og det er den når \( x \) er mindre enn omtrent \( 4{,}67\text{.} \)
Arealet er rektangelet, lengde ganger bredde som i videoen Areal og Omkrets, pluss halvsirkelen med radius \( \dfrac{x}{2}\text{:} \) \[ A = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi}{2} \cdot \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi x^2}{8} \]
2. Regn ut radene i tabellen For \( {x = 1} \) får vi: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{y} &= 6 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\pi}{4} \approx \textcolor{red}{4{,}7146} \\ A &\approx 1 \cdot \textcolor{red}{4{,}7146} + \dfrac{\pi}{8} \approx 5{,}11 \end{aligned} \]Slik regner vi ut \( y \) og \( A \) for \( x \) fra 0,5 til 4,5 meter, med et halvt meters mellomrom. Tabellen står i svaret. Arealet er størst når \( x \) er mellom 3 og 4 meter. Andre valg av \( x \) gir også en riktig oversikt.
Merk – Avrunding: For \( {x = 1} \) er arealet her \( 5{,}11\,\text{m}^2\text{,} \) mens c) ga \( 5{,}09\,\text{m}^2\text{.} \) I c) var \( y \) avrundet til 4,7 m.
Selma lurer på om de kan tegne en graf som de kan bruke for å finne den verdien av x x som vil gi størst mulig areal når gjerdet skal være 12 meter. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk hun kan bruke.

Oppgave 7e)

Sett opp et funksjonsuttrykk for Selma. Tegn grafen og bestem det størst mulige arealet.
Vis løsning på oppgave 7e
Svar
Arealet er størst når x≈3,4 {x \approx 3{,}4} m. Med arealet avrundet til to desimaler:
A(x)=6x−(12+π8)x2‾‾Amaks≈10,08 m2‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{A(x) = 6x - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{8}\right) x^2}} \\ &\underline{\underline{A_{\text{maks}} \approx 10{,}08\,\text{m}^2}} \end{aligned}
Vi bruker uttrykkene for \( y \) og arealet fra d). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Vi setter uttrykket for \( y \) inn i arealet, så arealet bare avhenger av \( x\text{.} \) Så tegner vi grafen og finner toppunktet.
Metode: Med kalkulator
1. Sett opp funksjonsuttrykket I d) fant vi \( {\textcolor{red}{y} = 6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4}} \) og \( {A = x \cdot \textcolor{red}{y} + \dfrac{\pi x^2}{8}}\text{.} \) Setter vi inn \( \textcolor{red}{y}\text{,} \) får vi arealet som en funksjon av \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} A(x) &= x\textcolor{red}{\left(6 - \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi x}{4}\right)} + \dfrac{\pi x^2}{8} \\ A(x) &= 6x - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{\pi x^2}{4} + \dfrac{\pi x^2}{8} \\ A(x) &= 6x - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{8}\right) x^2 \end{aligned} \]Her er \( x \) mellom 0 og omtrent \( 4{,}67\text{,} \) fordi \( \textcolor{red}{y} \) må være positiv.
2. Tegn grafen Vi tegner punktene fra tabellen i d) og trekker en jevn kurve gjennom dem:
Grafen stiger til et toppunkt mellom \( {x = 3} \) og \( {x = 4}\text{,} \) og synker så.
3. Finn toppunktet med en finere tabell Vi regner ut \( A(x) \) rundt toppunktet, med tre desimaler: \[ \begin{array}{r|r} x & A(x) \\ \hline 3{,}2 & 10{,}059 \\ 3{,}3 & 10{,}079 \\ \textcolor{blue}{3{,}4} & \textcolor{blue}{10{,}080} \\ 3{,}5 & 10{,}064 \end{array} \]Det største arealet er omtrent \( \textcolor{blue}{10{,}08}\,\text{m}^2\text{,} \) når \( x \) er omtrent 3,4 meter.
Metode: Med GeoGebra
1. Finn toppunktet med Maks Vi skriver inn arealfunksjonen med definisjonsmengden og finner toppunktet med Maks, som i videoen Oppgave 5B - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: A(x) = x (12 - x - pi x / 2) / 2 + pi x^2 / 8, 0 < x < 4.67 T = Maks(A, 0, 4.67)
Toppunktet er \( {T \approx (3{,}3606,\ 10{,}0818)}\text{.} \) Det størst mulige arealet er omtrent \( 10{,}08\,\text{m}^2\text{,} \) når \( {x \approx 3{,}36} \) m.

