Eksamensoppgaver etter tema

Funksjonen er et tall ganget med en vekstfaktor opphøyd i antall år. Vi ser hva hvert av tallene betyr for pengene i banken.

1. Tolk startbeløpet Vi setter inn \( {x = 0}\text{,} \) altså nå. Et tall opphøyd i \( 0 \) er \( 1\text{:} \) \[ \begin{aligned} f(0) &= \textcolor{blue}{20\,000} \cdot 1{,}0485^0 \\ &= \textcolor{blue}{20\,000} \cdot 1 = \textcolor{blue}{20\,000} \end{aligned} \]Ada har altså \( \textcolor{blue}{20\,000} \) kroner i banken nå. Det er beløpet hun starter med.

2. Tolk vekstfaktoren Hvert år ganges beløpet med \( \textcolor{red}{1{,}0485}\text{,} \) så det er vekstfaktoren. For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er: \[ \textcolor{red}{1{,}0485} = 1 + 0{,}0485 = 1 + \dfrac{4{,}85}{100} \]Beløpet øker altså med \( 4{,}85\,\% \) hvert år. Det er renten banken gir.

Programmet regner ut hvor mye \( f \) endrer seg fra start til slutt, og deler på antall år. Vi går gjennom det linje for linje.

1. Les programmet linje for linje Programmet kjøres linje for linje, som i videoen Oppgave 6 - Del 1 - 1T Eksamen Høst 2025. Linje 1 og 2 lager funksjonen \( {f(x) = 20\,000 \cdot 1{,}0485^x} \) fra oppgaven, og linje 4 og 5 setter \( {\texttt{start} = \textcolor{blue}{0}} \) og \( {\texttt{slutt} = \textcolor{red}{10}}\text{.} \)

Linje 7 regner da ut: \[ v = \dfrac{f(\textcolor{red}{10}) - f(\textcolor{blue}{0})}{\textcolor{red}{10} - \textcolor{blue}{0}} \]

2. Tolk tallet I telleren står hvor mange kroner beløpet øker med fra i dag til om \( 10 \) år. I nevneren står antall år, \( 10\text{.} \) Tallet \( v \) er altså økningen per år i gjennomsnitt de ti første årene.

Det er det samme som stigningstallet til linja gjennom punktene \( (0, f(0)) \) og \( (10, f(10))\text{:} \) endringen i \( y \) delt på endringen i \( x\text{,} \) som i videoen Oppgave 4A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025.

Oppgaven ber om to måter. Vi regner ut beløpet om fem år med vekstfaktoren, og vi leser det av grafen til beløpet.

1. Regn ut beløpet Den første måten er å regne. Renten er \( 3{,}25\,\% \) per år. For en økning på \( p\,\% \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 + \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er \( {V = 1 + 0{,}0325 = \textcolor{red}{1{,}0325}}\text{.} \) Om fem år er beløpet i dag ganget med vekstfaktoren fem ganger, som i videoen Vekstfaktor: \[ \begin{aligned} &\textcolor{blue}{105\,607} \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^5 \\ &\approx 105\,607 \cdot 1{,}173411 \\ &\approx 123\,920{,}46 \end{aligned} \]

2. Les av grafen Den andre måten er grafisk. Vi lar \( x \) være antall år fra i dag, så beløpet er \( {K(x) = \textcolor{blue}{105\,607} \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^x}\text{.} \) Med kalkulatoren lager vi en verditabell, avrundet til hele kroner: \[ \begin{array}{r|r} x & K(x) \\ \hline 0 & 105\,607 \\ 1 & 109\,039 \\ 2 & 112\,583 \\ 3 & 116\,242 \\ 4 & 120\,020 \\ 5 & 123\,920 \end{array} \]

Vi setter av punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Ved \( {x = 5} \) leser vi av omtrent \( 124\,000 \) kroner, det samme som utregningen.

1. Regn ut og les av grafen Vi lar \( x \) være antall år fra i dag og skriver inn \( K\text{.} \) Vi regner ut \( K(5)\text{,} \) og finner punktet på grafen der \( {x = 5} \) med Skjæring mellom grafen og linja \( {x = 5}\text{,} \) som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 105607*1.0325^x s = K(5) g: x = 5 A = Skjæring(K, g)

Regningen gir \( {s \approx 123\,920{,}46}\text{,} \) og grafen og linja møtes i \( {A \approx (5,\ 123\,920{,}46)}\text{.} \) GeoGebra skriver selv punktet den fant, inn i kommandoen.

Nå går vi fem år tilbake. Vi deler beløpet i dag på vekstfaktoren fem ganger, og vi leser det av grafen til beløpet fem år før i dag.