1P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 1

1 poeng

En sjokoladeplate koster 40 kroner i en butikk og 60 kroner på en bensinstasjon.
Hvor mange prosent dyrere er sjokoladeplaten på bensinstasjonen?
Vis løsning på oppgave 1

Svar

På bensinstasjonen er sjokoladeplaten:
50 % dyrere‾‾ \underline{\underline{50\,\% \text{ dyrere}}}
Vi sammenligner prisen på bensinstasjonen med prisen i butikken. Vi deler derfor endringen i pris på butikkprisen, som er den gamle prisen.
1. Finn endringen i pris Formelen for hvor mange prosent dyrere noe er, forteller oss at: \[ \text{prosent dyrere} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Akkurat denne oppgaven er løst på samme måte i videoen Regler og Formler med Prosent.
Platen er dyrere på bensinstasjonen enn i butikken, så den gamle prisen er butikkprisen, \( \textcolor{blue}{40} \) kroner. Endringen er ny pris minus gammel pris: \[ \textcolor{red}{\text{endring}} = 60 - \textcolor{blue}{40} = \textcolor{red}{20} \]
2. Del på den gamle prisen Plugger vi dette inn i formelen, får vi: \[ \text{prosent dyrere} = \dfrac{\textcolor{red}{20}}{\textcolor{blue}{40}} \cdot 100\,\% \]
Vi forkorter brøken med \( 20 \) og ganger med \( 100\,\%\text{:} \) \[ \dfrac{20}{40} \cdot 100\,\% = \dfrac{1}{2} \cdot 100\,\% = 50\,\% \]

1P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 2

1 poeng

I en kommune fikk Arbeiderpartiet 40 % 40\,\% av stemmene ved forrige valg. Senterpartiet fikk 20 % 20\,\% av stemmene. En meningsmåling viser at begge partiene har økt sin oppslutning med 5 prosentpoeng siden valget.
Hvilket parti har hatt størst prosentvis framgang? Husk å begrunne svaret.
Vis løsning på oppgave 2

Svar

Senterpartiet økte med 25 % 25\,\% og Arbeiderpartiet med 12,5 %: 12{,}5\,\%\text{:}
Senterpartiet‾‾ \underline{\underline{\text{Senterpartiet}}}
Begge partiene har økt med 5 prosentpoeng, men fra ulike nivåer. Vi finner hvor mange prosent økningen er av oppslutningen ved valget, for hvert parti.
1. Skriv opp formelen Hvor mange prosent noe har økt, finner vi med: \[ \text{prosent} = \dfrac{\textcolor{red}{\text{endring}}}{\textcolor{blue}{\text{gammel}}} \cdot 100\,\% \]Hvis du er usikker på denne formelen, kan du se videoen Regler og Formler med Prosent.
Endringen er \( \textcolor{red}{5} \) prosentpoeng for begge partiene. Den gamle verdien er oppslutningen ved valget, \( \textcolor{blue}{40\,\%} \) og \( \textcolor{blue}{20\,\%}\text{.} \)
2. Regn ut for hvert parti Arbeiderpartiet økte fra \( 40\,\% \) til \( 45\,\%\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{5}}{\textcolor{blue}{40}} \cdot 100\,\% = \dfrac{1}{8} \cdot 100\,\% = \underline{12{,}5\,\%} \]
Senterpartiet økte fra \( 20\,\% \) til \( 25\,\%\text{:} \) \[ \dfrac{\textcolor{red}{5}}{\textcolor{blue}{20}} \cdot 100\,\% = \dfrac{1}{4} \cdot 100\,\% = \underline{25\,\%} \]
De samme 5 prosentpoengene er en dobbelt så stor del av \( 20\,\% \) som av \( 40\,\%\text{.} \) Senterpartiet har derfor hatt størst prosentvis framgang.

1P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 3

3 poeng

Beskriv en praktisk situasjon der to størrelser er omvendt proporsjonale. Forklar hvorfor størrelsene er omvendt proporsjonale.
Tegn en graf som illustrerer sammenhengen mellom størrelsene. Marker tre punkter på grafen, og sett riktige koordinater på punktene.
Vis løsning på oppgave 3

Svar

Fart og tid på en tur på 120 km 120\,\text{km} er omvendt proporsjonale, fordi v⋅t=120, {v \cdot t = 120}\text{,} og grafen går for eksempel gjennom:
(40,3), (60,2) og (120,1)‾‾ \underline{\underline{(40, 3),\ (60, 2) \text{ og } (120, 1)}}
To størrelser er omvendt proporsjonale når produktet av dem er det samme hele tiden. Vi velger en tur med fast lengde, der fart ganger tid alltid er lik strekningen.
1. Beskriv situasjonen Vi skal kjøre en tur på \( 120\,\text{km}\text{.} \) Farten er \( \textcolor{blue}{v} \) km/h, og tiden turen tar, er \( \textcolor{red}{t} \) timer. Jo fortere vi kjører, desto kortere tid bruker vi.
2. Forklar hvorfor de er omvendt proporsjonale To størrelser \( x \) og \( y \) er omvendt proporsjonale når produktet av dem er et fast tall \( k\text{:} \) \[ x \cdot y = k \]
Strekningen er fart ganger tid, og den er \( 120\,\text{km} \) uansett hvor fort vi kjører: \[ \textcolor{blue}{v} \cdot \textcolor{red}{t} = 120 \]Produktet er det samme hele tiden, så farten og tiden er omvendt proporsjonale. Dobler vi farten, blir tiden halvparten så lang.
3. Regn ut tre punkter Vi deler med \( \textcolor{blue}{v} \) på begge sider og får \( {\textcolor{red}{t} = \dfrac{120}{\textcolor{blue}{v}}}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{v} = 40 \text{ gir } \textcolor{red}{t} &= \dfrac{120}{40} = 3 \\ \textcolor{blue}{v} = 60 \text{ gir } \textcolor{red}{t} &= \dfrac{120}{60} = 2 \\ \textcolor{blue}{v} = 120 \text{ gir } \textcolor{red}{t} &= \dfrac{120}{120} = 1 \end{aligned} \]
4. Tegn grafen Vi setter av punktene \( (40, 3)\text{,} \) \( (60, 2) \) og \( (120, 1) \) og trekker en jevn kurve gjennom dem:
Kurven når aldri førsteaksen, fordi tiden aldri blir \( 0\text{.} \)
Andre situasjoner er også riktige, for eksempel antall personer som deler en regning på 600 kroner likt, og beløpet hver av dem betaler.

1P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 4

2 poeng

Klassen til Elias arbeider med oppgaven nedenfor.
Oppgave
□⋅10□⋅□⋅10□= \square \cdot 10^{\square} \cdot \square \cdot 10^{\square} =
Skriv av og fyll inn ett tall i hver av de fire rutene i uttrykket ovenfor slik at svaret blir 8 000 000 000. 8\,000\,000\,000\text{.} Du kan ikke bruke det samme tallet flere ganger.
Elias påstår at det er mulig å bruke åtte av de ti tallene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 og sette opp to ulike løsninger av oppgaven.
Vis at Elias har rett.
Vis løsning på oppgave 4

Svar

To løsninger som begge blir 8 000 000 000, 8\,000\,000\,000\text{,} og som til sammen bruker åtte ulike tall:
1⋅100⋅8⋅109‾‾2⋅103⋅4⋅106‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{1 \cdot 10^0 \cdot 8 \cdot 10^9}} \\ &\underline{\underline{2 \cdot 10^3 \cdot 4 \cdot 10^6}} \end{aligned}
Vi skriver svaret med en tierpotens. Da ser vi hva tallene i rutene må være, og kan sette opp to løsninger som ikke har noe tall felles.
1. Skriv svaret med en tierpotens \( 8\,000\,000\,000 \) er \( 8 \) med \( 9 \) nuller etter: \[ 8\,000\,000\,000 = 8 \cdot 10^9 \]
2. Finn hva rutene må være Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene: \[ 10^m \cdot 10^n = 10^{m + n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.
Vi kaller tallene i de store rutene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{blue}{b}\text{,} \) og eksponentene \( \textcolor{red}{m} \) og \( \textcolor{red}{n}\text{.} \) Vi bytter rekkefølgen på faktorene, som i videoen Standardform: Gange og Dele: \[ \textcolor{blue}{a} \cdot 10^{\textcolor{red}{m}} \cdot \textcolor{blue}{b} \cdot 10^{\textcolor{red}{n}} = \textcolor{blue}{a \cdot b} \cdot 10^{\textcolor{red}{m + n}} \]Skal dette bli \( {8 \cdot 10^9}\text{,} \) må \( {\textcolor{blue}{a \cdot b} = 8} \) og \( {\textcolor{red}{m + n} = 9}\text{.} \)
3. Sett opp to løsninger Vi får \( 8 \) som \( {1 \cdot 8} \) og som \( {2 \cdot 4}\text{.} \) Da er \( 1\text{,} \) \( 2\text{,} \) \( 4 \) og \( 8 \) brukt, så eksponentene tar vi fra de andre tallene: \( {9 = 0 + 9} \) og \( {9 = 3 + 6}\text{:} \) \[ \begin{aligned} \textcolor{blue}{1} \cdot 10^{\textcolor{red}{0}} \cdot \textcolor{blue}{8} \cdot 10^{\textcolor{red}{9}} &= 8 \cdot 10^{0 + 9} = 8 \cdot 10^9 \\ \textcolor{blue}{2} \cdot 10^{\textcolor{red}{3}} \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot 10^{\textcolor{red}{6}} &= 8 \cdot 10^{3 + 6} = 8 \cdot 10^9 \end{aligned} \]
Den første løsningen bruker \( 1\text{,} \) \( 0\text{,} \) \( 8 \) og \( 9\text{,} \) og den andre \( 2\text{,} \) \( 3\text{,} \) \( 4 \) og \( 6\text{.} \) Det er åtte ulike tall, og ingen er brukt to ganger. Elias har altså rett.