1. Regn ut innskuddet Den første måten er å regne. Renten på \( 3{,}25\,\% \) gir vekstfaktoren \( {1 + 0{,}0325 = \textcolor{red}{1{,}0325}}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor. Vi kaller beløpet Gaute satte inn, for \( S\text{.} \) Etter fem år har det blitt beløpet i dag, som i videoen Vekstfaktor: \[ S \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^5 = \textcolor{blue}{105\,607} \]

Vi deler med \( \textcolor{red}{1{,}0325}^5 \) på begge sider: \[ \begin{aligned} S &= \dfrac{\textcolor{blue}{105\,607}}{\textcolor{red}{1{,}0325}^5} \\ S &\approx 89\,999{,}98 \end{aligned} \]Det står litt over \( 105\,607 \) kroner på kontoen i dag, så Gaute satte inn \( 90\,000 \) kroner.

Kontroll: \( {90\,000 \cdot 1{,}0325^5} \) er omtrent \( 105\,607{,}03\text{,} \) altså litt over \( 105\,607 \) kroner.

2. Les av grafen Den andre måten er grafisk. Vi lar \( x \) være antall år fra i dag, så beløpet er \( {K(x) = \textcolor{blue}{105\,607} \cdot \textcolor{red}{1{,}0325}^x}\text{,} \) og fem år siden er \( {x = -5}\text{.} \) Med kalkulatoren lager vi en verditabell, avrundet til hele kroner: \[ \begin{array}{r|r} x & K(x) \\ \hline -5 & 90\,000 \\ -4 & 92\,925 \\ -3 & 95\,945 \\ -2 & 99\,063 \\ -1 & 102\,283 \\ 0 & 105\,607 \end{array} \]

Vi setter av punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem:

Ved \( {x = -5} \) leser vi av omtrent \( 90\,000 \) kroner, det samme som utregningen.

1. Regn ut og les av grafen Vi lar \( x \) være antall år fra i dag og skriver inn \( K\text{.} \) Fem år siden er \( {x = -5}\text{.} \) Vi regner ut \( {K(-5)}\text{,} \) og finner punktet på grafen der \( {x = -5} \) med Skjæring, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: K(x) = 105607*1.0325^x t = K(-5) h: x = -5 B = Skjæring(K, h)

Regningen gir \( {t \approx 89\,999{,}98}\text{,} \) og grafen og linja møtes i \( {B \approx (-5,\ 89\,999{,}98)}\text{.} \) Med litt over \( 105\,607 \) kroner i dag var innskuddet \( 90\,000 \) kroner.

Modellen har formen \( {a \cdot x^b}\text{,} \) som er en potensfunksjon. Vi bruker potensregresjon på punktene i tabellen.

Merk – Eksamen uten PC fra 2027: Uten PC kan du ikke gjøre regresjon. Øv heller på c) med modellen i svaret, med kalkulator.

1. Gjør potensregresjon Vi legger punktene fra tabellen i en liste og bruker RegPot. Den finner tallene \( \textcolor{blue}{a} \) og \( \textcolor{red}{b} \) som gjør at grafen ligger så nær punktene som mulig. Regresjonene finner du som i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: l1 = {(1000, 100), (500, 81.4), (200, 60.1), (80, 41.5), (40, 29)} K(x) = RegPot(l1)

Med fire desimaler gir GeoGebra: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} \]Altså er \( {\textcolor{blue}{a} \approx \textcolor{blue}{7{,}562}} \) og \( {\textcolor{red}{b} \approx \textcolor{red}{0{,}3804}}\text{,} \) og grafen går nær alle punktene. I c) regner GeoGebra videre med modellen slik den er lagret, og med kalkulator regner vi videre med tallene i svaret.

Merk – Ikke rund av for tidlig: Med GeoGebras standardavrunding, to desimaler, står det \( {7{,}56 \cdot x^{0{,}38}}\text{.} \) Regner vi videre med det, blir høyden i c) omtrent \( 4{,}2 \) km med Aris modell i stedet for \( 4{,}3 \) km. Vis derfor fire desimaler i GeoGebra.

Begge modellene starter på 1000 hPa ved havet og minker med en fast prosent per km. Vi finner vekstfaktoren for Ari og for Lisa.

1. Lag Aris modell Lufttrykket minker med \( 12\,\% \) per km. Når noe minker med \( p\,\%\text{,} \) er vekstfaktoren: \[ V = 1 - \dfrac{p}{100} \]Hvis du er usikker på vekstfaktor, kan du se videoen Vekstfaktor.

Her er \( {V = 1 - 0{,}12 = \textcolor{red}{0{,}88}}\text{.} \) Ved havet er lufttrykket \( \textcolor{blue}{1000} \) hPa, og for hver km ganger vi med \( \textcolor{red}{0{,}88}\text{,} \) som i videoen Vekstfaktor: \[ A(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{red}{0{,}88}^x \]