1P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 5

2 poeng

I blodet er det tre hovedtyper blodceller. De tre hovedtypene er hvite blodceller, røde blodceller og blodplater.
I en liter blod er det 7⋅109 {7 \cdot 10^9} hvite blodceller, 5⋅1012 {5 \cdot 10^{12}} røde blodceller og 3⋅1011 {3 \cdot 10^{11}} blodplater.
Hvor mange blodceller blir dette til sammen?
Vis løsning på oppgave 5

Svar

I en liter blod er det til sammen:
5,307⋅1012 blodceller‾‾ \underline{\underline{5{,}307 \cdot 10^{12} \text{ blodceller}}}
Tallene har ulike tierpotenser. Vi skriver alle med \( 10^9 \) og legger sammen tallene foran.
1. Skriv tallene med samme tierpotens Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene: \[ 10^m \cdot 10^n = 10^{m + n} \]Hvis du er usikker på denne regelen, kan du se videoen Flere regneregler med Potenser.
Siden \( {10^{12} = 10^3 \cdot 10^9} \) og \( {10^{11} = 10^2 \cdot 10^9}\text{,} \) får vi: \[ \begin{aligned} 5 \cdot 10^{12} &= 5 \cdot 10^3 \cdot 10^9 = \textcolor{red}{5000} \cdot 10^9 \\ 3 \cdot 10^{11} &= 3 \cdot 10^2 \cdot 10^9 = \textcolor{green}{300} \cdot 10^9 \end{aligned} \]
2. Legg sammen De hvite blodcellene er \( {\textcolor{blue}{7} \cdot 10^9}\text{.} \) Nå har alle tre tallene \( 10^9\text{,} \) så vi legger sammen tallene foran: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{7} \cdot 10^9 + \textcolor{red}{5000} \cdot 10^9 + \textcolor{green}{300} \cdot 10^9 \\ &= (\textcolor{blue}{7} + \textcolor{red}{5000} + \textcolor{green}{300}) \cdot 10^9 \\ &= 5307 \cdot 10^9 \end{aligned} \]
På standardform flytter vi kommaet tre plasser til venstre, som i videoen Hva er Standardform?, og legger \( 3 \) til eksponenten: \[ 5307 \cdot 10^9 = 5{,}307 \cdot 10^{12} \]

1P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 6

2 poeng

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Oppgave 6a)

Hvor mange små grønne kvadrater vil det være i figur 5?
Vis løsning på oppgave 6a
Svar
36 sma˚ grønne kvadrater‾‾ \underline{\underline{36 \text{ små grønne kvadrater}}}
Vi ser at hver figur består av en blokk øverst og tre deler under den. Vi finner hvor mange kvadrater hver del har i figur 5, og legger sammen.
1. Se hvordan figurene er bygd opp Vi følger figurene og danner et mønster, som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - 1T Eksamen Høst 2025. Figur \( n \) har en blokk på \( {\textcolor{blue}{n \cdot n}} \) kvadrater øverst. Under blokken står ett kvadrat ut til venstre, en søyle på \( \textcolor{red}{n} \) kvadrater ut til høyre og en trapp på \( \textcolor{green}{n} \) kvadrater mellom dem. Figur 3 har altså: \[ \textcolor{blue}{3 \cdot 3} + 1 + \textcolor{red}{3} + \textcolor{green}{3} = 16 \]Det er de \( 16 \) kvadratene vi teller i figur 3.
2. Tell kvadratene i figur 5 Figur 5 har en blokk på \( {\textcolor{blue}{5 \cdot 5}} \) kvadrater, ett kvadrat til venstre, \( \textcolor{red}{5} \) i søyla og \( \textcolor{green}{5} \) i trappa: \[ \textcolor{blue}{5 \cdot 5} + 1 + \textcolor{red}{5} + \textcolor{green}{5} = 25 + 11 = 36 \]
Kontroll: Figur 1, 2 og 3 har \( 4\text{,} \) \( 9 \) og \( 16 \) kvadrater. Økningen er \( 5 \) og så \( 7\text{,} \) altså \( 2 \) mer hver gang. Med \( 9 \) og \( 11 \) videre får figur 4 og 5 \( 25 \) og \( 36 \) kvadrater.

Oppgave 6b)

Lag en formel for antallet små grønne kvadrater i figur n. n\text{.}
Vis løsning på oppgave 6b
Svar
Antallet små grønne kvadrater i figur n n er:
Kn=n2+2n+1=(n+1)2‾‾ \underline{\underline{K_n = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2}}
Vi bruker oppbygningen av figurene fra a).
Vi skriver antallet i figur \( n \) med de samme fire delene som i a), med \( n \) i stedet for et bestemt tall.
1. Skriv antallet med n I a) så vi at figur \( n \) har en blokk på \( {\textcolor{blue}{n \cdot n}} \) kvadrater, ett kvadrat til venstre, \( \textcolor{red}{n} \) i søyla og \( \textcolor{green}{n} \) i trappa. Vi kaller antallet \( K_n\text{:} \) \[ \begin{aligned} K_n &= \textcolor{blue}{n \cdot n} + 1 + \textcolor{red}{n} + \textcolor{green}{n} \\ K_n &= n^2 + 2n + 1 \end{aligned} \]
2. Skriv formelen som et kvadrat Figur 1, 2 og 3 har \( {4 = 2^2}\text{,} \) \( {9 = 3^2} \) og \( {16 = 4^2} \) kvadrater, så figur \( n \) ser ut til å ha \( {(n + 1)^2}\text{.} \) Ganger vi ut parentesene, som i videoen Kvadratsetningene, får vi den samme formelen: \[ \begin{aligned} (n + 1)^2 &= (n + 1)(n + 1) \\ &= n^2 + n + n + 1 \\ &= n^2 + 2n + 1 \end{aligned} \]

1P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 7

3 poeng

Lars har spart penger i flere år. Han har nå 120 000 120\,000 kroner. Pengene står på en konto i banken. Lars vil fortsette å spare og har en plan. Han har laget programmet nedenfor.
Hva forteller programmet om planen til Lars?
Hva vil verdiene som skrives ut, fortelle Lars?
Vis løsning på oppgave 7

Svar

Lars setter inn 24 000 24\,000 kroner hvert år og får 5,8 % 5{,}8\,\% rente til han har minst én million kroner, og utskriften viser:
Antall a˚r det tar‾‾Beløpet han da har‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{\text{Antall år det tar}}} \\ &\underline{\underline{\text{Beløpet han da har}}} \end{aligned}
Vi går gjennom programmet linje for linje, slik datamaskinen gjør. Så ser vi hva som skjer med kontoen hvert år, og når løkka stopper.
1. Les startverdiene Linje 1 til 4 gir startverdiene: Lars har \( 120\,000 \) kroner på kontoen, sparebeløpet er \( \textcolor{blue}{24\,000} \) kroner, vekstfaktoren er \( \textcolor{red}{1{,}058} \) og telleren for år starter på \( 0\text{.} \)
For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er: \[ \textcolor{red}{1{,}058} = 1 + 0{,}058 = 1 + \dfrac{5{,}8}{100} \]Kontoen gir altså \( 5{,}8\,\% \) rente.
2. Les hva løkka gjør Vi går gjennom løkka linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Hver runde er ett år, fordi linje 11 legger \( 1 \) til året. Linje 8 setter inn \( \textcolor{blue}{24\,000} \) kroner, og linje 9 ganger det som står på kontoen, med \( \textcolor{red}{1{,}058}\text{:} \) \[ \text{ny konto} = (\text{konto} + \textcolor{blue}{24\,000}) \cdot \textcolor{red}{1{,}058} \]Sparebeløpet settes inn før renten legges til, så det får rente det samme året.
Linje 6 gjentar dette så lenge kontoen har mindre enn \( 1\,000\,000 \) kroner. Planen er altså å sette inn \( 24\,000 \) kroner hvert år, med \( 5{,}8\,\% \) rente, til Lars har minst én million kroner.
3. Tolk utskriften Løkka stopper første gang kontoen har \( 1\,000\,000 \) kroner eller mer. Linje 13 skriver da ut året, altså hvor mange år Lars må spare før han har én million kroner. Linje 14 skriver ut hvor mye han da har på kontoen, som er minst én million kroner.