2. Lag Lisas modell Lisa vil ha samme form, \( {L(x) = \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{c}^x}\text{.} \) Etter \( 5{,}5 \) km er lufttrykket halvert, altså \( 500 \) hPa. Det gir likningen, som i videoen Oppgave 8A - Del 2 - 2P Eksamen Høst 2023: \[ \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{c}^{5{,}5} = 500 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{1000} \) på begge sider og opphøyer i \( \dfrac{1}{5{,}5}\text{.} \) Å opphøye i 1 delt på n er det samme som å ta n-te roten, som i videoen Potenser og røtter: \[ \begin{aligned} \textcolor{green}{c}^{5{,}5} &= 0{,}5 \\ \textcolor{green}{c} &= 0{,}5^{1/5{,}5} \approx \textcolor{green}{0{,}8816} \end{aligned} \]

Det gir: \[ L(x) \approx \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{0{,}8816}^x \]

1. Lag modellene Aris modell skriver vi rett inn. For Lisas modell bruker vi eksponentiell regresjon på punktene \( (0, 1000) \) og \( (5{,}5,\ 500)\text{,} \) som vi finner blant regresjonene i videoen Oppgave 1A - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025. I GeoGebra på bokmål gir RegEksp en modell på formen \( {a \cdot b^x}\text{:} \)

Skriv inn i GeoGebra: A(x) = 1000*0.88^x l2 = {(0, 1000), (5.5, 500)} L(x) = RegEksp(l2)

GeoGebra gir \( {L(x) \approx \textcolor{blue}{1000} \cdot \textcolor{green}{0{,}8816}^x}\text{,} \) det samme som med kalkulator. De to grafene ligger nesten oppå hverandre.

Vi bruker modellen fra a) og modellene fra b). Ved følgefeil kan det gis full uttelling.

Et egg blir hardkokt når vannet koker ved minst \( 85\,^\circ\text{C}\text{.} \) Vi finner lufttrykket der kokepunktet er \( 85\,^\circ\text{C}\text{,} \) og så hvor høyt over havet lufttrykket er så lavt.

1. Finn lufttrykket I a) fant vi modellen: \[ K(x) \approx \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} \]

Kokepunktet skal være \( 85\,^\circ\text{C}\text{,} \) så vi setter \( {K(x) = 85}\text{:} \) \[ \textcolor{blue}{7{,}562} \cdot x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} = 85 \]

Vi deler med \( \textcolor{blue}{7{,}562} \) på begge sider og opphøyer i \( \dfrac{1}{\textcolor{red}{0{,}3804}}\text{,} \) som i videoen Potenser og røtter. Med kalkulatoren får vi: \[ \begin{aligned} x^{\textcolor{red}{0{,}3804}} &= \dfrac{85}{\textcolor{blue}{7{,}562}} \approx 11{,}2404 \\ x &\approx 11{,}2404^{1/\textcolor{red}{0{,}3804}} \approx \textcolor{green}{578{,}5} \end{aligned} \]Ved lavere lufttrykk koker vannet ved lavere temperatur, så lufttrykket må være minst omtrent \( \textcolor{green}{578{,}5} \) hPa.

2. Finn høyden I b) fant vi modellene: \[ \begin{aligned} A(x) &= 1000 \cdot 0{,}88^x \\ L(x) &\approx 1000 \cdot 0{,}8816^x \end{aligned} \]

Med \( {x = 4} \) er lufttrykket omtrent 600 hPa i begge modellene. Vi regner videre med kalkulatoren for hver tiendedel km: \[ \begin{array}{r|r|r} x & A(x) & L(x) \\ \hline 4{,}0 & 599{,}7 & 604{,}1 \\ 4{,}1 & 592{,}1 & 596{,}5 \\ 4{,}2 & 584{,}6 & 589{,}0 \\ 4{,}3 & 577{,}1 & 581{,}7 \\ 4{,}4 & 569{,}8 & 574{,}4 \\ 4{,}5 & 562{,}6 & 567{,}2 \end{array} \]Ifølge Aris modell kommer lufttrykket ned til \( \textcolor{green}{578{,}5} \) hPa mellom \( 4{,}2 \) og \( 4{,}3 \) km, nærmest \( 4{,}3\text{.} \) Ifølge Lisas modell skjer det mellom \( 4{,}3 \) og \( 4{,}4 \) km, også nærmest \( 4{,}3\text{.} \)

1. Finn lufttrykket Med \( K \) fra a) tegner vi linja \( {y = 85} \) og finner skjæringspunktet med grafen, som med verktøyet «Skjæring mellom to objekter» i videoen Oppgave 1C - Del 2 - R1 Eksamen Høst 2025:

Skriv inn i GeoGebra: g: y = 85 P = Skjæring(K, g)

Lufttrykket er førstekoordinaten til \( P\text{,} \) omtrent \( 578{,}34 \) hPa.

2. Finn høyden Med \( A \) og \( L \) fra b) tegner vi linja \( {y = x(P)} \) og finner skjæringspunktene med de to grafene:

Skriv inn i GeoGebra: h: y = x(P) S = Skjæring(A, h) T = Skjæring(L, h)

Ifølge Aris modell er høyden \( 4{,}28 \) km (punktet \( S \)), og ifølge Lisas \( 4{,}35 \) km (punktet \( T \)). Begge er omtrent \( 4{,}3 \) km.