1P vår 2025 - Del 1 - uten hjelpemidler

Oppgave 8

4 poeng

Nora bestemmer seg for å kjøpe en bøtte og fylle den med godteri. Hun ser at det er en lineær sammenheng mellom antall hektogram godteri hun fyller i bøtta, og prisen hun må betale for bøtta med godteriet.
Nedenfor ser du en modell som illustrerer dette.
Modellen kan uttrykkes på formen
G(x)=ax+b G(x) = ax + b

Oppgave 8a)

Bestem a a og b. b\text{.}
Vis løsning på oppgave 8a
Svar
Modellen er G(x)=12x+30: {G(x) = 12x + 30}\text{:}
a=12‾‾b=30‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{a = 12}} \\ &\underline{\underline{b = 30}} \end{aligned}
Vi kjenner to punkter på linja. Stigningstallet \( a \) finner vi fra endringen mellom punktene, og så finner vi \( b \) ved å sette inn ett av punktene.
1. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.
Her er \( {(x_1, y_1) = (5, 90)} \) og \( {(x_2, y_2) = (20, 270)}\text{.} \) Plugger vi dette inn, får vi: \[ \textcolor{red}{a} = \dfrac{270 - 90}{20 - 5} = \dfrac{180}{15} = \textcolor{red}{12} \]
2. Finn konstantleddet Vi setter inn \( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{12}} \) og punktet \( (5, 90) \) i \( {G(x) = \textcolor{red}{a}x + \textcolor{blue}{b}}\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025: \[ \begin{aligned} \textcolor{red}{12} \cdot 5 + \textcolor{blue}{b} &= 90 \\ 60 + \textcolor{blue}{b} &= 90 \\ \textcolor{blue}{b} &= \textcolor{blue}{30} \end{aligned} \]
Kontroll: \( {G(20) = 12 \cdot 20 + 30 = 270}\text{,} \) som i det andre punktet.

Oppgave 8b)

Gi en praktisk tolkning av a a og b b i denne modellen.
Vis løsning på oppgave 8b
Svar
I modellen G(x)=12x+30: {G(x) = 12x + 30}\text{:}
a: 12 kr per hg godteri‾‾b: 30 kr for bøtta‾‾ \begin{aligned} &\underline{\underline{a\text{: } 12 \text{ kr per hg godteri}}} \\ &\underline{\underline{b\text{: } 30 \text{ kr for bøtta}}} \end{aligned}
Vi bruker \( {a = 12} \) og \( {b = 30} \) fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
Stigningstallet er det prisen øker med for hvert hektogram godteri, og konstantleddet er prisen når bøtta er tom.
1. Tolk a og b I a) fant vi modellen: \[ G(x) = \textcolor{red}{12}x + \textcolor{blue}{30} \]Stigningstallet er det \( G \) øker med når \( x \) øker med \( 1\text{,} \) og konstantleddet er verdien når \( {x = 0}\text{.} \) Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025, der formelen for en rett linje settes opp med stigningstall og konstantledd.
\( {\textcolor{red}{a} = \textcolor{red}{12}}\text{:} \) For hvert hektogram godteri øker prisen med \( 12 \) kroner. Godteriet koster altså \( 12 \) kroner per hektogram.
\( {\textcolor{blue}{b} = \textcolor{blue}{30}}\text{:} \) Uten godteri er prisen \( {G(0) = \textcolor{blue}{30}} \) kroner. Det er prisen for selve bøtta.

Oppgave 8c)

Hvor mye koster en bøtte med 8 hg godteri?
Vis løsning på oppgave 8c
Svar
En bøtte med 8 hg godteri koster:
126 kroner‾‾ \underline{\underline{126 \text{ kroner}}}
Vi bruker modellen fra a). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.
8 hg godteri betyr \( {x = 8}\text{,} \) så vi setter inn \( 8 \) i modellen.
1. Sett inn 8 hektogram I a) fant vi modellen: \[ G(x) = \textcolor{red}{12}x + \textcolor{blue}{30} \]
Med \( {x = \textcolor{green}{8}} \) får vi: \[ G(\textcolor{green}{8}) = \textcolor{red}{12} \cdot \textcolor{green}{8} + \textcolor{blue}{30} = 96 + 30 = 126 \]

1P vår 2025 - Del 2 - med hjelpemidler

Oppgave 1

6 poeng

Tabellen nedenfor viser antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge noen måneder i perioden januar 2023–oktober 2024.
Ma˚nedAntall registrertetilfellerJanuar 202329Mai 202393Oktober 2023164Februar 2024284August 20241035Oktober 20241657 \begin{array}{r|r} \text{Måned} & \begin{array}{c} \text{Antall registrerte} \\ \text{tilfeller} \end{array} \\ \hline \text{Januar 2023} & 29 \\ \text{Mai 2023} & 93 \\ \text{Oktober 2023} & 164 \\ \text{Februar 2024} & 284 \\ \text{August 2024} & 1035 \\ \text{Oktober 2024} & 1657 \end{array}
La x x være antall måneder etter desember 2022. Det vil si at x=1 {x = 1} tilsvarer januar 2023, x=3 {x = 3} tilsvarer mars 2023, og så videre.

Oppgave 1a)

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen K K gitt ved
K(x)=27,8⋅1,2x K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^x
er en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge i perioden januar 2023–oktober 2024.
Vis løsning på oppgave 1a
Svar
Modellverdiene ligger nær tallene i tabellen, og eksponentiell regresjon gir 27,809⋅1,1987x, {27{,}809 \cdot 1{,}1987^x}\text{,} som avrundet er K(x): K(x)\text{:}
K er en god modell‾‾ \underline{\underline{K \text{ er en god modell}}}
Vi sammenligner modellen med tallene i tabellen. Med kalkulator regner vi ut \( K(x) \) for månedene i tabellen, og med GeoGebra bruker vi eksponentiell regresjon på punktene.
Metode: Med kalkulator
1. Finn x for månedene i tabellen Desember 2022 er \( {x = 0}\text{,} \) og desember 2023 er \( {x = 12}\text{.} \) Februar 2024 er derfor \( {x = 12 + 2 = 14}\text{.} \) Slik får vi: \[ \begin{array}{l|r} \text{Måned} & x \\ \hline \text{Januar 2023} & 1 \\ \text{Mai 2023} & 5 \\ \text{Oktober 2023} & 10 \\ \text{Februar 2024} & 14 \\ \text{August 2024} & 20 \\ \text{Oktober 2024} & 22 \end{array} \]
2. Regn ut modellverdiene For mai 2023 er \( {x = 5}\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \textcolor{red}{K(5)} = 27{,}8 \cdot 1{,}2^5 \approx \textcolor{red}{69{,}2} \]
Slik regner vi ut \( \textcolor{red}{K(x)} \) for alle seks månedene, avrundet til hele tilfeller, og setter verdiene ved siden av de \( \textcolor{blue}{\text{registrerte}} \) tallene: \[ \begin{array}{r|r|r} x & \textcolor{blue}{\text{Registrert}} & \textcolor{red}{K(x)} \\ \hline 1 & \textcolor{blue}{29} & \textcolor{red}{33} \\ 5 & \textcolor{blue}{93} & \textcolor{red}{69} \\ 10 & \textcolor{blue}{164} & \textcolor{red}{172} \\ 14 & \textcolor{blue}{284} & \textcolor{red}{357} \\ 20 & \textcolor{blue}{1035} & \textcolor{red}{1066} \\ 22 & \textcolor{blue}{1657} & \textcolor{red}{1535} \end{array} \]
3. Vurder modellen De \( \textcolor{blue}{\text{registrerte}} \) tallene vokser fra \( \textcolor{blue}{29} \) til \( \textcolor{blue}{1657}\text{,} \) til mer enn \( 50 \) ganger så mange. \( \textcolor{red}{\text{Modellverdiene}} \) følger den veksten hele veien, og ingen av dem bommer med mer enn omtrent en firedel av det registrerte tallet. Derfor er \( K \) en god modell for perioden.
Metode: Med GeoGebra
1. Bruk eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon finner den modellen på formen \( {\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}^x} \) som går så nær punktene som mulig, der \( \textcolor{blue}{a} \) er startverdien og \( \textcolor{red}{b} \) vekstfaktoren. Vi legger punktene i en liste og bruker RegEksp, som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:
Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1, 29), (5, 93), (10, 164), (14, 284), (20, 1035), (22, 1657)} f(x) = RegEksp(l1)
GeoGebra gir \( {f(x) \approx \textcolor{blue}{27{,}809} \cdot \textcolor{red}{1{,}1987}^x}\text{.} \) Avrundet til én desimal er det \( {\textcolor{blue}{27{,}8} \cdot \textcolor{red}{1{,}2}^x = K(x)}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. Derfor er \( K \) en god modell.

Oppgave 1b)

Gi en praktisk tolkning av tallet 1,2 1{,}2 i modellen.
Vis løsning på oppgave 1b
Svar
1,2 1{,}2 er vekstfaktoren i modellen, og antallet øker med:
20 % per ma˚ned‾‾ \underline{\underline{20\,\% \text{ per måned}}}
Tallet \( 1{,}2 \) er vekstfaktoren i modellen. Vi gjør den om til en prosent.
Metode: For hånd
1. Tolk vekstfaktoren For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{\textcolor{red}{p}}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.
Her er: \[ 1{,}2 = 1 + 0{,}20 = 1 + \dfrac{\textcolor{red}{20}}{100} \]Hver måned ganges antallet med \( 1{,}2\text{.} \) Ifølge modellen øker antall registrerte tilfeller altså med \( \textcolor{red}{20}\,\% \) per måned.

Oppgave 1c)

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene (4,K(4)) (4, K(4)) og (21,K(21)). (21, K(21))\text{.} Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
Vis løsning på oppgave 1c
Svar
Ifølge modellen økte antallet tilfeller per måned i gjennomsnitt med omtrent 72 72 hver måned fra april 2023 til september 2024 (stigningstallet avrundet til én desimal):
a≈71,8‾‾ \underline{\underline{a \approx 71{,}8}}
Linja går gjennom to punkter på grafen til \( K\text{.} \) Vi regner ut punktene med modellen og finner stigningstallet mellom dem.
Metode: For hånd
1. Finn stigningstallet Stigningstallet er endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{:} \) \[ a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\textcolor{red}{y_2} - \textcolor{red}{y_1}}{\textcolor{blue}{x_2} - \textcolor{blue}{x_1}} \]Hvis du er usikker på dette, kan du se videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.
Her er punktene \( (\textcolor{blue}{4}, \textcolor{red}{K(4)}) \) og \( (\textcolor{blue}{21}, \textcolor{red}{K(21)})\text{,} \) og kalkulatoren gir: \[ \begin{aligned} K(\textcolor{blue}{4}) &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{4}} \approx \textcolor{red}{57{,}65} \\ K(\textcolor{blue}{21}) &= 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{21}} \approx \textcolor{red}{1278{,}94} \end{aligned} \]
Plugger vi dette inn, får vi: \[ \begin{aligned} a &\approx \dfrac{\textcolor{red}{1278{,}94} - \textcolor{red}{57{,}65}}{\textcolor{blue}{21} - \textcolor{blue}{4}} \\ a &\approx \dfrac{1221{,}29}{17} \approx 71{,}8 \end{aligned} \]
2. Tolk svaret \( {x = 4} \) er april 2023, og \( {x = 21} \) er september 2024. Fra april 2023 til september 2024 økte antall registrerte tilfeller per måned altså i gjennomsnitt med omtrent \( 72 \) for hver måned, ifølge modellen.

Oppgave 1d)

Hvor mange tilfeller av kikhoste vil bli registrert i Norge i mai 2025 ifølge modellen?
Vis løsning på oppgave 1d
Svar
Ifølge modellen, avrundet til et helt antall:
Omtrent 5499 tilfeller‾‾ \underline{\underline{\text{Omtrent } 5499 \text{ tilfeller}}}
Vi finner \( x \) for mai 2025 og setter inn i modellen.
Metode: For hånd
1. Finn x for mai 2025 Desember 2024 er \( 24 \) måneder etter desember 2022, og mai 2025 er \( 5 \) måneder etter det: \[ x = 24 + 5 = \textcolor{blue}{29} \]
2. Sett inn i modellen Modellen ganger startverdien med vekstfaktoren opphøyd i antall måneder, som i videoen Vekstfaktor: \[ K(\textcolor{blue}{29}) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{\textcolor{blue}{29}} \approx 5499{,}2 \]